二項式定理_學(xué)案

1、二項式定理一、知識與方法：1、 二項式定理：（a b）n二C：an Canb 川。專 "Cb ,其中組合數(shù) C叫第r +1項的；展開式共有 項，其中第r +1項T- =Cnan"br （r =0,1,2川|,n）稱為二項展開式的 ，主要用于求指定的項。解題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？2、二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1） 對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，實(shí)質(zhì)是；n +1（2） 增減性與最大值：當(dāng)1時，二項式系數(shù)cn的值逐漸增大，2 nn +1當(dāng)r - 1時,cn的值逐漸減小，且在中間取得最大值。2n當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項（第 項）的二

2、項式系數(shù)（cn2 ）最大值。n-1n 1當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項（第 和項）的二項式系數(shù)（Cn2 =Cn2 ）相等并同時取最大值。（3） 二項式系數(shù)的和：C +cn +川+cn十_ ；C0 +C2 + =C +C3 + =。n nn n注意：此過程體現(xiàn)了“賦值法”，應(yīng)用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和、“奇數(shù)（偶次）項”系數(shù)和、以及“偶數(shù) （奇次）項”系數(shù)和。3、二項式定理的應(yīng)用：主要有近似計算、證明整除性問題或確定余數(shù)、應(yīng)用其首尾幾項進(jìn)行放縮證明不等式。二、例題：例1、求（2x3 -）7的展開式中第三項及常數(shù)項。92 l I I9例 2、已知（1 -3x）a1xa2xIDagx，求（1）

3、 ao ；（2）a2；（3）a。+|aja?| 十11 汁a |。三、練習(xí)題：1、在（-2）5的展開式中1的系數(shù)等于（）2 xxA 10B、-10C、20D、-202、若（ax -1）5的展開式中x3的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a的值是（）A、 2B 、2 12C 3 4D 23、在 i ；x 一 12 I。展開式中，含x的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的項共有（2x4、8項I263在（ x ）的展開式中，x的系數(shù)和常數(shù)項依次是x20, 20B 、 15, 20 C 、 20, 15D、15, 155、由等式x4qx3o?x2a$x耳=（x1）4b（ x1）3a（ x b（ x 1）b定義映射f :佝，a?©

4、)(b ,b2 ,b b)則 f (4, 3, 2, 1)等于A (1 , 2, 3, 4) B 、(0 , 3, 4, 0) C 、(-1 , 0, 2, -2 )D 、(0, -3 , 4, -1 )16、對于二項式（-x3）n （nN ），四位同學(xué)作出了四種判斷:x存在n N *，展開式中有常數(shù)項；對任意n N *，展開式中沒有x的一次項；對任意n N ,存在n N*，展開式中有x的一次項.展開式中沒有常數(shù)項;上述判斷中正確的是（A、B、 C、D）7、若c3二C；-Cnj，則n的值為8、設(shè)(x1)4(x4)8二a。a1(x3)a2(x3)2Hl a12(x 3)12 ,則 a2 a4 *

5、l| *12 = 9、在 -的展開式中的常數(shù)項是（12仮丿-7C、28 D 、 -285310、（1-2x） （2 x）的展開式中x的項的系數(shù)是（）、-120 C 、 100 D 、 -100展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是（）、90C 、 45 D 、 36012、在（1-X2）20展開式中,如果第4r項和第r 2項的二項式系數(shù)相等，則r二14、若(x 1)n 二 xn 川川 px2 qx 1(n 三 N*),且p q 二 6,那么 n =15、(用數(shù)字作答)(1 2x2) X8的展開式中常數(shù)項為 x丿16、已知(x的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求n的值;(2

6、)求展開式中系數(shù)最大的項。(只-1尸例1( 2006年山東卷)已知'：的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之_2比為:.，其中一 1,則展開式中常數(shù)項是(A. 45iB. 45iC. 45D. 45解：第三項、第五項的系數(shù)分別為一廣，由題意有整理得:- I.解得n=10設(shè)常數(shù)項為- -1):20-2r-i = 0則有二得r=8故常數(shù)項為川° 二廠，選D。（石 + l）" 1 n E N *例2已知的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有的有理項。解：展開式的前三項的系數(shù)分別為則由題意可得解得n=8 （n=1舍去）若為有理項，則:T '，且一二_ ,所以r=

7、0，4, 8故展開式中所有的有理項為（2006年湖北卷）在x的幕指數(shù)是整數(shù)的3. 求幕指數(shù)為整數(shù)的項例3項共有（A. 3項 B. 4項 C. 5項D. 6項4. 求系數(shù)最大的項（& + n e N例4已知：的展開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最 大，求該展開式中系數(shù)最大的項。解：由只有第五項的二項式系數(shù)最大，可知展開式共有9項，故n=8設(shè)第葉1項的系數(shù)最大，則有又工J，所以r=2或r=3所以二項式的展開式中系數(shù)最大的項是二、求三項式或多項的和或積的展開式中指定項有些三項式展開問題可以先通過變形轉(zhuǎn)化為二項式展開問題加以解決，對 于多項的和或積的二項式問題，可通過“搭配”解決，但要注意不重不

8、漏。（2005年湖北卷）的展開式中整理后的常數(shù)項為Oxa +2-J& + 2 j ( + 2)25+ w對于二項式'的展開式中 -況（姊二6班要得到常數(shù)項需10-r=5，則r=5 所以常數(shù)項為亍例6（2005年浙江卷）在 7 展開式中，含的項的系數(shù)是（）A. 74B. 121C. 74D. 121解：一一一 *一一 ' 1：的展開式中，含的項為-:-二丨二.二二 U，故選 Do三、求展開式中某一項的二項式系數(shù)或系數(shù)此類問題仍然是利用二項式的通項公式1來加以求解，但在解題中要注意某一項的二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別。例7 （2006年北京卷）在 .的展開式中，的系數(shù)是7-3r（

9、用數(shù)字作答）解：-=2令一 ，得r=1所以J的系數(shù)為匚H四、求展開式中的系數(shù)和在涉及到求展開式中所有項系數(shù)的和或者奇數(shù)項、偶數(shù)項系數(shù)和的問題時,通?？梢愿鶕?jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，選擇“賦值法”來加以解決。例8（2004年天津卷）若- L.，'- ',則（飭+ 5） + （% + %）+弘+%） + + （a0+aw） =（用數(shù)字作答）。解：取x=0,得T - I取 x=1，得'I： :_-（卯+首）+ （% +巧） + （%+%） + （如+幻新“邨 + （%+5 + &測）=2003+仁2004五、近似計算、證明整除及求余數(shù)問題近似計算要首先注意精確度，然后選取展開

10、式中前幾項進(jìn)行計算。用二項 式定理證明整除及求余數(shù)問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項式的形式來 展開，常采用“配湊法”，“消去法”，結(jié)合整除的有關(guān)知識來解決。例9 （ 2002年全國卷）據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會議政府工作 報告：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長7.3%”，如果“十五” 期間（2001年一2005年）每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為（）A. 115000 億元 B. 120000 億元 C. 127000 億元 D. 135000億元解：設(shè)到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值為 A,由復(fù)利公式或等比數(shù)列 通項公式，得故選C解：|：._-/+92 X 90 + 1 （M為整數(shù)）=100* 82 X 100+ 81。所以二除以100的余數(shù)是81。六、考查與其