算術(shù)應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模

1、 算術(shù)應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模 摘要 數(shù)學(xué)有純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)兩大部分。 小學(xué)數(shù)學(xué)有數(shù)與數(shù)的運算法則以及數(shù)學(xué)應(yīng)用兩大部分。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是相對獨立的， 其本質(zhì)是數(shù)學(xué)模型的建立。“問題解決”的內(nèi)容比較寬泛，它具有理念改革的指導(dǎo)意義， 卻不能代替數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題要有類型的區(qū)分， 但不能“類型化”。兒童有豐富的想象力，模擬情景往往比真實情景更真切。應(yīng)用題能夠貼近學(xué)生生活的只能是少數(shù)，更多的是科學(xué)實踐型、模擬情景型的題目。但是， 我們應(yīng)該更多開拓一些新型的應(yīng)用題。 本文提供了一些參考題。引言應(yīng)用題的出現(xiàn)淵遠流長。古埃及的紙草書、中國的算數(shù)書等古代數(shù)學(xué)典籍， 都是應(yīng)用題的匯編。從有歷史的記

2、載來看，算術(shù)應(yīng)用題一向是初等教育中的重要內(nèi)容。 直到第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)前的1930年代， 世界各國的小學(xué)數(shù)學(xué)課程，大多包括算術(shù)應(yīng)用題， 并且成為小學(xué)數(shù)學(xué)最難學(xué)習(xí)的部分之一。 20世紀中葉以后， 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)出現(xiàn)了兩個重大的變化。 首先是代數(shù)方法逐漸取代算術(shù)應(yīng)用題。中學(xué)里學(xué)習(xí)的代數(shù)方法，較之笨重的算術(shù)方法，簡單而有效，于是代數(shù)思想方法不斷地滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)中來， 應(yīng)用題的算術(shù)解法有所淡化。 其次是問題解決口號的提出。1980年， 美國提出“問題解決(problem solving)”的口號， 認為解決非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，培育創(chuàng)新精神， 是數(shù)學(xué)教育的主要追求， 應(yīng)該貫穿到數(shù)學(xué)教育的每一個環(huán)節(jié)之中

3、。 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的僵化模式， 成為改革的目標之一。 1949年建國以來， 我國大陸地區(qū)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程一直把小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的教學(xué)放在重要位置。 但是， 整體上也隨著上述的兩股思潮而發(fā)生漸進式的變化。 在21世紀初實行的全日制中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）中， “數(shù)與代數(shù)“成為小學(xué)數(shù)學(xué)的基本學(xué)習(xí)領(lǐng)域。代數(shù)，從此正式進入小學(xué)數(shù)學(xué)范疇，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)也大量滲入代數(shù)方法。同時，應(yīng)用題則不再成為獨立的教學(xué)板塊，而是貫穿在“數(shù)與代數(shù)”“空間與幾何”“統(tǒng)計與概率”各個領(lǐng)域之中。但是，用代數(shù)方法完全取代算術(shù)方法是不可取、也不可能的。 算術(shù)方法有它獨特的實用價值和思維訓(xùn)練價值。 數(shù)學(xué)問題的算術(shù)模型和代數(shù)模型，

4、各有所長， 應(yīng)該相互融合， 而不是彼此排斥。同時，“問題解決”是一個寬泛的口號， 整個數(shù)學(xué)教學(xué)都是在“解決問題”。如果用“問題解決”來取代“算術(shù)應(yīng)用題”， 似乎偏離了“應(yīng)用”的 本意?；乇堋皯?yīng)用題”帶來的 問題， 并不利于“應(yīng)用題”的教學(xué)改革。小學(xué)數(shù)學(xué)中文字型應(yīng)用題的求解有其特殊的規(guī)律，適當?shù)募薪虒W(xué)， 是不可缺少的。時至今日， 用建立數(shù)學(xué)模型的觀點加以詮釋，是改革小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的根本出路。一、 什么是 “小學(xué)應(yīng)用題”數(shù)學(xué)的發(fā)展有兩個原動力， 一是要解決大自然和社會現(xiàn)實提出的數(shù)學(xué)問題，二是要解決數(shù)學(xué)內(nèi)部生成的數(shù)學(xué)問題。 前者的研究成果是應(yīng)用數(shù)學(xué)， 后者的研究成果成為純粹數(shù)學(xué)。這二者相輔相成，相

5、互滲透， 共同發(fā)展。 不過，歸根結(jié)底，社會生產(chǎn)力和文化發(fā)展的現(xiàn)實需要是數(shù)學(xué)成長的本源。 小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)的擴展以及相應(yīng)的運算規(guī)則， 屬于純粹數(shù)學(xué)范圍， 將這些規(guī)則和現(xiàn)實相聯(lián)系， 并應(yīng)用于現(xiàn)實， 則是小學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的范圍。數(shù)學(xué)是由問題驅(qū)動的。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)， 體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生與此相關(guān)的數(shù)學(xué)思維模式。 小學(xué)的“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”， 可以理解為：用算術(shù)方法求解的、用自然語言表達的復(fù)雜情景問題。 這里有三個要素：1. 算術(shù)方法求解（包括一些簡易代數(shù)的思考）；數(shù)學(xué)應(yīng)用是一個很大的學(xué)術(shù)領(lǐng)域。這里只研究用小學(xué)數(shù)學(xué)方法可以求解的數(shù)學(xué)問題。解小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要是用算術(shù)方法，目前也使用一些簡易的代數(shù)思想。2

6、. 用自然語言表達， 即用文字敘述的問題。這是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要特點。西方有時把小學(xué)應(yīng)用題稱作“word problem”， 即用自然語言表達的數(shù)學(xué)問題。 3. 具有復(fù)雜的情景。應(yīng)用題必須表達一種具體“情景”， 無論是體現(xiàn)生活實際的，或者合理地虛擬編制的，都必須反映一種生動的具體情境， 不能是純粹的數(shù)學(xué)問題。情境往往有一些特定的常識性規(guī)律， 在解題時需要加以剖析和運用。作為一種具有較高思維價值的問題，“應(yīng)用題”所呈現(xiàn)的情境， 應(yīng)當具有挑戰(zhàn)性，不同于課本引進新內(nèi)容時所呈現(xiàn)的簡單情景。 例如，5個學(xué)生每人有3本書，一共有幾本書？ 答案只要寫出 5 × 3 = 15 就是。 這也是應(yīng)用性

7、問題，卻不是我們要研究的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是 20世紀下半葉， 隨著計算機技術(shù)的發(fā)展而形成的數(shù)學(xué)思想方法。 目前已經(jīng)成為數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本模式。數(shù)學(xué)模型，一般地說， 乃是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號和語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。就許多小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容來說， 本身就是一種數(shù)學(xué)模型：l 自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過程的 數(shù)學(xué)模型。l 分數(shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型；l 元角分的計算模型是小數(shù)的運算。l 500人的學(xué)校里一定有兩個人一起過生日， 其數(shù)學(xué)模型叫做抽屜原理。l 雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程；等等。

8、更進一步，數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)， 則是對一種比較復(fù)雜的特定情景給出一個具體的模型。例如， 二元一次聯(lián)立方程， 是雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的本質(zhì)是“數(shù)學(xué)建模”。以下我們就建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟， 與求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過程做一個比較。 數(shù)學(xué)建模步驟解應(yīng)用題步驟以行程問題為例背景考察搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征 審題 對問題設(shè)置的情景仔細揣摩體察。弄清問題的目標。知道速度， 位移，時間的關(guān)系；適度簡化 ：如假定為勻速行駛在直線 型的道路上，等。構(gòu)作模型根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。列式將問題中用自然語言表

9、述的情景，翻譯成數(shù)學(xué)語言，借助數(shù)學(xué)符號、圖象、邏輯等手段， 構(gòu)成可以反映問題本質(zhì)的算式。根據(jù)情景，尋找數(shù)量規(guī)律。 例如找出一些不變量，借以構(gòu)成數(shù)學(xué)等式。根據(jù)問題內(nèi)容，如相向而行， 還是相對而行之類概念，例如 同時啟動相對而行時，二者相 遇時所用的時間相同等。據(jù)此列出等式：ax+bc=d。模型求解采用各種數(shù)學(xué)方法，求得滿足模型的解答。 求解對算式進行變換和計算，求得結(jié)果。用算術(shù)方法或者代數(shù)方法， 進行變換， 依照計算程序獲得結(jié)果， 求得解答。 如 x = (d-bc)/a。答案分析檢驗?zāi)Ｐ褪欠裾_， 解答是否符合實際。 驗證驗證解答是否正確， 能否符合題意。 將x 代入原式進行驗算。模型改進對模

10、型解答進行數(shù)學(xué)上的分析， 反思考察解題過程中使用的 數(shù)學(xué)思想方法 總結(jié)本題的思考方法， 對行程問題的 關(guān)節(jié)點進行反思， 尤其是弄清在行駛變化過程中，哪些是變化的，那些是不變的。每一道小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教育價值， 在于能將情景“數(shù)學(xué)化”；即將文字的表述， 轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號或圖像的表示； 將蘊藏在情景內(nèi)的數(shù)量關(guān)系列為算式；用數(shù)學(xué)演算求得算式的答案，最終通過檢驗肯定“解答”的適切性。這些數(shù)學(xué)活動， 為日后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的 “數(shù)學(xué)建模”，做好必要的準備 。因此，可以說，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)， 乃是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建?！钡幕A(chǔ)。三、 “問題解決”與應(yīng)用題教學(xué)改革1960年代的美國新數(shù)學(xué)運動，到1970年代歸于失敗。當時

11、提出的 口號叫做“回到基礎(chǔ)”。 又過了10年，美國數(shù)學(xué)教育界覺得僅僅強調(diào)“打基礎(chǔ)”是不夠的，因而在1980年提出了“問題解決”的口號，意在提倡“探究”性的思考，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的能力。2008年， 美國總統(tǒng)授命組成的 “數(shù)學(xué)咨詢委員會”， 又提出“成功需要基礎(chǔ)（foundations for success）”的口號。這是美國式的“折騰”。 因此，“問題解決”， 是一個時期數(shù)學(xué)教育的導(dǎo)向性口號，并非針對應(yīng)用題改革而提出。說起來很簡單，所謂“問題解決”， 專指解決“非常規(guī)問題”。 目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新精神。在學(xué)生的認知水平上， 要解決非常規(guī)問題，沒有現(xiàn)成數(shù)學(xué)問題求解模式可以模仿，需

12、要獨立思考， 通過自己的探索獲得解決問題的途徑。這是具有一定創(chuàng)新意義的數(shù)學(xué)思維過程。但是，問題解決并不神秘。實際上，數(shù)學(xué)是問題驅(qū)動的， 問題是數(shù)學(xué)的心臟，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本組成部分，學(xué)生要解題練習(xí)， 考試用考題呈現(xiàn)，這些本來都是常識。常規(guī)問題也是重要的。沒有常規(guī)， 哪里來非常規(guī)？不會解常規(guī)題， 怎會解非常規(guī)題？ 為了打基礎(chǔ)， 不得不多次重復(fù)一些看起來簡單的問題。所有的學(xué)問都有基本功。 例如學(xué)英文， 要背單詞；彈鋼琴， 要先學(xué)練習(xí)曲；學(xué)舞蹈，要練功； 要當兵， 先得會立正、稍息、走步。 輕視常規(guī)問題， 想一步登天，是不切實際的幻想。 求解常規(guī)問題和非常規(guī)問題， 要同樣重視。 以為解常規(guī)題的

13、教學(xué)可以不必花力氣的想法是不對的。 下面， 用數(shù)學(xué)問題解決的觀念， 來分析我國的應(yīng)用題教學(xué)。我國在常規(guī)應(yīng)用題的教學(xué)上， 成績很好。 例如用分數(shù)求解一些現(xiàn)實生活中“平均分配物品”的問題，加減乘除四則運算的一步或兩步應(yīng)用題， 掌握得很不錯。但是， 在提出問題， 發(fā)展問題， 靈活地處理應(yīng)用性問題上面， 比起歐美諸國的教學(xué)， 有一些弱點【2】。在非常規(guī)的應(yīng)用問題教學(xué)上，我國積累了一些按照問題情景分類的教學(xué)經(jīng)驗。例如行程問題、工程問題等等， 有專門的訓(xùn)練， 基本面也是好的。 但是， 總體上較窄、較難， 較偏。 總之，“問題解決”作為一種數(shù)學(xué)教育理念， 有助于應(yīng)用題教學(xué)的改革。 但是， 用“問題解決”取代

14、“應(yīng)用題教學(xué)”， 就會失于偏頗。 正如， 學(xué)習(xí)了分數(shù)， 有助于理解自然數(shù)。 但是不能用分數(shù)教學(xué)取代自然數(shù)教學(xué)， 道理是 一樣的。在 “問題解決”口號的 推動下，國外有許多好的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。例如，弗賴登塔爾就有一個經(jīng)典的“巨人手印問題”：“昨夜外星人訪問我校， 留下了一個巨大的手印， 今夜他還要來，試問： 我們給他坐的椅子應(yīng)該有多高？他用的新鉛筆應(yīng)該要多長？ 這個題目好懂、有趣自不必言， 尤其是體現(xiàn)比例的思想， 通過測量兩只手大小的比值， 將比值用于設(shè)計椅子高度和鉛筆長度， 這是比、比例、相似等數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)。問題要求學(xué)生進行操作， 測量， 更是一個絕好的數(shù)學(xué)活動。這樣的問題， 我們還設(shè)計得太少。

15、 僅僅停留在行程問題等類別上， 我們的應(yīng)用題范圍就太窄了。新的課程標準實施以來， 在這方面有許多改進， 應(yīng)該繼續(xù)努力。下文還會涉及。四、應(yīng)用題要有類型， 但是不要“類型化”小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題可以有三種分類。1. 按數(shù)學(xué)模型分類； 隨機模型， 統(tǒng)計模型；四則運算模型； 分數(shù)、小數(shù)模型，一元一次方程模型；二元一次整數(shù)方程模型等等。2. 按情景熟悉程度分類。 如日常生活情景模型， 模擬現(xiàn)實情景模型，科學(xué)技術(shù)模型等等3. 按特定情境的數(shù)量關(guān)系分類。如行程問題， 工程問題， 流水問題，折扣問題等等，第一、第二兩種分類待后文涉及。這一段， 我們只討論第三種分類。長期以來，為了強調(diào)某種數(shù)量關(guān)系的理解，我們常常強

16、化某種類型問題的解題方法。行程問題，工程問題等等，弄得非常復(fù)雜，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個重點和難點， 也一直為大家所詬病。近年來， 則索性一刀砍掉，全盤否定。不過，進行這樣的分類是正?，F(xiàn)象。 在微積分課程里要討論瞬時速度問題， 切線問題， 曲邊梯形問題； 微分方程課程里有熱傳導(dǎo)方程， 電磁波方程； 中學(xué)數(shù)學(xué)也要研究拋物問題、等周問題，投影問題， 擲骰子問題等。 將一類情景中發(fā)生的問題給以特殊的名稱。 未嘗不可。 但是， 作為一個研究領(lǐng)域來說，上述的問題， 都只是一個名詞， 便于稱呼而已， 并非一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域。比如行程問題， 盡管題目花樣翻新， 也可以出得很難，但不過就是 s = vt 這樣的數(shù)量關(guān)系

17、的各種不同的變式而已。宏觀地看， 沒有單獨設(shè)立一個數(shù)學(xué)課題的必要。淡化這樣的分類， 是必然的趨勢。但是也不能走向另一個極端：不講類型。有的地方不準叫“應(yīng)用題”， 今天學(xué)“鉛筆有幾枝”，明天學(xué)“燕子飛走了”， 不做一些基本的分類和概括， 實際上是作繭自縛， 矯枉過正的表現(xiàn)。實行社會主義市場經(jīng)濟模式是中國的國策， 讓孩子們了解經(jīng)濟學(xué)的一些初級術(shù)語和規(guī)律，是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的有機組成部分。諸如什么是利息、利潤、速度、效率等概念，是小學(xué)數(shù)學(xué)的任務(wù)，責(zé)無旁貸。無論如何， 以下的7種類型是必須進行正面提出，讓學(xué)生認真學(xué)習(xí)的 r. mayer: frequency norms and structural an

18、alysis of algebra story problems into families, categories and templates. <instructional sciences>. 1981. 10. 135-175. 轉(zhuǎn)引自郭兆明等：代數(shù)應(yīng)用題涂飾研究概述。 數(shù)學(xué)教育學(xué)報2007年第四期。行程問題 路程 = 速度×時間工程問題 工作量 = 工作時間× 工作效率價格問題 總價格 = 單價 × 數(shù)量利息問題 利息 = 本金 × 利率利潤問題 利潤 = 成本 × 利潤率折扣問題 金額 = 價格 × 折扣率百分

19、數(shù)問題 數(shù)量 = 總量 × 百分比我們的小學(xué)應(yīng)用題， 必須講解這些類型。 這些概念，是生活需要的常識， 又是語文、社會等其他學(xué)科不會詳細涉及的。 一種異化的做法是，按照問題情景，把應(yīng)用題類型固化， 專對一類情景歸納公式， 而且憑強記、快做爭取考試成績， 就把路走歪了。例如，當學(xué)習(xí)完“梨樹有20棵，蘋果樹比梨樹多8棵，蘋果樹有多少棵？”，老師強調(diào)：看到“多”就想到“加”，于是，當學(xué)生看到“梨樹有20棵，比蘋果樹多8棵，蘋果樹有多少棵？”學(xué)生總是先想到“加法”，結(jié)果錯了。當學(xué)習(xí)完“科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本”，老師強調(diào)：看到“倍”想到“乘”，看到“多”想

20、到“加”。于是，當學(xué)生看到“科技書有20本，比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本”時，學(xué)生總是先想到用“乘加”，結(jié)果又錯了。以上是簡單的錯誤，都來自固化數(shù)學(xué)的某種模型。講死了，思維變得機械了。要類型， 但是不要“類型化”。這就是我們的結(jié)論。五、關(guān)于應(yīng)用題教學(xué)與聯(lián)系學(xué)生生活實際 顧名思義，數(shù)學(xué)應(yīng)用題要有用， 自然要聯(lián)系實際情境。能把學(xué)生自己的生活體驗融進數(shù)學(xué)課堂， 是大家的共同追求。問題在于，學(xué)生的生活情境畢竟是有限的。應(yīng)用題中能夠直接和學(xué)生的生活相聯(lián)系的只能是少數(shù)。 應(yīng)用題教學(xué)中， 大量使用的是科學(xué)模型，例如，行程問題中速度、時間路程之間的關(guān)系， 乃是物體運動的物理模型。另一種是模擬現(xiàn)實模型

21、。比如雞兔同籠問題， 完全是一種假想的模擬情景。兒童有豐富的想象力，模擬情景往往比真實情景更真切。一個不爭的事實是， 現(xiàn)在的孩子愛看動畫片， 那里出現(xiàn)的都是模擬的假想的情景?！皩O悟空”、“大灰狼”、“圣誕老人”、“白雪公主”等等都是虛擬的。數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，著名的雞兔同籠問題就是虛擬情境，比有些矯揉造作的 “現(xiàn)實情境”要高明得多。記得1930年代， 任何小學(xué)數(shù)學(xué)教材里都有和尚饅頭問題：“一共有100個和尚和100個饅頭。 大和尚一人吃三個饅頭， 小和尚三個人吃一個饅頭， 問各有大小和尚幾人”。這是很有童趣的問題，現(xiàn)在卻不見了。 很是遺憾。相聲演員把小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)現(xiàn)狀編成段子：有一個水池，打開進

22、水管注滿水池要3小時，打開出水管放出整池水要2小時，現(xiàn)在同時打開進水管和出水管，要多少時間才能把一池水放完？日常生活中那會同時打開出水管和進水管（除非忘記了），相聲諷刺就是這種情形。但是作為一種數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實生活中還是相當多的，如：飛機的能源消耗與補充、排隊進場與出場、草場里草的生長與割去、人體的新陳代謝、社會人口的增減、湖泊的污染與治理，家庭的收入與支出等等，這些現(xiàn)象都是正、反兩個方面同時進行著的，都類似于水池同時進水與出水的情景。 這種數(shù)學(xué)模型反映了一種動態(tài)平衡的問題。 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，能夠和學(xué)生生活情境相聯(lián)系的多半涉及 “買賣關(guān)系”。我們應(yīng)該充分利用。 此外， 也應(yīng)努力開辟一些小學(xué)生喜

23、聞樂見的現(xiàn)實情景，本文的最后部分將介紹一些國內(nèi)外的一些優(yōu)秀實例。六、小學(xué)數(shù)學(xué)中的算術(shù)模型與代數(shù)模型 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解， 可以用算術(shù)方法和代數(shù)方法分別建立問題的算術(shù)模型和代數(shù)模型。從算術(shù)向代數(shù)過渡，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段算術(shù)中的基本對象是數(shù)，包括數(shù)的表示、數(shù)的意義、數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的運算等。算術(shù)模型是一串“數(shù)字”的運算流程。代數(shù)中的基本對象除了數(shù)，還出現(xiàn)了更具廣泛意義的基本對象：符號。代數(shù)模型是方程或函數(shù)， 包含未知數(shù)符號的等式關(guān)系。 代數(shù)建模的核心思想是“文字參與運算”。 一個習(xí)慣的說法是：“代數(shù)就是用文字代表數(shù)”。 其實不然。 小學(xué)里講乘法的交換律， 就寫了ab =ba,

24、 這里， 用a,b代表任意的自然數(shù)， 可是和代數(shù)無關(guān)。代數(shù)的實質(zhì)是用文字代表未知數(shù)，而且由文字代表的“未知數(shù)”和已知數(shù)可以進行運算，即進行“式”的運算。學(xué)生從“數(shù)的運算”過渡到“式的運算”， 好象人發(fā)明了汽車那樣，運行速度大幅提高。 代數(shù)運算的通性通法， 取得了極高的思維效率。但是， 人不能每時每刻都在坐車， 走路仍然是必須的、 基本的。這就是說，算術(shù)方法依然有其重要的存在價值。1. 算術(shù)建模與代數(shù)建模的區(qū)別在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，用列方程的方法解應(yīng)用題和用算術(shù)方法解應(yīng)用題，都以四則運算和常見的數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，都需要分析題里的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)四則運算的意義解答，這是它們的共同之處。但用代數(shù)的方法解決問

25、題和用算術(shù)的方法是不同的建模過程。讓我們看下面的例子：例1 用100元錢買8元一本的書和4元一本的書共17本，你知道兩種書各有多少本嗎？（1）利用算術(shù)的方法：解法一：(8×17100)÷(84)=36÷4=9，17-9=8解法二：(1004×17)÷(8-4)=32÷4=8，17-8=9解法三：若100元錢都買4元一本的書，可以買100÷4=25（本）少買2本4元的書，就可以買一本8元的書，因此可以列出如表1所示的數(shù)目與價值關(guān)系表只有買4元的書9本，8元的書8本才合題意（2）利用代數(shù)的方法，可以設(shè)買8元一本的書x本，4元一本

26、的書y本，列方程組利用消元法，解得x=8，y=9這兩種方法是有區(qū)別的：（1）用算術(shù)的方法尋求問題的結(jié)果，是從具體問題的已知數(shù)出發(fā)，通過對已知數(shù)或計算產(chǎn)生的中間數(shù)進行一系列的計算而達到問題的解，并不將問題形式化這里，“=”用來表示計算結(jié)果利用算術(shù)的方法，思考的過程往往是從已知數(shù)出發(fā)，最后達到未知數(shù)。算術(shù)方法建立在數(shù)的運算之上。（2）用方程的方法，則是從設(shè)立未知數(shù)出發(fā)， 根據(jù)未知數(shù)所應(yīng)滿足的條件，把問題表示為含有未知量的等式關(guān)系（建立數(shù)學(xué)模型）。然后利用等式的性質(zhì)對方程進行恒等變形，在變化的過程中始終保持方程兩端對稱的等量關(guān)系，利用程序化的方法求得x=8從表示等量關(guān)系、保持等量關(guān)系，到求得方程的解

27、，體現(xiàn)了方程的結(jié)構(gòu)特點用方程的方法解決問題，建立在“式”的運算之上。打個比方， 如果未知數(shù)在對岸， 那么算術(shù)方法， 好象摸著石頭過河找到未知數(shù)， 代數(shù)方法好象用繩索將對岸的未知數(shù)捆好拉過河來， 二者的思考方向剛好相反。（3）從解決問題方法多樣性的角度來看，算術(shù)的方法、列表的方法都不失為解決問題的途徑但是從思維發(fā)展的角度來說，代數(shù)的思考是在抽象層面上的思考，代數(shù)的方法具有一般性，是通性通法，屬于較高層次的思維按照維果茨基（vygotsky，1962）的說法，代數(shù)對算術(shù)就像書面語言對口頭語言因此，我們的教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從算術(shù)的思考逐步地過渡到代數(shù)的思考，逐步地從非形式化的水平上升到形式化的水平。2

28、 算術(shù)方法在應(yīng)用題求解中的獨特作用在面對現(xiàn)實問題時， 我們首先使用算術(shù)方法思維。 簡單的問題用算術(shù)模型就解決了。 例如我們到商場購物，自然用算術(shù)方法計算付款找零。這是一切數(shù)學(xué)問題求解的基礎(chǔ)。 對于比較復(fù)雜的應(yīng)用性問題，代數(shù)方法開始顯示優(yōu)勢， 但是算術(shù)方法在訓(xùn)練學(xué)生獨特思維，承擔(dān)分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)方法上，其作用仍然不可替代。以大家熟悉的我國古代數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”為例來說明?！敖裼须u兔同籠，上有35頭，下有94腳，問雞兔各幾何?”這一問題的代數(shù)模型是解二元一次聯(lián)立方程。 小學(xué)生不可能用這樣高年級才能掌握數(shù)學(xué)知識來解題。 即使成人已經(jīng)掌握了求解聯(lián)立方程的知識和技能， 也喜歡用算術(shù)模型來求解。國內(nèi)外

29、許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家對中國的古算題雞兔同籠問題情有獨鐘。波利亞在其名著數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)中寫道：“雞兔同籠問題曾在好幾個世紀里引起了人們的興趣，今天它還會引起一些聰明小朋友的興趣”他列舉了雞兔同籠問題的四種解法，并特別欣賞“金雞獨立”這一解法。金雞獨立解法的思路是，如果籠中的雞全部獨立單腳著地，做“金雞獨立”狀，而這時籠中所有兔也學(xué)雞立起前兩腳而只有后兩腳著地，那么這時，地上的腳比原先少了一半，只有47只，35個頭。為什么有47只腳在地上呢?一只雞對著一只腳著地，而這時一只兔卻對著兩只腳著地。每多一只腳，說明就有一只兔。原來有(4735=)12只兔，雞就有(3512)23只了。有種設(shè)想是， 完全拋棄

30、算術(shù)方法解應(yīng)用題，一開始就向小學(xué)生介紹方程解法。 事實證明，這樣學(xué)習(xí)的代數(shù)將成無源之水！正如雙腳走路是基礎(chǔ)， 駕駛汽車不能取代走路。 你總不能把車停在床邊。 你總要走到車庫里去嘛！實際上，列方程時的數(shù)學(xué)思維， 主要還是用的算術(shù)方法。沒有算術(shù)的第一步， 就難有代數(shù)的第二步。如果使得算術(shù)與代數(shù)完全脫離，使得學(xué)生沒有對比，看不出算術(shù)的缺點和代數(shù)的優(yōu)點，體會不到代數(shù)方法的優(yōu)越性，那么代數(shù)也是很難學(xué)好的。七、 小學(xué)數(shù)學(xué)里的三種基本代數(shù)模型 小學(xué)里的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本質(zhì)， 在于建立一類特殊的數(shù)量關(guān)系。 體現(xiàn)這些數(shù)量關(guān)系的模型， 是許多彼此類似的現(xiàn)實問題或者具體問題的數(shù)量概括。 小學(xué)里的數(shù)學(xué)知識有限， 沒有乘方

31、、開方， 指數(shù)、對數(shù)、 三角比等概念。因此，從代數(shù)和函數(shù)的觀點來看， 所涉及的數(shù)學(xué)模型都是“線性關(guān)系”， 和“反比關(guān)系”。 即問題中的未知量或者自變量x都是一次的，或者是線性的正比例關(guān)系， 或者自變量x出現(xiàn)在分母上， 呈現(xiàn)反比例關(guān)系。歸納起來，小學(xué)應(yīng)用題的代數(shù)型的數(shù)學(xué)模型，主要有以下三種。1 線性組合式。 ax + by = c, 其中5 個不同的量，有些已知， 有些未知， 通過各種不同的組合形成具體問題的數(shù)學(xué)模型。2 一次函數(shù)式。 s = vt 這是反映速度、時間、距離關(guān)系的行程問題， 單位產(chǎn)量、時間數(shù)、總產(chǎn)量之間關(guān)系問題等的模型。當未知數(shù)于分母地位，y = a/x , 時引發(fā)的數(shù)量關(guān)系，是

32、線性函數(shù)式的反用。 3 倍數(shù)比例式。數(shù)目的擴大縮小，本質(zhì)上是乘除關(guān)系， 但是以正反比例的方式呈現(xiàn)， 如工程問題等。各種小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題所使用的數(shù)量關(guān)系， 無非是這些關(guān)系的特殊形式， 以及各種基本關(guān)系的組合和變式。 （一） 線性組合式的模型 形如 ax +by =c 的模型， 運用很廣泛。我們分成幾個層次來認識。 1 作出乘積ax 的歸一模型看以下的三個例子：（1）一輛客車2小時行駛180千米，照這樣計算，5小時行駛多少千米？（2）3瓶飲料27元，5瓶這樣的飲料要多少元？（3）旅游紀念品廠3小時生產(chǎn)60個產(chǎn)品，照這樣計算，8小時可以生產(chǎn)多少個產(chǎn)品？此例通過先后安排三個不同問題的解決，試圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)

33、現(xiàn)各個問題之間的異同，不同的數(shù)量關(guān)系，（分別從單價數(shù)量總價、速度時間路程和工作效率工作時間工作總量來描述）卻有相同的問題結(jié)構(gòu)，有同樣的問題解決的策略，都要先求出單一量，再根據(jù)數(shù)量求出相應(yīng)的總量，也就是初步構(gòu)造一個“歸一”的模型。 這三個問題的模型都是作乘積 ax ， 問題在于a怎樣確定。 三個問題的答案分別是 180/2； 27/3； 60/3。 小學(xué)生不知道“單位”時間， 單位產(chǎn)量， 單位工時的概念， 所以覺得困難。我們就要給予單獨的 “歸一”訓(xùn)練，掌握這一乘積的取得方法。應(yīng)用題分散教學(xué)必須有些小集中。復(fù)雜的歸一方法， 也用于非常規(guī)數(shù)學(xué)問題， 屬于“問題解決”的范圍。 但其模型， 仍是線性組

34、合。問題1：小瓶飲料90克，倒進空瓶占3格。大瓶飲料300克，倒進空瓶（8格）裝得下嗎？ （每一格質(zhì)量相等）學(xué)生思考后，出現(xiàn)了不同的解答方法： 生1：90÷3×8240（克），240<300；裝不下。生2：300÷（90÷3）10（格），10>8；裝不下。生3：300÷903（倍）30（克）；3×39（格），9>8；裝不下。教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)解決方法的共同點：通過不同的方法，得到了相同的結(jié)果，雖然方法不同，但都是先求出每格裝多少？也就是都是應(yīng)用了歸一的模型方法。即便是：最后一種方法沒有求出一格是多少，但實質(zhì)上思考過程中學(xué)生

35、把三格當作一份來思考了。某種意義上來說也是“歸一”。問題2：組織課外實踐活動：怎樣能知道打開一個水龍頭1個小時會流出多少水？教師引導(dǎo)：總不能在家里放1小時水然后進行測量吧，有學(xué)生迫不及待：開1秒鐘就夠了。生補充：那么快，來得及嗎？生：先放1分鐘，然后測量出有多少克水，然后再求出1小時的水量；生：15秒也可以，先求出每秒鐘放多少克水，或者乘4先求出1分鐘的水量，然后求出1小時的水量；生：我們家附近有游泳池，他們本來就要放水的，并且一次可能有很多水籠頭開著，還要放幾小時呢，我去問一下，如果知道2小時放多少，那也能知道1小時的水量。學(xué)生在解決問題的過程中，對于歸一的理解就比較靈活了。根據(jù)實際情況1可

36、能是1秒，是1分，是1時，也可能是15秒不變的是歸一模型。2 兩積之和的模型 小學(xué)數(shù)學(xué)里， 大量出現(xiàn) ax + by 的模型。 到商場購物， 買兩樣?xùn)|西， 單價為 x,y. 數(shù)量分別是 a,b 那么總付款數(shù)就是ax + by。 雞兔同籠里的代數(shù)關(guān)系也是 （x,y分別是雞數(shù)和兔數(shù)） 2 x + 4y = 總腳數(shù) x+y = 總頭數(shù) 在高等數(shù)學(xué)中， 向量的數(shù)量積也是這樣的形式。3兩商之差的模型（1）甲車4小時行駛600千米，乙車5小時行駛500千米，甲車每小時比乙車多行駛多少千米？（600÷4500÷5）（2）玩具加工車間工作時間5小時，甲車間生產(chǎn)了300個玩具，乙車間生產(chǎn)了2

37、80個玩具，甲車間每小時比乙車間要多多少個玩具？（300÷5280÷5）（3）有一個皮鞋店，原來計劃12天生產(chǎn)120雙皮鞋，實際10天完成，實際每天比計劃多多少雙？（120÷10120÷12）（4）有一個煤礦，原來計劃上半年66萬噸，實際每個月比計劃多2.2萬噸，實際多少月完成？（66÷x66÷62.2）（5）有一筆錢，可以買奶糖5千克，如果買單價貴2元的棒棒糖就要少買1千克，這筆錢有多少元？ 當看到這些應(yīng)用問題的時候，要求學(xué)生能夠去除一些非本質(zhì)的屬性，觸及數(shù)量之間的基本結(jié)構(gòu)：兩商之差。無論是速度、單價、還是工作效率，上述三個問題在代

38、數(shù)思維的訓(xùn)練基礎(chǔ)上，其數(shù)學(xué)模型都是a÷bc÷df。兩商之差的模型， 從數(shù)學(xué)上看， 依然是線性組合的樣式（系數(shù)是分數(shù)）， 只不過求單位時用除法，比較大小時用減法而已。 （二） 一次函數(shù)式的數(shù)學(xué)模型 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最令人頭疼的是行程問題。 但是行程問題的數(shù)學(xué)模型無非是 s = v t這樣的函數(shù)關(guān)系， 以及它們的組合。以下是一個比較復(fù)雜的行程問題。 例 甲乙兩車同時分別從東西兩站出發(fā)對開在相距中點6千米處相遇，巳知乙車速度是甲車速度的56求兩站相距多少千米?這道應(yīng)用題既沒有給出其中一車的具體速度也沒有給出兩車的運行時間，題中給出的兩個條件似乎沒有什么關(guān)系。 但是，用s =vt的

39、模型表示甲乙兩車， 就可以看得比較清楚：甲車 s1 = v1 t1;乙車：s2 = v2 t2 ；在相遇處， t1 = t2 ， 所以s2/ s1= v2 / v1 = 5/6。 （*）但是 相距中點處相遇， 意味著甲車比乙車多走了6千米的2 倍（即 12 千米）， 于是s1 - s2 = 12 。將（*）代入得 s1 ·1- （5/6）= 12， 求得， s1 = 72，s2 = 60。 兩站距離為 132 千米。這種代數(shù)方法的建模， 是一種普遍適用的通性通法?，F(xiàn)在再來看這種代數(shù)模型的算術(shù)解法的步驟。1 根據(jù)乙車速度是甲車速度的56，那么兩車從開始行駛到相遇時行駛的時間相同，所以它

40、們行駛的速度比就是行駛的路程比(將乙車速度是甲車速度的56轉(zhuǎn)化為5：6)；2 這樣可知甲乙相遇時，甲車行駛了全程的611，而乙車行駛了全程的511由此可知甲車比乙車多行駛了全程的(6115l1)題中相遇點距中點6千米，實際上就是甲車比乙車多行駛了(6x2)千米，如下圖可清楚的表達出來3列式為（6×2）÷（ = 132千米。對于算術(shù)解法，畫線段圖可以把問題的內(nèi)容具體化、形象化，對我們理解題意，明確數(shù)量關(guān)系，理清解題思路，十分有益。 如果比較這兩種方法， 自然是代數(shù)方法比較自然，容易理解。因此， 代數(shù)方法逐漸滲入小學(xué)， 是不可阻擋的趨勢。 以小學(xué)6年級學(xué)生的認知水平， 少量的符

41、號運算是不難理解的。 當然， 把圖畫出來， 再用代數(shù)方法解， 將會更加有效。 （三） 倍數(shù)比例式模型 小學(xué)數(shù)學(xué)的乘法和除法， 其實就是倍數(shù)的問題， 乘大于1正整數(shù)是放大， 除大于1的正整數(shù)是縮小。 乘一個正分數(shù)， 就是放大“分子”倍， 縮小“分母”倍。比例式 a/b = c/d 是普遍出現(xiàn)的形式。例1 一個工程， 甲隊工作 5天完成， 若由乙隊工作， 7天完成， 若甲乙兩隊一起工作， 幾天完成？ 這是典型的工程問題。算術(shù)解法是先用歸一法， 得到甲乙兩隊每天分別完成 1/5和1/7。 若一起合作。 每天完成（1/5+ 1/7）， 于是答案是 1 ÷ （1/5 + 1/7） = 12/3

42、5 天完成。 代數(shù)模型是: 設(shè)x是合作完成天數(shù)， 則有 （1/5）x + (1/7) x = 1, 于是 x = 12/35. 兩種解法的思路相同，難易相仿。代數(shù)模型還是線性組合式， 不過用了分數(shù)。 以下的例子則要使用比例。例2 :某班上午缺席人數(shù)是出席人數(shù)的1/7,下午因又有一人請假，故缺席人數(shù)是出席人數(shù)的1/6，此班有多少人？這一問題的代數(shù)模型是: 設(shè)x、 y 分別是上午缺席人數(shù)和出席人數(shù)， 那么我們有： x/y = 1/7， (x+1)/ (y-1) = 1/6，用y =7x 代入得 7x 1 = 6x +6， 知道 x =7, 于是 x + y = 56。我們再看算術(shù)解法。分析：因為上

43、下午出席人數(shù)起變化，解題遇到困難，對兩個關(guān)系作恒等變形：上午缺席人數(shù)是全班人數(shù)的1/（71）=1/8,下午缺席人數(shù)是全班人數(shù)的1/（61）=1/7,這樣，就能很快發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)關(guān)系：1/7和1/8的差是由于請假一人造成的，故全班人數(shù)為1÷(1/7-1/8)=56（人）。這里的算術(shù)解法的特殊性和技巧性都太強， 超出一般小學(xué)生的思維能力。簡單的分數(shù)模型或者是簡單的比例模型，也可能演繹出一些有挑戰(zhàn)性的問題。例3 俄羅斯的古代名題：一個雇工每年的工錢是12盧布加上1件長袍，再工作7個月后，他離開的時候雇主恰好付給他1件長袍和5件盧布，這件長袍的價格是多少？（12x）×7/125x，實質(zhì)

44、就是分數(shù)模型或者比例模型的變式。從某種角度看來，如果用數(shù)學(xué)模型的方法來解決這些問題，自然也就不難了。此外， 還有一些特殊的數(shù)學(xué)模型。例：某小組有8個同學(xué)，放假時一一握手告別，每兩人都握手一次，而且只握手一次，問共握手多少次手？符合等差數(shù)列的模型，因此可以用相應(yīng)的方法求出結(jié)果：765128次。八、 一些優(yōu)秀的新型的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題這里， 我們介紹一些國內(nèi)外一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的設(shè)計。例1 freudenthal經(jīng)典情景：巨人的手（通過“量”掌握比例的數(shù)學(xué)本質(zhì)）黑板上留下巨人的手印， 請你為巨人設(shè)計巨人使用的書籍、桌子和椅子的尺寸。 活動設(shè)計： 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值”

45、3。 量自己的書、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大 過去總是用“照片放大”、“地圖比例尺”等靜態(tài)的 觀察理解“比例”。 這里的 實例， 則用學(xué)生自己的活動， 獲得比例的 真實感受。 不過，“外星人”依然是 虛擬的存在。 例2 （荷蘭）甲離學(xué)校10公里， 乙離甲3公里， 問乙離學(xué)校幾公里？本題訓(xùn)練學(xué)生的表示能力。首先要問，甲、乙、學(xué)校在一條直線上？如果在一條直線上， 答案有兩個。 如果不在一條直線上， 答案無限多， 但都位于一個圓上。 例3 （日本）設(shè)計一花壇， 使它的面積為矩形場地的一半。要求美觀。這是數(shù)學(xué)和藝術(shù)相結(jié)合的開放題。 開放度極大。1993年， 國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)組織（pme）在日本

46、舉行時，日本的一堂公開課上的就是這內(nèi)容。日本學(xué)生當堂有13種解答。此題可以用作考題。 例如，給出不同的5種設(shè)計， 每種2分。例4 身份證、書號、超市商品號的最后一位是檢驗碼（可以算出來）。 現(xiàn)在是 數(shù)碼時代。 學(xué)生生活實際中包括“數(shù)碼”分析。以下是身份證第18位檢驗碼的計算方法。ai:表示第i位置上的身份證號碼數(shù)字值wi:表示第i位置上的加權(quán)因子十七位數(shù)字本體碼加權(quán)求和公式（1）s = sum(ai * wi), i = 0, . , 16 ，先對前17位數(shù)字的權(quán)求和 wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 （2）計算用11除所得余數(shù)y： y = mod

47、(s, 11) （3）通過模得到對應(yīng)的校驗碼y:012345678910校驗碼10x98765431 舉例如下：北京市朝陽區(qū): 11010519491231002x7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167. 167除以11， 余2， 對應(yīng) x。例5 （美國）瓷磚數(shù)。這是美國2000年數(shù)學(xué)課程標準中的一個題目。已經(jīng)知道游泳池內(nèi)部的長度l和寬度w （都是自然數(shù)）， 用邊長為1的瓷磚圍成邊， 需要都少塊瓷磚？ 例6 算法設(shè)計。有一隊士兵要過河，但當時只有一條小船，上面有兩個小孩。小船至多可以載一個士兵或者兩個小孩請問這隊士兵依照何種程序才能渡過此河?可以用流程圖加以表示：那么如何在計算機上實施這一算法呢？那就需要設(shè)計程序語言，上面的士兵過河問題，就需要機械地循環(huán)操作。新課程信息課程標準要求小學(xué)高年級要學(xué)生了解賦值、條件、循環(huán)等三種語句，并盡可能在計算機上進行實際操作，親身體驗由人指揮機器的效果。在信息時代，這是一種人人都需要具備的科學(xué)素養(yǎng)。例7 鐘面問題（浙江）。鐘面數(shù)字問題：鐘面上有12個數(shù)，請在某些數(shù)的前面添上加號或減號，使鐘面上所有數(shù)之和等于零。由于1231278，因此本題相當于“將1，2，3，12這十二個數(shù)分成兩