人教版第十三章軸對稱__(2)垂直平分線__課件_(修正)

1、垂直平分線垂直平分線本節(jié)課目標(biāo)本節(jié)課目標(biāo)概念復(fù)習(xí)概念復(fù)習(xí)軸對稱圖形的概念是什么？軸對稱圖形的概念是什么？兩個圖形軸對稱的概念是什么？兩個圖形軸對稱的概念是什么？ 線段的垂直平分線的概念；線段的垂直平分線的概念； 軸對稱的性質(zhì)軸對稱的性質(zhì)ACBABCNM思考：如圖，思考：如圖，ABC與與ABC關(guān)于直線關(guān)于直線MN對稱，點對稱，點A，B，C分別為點分別為點ABC的對的對稱點，線段稱點，線段AA，BB，CC與直線與直線MN有什有什么關(guān)系？么關(guān)系？PMPA=MPA=90AP=PA對稱軸所在直對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點線經(jīng)過對稱點所連線段的中所連線段的中點，并且垂直點，并且垂直于這條線段于這條線段經(jīng)過線段

2、經(jīng)過線段中點中點并且并且垂直垂直于這條線段的于這條線段的直線，叫做這條線段的直線，叫做這條線段的垂直垂直平分平分線線ACBABCNM如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線l lA AA A軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線連線段的垂直平分線ABP3P2P1l l 如左圖，木條如左圖，木條L與木條與木條AB釘在一起，釘在一起，L垂直于垂直于AB，P1、P2、P3是是l 的點，分別量一量點的點，分別量一量點P1、P2、P3到與

3、到與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 猜想：猜想： 線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等點到這條線段兩個端點距離相等. .已知已知: :如圖如圖,AC=BC,MNAB,P,AC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一點上任意一點. .求證求證:PA=PB.:PA=PB.ACBPMNACBPMN已知已知: :如圖如圖,AC=BC,MNAB,P,AC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一點上任意一點. .求證求證:PA=PB.:PA=PB.證明：證明：MNAB， PCA=PCB=90在在APC與與BPC中中PC=PC（公共邊）（公共邊）PCA=PCB（已

4、證）（已證）AC=BC（已知）（已知） PCA PCB(SAS) ； PA=PB(全等三角形的對應(yīng)全等三角形的對應(yīng)邊相等邊相等)這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一. .線段垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)的性質(zhì)：線段垂：線段垂直平分線上的點直平分線上的點到這條線段兩個到這條線段兩個端點距離相等端點距離相等. .wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一點上任意一點( (已知已知),),wPA=PB(PA=PB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等端點距離相等).). 如果

5、有一個點到線段兩個端點的如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上垂直平分線上即到線段兩個端點的距離相等的點在即到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上這條線段的垂直平分線上 如果把這個命題反過來說，還成立嗎？如果把這個命題反過來說，還成立嗎？你能證明這個結(jié)論嗎？你能證明這個結(jié)論嗎？ 已知：線段已知：線段AB，點，點P是平面內(nèi)一點且是平面內(nèi)一點且PA=PB求證：求證：P點在點在AB的的垂直平分線上垂直平分線上證明：過點證明：過點P作已知線段作已知線段AB的垂的垂線線PC，PCA=PCB=90在在RtPAC和和RtPBC中

6、中 PA=PB， PC=PC（公共邊），（公共邊），RtPAC RtPBC(HL)CBPA AC=BC（全等三角（全等三角形對應(yīng)角相等）形對應(yīng)角相等）即，即，P點在點在AB的垂直平的垂直平分線上分線上證法二：證法二：取取AB的中點的中點C，連接，連接P,C 在在APC與與BPC中中 AP=BP PC=PC AC=CB APC BPC(SSS)BPA已知：線段已知：線段AB，點，點P是平面內(nèi)一點是平面內(nèi)一點且且PA=PB求證：求證：P點在點在AB的垂直平分線上的垂直平分線上CPCA=PCB(全等三角全等三角形的對應(yīng)角相等形的對應(yīng)角相等)又又PCA+PCB=180 PCA=PCB=90即即PCAB

7、 P點在點在AB的垂直平分線上的垂直平分線上線段垂直平分線的判定：線段垂直平分線的判定： 定理：定理：到線段兩個端點的距離相到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上等的點在這條線段的垂直平分線上PA=PB(已知已知),點點P在在AB的垂直平分線上的垂直平分線上(到一條線段到一條線段兩個端點距離相等的點兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂在這條線段的垂直平分線上直平分線上). 所以線段所以線段AB的的可以看成與線段可以看成與線段兩點兩點A、B距離相等距離相等ABP3P2P1l l線段的垂直平分線線段的垂直平分線例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于

8、的垂直平分線交于P.求證：求證：PA=PB=PC;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC點P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上分析：例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分的垂直平分 線交于線交于P.求證：求證：PA=PB=PC;證明：證明：點點P在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線MN上，上，PA=PB（？）（？）.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMNP 泰安市政府為了方便居民的生活，計劃泰安市政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購之間修建一個購物中心，試問，該購物中心

9、應(yīng)建于何處，物中心，試問，該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等。才能使得它到三個小區(qū)的距離相等。ABC實際問題實際問題1BAC線段的垂直平分線線段的垂直平分線1、求作一點、求作一點P，使，使它和它和ABC的三個的三個頂點距離相等頂點距離相等.實際問題實際問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實際問題實際問題1習(xí)題習(xí)題1 如圖，如圖，ADBC，BD=DC，點，點C在在AE的垂直的垂直平分線上，平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？的長度有什么關(guān)系？AB+BD與與DE有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ADBEC證明：證明：ADBC BD=DC AD在線段在線段BC的垂直平分的垂直平分線上線

10、上 AB=AC 點點C在在AE的垂直平分線上的垂直平分線上 AC=CE 又又 AB=AC AB=AC=CE AB=AC=CE 又又BD=CD AB+BD=CE+CD=DEADBEC習(xí)題習(xí)題 ，如圖，如圖，AB=AC，MB=MC，直線直線AM是線段是線段BC的垂直平分線嗎？的垂直平分線嗎？證明：證明：AB=AC BM=MC AM=AM ABM ACM（SSS） BAD=CAD 又又 AB=AC AD=AD ABD ACD（SAS） BMD=CMD且且BD=DC AD在在BC的垂直平分的垂直平分線上線上 直線直線AM是是BC的垂直的垂直平分線平分線DBCAM證明：證明：AB=AC 點點A在線段在線

11、段BC的垂直的垂直平分線上平分線上 BM=MC 點點M在線段在線段BC的垂直的垂直平分線上平分線上 又又 兩點確定一條直線兩點確定一條直線（過兩點有且只有一條直線）（過兩點有且只有一條直線） 直線直線AM為線段為線段BC的的垂直平分線垂直平分線習(xí)題習(xí)題2.如圖，如圖，AB=AC，MB=MC，直，直線線AM是線段是線段BC的垂直平分線嗎？的垂直平分線嗎？DBCAM回味無窮w 線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線性質(zhì)定理定理 w 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等離相等. .w 符號語言符號語言, ,w AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,

12、P是是MNMN上任意一點上任意一點( (已知已知),),w PA=PB(PA=PB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等個端點距離相等).).w 線段垂直平分線判定線段垂直平分線判定定理定理 到一條線段兩個端點距到一條線段兩個端點距離相等的點離相等的點, ,在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上. .w 符號語言符號語言, ,w PA=PB(PA=PB(已知已知),),w 點點P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上( (到一條線段兩個端到一條線段兩個端點距離相等的點點距離相等的點, ,在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上)

13、.).小結(jié) 拓展ACBPMN挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)駛向勝利的彼岸l如圖如圖,已知已知AB是線段是線段CD的垂直平的垂直平分線分線,E是是AB上的一點上的一點,如果如果EC=7cm,那么那么ED= cm;如果如果ECD=600,那么那么EDC= 0.EDABC760想一想，做一做想一想，做一做用尺規(guī)作線段的垂直平分線用尺規(guī)作線段的垂直平分線已知：線段已知：線段AB求作：線段求作：線段AB的垂直平分線的垂直平分線作法：作法：1分別以點分別以點A和和B為圓心，以為圓心，以大于大于 AB的長為半徑作弧，兩弧相的長為半徑作弧，兩弧相交于點交于點C和和D 2作直線作直線CD 直線直線CD就是線

14、段就是線段AB的垂直平分的垂直平分線線DCBA21NMEAACBC五角星的對稱軸五角星的對稱軸1 1、如圖，在、如圖，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，DEDE是是ABAB的的垂直平分線，連接垂直平分線，連接AEAE，CAECAE：DAE=1DAE=1：2 2，求求BB的度數(shù)。的度數(shù)。AEDBCv如圖，如圖，E E為為AOBAOB的平分線上一點，的平分線上一點，ECOAECOA，EDOBEDOB，垂足分別為，垂足分別為C C，D D。求證：。求證：OEOE為為CDCD的垂直平分線。的垂直平分線。EDBACO 。AEDBCCDOBPANM解:PAONONPA 與 關(guān)于對稱為的中垂線

15、（ ）DA=DP（ ）CB=CP同 理 可 有 ：PCDPC+PD+CDPCDBC+AD+CDABAB15cmPCD周長周長又周長為15cmPPAONBOMABMON已知： 為內(nèi)一點。 與 關(guān)于對稱， P與 關(guān)于對稱。若長為15cm求：PCD的周長.角的平分線角的平分線ODEABPC定理定理1 在角的平分線上的點到在角的平分線上的點到這個角的兩邊的這個角的兩邊的距離相等距離相等。定理定理2 到一個角的兩邊的到一個角的兩邊的距距離相等離相等的點，在這個角的平的點，在這個角的平分線上。分線上。 角的平分線是到角的角的平分線是到角的兩邊兩邊距離距離相等相等的所有點的集合的所有點的集合線段的垂直平分線線段的垂直平分線定理定理 線段垂直平分線上的點和線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的這條線段兩個端點的距離相等距離相等。逆定理逆定理 和一條線段兩個端點和一條線段兩個端點距離相等距離相等的點，在這條線段的的點，在這條線段的垂直平分線上。垂直平分線上。 線段的垂直平分線可以看作是線段的垂直平分線可以看作是和線段兩上端點和線段兩上端點距離相等距離相等的所的所有點的集合有點的集合ABMNP點的集合是一條射線點的集合是一條射線點的集合是一條直線點的集合是一條直線OAB. . 問