兩個(gè)重要極限ppt課件

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁鈴一、準(zhǔn)則一、準(zhǔn)則 I 及第一個(gè)重要極限及第一個(gè)重要極限二、準(zhǔn)則二、準(zhǔn)則 II 及第二個(gè)重要極限及第二個(gè)重要極限1.6 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、準(zhǔn)則一、準(zhǔn)則 I 及第一個(gè)重要極限及第一個(gè)重要極限 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I （夾逼定理）（夾逼定理）準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2)aynn=li

2、m aznn=lim 下頁那么數(shù)列xn 的極限存在 且nlimxn=a 那么數(shù)列xn 的極限存在 且nlimxn=a 2上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限 顯然 BC AB AD(因此 sin x x tan x DB1OCAx1sinlim0=xxx 簡要證明簡要證明 參看附圖 設(shè)圓心角AOB=x (2 0 x) 從而 1sincosxxx (此不等式當(dāng) x0 時(shí)也成立) 因?yàn)?coslim0=xx 根據(jù)準(zhǔn)則 I 1sinlim0=xxx 下頁3上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁應(yīng)注意的問題應(yīng)注意的問題 這是因?yàn)?令u=a(x) 則u 0 于是 第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限1sinlim

3、0=xxx 在極限)()(sinlimxxaa中 只要a(x)是無窮小 就有 1)()(sinlim=xxaa )()(sinlimxxaa1sinlim0=uuu 下頁4上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例1 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxx 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinli

4、m00=xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxx 解解 例例2 例例 2 求20cos1limxxx 解解 20cos1limxxx2112122sinlim21220=xxx20cos1limxxx=220220)21(2sinlim212sin2limxxxxx=2112122sinlim21220=xxx 下頁220sin12lim22xxx=5上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例3 解解 解解 例例4 )0, 0.(sinsinlim0nmnxmxx求nx

5、nxnxmxmxmxnxmxxxsinsinlimsinsinlim00=.nm=.sintanlim30 xxxx求2030cos1tanlimsintanlimxxxxxxxxx=200cos1limtanlimxxxxxx=21=下頁6上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例5 解解 .arcsinlim0 xxx求,arcsinxy =令,sinyx =則, 0,0yx時(shí)當(dāng)yyxxyxsinlimarcsinlim00=1=下頁7上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例

6、例6 解解 首頁.5tan3sinlimxxx求, tx=令, 0, tx時(shí)當(dāng)53=)55tan()33sin(lim5tan3sinlim0ttxxtx=ttt5tan3sinlim0=535tan533sinlim0ttttt=8上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、準(zhǔn)則二、準(zhǔn)則 II 及第二個(gè)重要極限及第二個(gè)重要極限單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 如果數(shù)列xn滿足條件x1x2x3 xnxn1 就稱數(shù)列xn是單調(diào)增加的 如果數(shù)列x n滿足條件x1x2x3 xnxn1 就稱數(shù)列xn是單調(diào)減少的 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列 下頁9上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 前面曾證明 收斂的數(shù)列

7、一定有界 但有界的數(shù)列不一定收斂 現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明 如果數(shù)列不僅有界 并且是單調(diào)的 那么這個(gè)數(shù)列一定是收斂的 說明說明下頁10上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 可以證明數(shù)列xn是單調(diào)有界的 根據(jù)準(zhǔn)則II 數(shù)列xn必有極限 這個(gè)極限我們用e來表示 即 第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限 e是個(gè)無理數(shù) 它的值是e=2 718281828459045 指數(shù)函數(shù)y=ex及對數(shù)函數(shù)y=ln x 中的底就是常數(shù)e 設(shè)nnnx)11 ( = ennn=)11 (lim 我們還可以證明exxx=)11 (lim 下頁11上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限應(yīng)注意的問題應(yīng)注意的問題exxx=)11 (lim 在極

8、限)(1)(1limxxaa中 只要a(x)是無窮小 就有 exx=)(1)(1limaa 這是因?yàn)?令)(1xua= 則 u 于是 )(1)(1limxxaaeuuu=)11 (lim 下頁12上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例7 解解 原式原式)0.()1 (limkkxkxx為自然數(shù)，求ke=kkxxxk)1 (lim=下頁exxx=)11 (lim exx=)(1)(1limaa(a(x)0) kkxxxk)1(lim= 例例8 解解 原式原式.)13(lim1xxxx求4e=2441)141 (lim=xxx2441)141 (lim)141(lim=xxxxx13上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例9 解解 原式原式.)1