例談三角函數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題

1、 例談三角函數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題湖北省襄陽(yáng)市東風(fēng)中學(xué) 柯慧珍三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，本文對(duì)大家易錯(cuò)的內(nèi)容進(jìn)行解析，以期對(duì)同學(xué)們有所幫助。一. 忽視題中隱含條件而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。例1：已知sin1 - sin2= - ， cos1 - cos2= ，且1、2為銳角，求tan(1-2)的值。錯(cuò)解：2 +2并整理得 cos（1+2）= 又1、2均為銳角，從而 -<1-2 <，從而 sin（1-2）= tan(1-2)= 錯(cuò)因：以上解題過(guò)程似乎推理嚴(yán)謹(jǐn)、無(wú)懈可擊，但只要留心則可發(fā)現(xiàn)忽視了題設(shè)中的隱含條件“1<2”，導(dǎo)致錯(cuò)誤問(wèn)題。正解：由題設(shè)得1<2，于是有 <1-2<0，

2、又由上述得cos（1-2）= ， sin（1-2）= -，故tan(1-2)=- 。例2：由sin+sin= ，求sin-cos2的最大值。錯(cuò)解：由sin+sin= ，得sin= - sin， sin-cos2=（sin-）2 -， -11當(dāng)sin= -1時(shí)，sin-cos2取最大值。錯(cuò)因：上述解法雖然注意到了sin的有界性，卻沒(méi)有注意到sin=-1時(shí)會(huì)導(dǎo)致sin= - （-1）=>1矛盾，錯(cuò)解的根源在于未能從已知條件中發(fā)掘出更深層的隱含條件。正解： -1sin= - sin1，且-1sin1， -sin1 又 sin-cos2=（sin-）2 -，當(dāng)sin=-時(shí)，sin-cos2取最大

3、值。二. 忽視函數(shù)定義域而造成失誤。例3：求函數(shù)y =的最小正周期。錯(cuò)解：由于y = tan2x， 所以函數(shù)y =的最小正周期為。錯(cuò)因：由于y =與y =tan2x的定義域分別為： ， 所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，故它們不是同一函數(shù)。因此要確定原函數(shù)的最小正周期，就應(yīng)結(jié)合函數(shù)y =tan2x 的圖像進(jìn)行考慮。正解：y = tan2x，作出y = tan2x的圖象，如下圖。 從圖象上面可以看出函數(shù)y =的最小正周期為。三對(duì)三角形內(nèi)角和理解不透而失誤。 例4; 在abc中，已知cosa=，sinb=，則cosc=_。 錯(cuò)解：cosc = -cos（a+b）= -cosacosb+ sina si

4、nb cosa=，sinb= 又 0 <a<，0 <b< sina=，cosb=± cosc=或。 錯(cuò)因：本題的錯(cuò)誤在于沒(méi)有考慮a、b、c 為三角形的內(nèi)角，則必須慢足a+b+c=。 正解：cosc = -cosacosb+ sina sinb cosa=，<a<，sinb=，<b<或<b<。當(dāng)<b<時(shí)， <a+b<，此時(shí)cosc=;當(dāng)<b<時(shí)，<a+b<，b不可能為鈍角。 cosc=。四. 對(duì)有界性理解不透而造成失誤。 例5：已知sin cos=,求cos sin得取值范圍。 錯(cuò)解： sin（+）= sin cos+ cos sin=+ cos sin， 由 -1sin（+）1得，-1+ cos sin1即，- cos sin。錯(cuò)因：只注意了兩式和有界，忽視了兩式差亦有界。正解：由sin（+）= sin cos+ cos sin= sincos+ sin（-）= sin cos- cos sin= sincos- 由 -1sin（+）1 且-1sin（-）1， 故 -sincos。五. 忽視三角函數(shù)的周期。 例6：若函數(shù)f(x)的定義域是，求f(sinx)的定義域。 錯(cuò)解：