(word完整版)空間向量及其運(yùn)算知識(shí)總結(jié),推薦文檔

1、廈門(mén)一中 2011 級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座空間向量及其運(yùn)算1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量向量一般用有向線(xiàn)段表示同向等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一或相等的向量空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線(xiàn)段來(lái)表示2空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下OB OA AB a b ; BA OA OBab ; OPa(R)運(yùn)算律：加法交換律：abbaD'C'加法結(jié)合律： (ab )ca(bc)數(shù)乘分配律：( a b)abA'B'a3平行六面體：平行四邊形 ABCD平移向量 a 到 A B C

2、D 的軌跡所形成的幾何體，DC叫做平行六面體，并記作：ABCDA BCD它的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱AB4. 平面向量共線(xiàn)定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線(xiàn)上，所以平行向量也叫做共線(xiàn)向量向量 b 與非零向量a共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使 b .要注意其中對(duì)向量 a的非零要求5 共線(xiàn)向量如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量 a 平行于 b 記作 a / b 當(dāng)我們說(shuō)向量 a 、 b 共線(xiàn)（或 a /b ）時(shí)，表示 a 、 b 的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也

3、可能是平行直線(xiàn)6 共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使 a b .推論：如果 l 為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A 且平行于已知非零向量a 的直線(xiàn)，那么對(duì)于任意一點(diǎn) O，點(diǎn) P 在直線(xiàn) l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t 滿(mǎn)足等式OPOA t a 其中向量 a 叫做直線(xiàn) l 的方向向量 .空間直線(xiàn)的向量參數(shù)表示式：OP OAt a 或 OP OAt (OBOA ) (1 t)OA tOB ，中點(diǎn)公式 OP1 (OAOB )2ruuurr7向量與平面平行：已知平面和向量 a，作 OAa ，r如果直線(xiàn) OA 平行于或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量a 平行于平面r通常我們把

4、平行于同一平面的向量，記作： a /叫做共面向量說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的r rr8共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b 不共線(xiàn)，p 與向量r rrrra,b 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x, y 使 pxaybBpPbMaA A'O1廈門(mén)一中 2011 級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座推論：空間一點(diǎn) P位 于 平 面 MAB 內(nèi) 的 充 分 必 要 條 件 是 存 在 有 序 實(shí) 數(shù) 對(duì) x, y ， 使uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuurMPxMAyMB或?qū)臻g任一點(diǎn) O ，有 OPOMxMAyMB uuuruuuruuuruuuur或 OPxOAyOBzOM ,( x y z

5、1) 上面式叫做平面MAB 的向量表達(dá)式r9空間向量基本定理：如果三個(gè)向量r r ra, b, c 不共面，那么對(duì)空間任一向量p ，存在一個(gè)唯一的有rrrr序?qū)崝?shù)組 x, y, z，使 pxaybzcr rr rrr r rr若三向量a,b,ca,b , c 叫做基向量， 空間任意不共面， 我們把 a,b ,c 叫做空間的一個(gè)基底，三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底推論：設(shè) O, A, B,C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P ，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z ，uuuruuuruuuruuur使 OPxOAyOBzOCrruuurruuurr10空間向量的夾角及其表示：已知兩非

6、零向量a, b ，在空間任取一點(diǎn)O，作 OAa, OBb ，則rrr r；且規(guī)定0r r，顯然有AOB 叫 做 向 量 a 與 b 的 夾 角 ， 記 作a,ba,br rrrr rrr互相垂直，記作：rra, bb, a ；若a,b2，則稱(chēng) a 與 bab .uuurruuurrr11向量的模：設(shè) OAa ，則有向線(xiàn)段 OA 的長(zhǎng)度叫做向量a 的長(zhǎng)度或模，記作：| a |.12向量的數(shù)量積：已知向量r rrrcosr rr rrra, b ，則 | a |b |a, b叫做 a, b 的數(shù)量積，記作ab ，即rrrrrrab| a| |b | cosa, bruuurrl上與 l 同方向的單

7、位向量，作點(diǎn)A在 l 上的射影 A ，作點(diǎn) B已知向量 ABa 和軸l ， e 是在l 上的射影uuuuruuurr. 可以證明uuuurB ，則 AB 叫做向量AB 在軸 l上或在 e 上的正射影AB 的長(zhǎng)度uuuuruuurrrrr|AB | AB | cosa, e| ae |13空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：rr（r rrr rrr0r 21） a e| a | cosa, e（ 2） aba b（ 3） | a |14空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：rrrrrr（rrrr1） ( a)b(a b)a (b) （ 2） abb a （交換律）（r rrrrrr3） a (bc )abac （分配律）rr

8、a a z空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算1 空間直角坐標(biāo)系：A(x,y,z)（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單r rrk位正交基底，用 i, j , k 表示；r r rO jyO 和一個(gè)單位正交基底i（ 2）在空間選定一點(diǎn)i , j, k ，以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，r rrx 軸、 y 軸、 z 軸，它x分別以 i , j ,k 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：r r rO xyz ，點(diǎn) O 叫原點(diǎn)，向量們都叫坐標(biāo)軸我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系i , j, k 都叫坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面；2空間直角坐

9、標(biāo)系中的坐標(biāo)：uuur在空間直角坐標(biāo)系O xyz 中，對(duì)空間任一點(diǎn)A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組( x, y, z) ，使rrO xyz 中的坐標(biāo)，記作OAxiyj zk ，有序?qū)崝?shù)組 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空間直角坐標(biāo)系2廈門(mén)一中 2011 級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座A(x, y, z) ， x 叫橫坐標(biāo)，y 叫縱坐標(biāo)， z 叫豎坐標(biāo)常見(jiàn)坐標(biāo)系正方體：如圖所示，正方體ABCDA ' B ' C 'D ' 的棱長(zhǎng)為 a ，一般選擇點(diǎn) D 為原點(diǎn)， DA 、 DC 、 DD ' 所在直線(xiàn)分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz ，則各

10、點(diǎn)坐標(biāo)為亦可選 A 點(diǎn)為原點(diǎn) . 在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系與之類(lèi)似 . 正四面體： 如圖所示， 正四面體 A BCD 的棱長(zhǎng)為 a ，一般選擇 A 在BCD 上的射影為原點(diǎn)， OC 、 OD （或 OB ）、 OA 所在直線(xiàn)分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為zDC''AB''DC yABx zA正四棱錐：如圖所示，正四棱錐P ABCD 的棱長(zhǎng)為 a ，一般選擇點(diǎn) P 在平面 ABCD 的射影為原點(diǎn)， OA（或 OC ）、 OB （或 OD ）、 OPBOD所在直線(xiàn)分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)

11、系 O xyz ，則各點(diǎn)zy坐標(biāo)為PCx正三棱柱： 如圖所示， 正三棱柱ABC A' B 'C ' 的底面邊長(zhǎng)為 a ，高為 h ，一般選擇 AC 中點(diǎn)為原點(diǎn)， OC （或 OA ）、 OB 、 OE （ E 為 O在 A 'C ' 上的射影）所在直線(xiàn)分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：rr（ 1）若 a(a1 , a2 , a3) ， b(b1 ,b2 , b3 ) ，則rra b (a1b1, a2b2 ,a3b3 ) ，rrra b (a1b1, a2b2 , a3rb3 )

12、，a ( a1 , a2 , a3 )(R) ，rrra b a1b1a2b2a3b3 ， a / ba1 b1 , a2b2 , a3b3 (R) ，rra b a1b1 a2b2 a3 b30 uuur（ 2）若 A(x1, y1 , z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則 AB ( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) DOCx AByzAECABOCByx一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)rr4 模長(zhǎng)公式：若a (a1, a2 , a3 ) ， b (b1, b2 ,b3 ) ，rr ra12a22a32rrrb12b22

13、b32 則 | a |a a， | b |b brrrrrabra1b1a2 b2a3b35夾角公式： cos a b2| a | |b |2a32222a1a2b1b2b36兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1, y1 , z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，uuuruuur2(x2 x1)2y1 )2 (z2z1)2 ，或 d A, B( x2x1 )2( y2 y1 )2(z2 z1 )2則|AB|AB( y2空間向量應(yīng)用一、直線(xiàn)的方向向量把直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱(chēng)為直線(xiàn)的方向向量. 在空間直角坐標(biāo)系中，由uuurA(x1, y1 , z1) 與 B( x2 , y

14、2, z2 ) 確定直線(xiàn) AB 的方向向量是 AB ( x2x1, y2 y1, z2 z1 ) .rr的法向量 .平面法向量如果 a，那么向量 a 叫做平面3廈門(mén)一中 2011 級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座二、證明平行問(wèn)題rrrra1b1,a2b2 ,a3b3 (a1a2a3 .1線(xiàn)線(xiàn)平行：證明兩直線(xiàn)平行可用a / bR) 或 a/brrrrr rb1b2rb32.線(xiàn)面平行：直線(xiàn) l 的方向向量為 a ，平面的法向量為 n ，且 lur，若 an 即 a n 0 則 a/ .uruuruururuur/ .3.面面平行：平面的法向量為 n ，平面的法向量為 n，若 n/ n 即 nn則121212三、證明

15、垂直問(wèn)題rrrr1線(xiàn)線(xiàn)垂直：證明兩直線(xiàn)垂直可用aba ba1b1a2 b2 a3b30rrrrrrr2線(xiàn)面垂直： 直線(xiàn) l 的方向向量為 a ，平面的法向量為 n ，且 lur，若 a / n 即 an 則 a.uruuruururuur3.面面垂直：平面的法向量為 n1 ，平面的法向量為 n2，若 n1n2 即 n1n2 0 則.四、求夾角rrrrrrrr線(xiàn)線(xiàn)夾角：設(shè)a(a1, a2 ,a3) b(b1,b2,b3)(0 ,90為一面直線(xiàn)所成角， 則：a b|a| |b| cosa,b；1r rrrrrcosrabra1b1 a2b2a3b3； cos| cos| .a,ba,b| a |

16、| b |a12a22a32 b12b22b322線(xiàn)面夾角： 如圖，已知 PA 為平面r的一個(gè)法向量， 過(guò) P 作平面的一條斜線(xiàn)， n 為平面的垂線(xiàn) PO ，連結(jié) OA 則PAO 為斜線(xiàn) PA 和平面所成的角，記為易得sin| sin(uuur uuur) | cosuuuruuur|2OP, APOP, APruuurPr uuurr uuurn| cos| | cos| nPA |n, APn, PAruuur .uruur| n | PA |OA3 面面夾角：設(shè) n1 、 n2 分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，uruururuur當(dāng)法向量 n1、 n2同時(shí)指向二面角內(nèi)或二面角外時(shí)，二面

17、角的大小為n1 , n2；uururuurur當(dāng)法向量 n1、 n2一個(gè)指向二面角內(nèi)，另一外指向二面角外時(shí)，二面角的大小為n1, n2.五、距離1點(diǎn)點(diǎn)距離：設(shè)A( x1 , y1, z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ， dA, B(x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )2uuuruuuruuur2y1 )2z1 )2| AB|AB AB(x2x1 )( y2( z2r2點(diǎn)面距離： A 為平面任一點(diǎn)，已知 PA 為平面的一條斜線(xiàn)，n 為平面的一個(gè)法向量，過(guò)P作平面的垂線(xiàn) PO ，連結(jié) OA 則PAO 為斜線(xiàn) PA 和平面所成的角，記為易得uuuruuuruuuruuurruuuruuurruuurr| cos| PA n | PA n | PO | | PA | sin| PA|PA, n |PA|uuurrr.| PA| n | n |線(xiàn)線(xiàn)距離： 求異面直線(xiàn)間的距離可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.設(shè)兩條異面直線(xiàn)a 、b的3rr公垂線(xiàn)的方向向量為 n ,這時(shí)分別在 a 、 b 上任取 A 、 B 兩點(diǎn)，則向量在n 上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn) a 、 b 的距離 .即兩