大學(xué)物理第八章電磁感應(yīng)

1、RNooiBne例例1.1.在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中, , 置有面置有面積為積為S 的可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的的可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的N 匝匝線圈線圈 . .若線圈以角速度若線圈以角速度 作作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng). . 求求線圈中的感應(yīng)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì). .解解: 設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí),0tBne與與 同向同向 , tNBSNcostNBStisinddt任意任意t時(shí)刻，時(shí)刻，tItRisinsinmmRImm 可見(jiàn)可見(jiàn),在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的線圈內(nèi)的感應(yīng)電速轉(zhuǎn)動(dòng)的線圈內(nèi)的感應(yīng)電電流是時(shí)間的正弦函數(shù)電流是時(shí)間的正弦函數(shù).這這種電流稱種電流稱交流電交流電.RNooiBnetNBStisindd令令NBSmti

2、sinm則則例例2.2.導(dǎo)線導(dǎo)線abab彎成如圖形狀，半徑彎成如圖形狀，半徑r=0.10mr=0.10m，B=0.50T ,B=0.50T ,轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=3600n=3600轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分。電路總電阻為分。電路總電阻為10001000 。求：感應(yīng)電。求：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流、最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和最大感應(yīng)電流。動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流、最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和最大感應(yīng)電流。解：解：sn12030cosBSSBtrBcos22trBdtdisin22)(96. 2212VrBimtRrBRIiisin22)(96. 222mARrBIim ra ab b解：解：例例3.3.一長(zhǎng)直導(dǎo)線通以電流一長(zhǎng)直導(dǎo)線通以電流 ，旁邊有一

3、，旁邊有一個(gè)共面的矩形線圈個(gè)共面的矩形線圈abcdabcd。求：線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。求：線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。tIIosin1l2ldtdirlrtlIoo12lncos21202lrrSdxlxISdBrlrtlI1200lnsin2dxlxISdBd202例例4.4.一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為L(zhǎng) L的銅棒，在均勻磁場(chǎng)的銅棒，在均勻磁場(chǎng)B B中以角速度中以角速度 在在與磁場(chǎng)方向垂直的平面上作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。求棒的兩端與磁場(chǎng)方向垂直的平面上作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。求棒的兩端之間的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小。之間的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小。L解：解：Lil dBv0)(LvBdl0LldlB0221LB動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)方向動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)方向: a: ao

4、ov法一：法一：法二：法二：221LS BSO Oa a b取閉合回路取閉合回路OabOOabO，順時(shí)針繞向，順時(shí)針繞向00dtd dtdBLdtdi221221BL 0 0動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)方向：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)方向：a ao o例例5. 圓盤(pán)發(fā)電機(jī)圓盤(pán)發(fā)電機(jī) 半徑為半徑為 、厚度、厚度 的銅圓盤(pán)的銅圓盤(pán),以角速率以角速率 ,繞通過(guò)盤(pán)心繞通過(guò)盤(pán)心 垂直垂直盤(pán)面的金屬軸盤(pán)面的金屬軸 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) , 軸的半徑為軸的半徑為 , 且圓盤(pán)放在磁感強(qiáng)度且圓盤(pán)放在磁感強(qiáng)度 的均勻磁場(chǎng)中的均勻磁場(chǎng)中, 的方的方向與盤(pán)面垂直向與盤(pán)面垂直. 兩個(gè)集電刷分別與圓盤(pán)的邊緣和轉(zhuǎn)軸相兩個(gè)集電刷分別與圓盤(pán)的邊緣和轉(zhuǎn)軸相連連.計(jì)算它們之間

5、的電勢(shì)差計(jì)算它們之間的電勢(shì)差,并指出何處電勢(shì)較高并指出何處電勢(shì)較高. m100 . 13dBm2 . 11Rm100 . 232Roo1srad 25TB101RBr. .o oMNB22Ri 1Rd 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以不計(jì)圓盤(pán)厚度不計(jì)圓盤(pán)厚度.rd如圖取線元如圖取線元rd則則rBd)(divrBrrBd d v解：解： （方法一）（方法一）12diRRrBr)(212221RRBV226 圓盤(pán)邊緣的電勢(shì)高圓盤(pán)邊緣的電勢(shì)高于中心轉(zhuǎn)軸的電勢(shì)于中心轉(zhuǎn)軸的電勢(shì).rBd)(di vrBrrBdd v1RBr. .o oMNB22Rird1RB. .o oB22Ri（方法二）（方法二）則則)( 22

6、221RRB)( 212221RRB 取一虛擬的閉和回路取一虛擬的閉和回路 并取其并取其繞向與繞向與 成右手螺旋關(guān)系成右手螺旋關(guān)系 .MNOMBMNtRRB)( 212221tddi)( 212221RRBMNOM 方向與回路方向與回路 繞向相反繞向相反,即盤(pán)緣電勢(shì)高于中心即盤(pán)緣電勢(shì)高于中心. 設(shè)設(shè) 時(shí)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)點(diǎn) 與與固定點(diǎn)固定點(diǎn) 重合即重合即 MN0t0則則 時(shí)刻時(shí)刻tt例例6.6.如圖，無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線近旁，一個(gè)矩形導(dǎo)體如圖，無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線近旁，一個(gè)矩形導(dǎo)體框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v v向右移動(dòng)，向右移動(dòng)，求在圖求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和

7、方向。示位置處，線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。Bl l1 1e ef fg gh hl l2 2I Id dv解解: :00l dBvfgehghefiBdlvBdlvghef2201000)(22lldlvldIdlvdI)(21210lddlIvl 0 0方向方向:efgh:efghghefl dBvl dBv)()(法一：法一：法二法二: : 設(shè)順時(shí)針為繞行方向設(shè)順時(shí)針為繞行方向Bl l1 1l l2 2I Ir rvt t時(shí)刻時(shí)刻)(2)(1210lrrvlIldtdrrlrIlxrdxIll120020ln2)(21)(21210lddvlIldri令0 0 x xdxdxx xdx

8、lxrISdBd20)(2方向與繞行方向相同方向與繞行方向相同例例7.7.矩形導(dǎo)體線框，與長(zhǎng)為矩形導(dǎo)體線框，與長(zhǎng)為L(zhǎng) L質(zhì)量為質(zhì)量為m m的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體棒構(gòu)的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體棒構(gòu)成閉合回路?；芈菲矫媾c磁感強(qiáng)度為成閉合回路。回路平面與磁感強(qiáng)度為B B的均勻磁場(chǎng)垂的均勻磁場(chǎng)垂直直. .回路中電阻為回路中電阻為R,R,如果導(dǎo)體棒開(kāi)始時(shí)以速度如果導(dǎo)體棒開(kāi)始時(shí)以速度v v0 0沿圖示沿圖示矩形框運(yùn)動(dòng)，求棒的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。矩形框運(yùn)動(dòng)，求棒的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。解解: : 任意任意t t時(shí)刻時(shí)刻vBLldBvBAAB)(RBLvRIABLBlIdF方向方向ABAB感應(yīng)電流感應(yīng)電流安培力安培力RvLBI

9、BdlFL22F FR RI Idl運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程RvLBdtdvm22dtmRLBvdvtvv2200tmRLBvv220lntmRLBevv)(022R RI IdlRvLBIBdlFL22F F例例8.8.在亥姆霍茲線圈中間軸上放一半徑為在亥姆霍茲線圈中間軸上放一半徑為0.1m0.1m的小線的小線圈，小線圈所包圍的面積內(nèi)磁場(chǎng)近似均勻。設(shè)亥姆霍圈，小線圈所包圍的面積內(nèi)磁場(chǎng)近似均勻。設(shè)亥姆霍茲線圈中通以交變電流，在小線圈附近產(chǎn)生的磁感強(qiáng)茲線圈中通以交變電流，在小線圈附近產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度度B=5.0B=5.0 1010-3-3（sin100sin100 t)T t)T 。求小線圈中的感生電動(dòng)。

10、求小線圈中的感生電動(dòng)勢(shì)和感生電場(chǎng)強(qiáng)度。勢(shì)和感生電場(chǎng)強(qiáng)度。解：解：tB314sin100 . 53Br2t314sin1051 . 032)(314cos05. 0VtdtdirEl dEkLki2trEik314cos1 . 014. 3205. 02)(314cos08. 01mVt例例9.9.設(shè)有一半徑為設(shè)有一半徑為R , ,高度為高度為h 的鋁圓盤(pán)的鋁圓盤(pán), , 其電導(dǎo)率其電導(dǎo)率為為 . . 把圓盤(pán)放在磁感強(qiáng)度為把圓盤(pán)放在磁感強(qiáng)度為 的均勻磁場(chǎng)中的均勻磁場(chǎng)中, , 磁磁場(chǎng)方向垂直盤(pán)面場(chǎng)方向垂直盤(pán)面. .設(shè)磁場(chǎng)隨時(shí)間變化設(shè)磁場(chǎng)隨時(shí)間變化, ,且且 為一常量為一常量. .求盤(pán)內(nèi)的感應(yīng)電流值求

11、盤(pán)內(nèi)的感應(yīng)電流值. .（圓盤(pán)內(nèi)感應(yīng)電流（圓盤(pán)內(nèi)感應(yīng)電流自己的磁場(chǎng)略去不計(jì)）自己的磁場(chǎng)略去不計(jì)）BktBddRBhrrdrrdh, R, h已知：已知：, , BktBdd求：求：I解：解： 如圖取一半徑為如圖取一半徑為 , ,寬度寬度為為 , ,高度為高度為 的圓環(huán)的圓環(huán). .rrd h圓環(huán)中的感生電動(dòng)勢(shì)為圓環(huán)中的感生電動(dòng)勢(shì)為SLstBlEddddki2 dddrkstBS又又rhrRd 21 d所以所以rrkhdRIid2 drrdrrdhRrrkhII0d2 dhRk241例例10.10.半徑為半徑為R R的無(wú)限長(zhǎng)直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場(chǎng)的無(wú)限長(zhǎng)直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場(chǎng)均勻，管外磁場(chǎng)近

12、似為零。若所通電流均勻變化，使均勻，管外磁場(chǎng)近似為零。若所通電流均勻變化，使得得dB/dtdB/dt為常量，且為正值，求管內(nèi)外由磁場(chǎng)變化激為常量，且為正值，求管內(nèi)外由磁場(chǎng)變化激發(fā)的感生電場(chǎng)分布。發(fā)的感生電場(chǎng)分布。O OR Rr r解解: :螺線管內(nèi)感生電場(chǎng)線是一系列螺線管內(nèi)感生電場(chǎng)線是一系列以以O(shè) O為圓心的同心圓為圓心的同心圓, ,圓上各點(diǎn)圓上各點(diǎn)E Ek k大小相等大小相等, ,方向沿切向方向沿切向. .時(shí)Rr Lkil dEdtdrEdtdBrk22dtdBrEk21時(shí)Rr Lkil dEdtdrEdtdBRk22dtdBrREk22時(shí)Rr dtdBrEk21kEkEkELkLkixdE

13、xdE00cosrLR4cos22LkidxE0cosLdxrLRdtdBr022421 dtdBLRL2222L Ldxdx例例11.11.半徑為半徑為R R的圓柱形空間區(qū)域，充滿著均勻磁場(chǎng)。的圓柱形空間區(qū)域，充滿著均勻磁場(chǎng)。已知磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率大于零且為恒量。求棒已知磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率大于零且為恒量。求棒ABAB上上的感生電動(dòng)勢(shì)。的感生電動(dòng)勢(shì)。解：法一解：法一2222LRLB dtdBLRLtddi2222法二法二求感生電動(dòng)勢(shì)的方法求感生電動(dòng)勢(shì)的方法: : dtdiLkil dE式只適用于無(wú)限長(zhǎng)螺線管或磁場(chǎng)均勻的圓柱空間式只適用于無(wú)限長(zhǎng)螺線管或磁場(chǎng)均勻的圓柱空間.O O0OBOA)(ld

14、Ek dtdBLRLAB2222取順時(shí)針為繞行方向取順時(shí)針為繞行方向解：解：lIlNBISlNNBS2線圈體積：線圈體積：lSV lNn VnL2SlNIL2lSlN22例例12.12.長(zhǎng)為長(zhǎng)為 的螺線管，橫斷面為的螺線管，橫斷面為S S，線圈總匝數(shù)為，線圈總匝數(shù)為N N，管中磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為管中磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為 ，求自感系數(shù)。，求自感系數(shù)。llr rdrdr解：解：rIB2BldrBdSd12ln2221RRIlldrrIRR12ln2RRlIL例例13.13.有一電纜，由兩個(gè)有一電纜，由兩個(gè)“無(wú)限長(zhǎng)無(wú)限長(zhǎng)”的同軸圓桶狀導(dǎo)的同軸圓桶狀導(dǎo)體組成，其間充滿磁導(dǎo)率為體組成，其間充滿磁導(dǎo)率為 的磁介

15、質(zhì)，電流的磁介質(zhì)，電流I I從內(nèi)桶從內(nèi)桶流進(jìn)，外桶流出。設(shè)內(nèi)、外桶半徑分別為流進(jìn)，外桶流出。設(shè)內(nèi)、外桶半徑分別為R R1 1和和R R2 2 ，求，求長(zhǎng)為長(zhǎng)為 的一段導(dǎo)線的自感系數(shù)。的一段導(dǎo)線的自感系數(shù)。l解解: : 先設(shè)某一線圈中通先設(shè)某一線圈中通以電流以電流 I I 求出另一求出另一線圈的磁通量線圈的磁通量M 設(shè)半徑為設(shè)半徑為 的線圈中的線圈中通有電流通有電流 , , 則則1r1I1101101InIlNB例例14.14.有兩個(gè)長(zhǎng)度均為有兩個(gè)長(zhǎng)度均為 , ,半徑分別為半徑分別為r1和和r2（r1 r2）, ,匝數(shù)為匝數(shù)為N1和和N2的同軸長(zhǎng)直密繞螺線管的同軸長(zhǎng)直密繞螺線管. .求求互感互感

16、 。 Ml)(2112rlBn) (2112212rBNN則穿過(guò)半徑為則穿過(guò)半徑為 的線圈的磁通匝數(shù)為的線圈的磁通匝數(shù)為2r121210) (Irlnn) (21210121221rlnnINM2202202InIlNB) (2121rlBn221210) (Irlnn則則) (21210212112rlnnINM) (2121121rBNN 則穿過(guò)半徑為則穿過(guò)半徑為 的的線圈的磁通匝數(shù)為線圈的磁通匝數(shù)為1r 或或設(shè)半徑為設(shè)半徑為 的線圈的線圈中通有電流中通有電流 , , 則則2r2I) (2121021rlnnMMMM2112解：解：r rdrdrrIB2ddrrIBdSd2abaIddrr

17、Idbaaln22abadIMln2例例15 15 在磁導(dǎo)率為在磁導(dǎo)率為 的均勻無(wú)限大磁介質(zhì)中，有一無(wú)限的均勻無(wú)限大磁介質(zhì)中，有一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，與一邊長(zhǎng)分別為長(zhǎng)直導(dǎo)線，與一邊長(zhǎng)分別為b b和和d d的矩形線圈在同一平的矩形線圈在同一平面內(nèi)，求它們的互感系數(shù)。長(zhǎng)直導(dǎo)線通以面內(nèi)，求它們的互感系數(shù)。長(zhǎng)直導(dǎo)線通以 電流時(shí)，求矩形線圈中的互感電動(dòng)勢(shì)。電流時(shí)，求矩形線圈中的互感電動(dòng)勢(shì)。tIIsin0abatIddtdIMMlncos20例例1616 自感分別為自感分別為L(zhǎng) L1 1和和L L2 2，互感為，互感為M M的兩線圈串聯(lián)。的兩線圈串聯(lián)。如果兩線圈的磁通互相加強(qiáng)，稱為順接（圖如果兩線圈的磁通互相加

18、強(qiáng)，稱為順接（圖a a），），如果兩磁通互相削弱，稱為反接（圖如果兩磁通互相削弱，稱為反接（圖b b）。計(jì)算在）。計(jì)算在這兩種接法下兩線圈的等效總自感。這兩種接法下兩線圈的等效總自感。解：解：順接順接線圈線圈1 1中的電動(dòng)勢(shì)：中的電動(dòng)勢(shì)：dtdIMdtdIL11線圈線圈2 2中的電動(dòng)勢(shì)：中的電動(dòng)勢(shì)：dtdIMdtdIL22（圖（圖a a）1 12 2（圖（圖b b）2 21 1總自感電動(dòng)勢(shì)總自感電動(dòng)勢(shì)dtdIMLL)2(2121（圖（圖a a）1 12 2（圖（圖b b）2 21 1總自感系數(shù)總自感系數(shù)MLLL221反接：反接：MLLL221021LLLM則：則：順接：順接：04LL 反接：反

19、接：0L總自感電動(dòng)勢(shì)總自感電動(dòng)勢(shì)dtdIMLL)2(2121dtdIMdtdIL11dtdIMdtdIL22dtdIMLL)2(2121若兩線圈完全耦合，且若兩線圈完全耦合，且021LLL解：解：R2R1rIB2222282rIBwmrldrdV2法一：法一：lrdrrIdVwWRRVmm2821222I例例17.17.一根長(zhǎng)直同軸電纜，由半徑為一根長(zhǎng)直同軸電纜，由半徑為R R1 1和和R R2 2的兩同心圓的兩同心圓柱和圓筒組成，中間充以磁導(dǎo)率為柱和圓筒組成，中間充以磁導(dǎo)率為 的的磁介質(zhì)，電纜中磁介質(zhì)，電纜中有穩(wěn)恒電流有穩(wěn)恒電流I I經(jīng)內(nèi)層流進(jìn)外層流出形成回路。計(jì)算長(zhǎng)為經(jīng)內(nèi)層流進(jìn)外層流出形成回路。計(jì)算長(zhǎng)為 的一段電纜圓柱與圓筒間的磁場(chǎng)能量。的一段電纜圓柱與