方差的性質(zhì)向陽教學(xué)

1、性質(zhì)性質(zhì)1: 若若x=c，c為常數(shù)，則為常數(shù)，則 var(x)=0 .b. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2: 若若b為常數(shù)為常數(shù),隨機(jī)變量隨機(jī)變量x的方差的方差存在存在, 則則bx的方差存在，且的方差存在，且 var(bx) = b2var(x)var (ax + b ) = a2 var(x)結(jié)合性質(zhì)結(jié)合性質(zhì)1與性質(zhì)與性質(zhì)2就有就有1基礎(chǔ)教學(xué)若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x1, x2, , xn 的方差都存的方差都存在，則在，則x1+x2+.+xn的方差存在，且的方差存在，且 性質(zhì)性質(zhì)3:ninjjijiniiexexxxexvar111)()(即即 ninijjijiniiniiexexxxex

2、varxvar111)()()(2基礎(chǔ)教學(xué)若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x1, x2, , xn相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則則性質(zhì)性質(zhì)4:n2時由于時由于)()()(11nnxvarxvarxxvarvar(x y)= var(x) +var(y) 2e(x-ex)(y-ey)若若x, y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則 var(x y)= var(x) +var(y)3基礎(chǔ)教學(xué)注注：以后若無特殊說明，都認(rèn)為隨機(jī)變：以后若無特殊說明，都認(rèn)為隨機(jī)變量的方差大于量的方差大于0。性質(zhì)性質(zhì)5: 對任意常數(shù)對任意常數(shù)c, var(x ) e(x c)2 ,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?dāng)且僅當(dāng)c = e(x ). .性質(zhì)性質(zhì)6:var(x

3、 ) = 0 p (x = e(x)=1稱稱x 以概率以概率 1 等于常數(shù)等于常數(shù)e(x).4基礎(chǔ)教學(xué)例例1. 設(shè)設(shè)x b( n , p)，求求var(x ).解：解： 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量次試驗失敗。第次試驗成功，第iixi, 0, 1故故)1 ()()(1pnpxvarxvarniiniixx1則則., 2, 1),1 ()(nippxvari由于由于相互獨(dú)立相互獨(dú)立，nxxx,21且且5基礎(chǔ)教學(xué)例例2.2.標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 x 的期望的期望e(x )、方差方差d(x )都存在都存在,且且d(x ) 0, 則稱則稱)()(xdxexx為為 x 的標(biāo)準(zhǔn)化隨

4、機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. 顯然顯然，1)(, 0)(xdxe6基礎(chǔ)教學(xué).1)(1)(1)1(,)(1)(1)1(212121111nxvarnxvarnxnvarxenxenxneniiniiniiniiniinii例例3 3. 設(shè)設(shè)x1, x2, , xn相互獨(dú)立，有共同的期相互獨(dú)立，有共同的期望望 和方差和方差 ，2則則:.1)1(,)1(211nxnvarxneniinii證明證明:7基礎(chǔ)教學(xué)例例4.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量x1,x2,xn相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，且每個且每個xi的期望都是的期望都是0，方差都是，方差都是1， 令令y= x1+x2+xn . 求求 e(y2).解：由已知，則有

5、解：由已知，則有nydydydydyeyeyeyenn)()()()(0)()()()(2121.)()()(22nyeydye因此，因此，8基礎(chǔ)教學(xué)例例5.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x 和和y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且且 xn(1,2)，yn(0,1), 試求試求 z = 2x-y+3 的期望和方差。的期望和方差。由已知，有由已知，有e(x)=1, d(x)=2, e(y)=0, d(y)=1, 且且x和和y獨(dú)立。因此，獨(dú)立。因此，d(z)= 4d(x)+d(y) = 8+1=9.e(z)= 2e(x) e(y)+3 = 2+3=5, 解解: :注：由此可知注：由此可知 zn(5, 9)。9基礎(chǔ)教學(xué)則

6、且相互獨(dú)立，若, 2 , 1),(2ninxiii.,12212211niiiniiinncccncxcxcxc的常數(shù)。是不全為這里，0c,c,cn21思考：思考：為什么？為什么？一般地，一般地，10基礎(chǔ)教學(xué)c. 兩個不等式兩個不等式 定理定理3.2 (馬爾可夫馬爾可夫(markov)不等式不等式)：對隨機(jī)變量對隨機(jī)變量x 和任意的和任意的 0，有，有.0,|1|xexp證明證明: 設(shè)設(shè)x為連續(xù)型為連續(xù)型, 密度函數(shù)為密度函數(shù)為 f (x), 則則)|(|)()()()()(|)(|)(|xpxpxpdxxfdxxfdxxfxdxxfxdxxfxxe11基礎(chǔ)教學(xué)上式常稱為上式常稱為切比雪夫（切

7、比雪夫（chebyshev）不等式）不等式 222)(| )(|1| )(|xvarxexexexp在馬爾可夫不等式中取在馬爾可夫不等式中取 = 2, x 取為取為x-ex 得得是概率論中的一個基本不等式是概率論中的一個基本不等式. 12基礎(chǔ)教學(xué)例例6.6.已知某種股票每股價格已知某種股票每股價格x的平均的平均值為值為1 1元，標(biāo)準(zhǔn)差為元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.10.1元，求元，求a，使，使股價超過股價超過1+1+a元或低于元或低于1-1-a元的概率小元的概率小于于10%10%。解：解：由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式201. 0)| 1(|aaxp令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0

8、 a13基礎(chǔ)教學(xué)例例7. 7. 在每次試驗中，事件在每次試驗中，事件a 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n 需要多么需要多么大時，才能使得在大時，才能使得在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗中次獨(dú)立重復(fù)試驗中, , 事事件件a 出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.74 0.76之間的概率至之間的概率至少為少為0.90?解解: :設(shè)設(shè)x x 為為n n 次試驗中事件次試驗中事件a a 出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，的最小的的最小的n n .900760740.).(nxp則則 xb(n, 0.75).而所求為滿足而所求為滿足于是于是e(x)=0.75n, var(y)=0.7

9、5*0.25n=0.1875n14基礎(chǔ)教學(xué) =p(-0.01nx-0.75n 0.01n)2)01. 0()(1nxvar = p |x-e(x)| 0.01n20001. 01875. 01nnn18751p(0.74n x0.76n )76.074.0(nxp)76.074.0(nxp可改寫為可改寫為 在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，則則0.01 = p |x-e(x)| 0.01n15基礎(chǔ)教學(xué)187509 . 011875n解得解得依題意，取依題意，取9 . 018751n 即即n 取取1875018750時，可以使得在時，可以使得在 n 次獨(dú)立重復(fù)次獨(dú)立重復(fù)試驗中試驗中,

10、, 事件事件a 出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在 0.74 0.76之之間的概率至少為間的概率至少為0.90 .0.90 .16基礎(chǔ)教學(xué)定理定理3.3 (cauchy-schwarz不等式不等式) 設(shè)設(shè)ex2 ， ey2 0, var (y ) 0 , 稱稱)()(),cov()()()()(yvarxvaryxyvarxvaryeyxexe為為x ,y x ,y 的的 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)，記為，記為)()(),cov(yvarxvaryxxy事實(shí)上事實(shí)上，),cov(yxxy 若若, 0xy 稱稱 x , y 不相關(guān)不相關(guān).無量綱無量綱 的量的量20基礎(chǔ)教學(xué)利用函數(shù)的期望或方差計算協(xié)方差利用函數(shù)的期望

11、或方差計算協(xié)方差q 若若 ( x ,y ) 為離散型為離散型，ijijjipyeyxexyx11)()(),cov(q 若若 ( x ,y ) 為連續(xù)型為連續(xù)型， dxdyyxfyeyxexyx),()()(),cov(q )()()(),cov(yexexyeyx)()()(21ydxdyxd21基礎(chǔ)教學(xué)求求 cov (x ,y ), xy 1 0 p qx p 1 0 p qy p 例例8.8.已知已知 x ,y 的聯(lián)合分布為的聯(lián)合分布為xypij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解: 1 0 p qx y p 22基礎(chǔ)教學(xué),)(,)(,)(,)(pqyvarpqx

12、varpyepxe,)(pxye. 1)()(),cov(,)()()(),cov(yvarxvaryxpqyexexyeyxxy23基礎(chǔ)教學(xué)例例9.9. 設(shè)設(shè) ( x ,y ) n ( 1, 12, 2, 22, ), 求求 xy 解解:dxdyyxfyxyx),()(),cov(21 dsdtestttstysx222221121)()1 (2122112 令dudteutttuuts22221)1 (2221)(12 令24基礎(chǔ)教學(xué)dtetduetu222212)1 (222112 21 xy定理定理：若：若 ( x ,y ) n ( 1, 12, 2, 22, ),則則x , y 相互

13、獨(dú)立相互獨(dú)立x , y 不相關(guān)不相關(guān)因此，因此，25基礎(chǔ)教學(xué)例例10.10.設(shè)設(shè) u(0, 2 ), x =cos , y =cos( + ), 是給定的常數(shù)，求是給定的常數(shù)，求 xy . 解解:其他,20,21)(ttf,021)cos()(,021cos)(2020dttyedttxe26基礎(chǔ)教學(xué)cos2121)cos()cos()(20dtttxyecos21),cov(yx,2121)(cos)(,2121cos)(20222022dttyedttxe,21)(,21)(yvarxvarcosxy27基礎(chǔ)教學(xué)協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)q )()()(),cov(),cov(yexexye

14、xyyxq q q q ),cov(),cov(yxabbyax),cov(),cov(),cov(zyzxzyx)(),cov(xvarxx)()(| ),cov(|2yvarxvaryx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)1)()(0xextyeyp時，等式成立時，等式成立cauchy-schwarz不等式不等式協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)28基礎(chǔ)教學(xué)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)q q 1|xy1|xycauchy-schwarz不等式不等式的等號成立的等號成立即即y y 與與x x 有線性關(guān)系的概率等于有線性關(guān)系的概率等于1 1，這種線性關(guān)系為這種線性關(guān)系為1)()()()(xdxexydy

15、eyp29基礎(chǔ)教學(xué)q 0xyx , y x , y 不相關(guān)不相關(guān)0),cov(yx)()()(yexexye)()()(yvarxvaryxvar注：注：x x與與y y不不相關(guān)僅僅是不相關(guān)僅僅是不線性線性相關(guān)，可以相關(guān)，可以非線性相關(guān)。非線性相關(guān)。30基礎(chǔ)教學(xué)q x,y x,y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立x,y x,y 不相關(guān)不相關(guān)若若 x , y x , y 服從二維正態(tài)分布，服從二維正態(tài)分布，x,y x,y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立x,y x,y 不相關(guān)不相關(guān)31基礎(chǔ)教學(xué)若若x , y 是兩個隨機(jī)變量，用是兩個隨機(jī)變量，用x x 的線性函數(shù)去的線性函數(shù)去逼近逼近y 所產(chǎn)生的均方誤差為所產(chǎn)生的均方誤差為2)

16、(baxye當(dāng)取當(dāng)取)()()()()()(,)()()(),cov(xexdydyexeayebxdydxdyxaxyxy使得均方誤差最小使得均方誤差最小.例：最小二乘法例：最小二乘法的思想的思想若若 則線性逼近無意義。則線性逼近無意義。 為什么？為什么？, 0xy32基礎(chǔ)教學(xué)例例11.11.設(shè)設(shè) ( x ,y ) n ( 1,4; 1,4; 0.5 ), z = x + y , 求求 xz 解解:, 4)()(, 1)()(yvarxvaryexe2),cov(,21yxxy6),cov(),cov(),cov(yxxxzx12),cov(2)()()()(yxyvarxvaryxvarz

17、var231226xz33基礎(chǔ)教學(xué) 例例12：設(shè)設(shè)x n(0,4), y p(2), xy =1/2, 求求 e(x+y)2 .解解: :e(x+y)2 =e(x+y)2+var(x+y)注意到注意到=ex+ey)2+var(x)+var(y)+2cov(x, y)把條件代入即得把條件代入即得 e(x+y)2 =)()(),cov(yvarxvaryxxy由題設(shè)知由題設(shè)知: ex=0, var(x)=4, ey=2, var(y)=2, xy =1/2, 而而221034基礎(chǔ)教學(xué) 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y), k , l 為非負(fù)整數(shù)。為非負(fù)整數(shù)。 mk = e(xk ) 稱為稱為x的的k階原點(diǎn)矩，階原點(diǎn)矩， k = e(x-e(x)k 稱為稱為x的的k 階中心矩，階中心矩， mkl = e(x k y l ) 稱為稱為x和和y的的(k, l )階混合原階混合原點(diǎn)矩點(diǎn)矩， kl = e(x-e(x)k(y-e(y)l 稱為稱為x和和y的的(k,l)階混合