(word完整版)平面向量知識點(diǎn)總結(jié),推薦文檔

1、平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)平面向量知識點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量， 注意向量和數(shù)量的區(qū)別 . 向量常用有向線段來表示 .注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移 .舉例 1uuurr( 1,3) 平移后得到的向量是 _.結(jié)果： (3,0)已知 A (1,2) ， B(4,2) ，則把向量 AB按向量 a2.零向量 ：長度為 0 的向量叫零向量，記作：r0 ，規(guī)定：零向量的方向是任意的；uuuruuur3.單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量AB）；（與 AB 共線的單位向量是uuur|AB|4. 相等向量 ：長度相等且方向相同的兩個向

2、量叫相等向量，相等向量有傳遞性； rrr 5.平行向量（也叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量a、 b 叫做平行向量，記作： b ，ra規(guī)定： 零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；r平行向量無傳遞性！ （因?yàn)橛? ) ；uuuruuur三點(diǎn) A、B、C 共線AB、AC 共線 .rr6. 相反向量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量記作a .r rrr舉例 2 如下列命題：（ 1）若 | a | | b | ，則 ab .（ 2

3、）兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同. uuur uuuur（ 3）若 AB DC ，則 ABCD 是平行四邊形 .uuuruuuur（4）若 ABCD 是平行四邊形，則 ABDC .rrrrrr（5）若 a b ， bc ，則 a c .rrrrrr其中正確的是.結(jié)果：（4）（ 5）（6）若 a / /b ， b / /c 則 a / / c .二、向量的表示方法uuur1. 幾何表示 ：用帶箭頭的有向線段表示，如AB ，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2. 符號表示 ：用一個小寫的英文字母來表示，如rrra ， b ，c 等；rr3. 坐標(biāo)表示 ：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x 軸

4、、 y 軸方向相同的兩個單位向量ri, j 為基底，則平面內(nèi)的任一向量rrrrr(x, y) 叫a 可表示為 axiyj( x, y) ，稱 ( x, y) 為向量 a 的坐標(biāo)，ar做向量 a 的坐標(biāo)表示 .結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理r定理設(shè)rr同一平面內(nèi)的一組基底向量，12a 是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對re , err( 1 , 2 ) ，使 a1e12e2 .rr（1）定理核心：rrra1e12e2 ；（2）從左向右看，是對向量a 的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對向量a 的合成 .（3）向量的正交分解：當(dāng)rrrrrr的正

5、交分解e1,e2時，就說 a1e12e2為對向量 a舉例 3rrr1,2)r.結(jié)果：1 r3r（1）若 a(1,1) ， b(1, 1) ， c (，則 ca2b .2（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是Br(0,0)r(1, 2)B.rrC.rr(6,10)r(2,r13A. e1， e2e1( 1,2) ， e2 (5,7)e1 (3,5)， e2D. e13) ， e2,4uuur uuuruuurruuurruuurrr2.結(jié)果：（3）已知 AD, BE 分別是 ABC 的邊 BC ， AC 上的中線 , 且 ADa， BEb , 則 BC 可用向量 a ,b 表示為2 r

6、4 rab .33uuuruuuruuuruuuruuurs的值是.結(jié)果： 0.（4）已知 ABC 中，點(diǎn) D 在 BC 邊上，且 CD2DB ， CDrABsAC ，則 r四、實(shí)數(shù)與向量的積rr實(shí)數(shù)與向量a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下：（ 1）模： |r|ra | | a |；rrrr（ 2）方向：當(dāng)0時，的方向與的方向相a 的方向與a 的方向相同，當(dāng)0 時， aa1平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)反，當(dāng)0 時，rra0 ，注意：ra 0 .五、平面向量的數(shù)量積rruuurruuurr1. 兩個向量的夾角 ：對于非零向量AOBa ， b ，作 OAa ， OBb ，則把為向量rra

7、 ， b 的夾角 .rrr當(dāng)rrr0 時， a ， b 同向；當(dāng)時， a ， b 反向；當(dāng)時， a ， b 垂直 .rr22. 平面向量的數(shù)量積，我們把數(shù)量：如果兩個非零向量 a ， b ，它們的夾角為rr，記作：r rrrrr叫做 a 與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積）a b ，即 ab | a | |b | cos .(0) 稱rr| a | b | cos規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不再是一個向量.uuuruuur uuuruuuruuur結(jié)果： 9.舉例 4 （1） ABC 中， | AB| 3，|AC| 4，|BC| 5，則 AB BC _.（ 2）已知（

8、 3）已知（ 4）已知rar| a |r r a,b1r0,1rrr1,， b2， cakb2rrrr2 ， | b |5 ， a b3 ，則 | a是兩個非零向量，且rrr| a | | b | | arrrrr，則 k _.結(jié)果： 1.， dab ， c 與 d 的夾角為r4_.結(jié)果： 23 .b |rrrr結(jié)果： 30o.b |，則 a 與 ab 的夾角為 _.rrr0.3. 向量 b 在向量 a 上的投影： | b | cos ，它是一個實(shí)數(shù)，但不一定大于舉例 5已知rrrrrr結(jié)果：12.| a | 3 ， | b | 5 ，且 ab12 ，則向量 a在向量 b 上的投影為 _.5r

9、rrrrrrr4.的模上的投影的積 .a b 的幾何意義 ：數(shù)量積 ab 等于 a| a | 與 b 在 a5. 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量rr，則：a ， b ，其夾角為（rrrr0 ；1） aba b（2）當(dāng)rrrrrrr 2r rr 2rr2；a 、 b 同向時， ab| a | b | ，特別地，aaa| a | a |arrrrr、rab| a | b | 是 ab 同向的 充要分條件 ；rrrrrrrrrrrr當(dāng) a 、 b 反向時，ab| a | b |，a b| a | b | 是 a、 b 反向的 充要分條件 ；當(dāng)為銳角時，rr0 ，且rrr r0 是為銳角的 必要不充

10、分條件 ；a ba 、 b 不同向，a b當(dāng)為鈍角時，rr0 ，且rrr r0 是為鈍角的 必要不充分條件 .a ba 、 b 不反向； a brrrrrrrr（ 3）非零向量的計(jì)算公式： cosaba ， b 夾角rr； ab| a | b |.rr| a | b |舉例6r(,2),2)r的取值范圍是 _.結(jié)果：40 且（ 1）已知 a， b (3，如果 a 與 b 的夾角為銳角，則或31 ；3uuuruuur1，若 1Suuuruuur的取值范圍是 _.結(jié)果：,；（2）已知 OFQ 的面積為 S ，且 OFFQ3 ，則OF ，F(xiàn)Q 夾角3r224r(cos y,sin y) ，且滿足rr

11、rr0 ）.（3）已知 a(cos x,sin x) ， b| ka b | 3 | a kb | （其中 krrrrrr的大小 .rr k211，用 k 表示 ab ；求 ab 的最小值，并求此時a與 b 的夾角結(jié)果： ab4k( k 0) ；最小值為260o .六、向量的運(yùn)算1. 幾何運(yùn)算（ 1）向量加法運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形法則.uuurruuurruuur運(yùn)算形式：若 AB a ， BC b ，則向量 AC 叫做作圖：略 .注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.rrrruuuruuuruuura 與 b 的和，即 abABBCAC ；2平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)（ 2）向量的減法

12、運(yùn)算法則：三角形法則 .rrruuuruuuruuuruuurruuur運(yùn)算形式：若 ABa ， ACb ，則 abABACCA，即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn) .作圖：略 .注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.舉例 7uuuruuuruuuruuur（1）化簡： ABBCCDr； CB； 0uuur（2）若正方形ABCD 的邊長為1， ABuuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuur.uuur； ABADDC； (ABCD)( ACBD )結(jié)果： AD ；ruuurruuurrrrr.結(jié)果： 22 ；a ， BCb ， ACc，則 | abc |（3）若 O 是 ABC 所在平

13、面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足uuuruuuruuuruuuruuur結(jié)果：直角三角形；OBOCOBOC 2OA ，則 ABC 的形狀為 .uuuruuuruuuruuurr| uuurAP |，則的值為.（4）若 D 為 ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)， ABC 所在平面內(nèi)有一點(diǎn) P ，滿足 PABPCP 0，設(shè)|PD|結(jié)果： 2；uuuruuuruuurr，則 ABC 的內(nèi)角 C 為 .結(jié)果： 120o .（5）若點(diǎn) O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0r( x1 , y1)r(x2 , y2) ，則2. 坐標(biāo)運(yùn)算 ：設(shè) a， brr（ 1）向量的加減法運(yùn)算 ： ar( x1x2 , y1y2 ) ，

14、 ar(x1x2 , y1y2 ) .bb舉例 8 （1）已知點(diǎn) A(2,3)， B(5,4)， C(7,10)uuuruuuruuurR)，則當(dāng)_時，點(diǎn) P 在第一、三象限的角平分，若 APABAC (線上 .結(jié)果：1；21 uuur（2）已知 A (2,3)， B(1,4) ，且(sin x,cos y) ， x, y(,) ，則 x y.結(jié)果：或；2AB62uuruuruur22uuruuruuruur（3）已知作用在點(diǎn) A(1,1)的三個力 F1(3,4)，F(xiàn)2(2,5) ，F(xiàn)3(3,1) ，則合力 FF1F2F3 的終點(diǎn)坐標(biāo)是.結(jié)果：(9,1) .r(x1, y1 )(x1 ,y1

15、) .（ 2）實(shí)數(shù)與向量的積 ： auuur（ 3）若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，則 AB( x2x1 , y2y1 ) ，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).舉例 9 設(shè) A(2,3)， B( 1,5)uuur1 uuuruuuruuur結(jié)果：11，且 AC3AB，AD3AB ，則 C, D 的坐標(biāo)分別是 _.(1, ),( 7,9) .r3rx1x2y1 y2 .（ 4）平面向量數(shù)量積 ： ab舉例 10rr(sin x,sinr( 1,0) .已知向量 a (sin x,cos x) ， bx) ， c（1）若 x，求向量 ar

16、 、 cr 的夾角；3r（2）若 x3f (x)r1，求的值 . 結(jié)果：（1） 150o；（2）1或21 ., ，函數(shù)ab 的最大值為2284r 2r2x2y2rx22.（ 5）向量的模 ： a| a | a |y舉例 11rr60o，那么rr .結(jié)果：13 .已知 a,b 均為單位向量，它們的夾角為| a3b |（ 6）兩點(diǎn)間的距離 ：若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2)，則 |AB|( x2x1 )2( y2y1)2 .舉例 12 如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy 中， xOy60o ，平面上任一點(diǎn)P 關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若uuurrrrrOPxe1ye2 ，其中

17、 e1 ,e2 分別為與 x 軸、 y 軸同方向的單位向量，則 P 點(diǎn)斜坐標(biāo)為 (x, y) .（1）若點(diǎn) P 的斜坐標(biāo)為 (2,2)，求 P到O的距離 |PO|；（2）求以 O 為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy 中的方程 .結(jié)果：（ 1）2；（2） x2 y2xy1 0 .y60oOx七、向量的運(yùn)算律rrrrrrrrr1.r(交換律： abba ，a) a ， a bb a ；2.rrrrrrrrrrrrrrrrrr結(jié)合律： abc(ab )c ， abca(bc) ， (a)b(a b )a ( b) ；3.分配律： (rrrrrrr，rrrr rrr.)aaa ，( ab )ab

18、(ab ) ca cbc舉例 13 給出下列命題：rrrrrr r；rrrrrrrr2r 2rrr 2；a(bc)aba ca ( bc)(ab )c ；(ab )| a |2| a | b | b |3平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)rrrrrrr rrrrrr 2rr rrr rr 2r 2rr2r 2r rr 22；a bb2. 若 ab0 ，則 a0 或 b0 ；若 a bc b 則 ac ； | a |ar 2r； (a b )ab； (ab )a2a bbaa其中正確的是.結(jié)果： .說明：（ 1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個實(shí)數(shù)，

19、兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即rrrrrra(bc )(ab)c ，為什么？八、向量平行( 共線 ) 的充要條件rrr rrr2rr2x1 y2y1 x20 .a / /ba b(a b)(| a | b |)舉例 14(1)rrrr結(jié)果： 2.若向量 a( x,1) ， b(4, x) ，當(dāng) x _時， a 與 b 共線且方向相同 .rrrrrrrrr r，則 x.結(jié)果： 4.（2）已知 a(1,1) ， b(4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / /v（3）設(shè)

20、uuuruuur(4,5)uuur(10,k) ，則 k_ 時， A,B ,C 共線 .結(jié)果：2或11.PA(k,12) ， PB， PC九、向量垂直的充要條件rrrrrrr rx1 x2y1 y20 .a ba b 0| a b | | a b |uuuruuuruuuruuur特別地ABACABAC.uuuruuuruuuruuur|AB|AC|AB| AC|舉例 15 (1)uuuruuuruuuruuur已知 OA ( 1,2) ， OB(3, m) ，若 OAOB ，則 m（2）以原點(diǎn) O 和 A (4,2) 為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB ，rrrrrr的坐標(biāo)是（3）已知 n(a

21、 ,b) 向量 nm ，且| n | m | ，則 m.結(jié)果： m 3 ；2B90，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是.結(jié)果： (1,3)或（ 3， 1）；.結(jié)果： (b, a) 或 ( b, a) .十、線段的定比分點(diǎn)1.Puuuruuur，定義：設(shè)點(diǎn)是直線1 2上異于1、 2的任意一點(diǎn)， 若存在一個實(shí)數(shù)，使 1PP2PPPPuuuurPPuuuur則實(shí)數(shù)叫做點(diǎn) P 分有向線段 P1P2 所成的比， P 點(diǎn)叫做有向線段P1 P2 的以定比為的定比分點(diǎn) .2. 的符號與分點(diǎn) P 的位置之間的關(guān)系 uuuur（ 1）P內(nèi)分線段，即點(diǎn)P在線段 12P1 P2PP 上0；（ 2） P 外分線段uuuur時，點(diǎn) P

22、在線段1 2 的延長線上1，點(diǎn) P 在線段1 2的反P1 P2PPPP向延長線上10 .uuuuruuuur注： 若點(diǎn) P 分有向線段，則點(diǎn) P 分有向線段所成的比為 1 .PP12 所成的比為P2P1舉例 16uuuruuur結(jié)果：7 .若點(diǎn) P 分 AB 所成的比為3 ，則 A分 BP所成的比為.433. 線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè) 1uuuur11，222)，點(diǎn)P(x, y)分有向線段1 2 所成的比為，則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為P (x , y )P ( x , yPPxx1x2 ,1(1) .yy1y2 .1xx1x2 ,特別地，當(dāng)1時，就得到線段1 2 的中點(diǎn)坐標(biāo)公式2PPy1y2 .y

23、說明：（1）在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確2(x, y)， (x1 , y1) 、 (x2 , y2 ) 的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo).（2）在具體計(jì)算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比.舉例 17（1）若 M ( 3,uuuur1uuuur.結(jié)果： ( 6,72) ， N(6,1) ，且 MPMN ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為) ；3uuuuruuuur3（2）已知 A (a ,0) ， B(3,2 a) ，直線 y1r.結(jié)果：或4 .ax 與線段 AB 交于 M ，且 AM2MB ，則 a24平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)十一、平移公式r(h,k) 平移至

24、 P(x , y ) ，則xxh ,；曲線 f ( x, y)r如果點(diǎn) P(x, y) 按向量 ayyk.0 按向量 a (h,k)平移得曲線f (x h, y k)0 .說明：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（舉例 18r3) 平移到 (1, 2) ，則按向量（1）按向量 a 把 (2,2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了?。平移到點(diǎn) _.結(jié)果： ( 8,3) ；a 把點(diǎn) ( 7,2)（2）函數(shù) ysin 2x 的圖象按向量rr_.結(jié)果： ( ,1) .a 平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2 x 1 ，則 a4十二、向量中一些常用的結(jié)論1. 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；rrrrrr2. 模的性質(zhì)： | a | b | ab | a | b | .（ 1）右邊等號成立條件：rrrrrrra、b 同向或 a、b 中有 0| ab |（ 2）左邊等號成立條件：rrrrrrra、b 反向或 a、b 中有 0| ab |r rrrrrrr（ 3）當(dāng) a、b 不共線| a