復(fù)數(shù)知識點歸納

1、_復(fù)數(shù)【知識梳理】一、復(fù)數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質(zhì)i 叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：i 可與實數(shù)進行四則運算；i 21；這樣方程x 21 就有解了，解為 xi 或 xi2、復(fù)數(shù)的概念（ 1）定義：形如a( ， R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)， 其中i叫做虛數(shù)單位，a叫做， 叫做。bi a bb全體復(fù)數(shù)所成的集合C 叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母z 表示，即 zabi (a，b R)對于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點： zabi (a， b R)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中bi 表示 b 與虛數(shù)單位 i 相乘復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)，否則不是代數(shù)形式（ 2）分類：滿足條件 (a， b 為實數(shù) )a bi 為實數(shù)? b 0復(fù)數(shù)

2、的分類a bi 為虛數(shù)? b 0a bi 為純虛數(shù)? a 0 且 b 0例題： 當(dāng)實數(shù) m 為何值時，復(fù)數(shù)(m5m6)(m23m )i 是實數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？二、復(fù)數(shù)相等abicdiac, bd (a, b,c, dR)也就是說，兩個復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等注意： 只有兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知 (xy3)( x4)i0 求 x, y 的值精品資料_三、共軛復(fù)數(shù)abi 與 c di 共軛ac, bd (a, b, c, dR)_a2b2za bi 的共軛復(fù)數(shù)記作z abi ，且 z z四、復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)

3、數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x 軸叫做實軸，y 軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。2、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù) zabi 與復(fù)平面內(nèi)的點Z (a,b) 及平面向量 OZ(a, b) (a,bR) 是一一對應(yīng)關(guān)系 （復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對，有序?qū)崝?shù)對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量）相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)例題：（ 1）當(dāng)實數(shù) m 為何值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z ( m28m 15) (m25m 14)i 的點位于第三象限；位于直線 y x 上（ 2）復(fù)平面內(nèi)AB(2,6) ，已知 CD/ AB ，求 CD 對應(yīng)的復(fù)數(shù)3、復(fù)數(shù)的模：向量 OZ 的模叫做復(fù)數(shù)z a

4、bi 的模，記作z 或 a bi ，表示點 (a, b) 到原點的距離，即za bia2b2， zz若 z1a bi ，z2c di ，則 z1z2 表示 (a, b) 到 (c, d ) 的距離，即 z1 z2(a c) 2(bd )2例題： 已知 z2i ，求 z1i 的值五、復(fù)數(shù)的運算精品資料_（ 1）運算法則：設(shè)z1 a bi ，z2 c di ，a， b， c， d R z1z2a bi c di (a c) (b d)i z1z2(abi )(cdi )(acbd )(bc ad )i z1(abi )( abi )(cdi )(acbd )(bc ad )iz2(c di )(

5、c di ) ( c di )c2d 2（ 2）幾何意義： 復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1 ZZ2 可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即OZ OZ1OZ2 ， Z1Z2OZ2 OZ1.六、常用結(jié)論（ 1） i ， i 21， i 3i ， i 41求 i n ，只需將 n 除以 4 看余數(shù)是幾就是 i 的幾次例題： i 675（ 2） (1 i) 22i ， (1 i )22i（3）( 13 i )31， (13 i )312222【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“” 或 “×” )(1)方程 x2 x1 0 沒有解 .(

6、)(2)復(fù)數(shù) z abi(a，b R)中，虛部為 bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4)原點是實軸與虛軸的交點 .()(5) 復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()【考點自測】1.(2015 ·安徽 )設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1 i)(1 2i) 等于 ()A.3 3iB. 1 3iC.3 iD. 1 i2.(2015 ·課標(biāo)全國 )已知復(fù)數(shù)z 滿足 (z 1)i 1i ，則 z 等于 ()A. 2 iB. 2 iC.2 iD.2 i精品資料_3. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6 5i ， 2 3i 對應(yīng)

7、的點分別為A，B.若 C 為線段 AB 的中點，則點C 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.4 8iB.8 2iC.2 4iD.4 i4. 已知a， R ，i 是虛數(shù)單位 .若 i2 i，則 (i)2 等于 ()bababA.3 4iB.3 4iC.4 3iD.4 3i5. 已知 (1 2i) z 4 3i，則 z _.【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念10(aR )是純虛數(shù)，則a 的值為 ()例 1(1) 設(shè) i 是虛數(shù)單位 .若復(fù)數(shù) z a3 iA.3B.1C.1D.3(2) 已知 a R，復(fù)數(shù) z1 2 ai，z2 1 2i ，若z1z1為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為 ()z2z22A.1B.iC.D.05(3)

8、 若 z1 (m2 m 1) (m2 m 4)i(m R)， z2 3 2i，則 “ m 1 ”是 “ z1 z2 ” 的 ()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件引申探究1. 對本例 (1) 中的復(fù)數(shù)z，若 |z|10 ，求 a 的值 .z12. 在本例 (2) 中，若 為實數(shù)，則 a_. z2精品資料_思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1) 復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式 )組即可 .(2) 解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a bi(a， bR )

9、的形式，以確定實部和虛部 .(1) 若復(fù)數(shù) z (x2 1) (x 1)i 為純虛數(shù)，則實數(shù)x 的值為 ()A.1B.0C.1D. 1 或 1(2)(2014 ·浙江 )已知 i 是虛數(shù)單位，a， b R，則 “ a b1 ” 是 “ (a bi) 2 2i” 的 ()A. 充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運算命題點 1復(fù)數(shù)的乘法運算例 2(1)(2015 ·湖北 )i 為虛數(shù)單位， i607 的共軛復(fù)數(shù)為 ()A.iB. iC.1D.1(2)(2015·北京 )復(fù)數(shù) i(2 i)等于 ()A.1 2iB.1

10、 2iC. 1 2iD. 1 2i命題點 2復(fù)數(shù)的除法運算1 i 2例 3(1)(2015 ·湖南 )已知 1 i(i 為虛數(shù)單位 )，則復(fù)數(shù) z 等于 ()zA.1 iB.1 iC. 1iD. 1 i1 i23i(2)()6 _.1 i32i命題點 3復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合問題例 4(1)(2015 ·天津 )i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1 2i)( a i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a 的值為 _.(2)(2014 ·江蘇 )已知復(fù)數(shù)z (5 2i) 2 (i 為虛數(shù)單位 ) ，則 z 的實部為 _.精品資料_命題點 4復(fù)數(shù)的綜合運算z例 5(1)(2014 ·

11、;安徽 )設(shè) i 是虛數(shù)單位，z 表示復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù) .若 z 1 i，則 i·z 等于 ()iA. 2B. 2iC.2D.2i(2) 若復(fù)數(shù) z 滿足 (3 4i) z |4 3i|，則 z 的虛部為 ()44A.4B.C.4D.55思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略(1) 復(fù)數(shù)的乘法 .復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i 的看作一類同類項，不含i 的看作另一類同類項，分別合并即可.(2) 復(fù)數(shù)的除法 .除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i 的冪寫成最簡形式.(3) 復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題， 先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡

12、， 一般化為 a bi( a，bR )的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答 .(4) 復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為a bi( a，b R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.(5) 復(fù)數(shù)的綜合運算 .分別運用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的 .z(1)(2015·山東 )若復(fù)數(shù) z 滿足i，其中 i 為虛數(shù)單位，則z 等于 ()1 iA.1 iB.1 iC. 1 iD. 1 i1i2 016 _.(2)1 i 23 i22 016 _.(3)3i1 21 i精品資料_題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例 6(1)

13、(2014 ·重慶 )實部為 2，虛部為1 的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于復(fù)平面的()A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2) ABC 的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1， z2，z3，若復(fù)數(shù) z 滿足 |z z1 | |z z2| |zz3|，則 z對應(yīng)的點為 ABC 的 ()A. 內(nèi)心B. 垂心C. 重心D. 外心思維升華因為復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.(1) 如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A 表示復(fù)數(shù) z，則圖中表示z 的共軛復(fù)數(shù)的點是()A.AB.BC.CD.Dz(2) 已知

14、 z 是復(fù)數(shù)， z 2i、均為實數(shù) (i 為虛數(shù)單位 )，且復(fù)數(shù) (z ai) 2 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一2 i象限，求實數(shù)a 的取值范圍 .【思想與方法】解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想典例已知 x， y 為共軛復(fù)數(shù)，且(x y)2 3 xyi4 6i，求 x， y.思維點撥(1) x，y 為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來；(2) 利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.精品資料_溫馨提醒(1) 復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法.(2) 本題求解的關(guān)鍵是先把x、 y 用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學(xué)方法 .(3) 本題易錯原因

15、為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.【方法與技巧】1. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.2. 復(fù)數(shù) z a bi( a，b R )是由它的實部和虛部唯一確定的， 兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法 .對于一個復(fù)數(shù) z a bi( a， b R)，既要從整體的角度去認(rèn)識它，把復(fù)數(shù)看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識.3. 在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合 .【失誤與防范】1. 判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0 是不

16、夠的，還需考慮它的實部是否有意義.2. 兩個虛數(shù)不能比較大小 .3. 注意復(fù)數(shù)的虛部是指在 a bi(a， bR )中的實數(shù) b，即虛部是一個實數(shù) .【鞏固練習(xí)】1.(2015 ·福建 )若 (1 i) (2 3i) a bi(a， b R ，i 是虛數(shù)單位 )，則 a， b 的值分別等于()A.3 ， 2B.3,2C.3 ， 3D. 1,42. 設(shè) z1 i，則 |z|等于 ()1 i123A.B.C.D.22223.(2015 ·課標(biāo)全國 )若 a 為實數(shù)，且 (2 ai)( a 2i) 4i，則 a 等于 ()A.1B.0C.1D.2Z 表示復(fù)數(shù) z，則表示復(fù)數(shù)z4.

17、 若 i 為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點的點是()1 i精品資料_A.EB.FC.GD.H5.(2014·江西 ) z 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，若z z 2 ，(z z )i 2(i 為虛數(shù)單位 )，則 z 等于 ()A.1 iB. 1 iC. 1 iD.1 i6.(2015·江蘇 )設(shè)復(fù)數(shù) z滿足 z2 3 4i(i是虛數(shù)單位 )，則 z 的模為 _.3 bi7. 若 a bi( a，b 為實數(shù)， i 為虛數(shù)單位 ) ，則 a b _. 1 i8.復(fù)數(shù) (3 i) m (2 i) 對應(yīng)的點在第三象限內(nèi)，則實數(shù)m 的取值范圍是 _. 1 i2 i1 2i 2 3 1 i1 i1 i

18、1 3i9.計算： (1)i3； (2)2 i；(3)1 i 21 i 2； (4)3 i 2.3210. 復(fù)數(shù) z1 (10 a2)i ， z2 (2 a 5)i ，若 z 1z2 是實數(shù)，求實數(shù)a 的值 .a 51 a【能力提升】11. 復(fù)數(shù) z1 ，z2 滿足 z1 m (4 m2)i， z22cos ( 3sin )i( m， ， R )，并且 z1 z2 ，則 的取值范圍是 ()精品資料_999A. 1,1B. ， 1C. ，7D.，71616161 i1 i12. 設(shè)()nn( N*)，則集合 ()中元素的個數(shù)為 ()f n1 i1nf niA.1B.2C.3D. 無數(shù)個13. 已

19、知復(fù)數(shù) z x yi，且 |z 2| y3 ，則 的最大值為 _.xa 1 i14.設(shè) a R，若復(fù)數(shù) z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x y 0 上，則 a 的值為 _.1 i215.若 12i 是關(guān)于 x 的實系數(shù)方程x2 bx c 0 的一個復(fù)數(shù)根， 則 b _，c _.【鞏固練習(xí)參考答案】21A.2.B.3.B.4.D.5.D.6.5.7.3.8.m< .31 i2i 3 i9. 解 (1)i 3 i 1 3i.(2)1 2i 2 3 1 i3 4i 33iii 2 i1 22 i2 i5 i.2 i5 5(3)1 i1 i1 i1 i1 i 1 i 1.1 i 21 i22i 2i 221 3i3 i i i i(4)3 i 23 i 23 i3210. 解z 1 z2 (a2 10)i