北郵概率統(tǒng)計課件5.2中心極限定理

1、概率統(tǒng)計11/2/2021 在概率論中，我們已經(jīng)知道正態(tài)分布居在概率論中，我們已經(jīng)知道正態(tài)分布居于頭等重要的地位，許多隨機變量都遵循于頭等重要的地位，許多隨機變量都遵循正態(tài)分布。自從高斯指出測量誤差服從正正態(tài)分布。自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見。并且大量實驗觀察也表明界中極為常見。并且大量實驗觀察也表明如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大，中所起的作用不大， 則這種量一般都服從則這種量一般都服

2、從或近似服從正態(tài)分布?；蚪品恼龖B(tài)分布。第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理 問題的引出問題的引出 高斯高斯 概率統(tǒng)計11/2/2021(1). 具有有限方差的一列獨立同分布的隨機變量的具有有限方差的一列獨立同分布的隨機變量的 和經(jīng)過標準化后是以標準正態(tài)分布為極限的，和經(jīng)過標準化后是以標準正態(tài)分布為極限的， 這就是獨立同分布的中心極限定理這就是獨立同分布的中心極限定理 或或 稱為稱為 林德貝爾格林德貝爾格-勒維中心極限定理勒維中心極限定理。當同分布。當同分布 為二項分布時就得出該定理的特例，即為：為二項分布時就得出該定理的特例，即為： 棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理，拉普拉斯定理，它也是二項分

3、布的它也是二項分布的 正態(tài)近似。正態(tài)近似。這僅僅是經(jīng)驗之談呢，還是確有理論依據(jù)呢？對于這僅僅是經(jīng)驗之談呢，還是確有理論依據(jù)呢？對于這樣一個重要問題，在長達兩個世紀內一直成為概這樣一個重要問題，在長達兩個世紀內一直成為概率論研究的中心問題。數(shù)學家們經(jīng)過卓越工作建立率論研究的中心問題。數(shù)學家們經(jīng)過卓越工作建立了一系列定理，解決了這一問題，并了一系列定理，解決了這一問題，并指出指出:概率統(tǒng)計11/2/2021(2). 對對“由大量微小的獨立的隨機因素由大量微小的獨立的隨機因素”（不要求同（不要求同分分 布）引起并累積成的變量，當隨機因素個數(shù)趨于布）引起并累積成的變量，當隨機因素個數(shù)趨于 無窮時以正態(tài)

4、分布為極限。這就是無窮時以正態(tài)分布為極限。這就是李雅普諾夫中李雅普諾夫中 心極限定理心極限定理。比如：比如：一臺機床已經(jīng)調試良好，操作正常。但由一臺機床已經(jīng)調試良好，操作正常。但由于機床的微小震動、工具的微小變形、原材料質于機床的微小震動、工具的微小變形、原材料質量上的微小差異、工作操作上的微小偏差等等數(shù)量上的微小差異、工作操作上的微小偏差等等數(shù)不清的隨機因素，它們每一個因素在總的影響中不清的隨機因素，它們每一個因素在總的影響中所起的作用都是微小的。而綜合起來在產品質量所起的作用都是微小的。而綜合起來在產品質量上就形成一定的誤差，這誤差近似服從正態(tài)分布。上就形成一定的誤差，這誤差近似服從正態(tài)分

5、布。概率統(tǒng)計11/2/2021在一定條件下，大量的在一定條件下，大量的隨機變量之和隨機變量之和的概率分布的概率分布以正態(tài)分布為極限的定理稱為中心極限定理。以正態(tài)分布為極限的定理稱為中心極限定理。 在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做布這一類定理都叫做中心極限定理中心極限定理。故：故：研究獨立隨機變量研究獨立隨機變量之和之和所特有的規(guī)律性問題。當所特有的規(guī)律性問題。當 n 無限增大時，這個和的極限分布是什么？在什無限增大時，這個和的極限分布是什么？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？研究的問題：研究的問題：

6、概率統(tǒng)計11/2/2021 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生生 的的總影響總影響：例如：例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著 許多隨機因素的影響：許多隨機因素的影響： 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 如如，瞄準時的誤差，空氣阻力所產生的誤，瞄準時的誤差，空氣阻力所產生的誤 差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.而所要研究的是：這些而所要研究的是：這些隨機因素的總影響隨機因素的總影響。概率統(tǒng)計11/2/2021一一. 獨立同分布中心極限定理獨立同分布中心極限定

7、理定理定理1. 設隨機變量設隨機變量 相互獨立且服從同相互獨立且服從同一分布，其數(shù)學期望與方差一分布，其數(shù)學期望與方差:12,nXXX )(kXE2(),(1,2)kD Xk 111121()()nnnnkkkkkkkknnkkXEXXnXnYnnDX （林德貝爾格（林德貝爾格-勒維勒維(LevyLindberg)定理）定理）則隨機變量則隨機變量之和之和1nkkX 的的標準化變量標準化變量：概率統(tǒng)計11/2/20212121lim( )lim2ntkxknnnXnFxPxedtn 的分布函數(shù)的分布函數(shù) 對于任意對于任意 滿足滿足: ( )nFxx證：證： (略略) 它要用到特征函數(shù)和傅利葉變換

8、等等。它要用到特征函數(shù)和傅利葉變換等等。 注注: 定理定理1 表明表明，當，當 n 充分大時，充分大時，n 個具有期望和個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布。態(tài)分布。 雖然在一般情況下，很難求出雖然在一般情況下，很難求出 X1+ X2 + + Xn 的分布的確切形式，但當?shù)姆植嫉拇_切形式，但當 n 很大時，可以求很大時，可以求出其近似分布。出其近似分布。概率統(tǒng)計11/2/2021定理定理1 表達表達了正態(tài)分布在概率論中的了正態(tài)分布在概率論中的特殊特殊地位地位:12,nXXX盡管盡管 分布是分布是任意任意的，但只要的，但只要 n 充充

9、分大后，其樣本平均值分大后，其樣本平均值 的分布卻是近似的分布卻是近似服從正態(tài)分布的：服從正態(tài)分布的：11nkkXn 11111()11()nnnkkkkkknXnXXE XnnYnnD Xnn ) )(1(),(121XDnXENXnnkk服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布即即 或或)N 2 2X X ( ( , ,n n這一結果是數(shù)理統(tǒng)計中這一結果是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本統(tǒng)計推斷的基礎大樣本統(tǒng)計推斷的基礎概率統(tǒng)計11/2/2021二二. 李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理定理定理2. 設隨機變量設隨機變量 相互獨立，它們相互獨立，它們具有數(shù)學期望和方差為：具有數(shù)學期望和方差為：12,nXXX2(),()0 ,1

10、,2kkkkE XD Xk 22110 ,nkknkEXB ( Liapunov 中心極限定理中心極限定理)221,nnkkB 記記, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)n 使得當使得當概率統(tǒng)計11/2/202111111()()nnnnkkkkkkkknnnkkXEXXZBDX 則隨機變量則隨機變量之和之和1nkkX 的的標準化變量標準化變量：的分布函數(shù)的分布函數(shù) 對于任意對于任意 滿足滿足: ( )nFxx21121lim( )lim2nntkkxkknnnnXFxPxedtB 證明：證明：（略）（略）概率統(tǒng)計11/2/2021注注: 定理定理2表明表明， 當當 n 充分大時，隨機變量：充分大時，隨機變

11、量：11nnkkkknnXZB 近似服從標準正態(tài)分布。近似服從標準正態(tài)分布。 21 (,)nknkNB 即，即，11nnknnkkkXB Z 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 由此，由此，定理定理2再次表達再次表達了正態(tài)分布在概率論中的了正態(tài)分布在概率論中的特殊特殊地位：地位：kX無論各個隨機變量無論各個隨機變量 服從什么分服從什么分布，只要滿足定理布，只要滿足定理2的條件，那么的條件，那么它們的和它們的和當當n 充分大時就近似服從正態(tài)分布。充分大時就近似服從正態(tài)分布。概率統(tǒng)計11/2/2021三三. 棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理定理定理3.（De Moiverelaplace 中心

12、極限定理）中心極限定理）設隨機變量設隨機變量 相互獨立，且服相互獨立，且服從參數(shù)為從參數(shù)為 的二項分布，則對的二項分布，則對任意任意 恒有恒有:12,n ,(01)n pp x221lim(1)2txnnnpPxedtnpp 證明證明:服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的二項分布的二項分布,(01)n pp 若隨機變量若隨機變量 相互獨立，且服從相互獨立，且服從同一同一(01)分布，分布，12,nXXX12nXXX 則則見教材見教材P125例例6 的結論的結論概率統(tǒng)計11/2/2021由此由此 是是 n 個相互獨立，服從同一個相互獨立，服從同一 (0-1) 分布的分布的 之和。即：之和。即： n nXXX

13、21,1nnkkX (1,2)kXkn 其中其中 的分布律為：的分布律為：1()(1)0,1iikP Xippi (),()(1) (1,2)kkE XpD Xppkn 由由定理定理1得：得：1limlim(1)(1)nknknnXnpnpPxPxnppnpp 2212txedt 概率統(tǒng)計11/2/2021注注:定理定理3表明表明，正態(tài)分布是二項分布的極限分布，正態(tài)分布是二項分布的極限分布，當當 n 充分大時可以用正態(tài)分布來計算二項分充分大時可以用正態(tài)分布來計算二項分布的概率。布的概率。在第二章中已介紹當在第二章中已介紹當 時，二項分布以時，二項分布以泊松分布為極限分布；而在本章中二項分布又泊

14、松分布為極限分布；而在本章中二項分布又以正態(tài)分布為極限分布。這以正態(tài)分布為極限分布。這兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別是：是： n在在泊松定理泊松定理中要求中要求)( 為常數(shù)為常數(shù) np在在中心極限定理中心極限定理中要求中要求 np所以在實際計算中，如果所以在實際計算中，如果 n 很大但很大但 np或或 nq 不不大大 ( 即即 p 很小或很小或 q =1-p 很小很小 )，那么應該用泊，那么應該用泊松定理去近似；如果松定理去近似；如果 n，np 或或 nq 都較大，那都較大，那么應該用中心極限定理去近似。么應該用中心極限定理去近似。概率統(tǒng)計11/2/2021中心極限定理的直觀中心極限定理的直觀圖示圖示例

15、例: 20個服從（個服從（01）分）分布布 的隨機變量的和的分布的隨機變量的和的分布X1 f ( x)X1 +X2 g ( x )X1 +X2+X3 h ( x )例例: 幾個在幾個在( 0, 1 )上服從均勻分上服從均勻分布的隨機變量的和的分布。布的隨機變量的和的分布。0123xfgh概率統(tǒng)計11/2/2021例例1. 抽樣檢查產品質量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于抽樣檢查產品質量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個則個則認為這批產品不能接受。認為這批產品不能接受。解解: 設應檢查產品個數(shù)為設應檢查產品個數(shù)為 n ，其中次品數(shù)為，其中次品數(shù)為 X，則，則( , 0.1),XB n0.1 ,0.3npnnpqn

16、現(xiàn)要現(xiàn)要求求 n ，使得：，使得：(10)0.9PXn (10)PXn 100.10.10.1()0.30.30.3nXnnnPnnn 求：求：應該檢查多少個產品，可使次品率為應該檢查多少個產品，可使次品率為 10% 的的一一 批次品不能接受的概率達到批次品不能接受的概率達到 0. 9?由由定定理理3近似服從近似服從N( 0, 1 )概率統(tǒng)計11/2/2021100.10.1(3)0.30.3nXnPnnn100.1(3)()0.3nnn 100.11()0.3nn 由由3準則，準則， 為為 1(3)n (10)0.9PXn 要要只要只要：100.11()0.90.3nn 100.1()0.1

17、0.3nn 即要即要：此時由于此時由于：100.1()0.50.3nn 概率統(tǒng)計11/2/2021必定有必定有：100.100.3nn 0.1101()0.10.3nn 只要只要：4390( )0.5Pzz 附附表表2 2中中所以要所以要：100.1()0.10.3nn 因為因為()1( )xx 即即0.110()0.90.3nn 查表得查表得:(1.28)0.9故故0.1101.280.3nn 146n結論：結論：應檢查應檢查 146 個產品時，可使這批產品不被接受的概個產品時，可使這批產品不被接受的概 率為率為0. 9概率統(tǒng)計11/2/2021例例 2.計算機進行加法計算時，把每個加數(shù)取為

18、最接計算機進行加法計算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計算。設所有的取數(shù)誤差是相互近它的整數(shù)來計算。設所有的取數(shù)誤差是相互獨立的隨機變量，并且都在區(qū)間獨立的隨機變量，并且都在區(qū)間 -0.5, 0.5 上服從均勻分布。上服從均勻分布。求求: 現(xiàn)有現(xiàn)有1200個數(shù)相加，誤差總和的絕對值小于個數(shù)相加，誤差總和的絕對值小于 10 的概率。的概率。(2) 應有多少個數(shù)相加時可使誤差總和的絕對值小應有多少個數(shù)相加時可使誤差總和的絕對值小 于于10 的概率大于的概率大于0. 9解解:nXXX,21設設 為各個加數(shù)的取數(shù)誤差為各個加數(shù)的取數(shù)誤差則這是一列獨立同分布的隨機變量，其所有加則這是一列獨立同分布的隨

19、機變量，其所有加數(shù)的誤差總和為：數(shù)的誤差總和為：1nkkX 概率統(tǒng)計11/2/20210.50.5()0,2kE X20.5( 0.5)1()1212kD X 從而從而：11()0,()12nnkkkknE XD X (1).12001(1010 )kkPX (1,2,)kXkn 0.5 0.5 ，在在服從均勻分布服從均勻分布11200()1012nkkD X 這里這里:)10(12001 kkXP概率統(tǒng)計11/2/202110100100()101010nkkXP 1(11)10nkkXP (1)( 1) 2(1)12 0.845310.6826(2).1(10 )nkkPX 1010010

20、0()121212nkkXPnnn 由由定定理理1近似服從近似服從N ( 0, 1 )概率統(tǒng)計11/2/2021133(2020)2nkkXPnnn 32( 20)1n1(10 )0.9,nkkPX 只要只要:32( 20)10.9n3( 20)0.95n查表得查表得:(1.65)0.950530.95 65. 1320 n解得解得:441 n結論結論: 441 個數(shù)個數(shù)相加時可使誤相加時可使誤差總和的絕對差總和的絕對值小于值小于10 的概的概率大于率大于0. 9所以要所以要概率統(tǒng)計11/2/2021例例3. 在人壽保險公司里，有在人壽保險公司里，有16000名同一年齡的人名同一年齡的人參加人壽保險。一年里這些人的死亡率為參加人壽保險。一年里這些人的死亡率為0.1%；參加保險的人在一年的第一天交付保；參加保險的人在一年的第一天交付保險費險費3元，死亡時家屬可以從保險公司領取元，死亡時家屬可以從保險公司領取2000元。元。求求: (1). 保險公司因開展這項業(yè)務獲利不少于保險公司因開展這項業(yè)務獲利不少于10000 元的概率元的概率(2). 保險公司因開展這