正余弦函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

1、X 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 定義域定義域值值 域域x Ry - 1, 1 一、函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)的奇偶性x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R)設(shè)設(shè)(x,y)是正弦曲線是正弦曲線y=sinx(xR)上任意一點(diǎn)，即上任意一點(diǎn)，即(x,sinx)是正弦是正弦曲線上的一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是(-x,-y)即即(-x,-sinx)。由誘導(dǎo)公式由誘導(dǎo)公式sin(-x)=-sinx可知，這個

2、對稱點(diǎn)就是可知，這個對稱點(diǎn)就是(-x,sin(-x)。它顯然也在正弦曲線上，它顯然也在正弦曲線上， 所以所以正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，正弦函數(shù)是奇函數(shù)。，正弦函數(shù)是奇函數(shù)。奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x x，都有都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，則稱，則稱f(x)f(x)為這一定義域內(nèi)的為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)奇函數(shù)。 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。 x6yo-12345-2-3-41y=cosx (x R)設(shè)設(shè)(x,y)是余弦曲線是余弦曲線y=cosx(xR

3、)上任意一點(diǎn)，即上任意一點(diǎn)，即(x,cosx)是是余弦曲線上的一點(diǎn)，它關(guān)于余弦曲線上的一點(diǎn)，它關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是軸的對稱點(diǎn)是(-x,y)即即(-x,cosx)。由誘導(dǎo)公式。由誘導(dǎo)公式cos(-x)=cosx可知，這個對稱點(diǎn)就可知，這個對稱點(diǎn)就是是(-x,cos(-x)。它顯然也在余弦曲線上，。它顯然也在余弦曲線上， 所以所以余弦曲線關(guān)于余弦曲線關(guān)于y軸對稱軸對稱，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x x，都有都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)，則稱，則稱f(x)f(x)

4、為這一定義域內(nèi)的為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)偶函數(shù)。 偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y y軸對稱。軸對稱。 sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函數(shù)奇函數(shù)x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是是偶函數(shù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性例例1：判斷函數(shù)奇偶性：判斷函數(shù)奇偶性(1) y=-sin3x xR (2) y=|sinx|+|cosx| xR(3) y=1+sinx xR解解:(1)f(-x)=-sin3(

5、-x)=-(-sin3x)=-f(x),且且f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以此函數(shù)是奇函數(shù)。的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以此函數(shù)是奇函數(shù)。(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且且f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以此函數(shù)是偶函數(shù)。的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以此函數(shù)是偶函數(shù)。(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinx f(-x)-f(x)且且f(-x)f(x)所以此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。所以此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。 二、正弦函數(shù)的單調(diào)性二、正弦函數(shù)的單調(diào)性 y=sinx (x R)增區(qū)間為增區(qū)間為 ， 其值從其值從-1增

6、至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0 -1減區(qū)間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從 1減至減至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 余弦函數(shù)的單調(diào)性余弦函數(shù)的單調(diào)性 y=cosx (x R) x cosx2 2 - 0 -1 0 1 0 -1增區(qū)間為增區(qū)間為 其值從其值從-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z 減區(qū)間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從 1減至減至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 例例2

7、.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y=3sin(2x- )4 222242kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為83,8 kk所以：所以：解：解：單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為87,83 kkk Zk Zk Zk Zk Zk Z例例3 不通過求值，指出下列各式大于不通過求值，指出下列各式大于0還是小于還是小于0： (1) sin( ) sin( )18 10 (2) cos( ) - cos( ) 523 417 解：解：218102 又又 y=sinx 在在 上是增函數(shù)上是增函數(shù)2,2 sin( ) 018 10 解：解： 5340cos

8、cos 4 53 即：即： cos cos 053 4 又又 y=cosx 在在 上是減函數(shù)上是減函數(shù), 0 cos( )=cos =cos 523 523 53 417 cos( )=cos =cos 417 4 從而從而 cos( ) - cos( ) 0523 417 演示文稿 后 等福音影視網(wǎng) http:/ 福音影視網(wǎng) 巒孞尛練習(xí):增區(qū)間)26sin() 1xy2)sincos( 2 ,2 )22xxy在內(nèi)的增區(qū)間sin(2)43)2xy單調(diào)區(qū)間。4)lgtan(2 )3yx減區(qū)間小小 結(jié)：結(jié)： 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性 奇偶性奇偶性 單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù) +2k , +2k ,k Z2 2 單調(diào)遞增單調(diào)遞增 +2k , +2k ,k Z2 23 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 +2k , 2k ,k Z