數(shù)學建模模型與應用

1、Mathematica軟件常用功能【實驗目的】1. 用Mathematica軟件進行各種數(shù)學處理;2. 用Mathematica軟件進行作圖;3. 用Mathematica軟件編寫程序.【注意事項】Mathematica中大寫小寫是有區(qū)別的，如Name、name、NAME等是不同的變量名或函數(shù)名。系統(tǒng)所提供的功能大部分以系統(tǒng)函數(shù)的形式給出，內(nèi)部函數(shù)一般寫全稱，而且一定是以大寫英文字母開頭，如Sinx,Conjugatez等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 32*36 ,x y,2 Sinx等；乘冪可以用“”表示，如x0.5,Tanxy。 自定義的變量可以取幾乎任意的名稱，長度不限，但

2、不可以數(shù)字開頭。當你賦予變量任何一個值，除非你明顯地改變該值或使用Clear變量名或“變量名=.”取消該值為止，它將始終保持原值不變。 一定要注意四種括號的用法：()圓括號表示項的結(jié)合順序，如(x+(yx+1/(2x);方括號表示函數(shù)，如Logx,BesselJx,1；大括號表示一個“表”(一組數(shù)字、任意表達式、函數(shù)等的集合)，如2x,Sin12 Pi,1+A,y*x；雙方括號表示“表”或“表達式”的下標，如a2,3、1,2,31=1。 Mathematica的語句書寫十分方便，一個語句可以分為多行寫，同一行可以寫多個語句（但要以分號間隔）。當語句以分號結(jié)束時，語句計算后不做輸出（輸出語句除外

3、），否則將輸出計算的結(jié)果。命令行“Shift+Enter”才是執(zhí)行這個命令。§1. 初等代數(shù)1.1 有理式的運算1. 多項式的展開表1.1多項式展開的常用命令命令說明Expandpoly展開多項式polyFactorpoly對多項式poly作因式分解FactorTermspoly提取數(shù)字公因子Exponentpoly,x多項式poly中x的最高次數(shù)Coefficientpoly,expr多項式poly中項expr的系數(shù)polyn或Partpoly,n多項式poly的第n項Lengthpoly多項式poly的總項數(shù)In1:=f=Expand(x+y+3)2Out1=9+6x+x2+6y

4、+2xy+y2In2:=FactorfOut2=(3+x+y)2In3:=Exponentf,xOut3=2In4:=Coefficientf,xOut4=6+2y2. 有理式的運算In5:=Factor(x3+2x+1)/(x3+x2+x+1)Out5=In6:=Apart%Out6=表1.2有理式運算的常用命令命令說明ExpandNumeratorexpr展開分子ExpandDenominatorexpr展開分母Expandexpr展開分子，每項除以分母ExpandAllexpr分子，分母完全展開Numeratorexpr取出分式約簡后的分子Denominatorexpr取出分式約簡后的分

5、母Togetherexpr通分Apartexpr分解為部分分式之和Cancelexpr約分Factorexpr將分子分母作因式分解，并約分3. 多項式的代數(shù)運算表1.3多項式代數(shù)運算的常用命令命令說明PolynomialQuotientp,q,xx的多項式p與q相除的商式PolynomialRemainderp,q,xx的多項式p與q相除的余式PolynomialGCDp1,p2,多項式p1,p2,的最大公因式PolynomialLCMp1,p2,多項式p1,p2,的最小公倍式In7:=PolynomialQuotient1+x2,x+1,xOut7=-1+xIn8:=PolynomialGC

6、Dx2+2x+1,x3+1,x5+1Out8=1+x1.2方程求解表1.4方程（組）求解的常用命令命令說明Solve方程或方程組,變量求方程（組）的精確解NSolve方程或方程組,變量求方程（組）的（全部）近似解FindRoot方程,變量,初值用Newton法求方程的一個近似解FindRoot方程,變量,初值1,初值2用割線法求方程的一個近似解FindRoot方程組,變量1,初值1,變量2,初值2,用Newton法求方程組的一組近似解Reduce方程，變量推導方程的解In1:=Solvea*x+b=0,xOut1=In2:=Reducea*x+b=0,xOut2=In3:=FindRootSi

7、nx=0,x,3Out3=x3.14159In4:=FindRootSinx=0,x,6,6.5Out4=x6.28319In5:=FindRoot2x+y2=4,x2+Siny=1,x,0,y,0Out5=x1.38686,y-1.17682§2. 微積分微積分的常用命令如表1.5所示，下面是一些例子.In1:=LimitSinx/x,x->0Out1=1In2:=DSinn*x,xOut2=n Cosn xIn3:=DSinn*x,x,3Out3=-n3Cosn xIn4:=DtSinn*x,xOut4=Cosn x (n + x Dtn, x)In5:=DtSinn*x,

8、x,Constants->nOut5=n Cosn xIn6:=IntegrateLogx,xOut6=-x + x LogxIn7:=IntegrateTanx*Tany,x,0,1,y,0,1Out7=LogCos12In8:=NIntegrateExp-x2/2,x,0,InfinityOut8=1.25331In9:=DSolvey'x-yx=1,yx,xOut9= yx -> -1 + E x C1In10:=SeriesArcTanx,x,0,5Out10=表1.5微積分的常用命令命令說明Limitfx,x->x0求極限D(zhuǎn)f,x求導數(shù)（或偏導數(shù)）Df,x1

9、,x2,求偏導數(shù)Df,x,n求高階導數(shù)（或）Df,x,NonConstants->v1,v2,求導數(shù)，其中是的函數(shù)Dtf全微分Dtf,x全導數(shù)Dtf,x1,x2,全導數(shù)Dtf,x,Constants->c1,c2,全導數(shù)，其中看作常數(shù)Integratef,x不定積分Integratef,x,y,不定積分Integratef,x,a,b定積分NIntegratef,x,a,b數(shù)值積分Integratef,x,a,b,y,c,d二重積分NIntegratef,x,a,b,y,c,d數(shù)值積分Seriesf,x,x0,n展開冪級數(shù)DSolveeqns,yx,x解常微分方程NDSolveeq

10、ns,yx,x,xmin,xmax求常微分方程在區(qū)間xmin,xmax的數(shù)值解§3. 線性代數(shù)3.1 向量與矩陣的定義表1.6向量與矩陣的定義的常用命令命令說明Arraya,n定義一個n維向量Arraya,m,n定義一個m行n列矩陣Tablefi,i,imin,imax,di元素為fi的向量Tablefi,j,i,imin,imax,di,j,jmin,jmax,dj元素為fi,j的矩陣IdentityMatrixnn階單位矩陣In1:=A=Arraya,2,2;a1,1=2;a1,2=3;a2,1=4;a2,2=5;AOut2=2, 3, 4, 5In3:=B=Table1.0,2

11、,2Out3=1., 1., 1., 1.3.2向量與矩陣的運算向量與矩陣都可以看作為集合，因此有關集合的運算都能適用于向量與矩陣.另外，向量與矩陣還有下面的一些運算：表1.7向量與矩陣的定義的常用命令命令說明A+cA為矩陣或向量，c為標量，A+c表示A中每個元素與c相加A+B（A-B）矩陣的加(減)法A，B為同階矩陣或向量c*A矩陣的數(shù)乘(c為標量)u.v向量的內(nèi)積A.B矩陣的乘法DetA矩陣的行列式TransposeA矩陣的轉(zhuǎn)置InverseA矩陣求逆EigenvaluesA矩陣的特征值EigenvectorsA矩陣的特征向量EigensystemA矩陣的特征值與特征向量構(gòu)成的集合fA將函

12、數(shù)fx作用于矩陣A的每一個元素In4:=R=A-2*BOut4=0., 1., 2., 3.In5:=InverseROut5=-1.5,0.5,1,0In6:=EigenvectorsROut6=-0.270323, -0.96277, -0.871928, 0.489634In7:=ExpROut7=1., 2.71828, 7.38906, 20.0855§4. 計算方法4.1插值Mathematica軟件中的插值有兩種形式InterpolatingPolynomialdata,var多項式插值Interpolationdata一般插值其中data為被插值的數(shù)據(jù)，形式為x1,y

13、1,x2,y2,xn,ynvar為插值變量，一般可取為x.In1:=d=Tablex,Logx,x,1.0,3.0;InterpolatingPolynomiald,xOut2=(0.693147 - 0.143841 (-2. + x) (-1. + x)In3:=dat=Tablex,Sinx,x,0,2.0,0.1;f=InterpolationdatOut4=InterpolatingFunction0., 2., <>在上面的第二個例子中，輸出結(jié)果表示一個0,2上的插值函數(shù)，此插值函數(shù)無法給出表達式.我們可以比較函數(shù)Sinx與所得到的插值函數(shù)的誤差.In5:=PlotSi

14、nx-fx,x,0,2圖1.1 擬合誤差圖由圖1.1可以看出，兩個函數(shù)的誤差相當小(數(shù)量級為10-6).4.2 擬合下面的命令用來對數(shù)據(jù)data進行最小二乘擬合.Fitdata,funs,vars其中data為要擬合的數(shù)據(jù)，funs為擬合函數(shù)的基，vars為擬合的變量.In6:=Cleard,dat;d=Tablex,Logx,x,1,10,1;Fitd,1,x,x2,xOut8=-0.355396+0.529707x-0.0272091x24.3 最優(yōu)化下面的命令用來求函數(shù)fx在x0附近的極小值.FindMinimumfx,x,x0In9:=t=FindMinimumSinx, x, 5Ou

15、t9=-1., x -> 4.71239若要在程序中引用上面的結(jié)果中的函數(shù)的極小值或x的值，可以用下面的命令：In10:=t1Out10=-1.In11:=x/.t2,1 (*在此處等價于x/.x->4.71239*)Out11=4.71239§5. Mathematica軟件中的作圖5.1 二維函數(shù)作圖給出一個一元函數(shù)及其作圖區(qū)間，用Plot語句可以立刻作出函數(shù)在相應區(qū)間上的圖形.In1:=PlotSinx,x,0,2Pi (*圖1.2*)In2:=PlotSinx,x,0,2Pi,AspectRatio->Automatic,PlotStyle->Gray

16、Level0.1,Dashing0.02,0.01,Thickness0.01,AxesLabel->”x”,”y” (*圖1.3*)Plot命令的一般形式為：Plotfx,x,xmin,xmax,選項在繪制圖形時，允許使用選項對繪制圖形的細節(jié)提出各種要求和設置.如果不設置任何選項，則Mathematica軟件作圖時選項取默認值. 圖1.2 的函數(shù)圖形(1) 圖1.3 的函數(shù)圖形(2)Plot語句的各種常用的選項如下：表1.8 Plot語句的各種常用的選項 選項默認值意義AspectRatio1/GoldRatio=0.618圖形高度與寬度的比例.如果要圖形按實際情況顯示，設置的選項應為

17、Automatic.AxesAutomatic是否畫坐標軸以及設置坐標軸的中心位置.選項值為None時,不設坐標軸.AxesLabelNone設置坐標軸上的標記符號.用“字符串”，“ 字符串”的形式定義軸的橫坐標和縱坐標標記.PlotLabelNone圖形的名稱標志.PlotLabel->“圖名”，加上所給圖名.DisPlayFunction$ DisPlayFunction如何顯示圖形.選項值為Identity時，只生成圖形但不顯示.PlotRangeAutomatic圖形中坐標的范圍.PlotPoints22采樣函數(shù)的點數(shù).對于函數(shù)值變化劇烈的表達式，應設定較大的點數(shù).PlotSty

18、leAutomatic設置曲線的樣式.取默認值時畫出一條黑色、實的曲線.其它可選項介紹見表1.9.PlotStyle的常用選項見表1.9.表1.9 PlotStyle的可選項選項意義Graylevelg灰度比值,g取到之間的數(shù),為白色,為黑色.RGBColorr,g,b紅、綠、藍三色的強度，r,g,b取到之間的數(shù).Thicknesst線的寬度值為t.Hueh色調(diào)，h取0到1之間的實數(shù).Dashingr1,r2,線以虛線表示，虛線長度為r1,r2, 5.2二維參數(shù)作圖使用Plot命令只能繪出一般的函數(shù)曲線，要繪制參數(shù)曲線，可以用ParametricPlot命令,其一般形式為：Parametric

19、Plotxt,yt,t,tmin,tmax,選項In3:=ParametricPlotCost,Sint,t,0,2Pi 圖1.4 參數(shù)方程繪制的圓(1) 圖1.5 參數(shù)方程繪制的圓(2)In3中輸入的是一個圓的參數(shù)方程，但由于系統(tǒng)默認的高寬比為0.618，故畫出的是一個橢圓(圖1.4)，改變圖形的高寬比可畫出一個圓.In4:=ParametricPlotCost,Sint,t,0,2Pi,AspectRatio->Automatic (*圖1.5*)5.3 三維函數(shù)作圖作出二元函數(shù)的立體圖形的命令是Plot3D，其格式為：Plot3Dfx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ym

20、ax,選項In5:=Plot3DSinSqrtx2+y2,x,-5,5,y,-5,5 (*圖1.6*)與Plot語句類似，Plot3D語句中也可以加入許多選項.圖1.6 三維函數(shù)作圖1 圖1.7 三維函數(shù)作圖2In6:=Plot3DSinSqrtx2+y2,x,-5,5,y,-5,5,Boxed->False,Axes->False,PlotPoints->50,Mesh->False (*圖1.7*)表1.10 Plot3D語句的各種常用的選項 選項默認值意義AspectRatio1圖形高度與寬度的比例.AxesTrue是否畫坐標軸AxesLabelNone設置坐標軸

21、上的標記符號.BoxedTrue是否顯示外框MeshTrue是否在表面畫網(wǎng)格PlotRangeAutomatic圖形中坐標的范圍.PlotPoints15采樣函數(shù)的點數(shù).ShadingTrue表面是陰影還是空白5.4 三維參數(shù)作圖在Mathematica軟件中三維參數(shù)作圖有兩種形式，一種是空間曲線參數(shù)作圖，其命令為：ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,tmin,tmax,選項下面的命令給出圖1.8中的螺旋線.In7:=ParametricPlot3D6Cost,6Sint,3*t,t,-8,8,AspectRatio->1另一種是空間曲面參數(shù)作圖，其命令為：Parame

22、tricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,umin,umax,v,vmin,vmax,選項圖1.9是如下命令畫出的球面.In8:=ParametricPlot3DCosu*Cosv,Sinu*Cosv,Sinv,u,0,2Pi,v,-Pi/2,Pi/2,Boxed->False 圖1.8 空間曲線參數(shù)作圖 圖1.9 空間曲面參數(shù)作圖5.5 數(shù)據(jù)作圖Mathematica軟件也可以根據(jù)一組數(shù)據(jù)作出圖形，其命令為：ListPlot數(shù)據(jù),選項In9:=p=Tablen,Primen,n,1,20;ListPlotp (*圖1.10*)In10:=ListPlotp,PlotStyl

23、e->AbsolutePointSize4 (*圖1.11,將點的大小定義為4個單位*)In11:=ListPlotp,PlotJoined->True (*圖1.12,將相鄰的點用線段相連*) 圖1.10 散點圖1 圖1.11 散點圖2圖1.12 連線散點圖5.6 圖形的組合上述的各種圖形命令中，ParametricPlot, ParametricPlot3D， Plot三個語句不僅可以畫出一個函數(shù)的圖形，而且可以同時畫出幾個函數(shù)的圖形.其一般形式為：圖形命令函數(shù)1，函數(shù)2，變量范圍，選項In12:=PlotSinx,x,x-x3/6,x-x3/6+x5/120,x,-2Pi,2

24、Pi (*圖1.13*)In13:=ParametricPlot3DCosu*Cosv,Sinu*Cosv,Sinv,2Cosu*Cosv, 2Sinu*Cosv,2Sinv,u,0,Pi,v,-Pi/2,Pi/2,Boxed->False,Axes->False(*圖1.14*)17 圖1.13 組合圖形(1) 圖1.14 組合圖形(2)5.7圖形元素作圖如果要繪制一些最基本的圖形，如點，線段，圓等，可以先用Graphics語句(三維圖用Graphics3D)作出基本的圖形元素，再用Show語句顯示圖形.常用的二維圖形元素與三維圖形元素分別見表1.11及表1.12.表1.11常用

25、的二維圖形元素二維圖形元素幾何意義Pointx,y點x,yLinex1,y1,x2,y2,連接x1,y1,x2,y2,的折線段Rectanglex1,y1,x2,y2以為對角線兩頂點的填實矩形Polygonx1,y1,x2,y2,以x1,y1,x2,y2,為頂點的填實多邊形Circlex,y,r圓心在x,y，半徑為r的圓Circlex,y,rx,ry中心在x,y，長短半軸分別為rx,ry的橢圓Circlex,y,r,t1,t2從弧度t1到弧度t2的圓弧Diskx,y,r圓心在x,y，半徑為r的填實圓Text“expr”,x,y在x,y處的文本“expr”執(zhí)行下列語句所得圖形為圖1.15:v1=

26、GraphicsCircle0,0,3.5,4;v2=GraphicsLine-2,2.5,-1,2.5;v3=GraphicsLine2,2.5,1,2.5;v4=GraphicsCircle-1.5,1.5,0.5;v5=GraphicsCircle1.5,1.5,0.5;v6=GraphicsDisk-1.65,1.5,0.15;v7=GraphicsDisk1.35,1.5,0.15;v8=GraphicsPolygon-0.5,-1,0.5,-1,0,0;v9=GraphicsCircle0,-2,0.5,0.3;v10=GraphicsText"我是誰?",0,

27、-5;Showv1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9,v10,AspectRatio->Automatic圖1.15 圖形元素作圖表1.12常用的三維圖形元素三維圖形元素幾何意義Pointx,y,z點x,y,zLinex1,y1,z1,x2,y2,z2,依次連接x1,y1,z1,x2,y2,z2,的折線段Polygonx1,y1,z1,x2,y2,z2,以x1,y1,z1,x2,y2,z2,為頂點的填實多面體Cuboidx1,y1,z1,x2,y2,z2以x1,y1,z1,x2,y2,z2為對角線兩頂點的立方體Text“expr”,x,y,z在x,y,z處的文本“expr”

28、5.8 圖形的重繪Mathematica軟件在屏幕上顯示圖形后，可以用Show命令再現(xiàn)圖形、組合圖形和修改圖形的各種選項.Show命令的一般形式見表1.13：表1.13 Show命令的一般形式命 令說 明Showpic顯示圖形picShowpic,選項名->選項值修改圖形pic的各種選項并顯示圖形Showpic1,pic2,.,picn將pic1,pic2,picn在一起顯示§6. 編程6.1分支結(jié)構(gòu)在復雜的計算中常需要根據(jù)表達式的情況（它是否滿足一些條件）確定是否做某些處理，或在滿足不同的條件時做不同的處理.Mathematica軟件提供了一些描述條件分支的結(jié)構(gòu)，它們常用在程

29、序里，用于控制程序的執(zhí)行過程.1. If語句Mathematica軟件中If語句有三種形式.形式一：Iftest,expr當test的值為True時，對expr求值，將它的值作為整個語句的值；當test的值為False時，則給出空值Null.形式二：Iftest,expr1,expr2當test的值為True時，求expr1的值作為整個語句的值；當test的值為False時，求expr2的值作為整個語句的值.形式三：Iftest,expr1,expr2,expr3當test的值為True時，求expr1的值作為整個語句的值；當test的值為False時，求expr2的值作為整個語句的值；當te

30、st求不出值為True與False時，求expr3的值作為整個語句的值.In1:=absx_=Ifx>=0,x,-xIn1中定義出的函數(shù)absx即為絕對值函數(shù)Absx.In2:=fx_:=Ifx>5,3,2,1In3:=f6Out3=3In4:=f5Out4=2In5:=faOut5=12. Which語句Whichtest1,expr1,test2,expr2,該語句依次求出每一個條件的值，當求出第一個值為True的條件時，求出對應表達式的值作為整個語句的值.例：In6:=gx_:=Whichx>=8,8,x>=6,6,x>=4,4,True,0用“True”作為Which語句的最后一個條件，可以處理“其它”情況.在此處即為，當x<4時，gx取值為0.6.2循環(huán)結(jié)構(gòu)高級程序設計語言都提供了描述重復執(zhí)行的循環(huán)語句.在Mathematica軟件中也提供了一些類似的循環(huán)控制結(jié)構(gòu).1. Whiletest,expr在計算時，條件test先被求值.若求出值為True，則對表達式求值，然后再重復上述過程；一旦test的值不是True，整個循環(huán)結(jié)構(gòu)計算結(jié)束.例如下面的程序可用來計算