02半群與群優(yōu)教課堂

1、近世代數(shù)及其應用近世代數(shù)及其應用n羅守山羅守山 教授教授 博士生導師博士生導師n北京郵電大學計算機學院北京郵電大學計算機學院1課堂教育第第2章章 半群與群半群與群n本章研究最基本的代數(shù)系統(tǒng)：群本章研究最基本的代數(shù)系統(tǒng)：群 (集合中只有集合中只有一種二元運算一種二元運算)。n群論是代數(shù)學中最古老最豐富的分支之一，是群論是代數(shù)學中最古老最豐富的分支之一，是 近世代數(shù)的基礎。近世代數(shù)的基礎。n變換群在幾何學中起著重要的作用，有限群是變換群在幾何學中起著重要的作用，有限群是伽羅華理論的基礎。伽羅華理論的基礎。n群在編碼理論、信息安全等方面有應用。群在編碼理論、信息安全等方面有應用。2課堂教育第第1節(jié)：

2、半群與含幺半群節(jié)：半群與含幺半群3課堂教育4課堂教育5課堂教育6課堂教育7課堂教育8課堂教育9課堂教育10課堂教育11課堂教育12課堂教育13課堂教育14課堂教育15課堂教育16課堂教育17課堂教育18課堂教育19課堂教育20課堂教育21課堂教育22課堂教育23課堂教育24課堂教育25課堂教育26課堂教育27課堂教育28課堂教育29課堂教育30課堂教育31課堂教育32課堂教育第第2節(jié)：群的定義及性質(zhì)節(jié)：群的定義及性質(zhì) 111,1,2, ,;34,1121231234ga bg a bg a bga b cg ab ca bcgeage aa eaagaga aaaea baba bb 定義1：

3、非空集g上一個運算 ，對封閉性 是 中唯一元素；結(jié)合律 存在單位元 在 中有元素 ，；存在（唯一）逆元 存使僅滿足是代數(shù)系統(tǒng)，僅滿足是半群。僅滿足是含幺半群。滿足是群。 可簡記若還滿足a 是交換群（阿貝爾群）。33課堂教育34課堂教育群的例群的例*0,z,+r,rrr ,例：（）整數(shù)對加法構(gòu)成交換群。 （） 實數(shù)對乘法構(gòu)成含幺半群。 記（）構(gòu)成群。35課堂教育36課堂教育37課堂教育38課堂教育39課堂教育40課堂教育41課堂教育42課堂教育43課堂教育群的定理群的定理1（等價定義）（等價定義）44課堂教育45課堂教育46課堂教育群的定理群的定理2 （等價定義）（等價定義）1111111111

4、,a bgaxbaa axa bexa bxa byabayaabayebayba證“”求的解，兩邊同時左乘， 則， 有解 對，兩邊同時右乘， 有解47課堂教育48課堂教育歸納群的等價定義歸納群的等價定義 111,1,2, ,;34,ga bg a bg a bga b cg ab ca bcgeage aa eaagaga aaaea bb a 定義1：非空集g上一個運算 ，是群,滿足封閉性 是 中唯一元素；結(jié)合律 存在單位元 在 中有元素 ，；存在（唯一）逆元 存使若還滿足是交換群（阿貝爾群）。49課堂教育有限群（群的階）有限群（群的階）50課堂教育有限群證（等價定義）有限群證（等價定義）

5、51課堂教育52課堂教育53課堂教育長方形圖f，保持距離的雙射f有哪些？用頂點變到頂點表示180180180,g ： 通 過 中 心 水 平 軸 ， 反 時 針 轉(zhuǎn)；： 通 過 中 心 垂 直 軸 ， 反 時 針 轉(zhuǎn)；： 通 過 中 心 點 ， 不 離 開 平 面 ， 反 時 針 轉(zhuǎn)；： 自 己 變 為 自 己 ， 恒 等 變 換 。222,g 是 群 ？ 是 交 換 群 ？，封 閉 ， 結(jié) 合 ， 單 位 元， 逆 元 是 自 己 ； 可 交 換54課堂教育克萊因群克萊因群42224 , ,422,e a b cabceabc bca cabe推 廣 ：元 素 集 b運 算 滿 足 書 11

6、8頁 表 運 算 可 交 換 。 運 算 滿 足 封 閉 性 ， 結(jié) 合 律 ， 單 位 元 為 ， 逆 元 是 自 己 ； 稱 之 為 克 萊 因 (klein)群 。55課堂教育群元素的階群元素的階2441,2, 1, ,-111,()1-12iiiiii 群的單位元是 階的。klein群g=, , , , 是 階的。g=1- ，g， ，群g的階是4，（），且次數(shù)最少，是 階的, 是4階的,是4階的.56課堂教育群元素階的定理群元素階的定理5|=,|()0,0,|nknmkmknngmrgmrmgrraamaem nm nn mk kaaaeeaem nngmrmaaaaaaaramrng

7、mm n定理 ：群g, 的階為 ，證：“”，正整數(shù),“”若，欲證 由，余數(shù)0r1 1），但，但，則，則（n 1）取取( )nu 例例3 3 模模 n 的剩余類加群的剩余類加群(1)nz 是是n階循環(huán)群階循環(huán)群. . 81課堂教育構(gòu)造 aga,2012aaaaagna ,21naaagkanak定理定理 循環(huán)群循環(huán)群，則，則 ；且；且2.2.g是是n階循環(huán)群階循環(huán)群；且；且是是g的生成元的生成元 1 1. . g是無限階循環(huán)群是無限階循環(huán)群 3.3.g是是n階循環(huán)群，階循環(huán)群，ga 1.ga 推論推論 若循環(huán)群若循環(huán)群，則，則82課堂教育83課堂教育84課堂教育85課堂教育86課堂教育87課堂教

8、育88課堂教育89課堂教育90課堂教育91課堂教育92課堂教育數(shù)量 ag:,kak kz : kak 定理定理 循環(huán)群循環(huán)群，則，則(2) (2) 若若g是是n階循環(huán)群，則階循環(huán)群，則g與模與模n的剩余類加群的剩余類加群同構(gòu)同構(gòu). .(1) (1) 若若g是無限階循環(huán)群，則是無限階循環(huán)群，則g與整數(shù)加群同構(gòu)與整數(shù)加群同構(gòu). .證明證明： （1 1）（2 2）93課堂教育94課堂教育 ( )hee eh kamah 0rk()rm kqmkqaaaah 0r ()mkqaa ()kha ( )ga gh ，若，若，若，若，取，取h的最小正冪的最小正冪，若，若，則設，則設mkqr ，于是，于是，故

9、，故，因此，因此. .證：證：95課堂教育定理( )ga ().kag ,()kmknkaaa( )ga 012(),(),(),aaa( )a()()mnaa | ,|m n n mmn 循環(huán)群循環(huán)群，則，則定理定理 無限循環(huán)群無限循環(huán)群有無限多個子群有無限多個子群. .是是不同的子群（若不同的子群（若，則，則，于是，于是 . .）證：證：1()() ()()kmknkm nkaaaa證：證：的全部的全部96課堂教育如何研究代數(shù)系統(tǒng)如何研究代數(shù)系統(tǒng)i.分類: 同構(gòu)的分成同一類,存在及數(shù)量。ii. 每一類的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。iii.表示: 對于循環(huán)群的存在問題，數(shù)量問題，構(gòu)造問題都已能解答，循環(huán)群已完

10、全在我們的掌握之中 這一節(jié)的研討是近世代數(shù)研討方法的一個縮影。在近世代數(shù)里，不管是在群論里還是在其它部分中，我們研究一種代數(shù)系統(tǒng)就是要解決這一種系統(tǒng)的存在問題，數(shù)量問題和構(gòu)造問題假如我們對于這三個問題能得到如同我們對于循環(huán)群所得到的這樣完美的解答，我們的目的就算達到了97課堂教育第第5節(jié)節(jié) 變換群與置換群變換群與置換群n研究一種代數(shù)體系就是要解決這種代數(shù)體系的下面三個問題：存在問題；數(shù)量問題以及結(jié)構(gòu)問題。n關于數(shù)量問題，指的是彼此不同構(gòu)的代數(shù)體系的數(shù)量，因為同構(gòu)的代數(shù)體系抽象地看可以認為是相同的代數(shù)體系。 n本講的凱萊定理將告訴我們，如果將所有變換群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，

11、無論是否如此簡單，但至少從理論上知道凱萊定理的重要性。 98課堂教育集合的變換和變換乘法 m1 1 變換：設變換：設是一個非空集合，若是一個非空集合，若是是就稱就稱是是的一個變換的一個變換. .m.:mm 到到上的映射上的映射mmm)(mt)(ms2 2 變換集合：由變換集合：由的全體變換做成的集合的全體變換做成的集合，由，由的全體一一變換做成的全體一一變換做成. .記為記為m的集合記為的集合記為99課堂教育)(mt)(ms4 4 變換乘法是變換乘法是的代數(shù)運算，也是的代數(shù)運算，也是的代數(shù)運算的代數(shù)運算. .)(mt. 5 5 恒等變換恒等變換：， )(,21mtma )()(2121aa21

12、21,3 3 變換乘法：變換乘法：，規(guī)定，規(guī)定，稱，稱為為的乘法的乘法. .100課堂教育變換群的概念 m1:11,21 22 , 21:212 , 21:322 , 11:,)(321mt3(), s m 2 , 1m例例1 1 設設的全部變換如下的全部變換如下問：（問：（1 1）關于變換乘法是否做成群？關于變換乘法是否做成群？關于變換乘法是否做成群？關于變換乘法是否做成群？（2 2）101課堂教育11111(1) (1)(1)(1)1(1)1 11(2) (2)(1)(2)2(1)2 1)(mt解解：（：（1 1）非空、代數(shù)運算、結(jié)合律都滿足，）非空、代數(shù)運算、結(jié)合律都滿足，事實上，事實上

13、，就沒有逆元就沒有逆元. .因為如果因為如果有逆元有逆元. .那么必有那么必有且且. .但是但是而而 導致矛盾，故導致矛盾，故沒有逆元沒有逆元. .不能成為群不能成為群. .有單位元有單位元. . 那么那么“逆元逆元”問題能解決嗎？問題能解決嗎？11:11,21 因此因此102課堂教育3 3)(ms1|mmamxax,:m2 g（2 2）非空、代數(shù)運算、結(jié)合律都滿足，）非空、代數(shù)運算、結(jié)合律都滿足，的逆元是的逆元是的逆元是自身的逆元是自身. . 因此因此例例2 2 設設，并取定，并取定，則易知，則易知是是的一個非一一變換，的一個非一一變換，從而，從而關于變換乘法做成群關于變換乘法做成群. .有

14、單位元有單位元成為群成為群. . .g103課堂教育定理1m)(ms設設為非空集合，為非空集合，構(gòu)成構(gòu)成的一個變換群的一個變換群. .關于變換的乘法關于變換的乘法m證明：乘法封閉性、結(jié)合律都滿足，單位元證明：乘法封閉性、結(jié)合律都滿足，單位元為恒等變換，每個一一映射都有個與之對應的為恒等變換，每個一一映射都有個與之對應的互逆的一一映射互逆的一一映射. .104課堂教育105課堂教育106課堂教育107課堂教育定義mnm |ns稱集合稱集合上的一一變換群上的一一變換群表示表示用用為為n 次對稱群次對稱群. .當當ns! nn次對稱群次對稱群是一個階為是一個階為的有限群的有限群. .時，時，108課

15、堂教育109課堂教育110課堂教育111課堂教育112課堂教育推論任何任何 n 階有限群都同階有限群都同 n 次對稱群次對稱群ns的一個子群同構(gòu)的一個子群同構(gòu). .以上定理及推論表明以上定理及推論表明: :任何任何抽象群抽象群都可以找到某個都可以找到某個具體的變換群具體的變換群與它與它同構(gòu)同構(gòu). .113課堂教育置換群n定義：稱有限集合的一一變換為置換. 1,2,an 1212nnppp12:1,2,nppnp 置換置換可表示為可表示為12,nppp其中其中是是1,2,n的全排列的全排列.114課堂教育例 1 , 2 , 3a 0123123 1123132 2123213 3123231 4

16、123312 5123321 3012345,s 310,sh設設, ,求求a的全體置換的全體置換. .三次對稱群為：三次對稱群為：115課堂教育注意：置換乘法沒有交換律1123132 5123321 15123123132321 123 132153 15123123132321 251123123321132 123 31 2514 3s是有限非交換群是有限非交換群.116課堂教育置換群的概念 nnsn定義定義 次對稱群次對稱群的任意一個子群，的任意一個子群，次置換群，簡稱置換群次置換群，簡稱置換群. . （由部分置換關于變換乘法做成的群）（由部分置換關于變換乘法做成的群）都叫做一個都叫做

17、一個定理定理 任何任何n階有限群都同一個階有限群都同一個n次置換群同構(gòu)次置換群同構(gòu).因為任何因為任何n階有限群都與一個具體的階有限群都與一個具體的n次次置換群同構(gòu)，所以常用置換群同構(gòu)，所以常用n次置換群來舉有限群次置換群來舉有限群的例子的例子.117課堂教育循環(huán)置換及循環(huán)置換分解 ns1i2i2ikii,31i定義定義 中的一個將中的一個將變到變到，變到變到變回到變回到而其余元素（如果還有其他而其余元素（如果還有其他元素）不發(fā)生元素）不發(fā)生變化的置換，叫做變化的置換，叫做 k循環(huán)循環(huán)( (置換置換) )，(k-(k-輪換）記為輪換）記為 1 23)ki i ii（ 3(1),(12),(13)

18、,(23),(123),(132)s 前例中的前例中的3 3元置換都是循環(huán)置換，且元置換都是循環(huán)置換，且 118課堂教育注：并不是每個置換都是循環(huán)置換. 12, ,ki ii 12,sjjj 設設和和都是循環(huán)置換都是循環(huán)置換, ,如果如果與與不含相同元素，不含相同元素，是不相連（不相交）的是不相連（不相交）的. .則稱則稱與與1234534521 12345345211234512345(135)(24)3254114325 不是循環(huán)置換，但不是循環(huán)置換，但119課堂教育定理. n每個置換都可表成不相連循環(huán)置換之積.1212231231ksiiijjjabiiijjjab 12, ,ki ii 12,sjjj證：證： 注注：將置換寫成不相連的循環(huán)置換之積是：將置換寫成不相連的循環(huán)置換之積是表示置換的第二種方法表示置換的第二種方法. .120課堂教育121課堂教育122課堂教育123課堂教育124課堂教育125課堂教育例：四次對稱群4s (1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(1234),