二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

1、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用二項(xiàng)式定理是中學(xué)代數(shù)中的一個(gè)重要定理，它的應(yīng)用課本上談得不多。本文舉例說明，它在近似計(jì)算、整除求余、求和、證明等式、不等式以及其他相關(guān)問題中的應(yīng)用。 1近似計(jì)算 例1：計(jì)算(0.998)4的近似值(精確到0.001)解  (0.998)4=(10.002)4=14×0.0026×0.000220.0024，根據(jù)精確度的要求，從第三項(xiàng)起以后各項(xiàng)都可刪去。(0.998)414×0.002=0.992。 2證明組合恒等式 例2：求證：。證  。而左邊的展開式中含x2n項(xiàng)的系數(shù)為=，右邊含項(xiàng)的系數(shù)

2、為，故。例3：求證。證   3求解整數(shù)部分問題例4：證明的整數(shù)部分為奇數(shù)。證  設(shè)的整數(shù)部分為i，小數(shù)部分為r，則ir=，        (1)0<3<1，為純正小數(shù)，用表示，則，   (2)(1)(2)，得，其中為偶數(shù)，且，i為奇數(shù)。 4求解整除余數(shù)問題 對(duì)于二項(xiàng)式定理，我們可以簡潔地表為，其中m為關(guān)于、b的整式。例5：求2100除以13的余數(shù)解  2100=26×16·24=(5·131)16(133

3、)，只須考察(5·131)16·3除以13的余數(shù)，(5·131)16=13m1，(5·131)16·3=3·13m3。故余數(shù)為3。例6： 求證：42n13n2能被13整數(shù)(nn)證  42n13n2=4(133)n9·3n=4·13m4·3n9·3n=13·4m13·3n=13(4m3n)命題成立。例7:設(shè)f()=3m3n13p2，g()=2x1(m，n，pn)，求證：f()被g()整除。證f()=(31)1m(31)1n2(31)1p=(31)m11(31)m22

4、(31)m32=(31)(m1m22m3)(2+1)=(21)(1)(m1m22m3)1f()被g()整除。 5.證明不等式 例8:求證：2n>2n1(n3，nn)證  例9:已知、b>0，則 (nn)證  =其中例10:設(shè)                          

5、(1)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。這就是著名的平均值不等式，課本上沒有給出其證明，而用數(shù)學(xué)歸納法證明一般要采用所謂“逆向歸納法”，但這已超出中學(xué)教材的范圍?，F(xiàn)在我們應(yīng)用二項(xiàng)式定理給出不等式(1)的一個(gè)普通歸納法證明。證  當(dāng)n=1時(shí)，(1)顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，(1)成立，則當(dāng)n=k1時(shí)，不妨設(shè)0<12kk1，記=r，令k1=rt(t0)，則由歸納假設(shè)有r，即rk12k。        (2)現(xiàn)只須證，即證，亦證，              (3)注意到k1=rt及(2)式有。(3)式成立故(1)式成立。 6其他問題 例11：設(shè)=。(1)求證，其中(2)若，試求n的最小值。解  設(shè)f(x)= ，則由題設(shè)及二項(xiàng)式定理有