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文檔簡介
1、知識點歸納總結(jié)1.等差數(shù)列通項公式a* =a<! +(n _i)d =am +(n _m)d求和公式S _n佝+弘)_na +n(n-1)dDn _ l 心 172 2(1)若 m,n, p,q w N*,且m +n = p + q則 aaaaq特別地,當(dāng)p =q時,a* +am =2ap,此時ap是am,a*的等差中項 等差數(shù)列an的任意連續(xù) m項的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm,S2m-S m , S3 m - S2m仍為等差數(shù)列公差為m2d .基本性質(zhì)若等差數(shù)列的項數(shù)為 2n ,則S2n = n(a. +anG ;若等差數(shù)列的項數(shù)為 2n+1,則S2n*=(2n + 1)an*(4)增減性:d
2、 >0=遞增數(shù)列;d cOn遞減數(shù)列.最值性:Sn=na, + d=n2+佝一)n,Sn表示二次函數(shù),有最值2 2 2當(dāng)d >0且a, vO, Sn有最小值,若a 0時, 當(dāng)d £0且ai>0, Sn有最大值,若ak卅0時,Sk Sk卅為最小.QQ斗戸.亠Sk Sk十為最人2.等比數(shù)列通項公式nJn -m / 亠介an F q=am q (q 式0)求和公式'g (q = 1)Sn =匕(1-qn)-anqr(1)若 m,n, p,q w N*,且m +n = p + q 則 a. % =ap 利,2特別地,當(dāng)p=q時,an 0m=ap,此時ap是am,an
3、的等比中項 等比數(shù)列an的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm,S2m - SmSsm - Szm基本性質(zhì)仍為等比數(shù)列公比為qm.若數(shù)列l(wèi)ogaan成等差數(shù)列,則an成等比數(shù)列.(4)增減性:當(dāng)ai>10或'a0<q<1時an為遞增數(shù)列;ai "或0 < q ciaiq'0時,2n為遞減數(shù)列;1q = 1時為常數(shù)列;q : 0時為擺動數(shù)列【例題精講】【1】在等差數(shù)列an中,已知a4 a8 =16,則該列前11項和S二()A. 58B.88C.143D.176答案:B【2】已知an為等差數(shù)列,若a1 as a ,則cos(a2 a8)的值為()1A.
4、2"J3B. 21C. _2、3D.2答案:B【3】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S41S8且c,則=()3 S161113A.-B.c.D.83910答案:C【4】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,且S11 = 22 ,則3a1a21等于()A. 2B.4C.8D.16答案:C【5】已知等差數(shù)列an中,a2 = 2, a4 = 8,若abn = 3n -1,則b2013等于() 答案:DA. 2011B.2012C.2013D. 2014【6】已知an為等差數(shù)列,a1 a3 a5 = 105,a2 - a4 a 99,以Sn表示an的前n 項和,則使得Sn達到最大值的門是(
5、)A. 21B. 20C.19D.18答案:B【7】已知 an為等差數(shù)列,若豈:::-1,且它們的前n項和Sn有最大值,則使Sn 0的na6的最大值為答案:11【8】設(shè)Sn是公差為d(d=0)的無窮等差數(shù)列an的前n項和,則下列命題錯誤的是()A. 若d : 0,則數(shù)列Sn有最大項B. 若數(shù)列Sn有最大項,則d :0C. 若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列,則對任意 n N*,均有Sn 0D. 若對任意nN*,均有Sn0,則有數(shù)列Sn是遞增數(shù)列答案:C【10】公比為q的等比數(shù)列an的各項為正數(shù),且a?a12 = 16,log q a® = 7,則公比q =_答案:2【11】設(shè)等比數(shù)列an的前 n項
6、和為 Sn,若 a2013S2012 - 2010,a2012 =3S2011 2010, 則公比q =()A. 4B.1 或4C.2D.1 或2答案:A1【12】在等比數(shù)列an中,已知a4,- a6,24成等比數(shù)列且a3吐=64,則a.的前8項 和為:答案:255或85【13】設(shè)等比數(shù)列 匕的前n項和為Sn,若'=3,則色二()S3S6A. 27B.-3c.8D.3答案:B【14】已知laj是首項為1的等比數(shù)列,Sn是%的前項和,且9S3 = £,則數(shù)列丄 的前5項和為()31A.16答案:AB.31 或 516D.15§【15】公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和
7、為Sn,且- 3a1,-a2,a3成等差數(shù)列,若1 ,則 S4 二()B.0C. 7D. 40A. -20答案:A【16】各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an,若a2a3,a1成等差數(shù)列,則包的值是(2a4 + a5A.-.5 12b.42D.5-12答案:B 1 1【17】已知正項等比數(shù)列an滿足a2013 = a2012 ' 2a2on,且.am an-4a1,則6(')的m n最小值為.答案:4遞推數(shù)列:數(shù)列an的任一項an與它前一項an-1 (或它的前幾項)間關(guān)系用一個公式表示.解題規(guī)律an的求法兩類:(1)利用遞推關(guān)系求出前 n項,然后歸納猜想數(shù)列的通項公式(2)利用遞推關(guān)系的
8、變形,轉(zhuǎn)化為一些特殊數(shù)列(等差、等比數(shù)列),在利用公式求解Sn的求法遞推法:常用求和公式:12 +22 +32 + n2 = n(n 1)(2n 1)62 2 -3小3小33n (n+1)1 +2 +3 +"+ n =4裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間項可以相互抵消,從而求得其和1 1 1 1 11 1常見的拆項公式有:(1)一 ( 2)一 (一)n(n + 1) n n+1n(n + k) k n n + k1 1 1 1(3)1J 11 )(2n -1)(2 n+1)2 2n-1 2n +1A(4)l_jn +1Jn +7 n+1(5)n n! = (n +1)
9、! n!(6) log2-log2 aH -log2 anan錯位相減法:適用于由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成對應(yīng)項之積構(gòu)成的數(shù)列求和女口:求和 Sn =1 "21 +2 22 +3 '23 + +n 2n步驟:(1)式子兩邊同時乘以等比數(shù)列公比2,得到2Sn = 1 22 +2 23 +3 24 +(n1)2n + n 2n +(2)兩式相減(等號右邊要錯一位相減),得到-Sn =2 +22 +23 +2n n 十=(1-2)-n2n2 n,2何1-2即 Sn =n 2訶2n +2倒序相加法:如果一個數(shù)列an,與首末位置等“距離”的兩項和相等,那么這個數(shù)列可以采用倒序 來
10、求和一般使用于組合數(shù)列與等差數(shù)列求和女口:求和 Sn =C: +C: +2C; +3C; + (n 1)C:+ nC:反序 Sn =n +(n 12匸+ (n 2)C + (n 3)C嚴 +C1+C0相加得 2& = n(C0 +C: +C; + +C;) = n -2n,即 S n ”2n分組轉(zhuǎn)化法:適用于可以將數(shù)列拆開,轉(zhuǎn)化為幾個可求和的數(shù)列女口:求數(shù)列(-1) n+n 的前2n項和Sn =(_1 +12)+(2 +22)+(-3 + 32)+(-(2 n1) + (2 n1)2) + (2 n+(2 n)2)2 2 2 =(_1+2_3十4_十2n)+(1 +2 十十(2n)32
11、2n(2n +1)(4n+1) 8n +6n 十4nn十一63專題:數(shù)列通項公式及求和常規(guī)數(shù)列的通項與求和方法:定義法(利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項與求和公式來求)1.等差數(shù)列:<1>通項公式:an= a<|+(n - 1)d =am +(n -m)d, n,m N<2>求和公式:Sn 二n(d +an)+n(n 1).二=n ai 十d2 22.等比數(shù)列:<1>通項公式:ann 4n _m.=印 q=am q ,q 式08(q=1)<2>求和公式:Sn=*"qn)(q*1)1 -q3. 一些常見的數(shù)列求和公式k232川川W 1n
12、(n 1) 2-2nk3 =132333 川n3k 1【例1】已知等差數(shù)列an滿足a4 心6 =10 (1) 求數(shù)列an的通項公式;3=7,求 Tn.(2) 設(shè)等比數(shù)列bn各項均為正數(shù),其前 n項和Tn,若a b2【例2】已知an是等比數(shù)列,a2,且印卍3 1,a4成等差數(shù)列(1) 求數(shù)列an的通項公式;(2) 若bn = log 2 an,求數(shù)列bn的前n項和Sn .非常規(guī)數(shù)列的通項公式常用通項公式的求法有四種:求法1累加法適用于an1二an f(n)型.特點:遞推公式關(guān)于相鄰兩項的關(guān)系且系數(shù)、幕數(shù)都相同【例3】已知數(shù)列an滿足an .1二an 2 3n 1,a 3,求數(shù)列an的通項公式【例
13、4】已知數(shù)列an滿足a. =1月2 =2,an2 =an an 1 ,n N(1 ) 令bn二an 1 -an,證明:bn是等比數(shù)列;(2) 求an通項公式求法2:累乘法f (n)是可求數(shù)列適用于anan f( n)型特點:遞推公式是關(guān)于相鄰兩項商的關(guān)系,且商【例6】已知數(shù)列?an '滿足a. = , an. = an,求an.3n +1求法3:公式法現(xiàn)象:題目中出現(xiàn) an與Sn的關(guān)系式.解決:利用an =Sn -Snj求解.【例7】已知數(shù)列 乩?滿足:Sn =1-an(n,N*),其中Sn為數(shù)列的前n項和.求an.【同類演練】例15第一問 求法4:構(gòu)造法類型1構(gòu)造等比數(shù)列凡是出現(xiàn)關(guān)于
14、后項和前項的一次遞推形式的現(xiàn)象都可以構(gòu)造等比現(xiàn)象1: anpan q,( p,q為常數(shù))【例8】已知數(shù)列an中,ai =1,an =2an1(n亠2),求數(shù)列:anf的通項公式【同類演練】例18第一問現(xiàn)象2: anpan qn( p,q為常數(shù))【例9】已知數(shù)列a.中,耳i =:an Q)n 1,求a.632【同類演練】例17第一問現(xiàn)象3: anpan f (n), p為常數(shù)2【例10】已知數(shù)列an滿足an2an 3 n 4n 5, a1,求數(shù)列a.的通項公式現(xiàn)象 4: an pan 1 qan,( p,q為常數(shù))【例11】已知數(shù)列:an匚滿足6 =1月2.2 =3an 1 -2an(n N )
15、.求an.類型2:構(gòu)造等差數(shù)列題目中出現(xiàn)后項與前項分式遞推形式可以構(gòu)造等差 解決辦法:取倒數(shù)a*【例12】已知在數(shù)列an中印=1,an1 巴 (n N ).2an+1(1) 求數(shù)列an的通項公式;2 1(2) 若1R =(1 bi)(1 b3)(1 b5)|l|(1 b2nj),求證:Pn、2n 1.bn an三.非常規(guī)數(shù)列的求和常用的求和方法一般有四種:方法1 :裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間項可以相互抵消,從而求得其和111常見的拆項公式有:(1)n(n + 1)nn+1(2)1n(n k)(3)12n 11 1 ( 1 (2n -1)(2n1) " 2(2n
16、 -1(4)(5) n n!二(n 1)!n!(6)logan 1an= log a. 1 - log a.【例13】(2011新課標)等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且 2a- 3a2 = 1,a32 = 9a2a6.(1) 求數(shù)列的通項公式;門、(2) 設(shè) bn = log 3 a1 log 3 a2 - log3an,求數(shù)列 的前 n 項和lbnj【例14】等差數(shù)列an中a2 =11,2a3二a2 *6-4,其前n項和為Sn.(1) 求數(shù)列an的通項公式;13*(2) 設(shè)數(shù)列bn滿足bn,其前n項和為Tn,求證:Tn(n,N ).Sn 卅14【例 15】已知數(shù)列an的前 n 項和 Sn,a1=1
17、,Sn= na“ -n(n -1)(n- N ).(1) 求數(shù)列an的通項公式;5 2(2) 設(shè)bn,求數(shù)列bn的前前n項和為Tn .anan4t方法2:錯位相減法 適用于由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成對應(yīng)項之積構(gòu)成的數(shù)列求和 即"a .等差,:bn 匚等比,求 a1bi a2b d IL an bn 的和 S.解題步驟:(1)Sna?b2 V anbn,將式子兩邊同時乘以bn的公比q ,得到qSn.(2) 用 qSn(3) 利用等比數(shù)列求和公式求解【例16】(2011遼寧理)已知等差數(shù)列an滿足 a2 =0,a6- -10.(1) 求數(shù)列an的通項公式;(2)的前n項和.1n*【
18、例17】已知數(shù)列an滿足a1 =2,an昂勺-2n(N )(1) 求證:數(shù)列*是等差數(shù)列;(2) 求數(shù)列an的前n項和Sn.18】已知數(shù)列an的前2 *n 項和 Sn 二 n 4n(n N ),數(shù)列bn滿足b1 = 1,bn 1 = 2bn 1.(1) 求數(shù)列an,bn的通項公式;(2) 設(shè) c(an3)(bn 1),求數(shù)列Cn的前 n 項和 Tn.4方法3:分組求和法 適用于可以將數(shù)列適當(dāng)拆開, 分為幾個等差,等比或常見的數(shù)列,先分別求和,然后在合并,形如:an bn,其中an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列【例19】已知數(shù)列等差數(shù)列an滿足:a9,a2 a14.(1) 求數(shù)列an的通項公式;(2) 若b -an 2an,求數(shù)列bn的前n項和Sn.方法4:倒序相加法如果一個數(shù)列an,與首末位置等“距離”的兩項和相等,那么這個數(shù)列可以采用倒序來 求和.一般使用于組合數(shù)列與等差數(shù)列求和.【例 20】已知 lg xy = a, Sn = lg xn lg xn °y lg xn ° y2 亠 亠 lg yn ( x 0、求Sn已知遞增等比數(shù)列an,公比為q,滿足a2 a3 a4 = 28,且a3 ' 2是a2,a4的等差中項(1) 求數(shù)列an的通項公式;(2) 若bn= anlog1 an,Sn
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