知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)等差數(shù)列

1、知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式a* =a<! +(n _i)d =am +(n _m)d求和公式S _n佝+弘)_na +n(n-1)dDn _ l 心 172 2(1)若 m,n, p,q w N*,且m +n = p + q則 aaaaq特別地，當(dāng)p =q時(shí)，a* +am =2ap，此時(shí)ap是am,a*的等差中項(xiàng) 等差數(shù)列an的任意連續(xù) m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm,S2m-S m , S3 m - S2m仍為等差數(shù)列公差為m2d .基本性質(zhì)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 2n ,則S2n = n(a. +anG ；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 2n+1,則S2n*=(2n + 1)an*(4)增減性：d

2、 >0=遞增數(shù)列；d cOn遞減數(shù)列.最值性：Sn=na, + d=n2+佝一)n，Sn表示二次函數(shù)，有最值2 2 2當(dāng)d >0且a, vO， Sn有最小值，若a 0時(shí)， 當(dāng)d £0且ai>0, Sn有最大值，若ak卅0時(shí),Sk Sk卅為最小.QQ斗戸.亠Sk Sk十為最人2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式nJn -m / 亠介an F q=am q (q 式0)求和公式'g (q = 1)Sn =匕(1-qn)-anqr(1)若 m,n, p,q w N*,且m +n = p + q 則 a. % =ap 利,2特別地，當(dāng)p=q時(shí)，an 0m=ap，此時(shí)ap是am,an

3、的等比中項(xiàng) 等比數(shù)列an的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm,S2m - SmSsm - Szm基本性質(zhì)仍為等比數(shù)列公比為qm.若數(shù)列l(wèi)ogaan成等差數(shù)列，則an成等比數(shù)列.（4）增減性：當(dāng)ai>10或'a0<q<1時(shí)an為遞增數(shù)列;ai "或0 < q ciaiq'0時(shí)，2n為遞減數(shù)列；1q = 1時(shí)為常數(shù)列;q : 0時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列【例題精講】【1】在等差數(shù)列an中，已知a4 a8 =16，則該列前11項(xiàng)和S二（）A. 58B.88C.143D.176答案：B【2】已知an為等差數(shù)列，若a1 as a ，則cos（a2 a8）的值為（）1A.

4、2"J3B. 21C. _2、3D.2答案：B【3】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S41S8且c，則=(）3 S161113A.-B.c.D.83910答案：C【4】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ，且S11 = 22 ,則3a1a21等于（）A. 2B.4C.8D.16答案：C【5】已知等差數(shù)列an中，a2 = 2, a4 = 8，若abn = 3n -1，則b2013等于（） 答案：DA. 2011B.2012C.2013D. 2014【6】已知an為等差數(shù)列，a1 a3 a5 = 105,a2 - a4 a 99，以Sn表示an的前n 項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的門(mén)是（

5、）A. 21B. 20C.19D.18答案：B【7】已知 an為等差數(shù)列，若豈：:：-1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn 0的na6的最大值為答案：11【8】設(shè)Sn是公差為d（d=0）的無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A. 若d : 0，則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)B. 若數(shù)列Sn有最大項(xiàng)，則d ：0C. 若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對(duì)任意 n N*，均有Sn 0D. 若對(duì)任意nN*，均有Sn0,則有數(shù)列Sn是遞增數(shù)列答案：C【10】公比為q的等比數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，且a?a12 = 16,log q a® = 7，則公比q =_答案：2【11】設(shè)等比數(shù)列an的前 n項(xiàng)

6、和為 Sn，若 a2013S2012 - 2010,a2012 =3S2011 2010， 則公比q =（）A. 4B.1 或4C.2D.1 或2答案：A1【12】在等比數(shù)列an中，已知a4,- a6,24成等比數(shù)列且a3吐=64，則a.的前8項(xiàng) 和為:答案：255或85【13】設(shè)等比數(shù)列 匕的前n項(xiàng)和為Sn，若'=3，則色二（）S3S6A. 27B.-3c.8D.3答案：B【14】已知laj是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是%的前項(xiàng)和，且9S3 = £，則數(shù)列丄 的前5項(xiàng)和為（）31A.16答案：AB.31 或 516D.15§【15】公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和

7、為Sn,且- 3a1,-a2,a3成等差數(shù)列，若1 ,則 S4 二（）B.0C. 7D. 40A. -20答案：A【16】各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an，若a2a3,a1成等差數(shù)列，則包的值是（2a4 + a5A.-.5 12b.42D.5-12答案：B 1 1【17】已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿(mǎn)足a2013 = a2012 ' 2a2on,且.am an-4a1，則6（'）的m n最小值為.答案：4遞推數(shù)列：數(shù)列an的任一項(xiàng)an與它前一項(xiàng)an-1 （或它的前幾項(xiàng)）間關(guān)系用一個(gè)公式表示.解題規(guī)律an的求法兩類(lèi)：（1）利用遞推關(guān)系求出前 n項(xiàng)，然后歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）利用遞推關(guān)系的

8、變形，轉(zhuǎn)化為一些特殊數(shù)列（等差、等比數(shù)列），在利用公式求解Sn的求法遞推法：常用求和公式：12 +22 +32 + n2 = n(n 1)(2n 1)62 2 -3小3小33n (n+1)1 +2 +3 +"+ n =4裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和1 1 1 1 11 1常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：（1）一 （ 2）一 （一）n（n + 1） n n+1n（n + k） k n n + k1 1 1 1（3）1J 11 ）（2n -1）（2 n+1）2 2n-1 2n +1A（4）l_jn +1Jn +7 n+1（5）n n! = （n +1）

9、! n!（6） log2-log2 aH -log2 anan錯(cuò)位相減法：適用于由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列求和女口：求和 Sn =1 "21 +2 22 +3 '23 + +n 2n步驟：（1）式子兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列公比2，得到2Sn = 1 22 +2 23 +3 24 +（n1）2n + n 2n +（2）兩式相減（等號(hào)右邊要錯(cuò)一位相減），得到-Sn =2 +22 +23 +2n n 十=（1-2）-n2n2 n，2何1-2即 Sn =n 2訶2n +2倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an，與首末位置等“距離”的兩項(xiàng)和相等，那么這個(gè)數(shù)列可以采用倒序 來(lái)

10、求和一般使用于組合數(shù)列與等差數(shù)列求和女口：求和 Sn =C： +C： +2C； +3C； + （n 1）C：+ nC：反序 Sn =n +（n 12匸+ （n 2）C + （n 3）C嚴(yán) +C1+C0相加得 2& = n（C0 +C： +C； + +C；） = n -2n，即 S n ”2n分組轉(zhuǎn)化法：適用于可以將數(shù)列拆開(kāi)，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)可求和的數(shù)列女口：求數(shù)列(-1) n+n 的前2n項(xiàng)和Sn =(_1 +12)+(2 +22)+(-3 + 32)+(-(2 n1) + (2 n1)2) + (2 n+(2 n)2)2 2 2 =(_1+2_3十4_十2n)+(1 +2 十十(2n)32

11、2n(2n +1)(4n+1) 8n +6n 十4nn十一63專(zhuān)題：數(shù)列通項(xiàng)公式及求和常規(guī)數(shù)列的通項(xiàng)與求和方法：定義法（利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式來(lái)求）1.等差數(shù)列：<1>通項(xiàng)公式：an= a<|+(n - 1)d =am +(n -m)d, n,m N<2>求和公式：Sn 二n(d +an)+n(n 1).二=n ai 十d2 22.等比數(shù)列：<1>通項(xiàng)公式：ann 4n _m.=印 q=am q ,q 式08(q=1)<2>求和公式：Sn=*"qn)(q*1)1 -q3. 一些常見(jiàn)的數(shù)列求和公式k232川川W 1n

12、(n 1) 2-2nk3 =132333 川n3k 1【例1】已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足a4 心6 =10 (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；3=7,求 Tn.(2) 設(shè)等比數(shù)列bn各項(xiàng)均為正數(shù)，其前 n項(xiàng)和Tn，若a b2【例2】已知an是等比數(shù)列，a2,且印卍3 1,a4成等差數(shù)列(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 若bn = log 2 an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn .非常規(guī)數(shù)列的通項(xiàng)公式常用通項(xiàng)公式的求法有四種：求法1累加法適用于an1二an f(n)型.特點(diǎn)：遞推公式關(guān)于相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系且系數(shù)、幕數(shù)都相同【例3】已知數(shù)列an滿(mǎn)足an .1二an 2 3n 1，a 3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【例

13、4】已知數(shù)列an滿(mǎn)足a. =1月2 =2,an2 =an an 1 ,n N(1 ) 令bn二an 1 -an，證明：bn是等比數(shù)列;(2) 求an通項(xiàng)公式求法2:累乘法f (n)是可求數(shù)列適用于anan f( n)型特點(diǎn)：遞推公式是關(guān)于相鄰兩項(xiàng)商的關(guān)系，且商【例6】已知數(shù)列？an '滿(mǎn)足a. = ， an. = an，求an.3n +1求法3:公式法現(xiàn)象：題目中出現(xiàn) an與Sn的關(guān)系式.解決：利用an =Sn -Snj求解.【例7】已知數(shù)列 乩？滿(mǎn)足：Sn =1-an(n，N*)，其中Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和.求an.【同類(lèi)演練】例15第一問(wèn) 求法4:構(gòu)造法類(lèi)型1構(gòu)造等比數(shù)列凡是出現(xiàn)關(guān)于

14、后項(xiàng)和前項(xiàng)的一次遞推形式的現(xiàn)象都可以構(gòu)造等比現(xiàn)象1： anpan q,（ p,q為常數(shù)）【例8】已知數(shù)列an中，ai =1,an =2an1（n亠2），求數(shù)列:anf的通項(xiàng)公式【同類(lèi)演練】例18第一問(wèn)現(xiàn)象2： anpan qn（ p,q為常數(shù)）【例9】已知數(shù)列a.中，耳i =：an Q）n 1，求a.632【同類(lèi)演練】例17第一問(wèn)現(xiàn)象3： anpan f （n）, p為常數(shù)2【例10】已知數(shù)列an滿(mǎn)足an2an 3 n 4n 5, a1,求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式現(xiàn)象 4： an pan 1 qan,（ p,q為常數(shù)）【例11】已知數(shù)列：an匚滿(mǎn)足6 =1月2.2 =3an 1 -2an（n N ）

15、.求an.類(lèi)型2:構(gòu)造等差數(shù)列題目中出現(xiàn)后項(xiàng)與前項(xiàng)分式遞推形式可以構(gòu)造等差 解決辦法：取倒數(shù)a*【例12】已知在數(shù)列an中印=1,an1 巴 (n N ).2an+1(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2 1(2) 若1R =(1 bi)(1 b3)(1 b5)|l|(1 b2nj)，求證：Pn、2n 1.bn an三.非常規(guī)數(shù)列的求和常用的求和方法一般有四種:方法1 :裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和111常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：(1)n(n + 1)nn+1(2)1n(n k)(3)12n 11 1 ( 1 (2n -1)(2n1) " 2(2n

16、 -1(4)(5) n n!二(n 1)!n!(6)logan 1an= log a. 1 - log a.【例13】(2011新課標(biāo))等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2a- 3a2 = 1,a32 = 9a2a6.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；門(mén)、(2) 設(shè) bn = log 3 a1 log 3 a2 - log3an,求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和lbnj【例14】等差數(shù)列an中a2 =11，2a3二a2 *6-4，其前n項(xiàng)和為Sn.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；13*(2) 設(shè)數(shù)列bn滿(mǎn)足bn，其前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn(n，N ).Sn 卅14【例 15】已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn,a1=1

17、,Sn= na“ -n(n -1)(n- N ).(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；5 2(2) 設(shè)bn，求數(shù)列bn的前前n項(xiàng)和為T(mén)n .anan4t方法2:錯(cuò)位相減法 適用于由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列求和 即"a .等差,:bn 匚等比,求 a1bi a2b d IL an bn 的和 S.解題步驟：(1)Sna?b2 V anbn，將式子兩邊同時(shí)乘以bn的公比q ,得到qSn.(2) 用 qSn(3) 利用等比數(shù)列求和公式求解【例16】(2011遼寧理)已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足 a2 =0,a6- -10.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)的前n項(xiàng)和.1n*【

18、例17】已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1 =2,an昂勺-2n(N )(1) 求證：數(shù)列*是等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.18】已知數(shù)列an的前2 *n 項(xiàng)和 Sn 二 n 4n(n N )，數(shù)列bn滿(mǎn)足b1 = 1,bn 1 = 2bn 1.(1) 求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) c(an3)(bn 1)，求數(shù)列Cn的前 n 項(xiàng)和 Tn.4方法3:分組求和法 適用于可以將數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)， 分為幾個(gè)等差，等比或常見(jiàn)的數(shù)列，先分別求和，然后在合并,形如：an bn,其中an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列【例19】已知數(shù)列等差數(shù)列an滿(mǎn)足：a9,a2 a14.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 若b -an 2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.方法4：倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，與首末位置等“距離”的兩項(xiàng)和相等，那么這個(gè)數(shù)列可以采用倒序來(lái) 求和.一般使用于組合數(shù)列與等差數(shù)列求和.【例 20】已知 lg xy = a， Sn = lg xn lg xn °y lg xn ° y2 亠 亠 lg yn ( x 0、求Sn已知遞增等比數(shù)列an，公比為q，滿(mǎn)足a2 a3 a4 = 28，且a3 ' 2是a2,a4的等差中項(xiàng)(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 若bn= anlog1 an,Sn