數(shù)獨(dú)方法簡(jiǎn)介

1、數(shù)獨(dú)技巧(Sudoku Strategies)數(shù)獨(dú)快速入門（上篇）數(shù)獨(dú)快速入門（中篇）數(shù)獨(dú)快速入門（下篇）數(shù)獨(dú)快速入門（上篇）范例一： 在左邊第一個(gè)九宮格里，哪格可以放數(shù)字， 先看到再第一列和第二列里已經(jīng)有了數(shù)字， 所以很明顯了，除了棕色格子之外，上面兩列格子已經(jīng)不能放了。 范例二： 換個(gè)進(jìn)階范例來看看， 已知第一列和第二列不能放，但僅就第三列而言，的旁邊似乎都可以放的樣子， 但再看看被顏色標(biāo)示的第三行， 看到第三行有之后，就知道棕色格子應(yīng)該放。 范例三： 來個(gè)更進(jìn)階點(diǎn)的，想想左上角第一個(gè)九宮格里，哪一格可以放， 再看 先看看前兩列，應(yīng)該不能放， 看被顏色標(biāo)示的第二行與第三行，又是不能放， 很

2、顯然的，就只有棕色格子能放。 范例四： 再看看這個(gè)重要范例，想想左上角第一個(gè)九宮格里，哪格可以放， 先看看被顏色標(biāo)示的第二列， 再看看被顏色標(biāo)示的第二行， 經(jīng)過分析后可知要放在這棕色格子。 范例五： 換個(gè)輕松點(diǎn)的范例， 看看第一列，數(shù)字有哪些， 顯而易見的就是缺。 數(shù)獨(dú)快速入門（中篇）范例一： 看看這個(gè)比上篇難的，想想能放在哪里呢， 被顏色標(biāo)示起來的第一列和第一行已經(jīng)不能放了， 就左上角的九宮格而言，在紅色標(biāo)示區(qū)域似乎是可以擺的， 但在這里而言，似乎無法決定放在兩格紅色區(qū)域的哪一格， 所以，可以先看看鄰近的九宮格，發(fā)現(xiàn)到棕色格子能放喔，這時(shí)候就不用懷疑馬上寫下。 范例二： 看看這個(gè)有技術(shù)性的，

3、想想能放在哪里， 看到黃色的第一列已經(jīng)有，所以不能再放了， 就中央的九宮格而言，合理的推論，一定是在第二列中央紅色三格的其中之一了， 既然知道第二列的情況，再考慮黃色區(qū)域后， 那么可以先確定右方九宮格的必然放在這棕色格子。 范例三： 由上篇的概念再進(jìn)階，考慮這上面三個(gè)九宮格，看看能否決定的位置， 黃色標(biāo)示的第三行已先被排除， 就第一個(gè)九宮格而言，一定在紅色區(qū)域， 就黃色標(biāo)示區(qū)域來看，已不能再放了， 這時(shí)可以馬上先決定右上九宮格里的棕色格子是能放的啦。 范例四： 看到這左上方九宮格的第一列，就可以馬上知道缺了哪兩個(gè)數(shù)字， 是不是已經(jīng)看出紅色格子不是就是了， 但是又看到第二行有，所以很輕松知道左上

4、棕色格子一定是， 接下來就確定在紅色格子了。 范例五： 先看看這第一列， 左上方的九宮格里，第一列絕對(duì)有、， 再考慮到第一行黃色區(qū)域，看到有和， 這下就可確定絕對(duì)放在左上角的棕色格子。 數(shù)獨(dú)快速入門（下篇）范例一： 來看看這個(gè)高級(jí)進(jìn)階例子，可以先把眼光放在第一列和第一行， 看到在黃色區(qū)域里都有和，所以此黃色區(qū)域已經(jīng)不能再放和了， 這時(shí)可以考慮到左上九宮格里的紅色格子能放和， 再看到第一列和第三列的黃色區(qū)域，這黃色區(qū)域里已經(jīng)不能放， 在左上九宮格里，能放的只有紅色與棕色格子，但紅色格子將會(huì)被和所占據(jù)，所以能確定棕色格子必然為。 范例二： 看看左上方九宮格里，能否由些微線索決定的位置， 首先，看到

5、第一列后先排除、，又因左上方九宮格里有、，再排除這三個(gè)數(shù)字，這下，在左上方九宮格的第一列，只剩下、可以填，然后，又看到第一行有和，所以，棕色格子必然不會(huì)是和，那么，就只剩下可以填入啦！ · 直觀法(Direct Elimination Techniques) · 候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques) 直觀法(Direct Elimination Techniques)經(jīng)常在報(bào)章雜志上看到的數(shù)獨(dú)謎題，一般就算再難都可以用直觀法來解決。它不需要象候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)那樣在每個(gè)空白

6、的單元格中用鉛筆填上一大堆候選數(shù)。你只要有相對(duì)銳利的眼光和一定的邏輯分析能力，就可以準(zhǔn)確地把空余的數(shù)字逐個(gè)填出來。實(shí)際上，直觀法就是對(duì)數(shù)獨(dú)游戲規(guī)則的充分利用。雖然它并不如候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)那樣強(qiáng)大，但通常要想體會(huì)解決數(shù)獨(dú)謎題的樂趣，使用直觀法卻是不二之選。直觀法(Direct Elimination Techniques)具有以下的特點(diǎn)：輕松上手。 即便是數(shù)獨(dú)新手，在拿到謎題的一剎那，就可以用直觀法來解題了。 無需輔助。 在紙上解題時(shí)一般只需要一支鋼筆就可以。因?yàn)槭峭ㄟ^推理和邏輯分析來確定哪個(gè)格填哪個(gè)數(shù)，或是哪個(gè)數(shù)填在哪個(gè)格里，所以基

7、本不需要猜測(cè)。容易掌握。 對(duì)于直觀法(Direct Elimination Techniques)中應(yīng)用的各種算法，可以很快掌握并應(yīng)用于實(shí)際中。 相對(duì)簡(jiǎn)單。比起候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)，它的算法相對(duì)比較簡(jiǎn)單，當(dāng)然能解決的謎題的復(fù)雜度也相對(duì)要低。在直觀法(Direct Elimination Techniques)中，常用的算法包括：1.單元唯一法 ( Sole Position Technique ) 2.單元排除法 ( Basic Elimination Technique ) 3.區(qū)塊排除法 ( Block Elimination Te

8、chnique ) 4.唯一余數(shù)法 ( Sole Number Technique ) 5.組合排除法 ( Combination Elimination Technique) 6.矩形排除法 ( Rectangle Elimination Technique) 1.單元唯一法 ( Sole Position Technique ) 這應(yīng)該算是直觀法中最簡(jiǎn)單的方法了?；旧现恍枰粗i題，推理分析一概都用不上，這是因?yàn)橐褂盟铦M足的條件十分明顯。同樣，也正是因?yàn)樗?jiǎn)單，所以只能處理很簡(jiǎn)單的謎題，或是在處理較復(fù)雜謎題的后期才用得上。 我們先來看一個(gè)例子：在上圖中，觀察行B，可以看到除了B3外，

9、其他所有的單元格中都已有了數(shù)字，根據(jù)數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則，即每行，列或區(qū)塊中不能有重復(fù)的數(shù)字，則B3中能填入的數(shù)字只能是行B中所未出現(xiàn)過的，也就是數(shù)字3。所以可以毫不猶豫地在B3中填入3。這就是單元唯一法在行中的應(yīng)用。這里的單元(Unit, or group)，指的是行，列或區(qū)塊。所以有三種情況：當(dāng)某行有8個(gè)單元格中已有數(shù)字，或 當(dāng)某列有8個(gè)單元格中已有數(shù)字，或 當(dāng)某區(qū)塊有8個(gè)單元格中已有數(shù)字。 無論是哪種情況，我們都可以很快地在該行，列或區(qū)塊剩余的空格中填入該單元還未出現(xiàn)過的數(shù)字。下面是單元唯一法在列中的應(yīng)用： 在第7列中，只有F7未填入數(shù)字，且這一列中數(shù)字8還未出現(xiàn)過。所以F7 = 8。在區(qū)塊中

10、也是一樣：在起始于D7的區(qū)塊中，只有E7還未填入數(shù)字，且這個(gè)區(qū)塊中數(shù)字5還未出現(xiàn)過，所以可以馬上在E7中填入5。單元唯一法在解題初期應(yīng)用的幾率并不高，而在解題后期，隨著越來越多的單元格填上了數(shù)字，使得應(yīng)用這一方法的條件也逐漸得以滿足。 2.單元排除法 ( Basic Elimination Technique ) 單元排除法是直觀法中最常用的方法，也是在平常解決數(shù)獨(dú)謎題時(shí)使用最頻繁的方法。使用得當(dāng)?shù)脑?，甚至可以單?dú)處理中等難度的謎題。使用單元排除法的目的就是要在某一單元（即行，列或區(qū)塊）中找到能填入某一數(shù)字的唯一位置，換句話說，就是把單元中其他的空白位置都排除掉。它對(duì)應(yīng)于候選數(shù)法中的隱式唯一法

11、。那么要如何排除其余的空格呢？當(dāng)然還是不能忘了游戲規(guī)則，即行，列或區(qū)塊中不能有重復(fù)的數(shù)字。從另一個(gè)角度來理解，就是如果某行中已經(jīng)有了某一數(shù)字，則該行中的其他位置不可能再出現(xiàn)這一數(shù)字。如果某列中已經(jīng)有了某一數(shù)字，則該列中的其他位置不可能再出現(xiàn)這一數(shù)字。如果某區(qū)塊中已經(jīng)有了某一數(shù)字，則該區(qū)塊中的其他位置不可能再出現(xiàn)這一數(shù)字。單純理解上面的規(guī)則還是不足以解題，但是在實(shí)踐中這些規(guī)則卻可以交叉使用。在實(shí)際解題過程中，應(yīng)用最多也最方便的是對(duì)區(qū)塊的單元排除法，我們可以先看下面這個(gè)例子：對(duì)于起始于D1的區(qū)塊，其未填數(shù)字的空格有6個(gè)之多，如果不使用單元排除法，是很難為這一區(qū)塊填入任何數(shù)字的。這時(shí)我們就可以利用行

12、，列及區(qū)塊的相互關(guān)系，即一個(gè)單元格既在某一行上，也同時(shí)在某一列上以及某一區(qū)塊中的這種關(guān)系來解題。觀察數(shù)字9在謎題中的位置，可以看到它出現(xiàn)在B2，A4，C7，D8，I1和H9。而這些位置中，只有B2，D8和I1與起始于D1的區(qū)塊有關(guān)聯(lián)。因?yàn)镮1=9，它所在的第1列上的其他單元格中不可能再出現(xiàn)9, 而區(qū)塊中的D1和F1正好也在第1列上，所以這兩個(gè)單元格填入9的可能性被排除。同理，因?yàn)锽2=9，它所在的第2列中的其他單元格不可能再填入9，而區(qū)塊中的D2和E2也正好在第2列上，因此，這兩個(gè)單元格填入9的可能性也被排除掉了。再看行D，因?yàn)镈8=9，所以該行上的D1，D2和D3也不可能再填入9，而這些單元

13、格正好也在起始于D1的區(qū)塊中。所以，這個(gè)區(qū)塊中能填入數(shù)字9的位置就只剩下了E3，這樣就通過排除法找到了答案，即E3=9。下面再看一個(gè)在行中使用單元排除法的例子：在謎題中觀察數(shù)字4和行H，在行H有5個(gè)空單元格無法確定數(shù)字，但是C3位置上的4使得其所在的第3列中的其他單元格上不能再出現(xiàn)4，所以H3不能填入4。I4上的4使得其所在的區(qū)塊中也不能再填入4，它幫助行H排除了兩個(gè)單元格H4和H6，而第8列上的E8中的數(shù)字4使得同樣位于這一列上的H8也排除了填入4的可能。這樣，行H中能填入4的位置就只剩下H9了。在列中也可以使用單元排除法：在第7列中，我們?cè)噲D確定能填入數(shù)字1的位置。在行B中，數(shù)字1已經(jīng)出現(xiàn)

14、在B2上，所以B7不可能再填入數(shù)字1了。而位于D8的數(shù)字1也使得F7排除了填入數(shù)字1的可能，因?yàn)樗鼈兾挥谕粎^(qū)塊中。這樣，第7列上就只有A7能填入數(shù)字1了。 通過上面的示例，可以看到，要對(duì)區(qū)塊使用單元排除法，需要觀察與該區(qū)塊相交的行和列。要對(duì)行使用單元排除法，需要觀察與該行相交的區(qū)塊和列。要對(duì)列使用單元排除法，需要觀察與該列相交的區(qū)塊和行。 在實(shí)際解題過程中，行，列和區(qū)塊之間的關(guān)系并不象上面這些圖中所示的那么明顯，所以需要一定的眼力和細(xì)心觀察。一般來說，先看哪個(gè)數(shù)字在謎題中出現(xiàn)得最多，就從哪個(gè)數(shù)字開始下手，找到還未填入這個(gè)數(shù)字的單元（行，列或區(qū)塊），利用已填入該數(shù)字的單元格與單元之間的關(guān)系，看

15、能不能排除一些不可能填入該數(shù)字的位置，直到剩下唯一的位置。如果害怕搞不清已經(jīng)處理過哪些數(shù)字的話，可以從數(shù)字1開始，從左上角的區(qū)塊開始一直檢查到右下角的區(qū)塊，看能不能在這些區(qū)塊中應(yīng)用單元排除法。然后測(cè)試數(shù)字2，以此類推。 單元排除法是應(yīng)用得最多的直觀法，雖然在實(shí)踐中經(jīng)常會(huì)因?yàn)榇中亩┑艉芏嗍褂眠@一方法的機(jī)會(huì)，但只要勤加練習(xí)，就可以運(yùn)用自如。 3.區(qū)塊排除法 ( Block Elimination Technique ) 區(qū)塊排除法是直觀法中進(jìn)階的技法。雖然它的應(yīng)用范圍不如單元排除法那樣廣泛，但用它可能找到用單元排除法無法找到的解。有時(shí)在遇到困難無法繼續(xù)時(shí)，只要用一次區(qū)塊排除法，接下去解題就會(huì)勢(shì)如

16、破竹了。區(qū)塊排除法實(shí)際上是利用區(qū)塊與行或列之間的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的，這一點(diǎn)與單元排除法頗為相似。然而，它實(shí)際上是一種模糊排除法，也就是說，它并不象單元排除法那樣利用謎題中現(xiàn)有的確定數(shù)字對(duì)行，列或區(qū)塊進(jìn)行排除，而是在不確定數(shù)字的具體位置的情況下進(jìn)行排除的。這句話聽起來似乎不好理解，讓我們先從一個(gè)例子入手，看看區(qū)塊排除法是怎么應(yīng)用的。對(duì)于上面這個(gè)謎題，用基本的單元排除法或是單元唯一法都無法再找到解。這時(shí)可以嘗試使用區(qū)塊排除法。 我們先從填入數(shù)字最多的區(qū)塊著手，也就是起始于G4的區(qū)塊，該區(qū)塊中只有H6和I5為空，且剩余數(shù)字1和2還未填入。這樣，我們可以想辦法確定這兩個(gè)數(shù)字的位置。觀察全局，可以看到D2=2

17、，根據(jù)單元排除法，它所在的第2列上不能再出現(xiàn)數(shù)字2，所以H2和I2將不能填入2，這使得起始于G1的區(qū)塊中數(shù)字2可能出現(xiàn)的位置僅剩下I1和I3，見下圖：雖然我們無法確定2在起始于G1的區(qū)塊中的確定位置，但幸運(yùn)的是，能填入2的位置正好都在行I上，也就是說，無論2在I1還是在I3，行I的其他單元格中將不可能再出現(xiàn)數(shù)字2，所以可以毫不猶豫地排除在I5填入2的可能性，這樣，對(duì)于起始于G4的區(qū)塊而言，能填入數(shù)字2的位置就只剩下H6了。所以H6=2。接下來，當(dāng)然毫無疑問，利用單元唯一法，在I5填入數(shù)字1。先小結(jié)一下上面的求解方法：解題時(shí)，實(shí)際上是在對(duì)目標(biāo)區(qū)塊（主區(qū)塊）有影響的區(qū)塊（輔助區(qū)塊）中應(yīng)用單元單元排

18、除法，使輔助區(qū)塊滿足某些條件并能參與對(duì)主區(qū)塊的數(shù)字排除。實(shí)際應(yīng)用中，可能出現(xiàn)下面四種情況：當(dāng)某數(shù)字在某個(gè)區(qū)塊中可填入的位置正好都在同一行上，因?yàn)樵搮^(qū)塊中必須要有該數(shù)字，所以這一行中不在該區(qū)塊內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該數(shù)字。當(dāng)某數(shù)字在某個(gè)區(qū)塊中可填入的位置正好都在同一列上，因?yàn)樵搮^(qū)塊中必須要有該數(shù)字，所以這一列中不在該區(qū)塊內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該數(shù)字。當(dāng)某數(shù)字在某行中可填入的位置正好都在同一區(qū)塊上，因?yàn)樵撔兄斜仨氁性摂?shù)字，所以該區(qū)塊中不在該行內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該數(shù)字。當(dāng)某數(shù)字在某列中可填入的位置正好都在同一區(qū)塊上，因?yàn)樵摿兄斜仨氁性摂?shù)字，所以該區(qū)塊中不在該列內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該

19、數(shù)字。其中1，2兩種情況相對(duì)常見，也比較容易判斷。上面的示例就是第1種情況。下面我們會(huì)看到第2種情況的例子：雖然在起始于A7的區(qū)塊中，未填入數(shù)字的空單元格多達(dá)4個(gè)，但我們還是可以輕松地確定數(shù)字5的位置。這是因?yàn)樵谄鹗加贕7的區(qū)塊中，我們欣喜地發(fā)現(xiàn)數(shù)字5可能出現(xiàn)的位置正好都在第8列上，這時(shí)5的確切位置已經(jīng)不重要了，因?yàn)樗呀?jīng)滿足了上面介紹的第2種情況的條件，因此可以參與對(duì)起始于A7的區(qū)塊進(jìn)行數(shù)字排除了。在它的影響下，A8和B8中填入數(shù)字5的可能性已經(jīng)不存在，因?yàn)樗鼈兌荚诘?列上。這樣，在起始于A7的區(qū)塊中，數(shù)字5能填入的位置只剩下A9和C9了。這時(shí)，我們?cè)倮脝卧懦?，通過A4位置上的數(shù)字5再

20、消除其所在行A上的A9，最終得到能填入5的唯一位置C9。下面看幾個(gè)比較少見的例子在行C上，數(shù)字3的位置可以通過下面的方法來確定：先看行B，利用單元排除法，通過H2和F3位置上的3進(jìn)行列排除，得到行B中能填入3的位置為B4和B5。碰巧的是，這兩個(gè)單元格都在起始于A4的區(qū)塊中，這時(shí)已經(jīng)滿足了上述情況3的條件。利用單元排除法的區(qū)塊排除，則行C上的C4和C5都不能再填入3；再加上F3的列排除的共同努力，最終確定數(shù)字3在行C上的唯一位置就是C1。第4種情況的例子如下：在這個(gè)示例中，只是使用單元排除法和單元唯一法到這一步就繼續(xù)不下去了。要想求得數(shù)字8在第6列的位置，就必須要借助區(qū)塊排除法。先看第4列，通過

21、位于C3和I8的數(shù)字8的行排除，使8在第4列可能填入的位置只剩下D4和F4，而這兩個(gè)單元格正好都在起始于D4的區(qū)塊中。因?yàn)榈?列不能沒有數(shù)字8，而數(shù)字8如果填在區(qū)塊中的其他位置（如D6，E6或F6）時(shí)將迫使D4和F4上不能再填入8，這樣會(huì)導(dǎo)致第4列沒有數(shù)字8。因此，第6列中的D6，E6和F6能填入數(shù)字8的可能性被排除。這樣第6列中就只剩下B6能填入8了。實(shí)際解題過程中，還會(huì)碰到比較復(fù)雜的情況，看下面的謎題：你能確定數(shù)字3在起始于A1的區(qū)塊中的位置嗎？先看位于C5的數(shù)字3，它不僅排除了同一行中C1和C3中填入3的可能性，也同時(shí)排除了同一行中C8和C9填入3的可能性，這使得在起始于A7的區(qū)塊中，能

22、填入3的位置只剩下B8和B9，見下圖：利用區(qū)塊排除法，在起始于A7的區(qū)塊中，無論3在B8還是B9，行B中的其他位置都不能再填入3，所以B1，B2和B3都被排除。于是，在起始于A1的區(qū)塊中，能填入3的位置僅剩下A1和A2了。但至此我們還無法確定3的準(zhǔn)確位置，這時(shí)我們還要借助于其他的輔助區(qū)塊來進(jìn)一步排除。觀察起始于D1的區(qū)塊，利用D7位置上的3排除同一行的D1，以及用G3位置上的3排除同一列的E3和F3，使區(qū)塊中可能填入3的位置只余E2和F2，剛好這兩個(gè)位置都在第2列中，符合上面介紹的第2種情況，于是可以把A2也排除掉。最后，我們就可以很肯定地在A1中填入數(shù)字3了。這個(gè)例子同時(shí)使用了多個(gè)輔助區(qū)塊同

23、時(shí)參與排除。在實(shí)際使用中雖然這種情況并不常見，但卻也不少見。關(guān)鍵在于如何能正確識(shí)別并恰當(dāng)應(yīng)用區(qū)塊排除法。相信通過大量的練習(xí)并勤于分析思考，這種方法就可以運(yùn)用自如，得心應(yīng)手。下面是其他的一些例子，可以幫助更好地理解并掌握這種技法：4.唯一余數(shù)法 ( Sole Number Technique ) 唯一余數(shù)法是直觀法中較不常用的方法。雖然它很容易被理解，所以說明這個(gè)方法不需要很大篇輻，然而在實(shí)踐中，卻不易看出能夠使用這個(gè)方法的條件是否得以滿足，從而使這個(gè)方法的應(yīng)用受到限制。與單元唯一法相比，唯一余數(shù)法是確定某個(gè)單元格能填什么數(shù)的方法，而單元唯一法是確定某個(gè)數(shù)能填在哪個(gè)單元格的方法。另外，應(yīng)用單元唯

24、一法的條件十分簡(jiǎn)單，幾乎一目了然。與候選數(shù)法相比，唯一余數(shù)法相當(dāng)于顯式唯一法。雖然顯式唯一法是候選數(shù)法中最簡(jiǎn)單且應(yīng)用最容易的方法，但在 直觀法中卻正好相反。先看一個(gè)例子：對(duì)于單元格G9應(yīng)該填入什么數(shù)字，就算你把前面介紹的所有直觀技法都用上，也不得而知。然而，我們通過觀察它所在的行，列和區(qū)塊，可以發(fā)現(xiàn)除了數(shù)字2以外，1到9中其他的數(shù)字都出現(xiàn)了，其中行G中包含了7，6，9，5，3和8，第9列中包含了數(shù)字5，8，7和1，起始于G7的單元格中包含了3，8，4，7，5和1。這樣，如果G9不填入數(shù)字2，就一定會(huì)違反游戲“行，列或區(qū)塊不能出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字”的規(guī)則。所以G9中的數(shù)字一定是2總結(jié)一下，就是如果某一單

25、元格所在的行，列及區(qū)塊中共出現(xiàn)了8個(gè)不同的數(shù)字，那么該單元格可以確定地填入還未出現(xiàn)過的數(shù)字。怎么樣，很簡(jiǎn)單吧，但在實(shí)踐中卻不那么容易識(shí)別?？聪旅娴闹i題： 你能看出來對(duì)哪個(gè)單元格應(yīng)用唯一余數(shù)法嗎？ 還有這個(gè)謎題：答案分別是E6=9和I7=9。 一般來說，只有在使用基本的排除方法都失效的情況下，才試著使用這個(gè)方法來解題。5.組合排除法 ( Combination Elimination Technique) 組合排除法和區(qū)塊排除法一樣，都是直觀法中進(jìn)階的技法，但它的應(yīng)用范圍要更小一點(diǎn)。一般情況下，基本沒有機(jī)會(huì)用到這種方法解題，所以要找到相應(yīng)的例子也都很困難。當(dāng)然，如果你希望優(yōu)先以這個(gè)技法來解題的話

26、，還是能碰到很多能符合使用組合排除法條件的情況。組合排除法，顧名思義，要考慮到某種組合。這里的組合既包括區(qū)塊與區(qū)塊的組合，也包括單元格與單元格的組合，利用組合的關(guān)聯(lián)與排斥的關(guān)系而進(jìn)行某種排除。它也是一種模糊排除法，同樣是在不確定數(shù)字的具體位置的情況下進(jìn)行排除的。下面先看一個(gè)例子：對(duì)于上面這個(gè)謎題，你能確定數(shù)字6在起始于G4的區(qū)塊中的位置嗎？要想獲得正確的答案初看起來有些困難。因?yàn)殡m然在G9和H3已經(jīng)存在了兩個(gè)6，但是利用它們只能行排除區(qū)塊中的G4和H6兩個(gè)單元格，還是無法確定6到底是在I4還是在I5中。這時(shí)候，組合排除法就派上用場(chǎng)了?，F(xiàn)在撇開起始于G4的區(qū)塊，先看它上面的兩個(gè)區(qū)塊，即起始于A4

27、和D4的區(qū)塊。這幾個(gè)區(qū)塊的共同特點(diǎn)是占有同樣的幾列，也就是第4列至第6列，因此它們之間的數(shù)字會(huì)相互直接影響。對(duì)于起始于A4的區(qū)塊，利用A1處已有的數(shù)字6進(jìn)行行排除，可以得到這個(gè)區(qū)塊中可能填入6的位置只剩下兩個(gè)：B5和C6。 對(duì)于起始于D4的區(qū)塊，利用E7處已有的數(shù)字6進(jìn)行行排除，可以得到這個(gè)區(qū)塊中可能填入6的位置也剩下兩個(gè)：F5和F6。 這時(shí)，我們?nèi)詿o法確定6在這兩個(gè)區(qū)塊中的確切位置。但不妨對(duì)可能出現(xiàn)的情況作一下分析：假設(shè)在起始于A4的區(qū)塊中，B5=6，則同一區(qū)塊中的C6必不為6，而且B5還將列排除F5，這樣在起始于D4的區(qū)塊中，只有F6=6。假設(shè)在起始于A4的區(qū)塊中，C6=6，則同一區(qū)塊中的

28、B5必不為6，而且C6還將列排除F6，這樣在起始于D4的區(qū)塊中，只有F5=6。簡(jiǎn)單地說，只有兩種可能：B5=6且F6=6，或者C6=6且F5=6。決不會(huì)再出現(xiàn)其他的情況。但無論是其中哪一種情況，第5列和第6列都會(huì)有確定的6出現(xiàn)在這兩個(gè)區(qū)塊中，也就是說，第5列和第6列的其他位置不可能再出現(xiàn)數(shù)字6。這樣，原本無法肯定的6在起始于G4區(qū)塊中的位置，一下子就變得明確了。利用起始于A4和D4的區(qū)塊對(duì)起始于G4的區(qū)塊進(jìn)行列排除，可以把I5排除掉，這樣，就只剩下I4可以填入6了。小結(jié)一下，組合排除法的要滿足的條件如下：如果在橫向并行的兩個(gè)區(qū)塊中，某個(gè)數(shù)字可能填入的位置正好都分別占據(jù)相同的兩行，則這兩行可以被

29、用來對(duì)橫向并行的另一區(qū)塊做行排除。如果在縱向并行的兩個(gè)區(qū)塊中，某個(gè)數(shù)字可能填入的位置正好都分別占據(jù)相同的兩列，則這兩列可以被用來對(duì)縱向并行的另一區(qū)塊做列排除。 讓我們?cè)倏匆粋€(gè)例子：要想確定數(shù)字1在起始于D4的單元格中的位置，我們將設(shè)法借助于其橫向上相鄰兩個(gè)區(qū)塊的幫助。利用I2的列排除，我們可以把起始于D1的區(qū)塊中的E2和F2排除掉，這樣，這個(gè)區(qū)塊中能填入1的位置剩下D1，D3和E1。 利用H7的列排除，可以把起始于D7的區(qū)塊中的E7和F7排除掉，再利用A9的列排除，可以把這個(gè)區(qū)塊中E9和F9排除掉，這樣，這個(gè)區(qū)塊中能填入1的位置只剩下D8和E8。雖然在起始于D1的區(qū)塊中，能填入1的位置多達(dá)3個(gè)

30、，但是它們正好只分布在行D和行E上，而且在起始于D7的區(qū)塊中能填入1的位置所占據(jù)的也是這兩行。最終1的位置只可能有三種情況：D1=1且E8=1；或者D3=1且E8=1；或者E1=1且D8=1。無論是哪種情況，行D和行E都會(huì)有確定的1出現(xiàn)在這兩個(gè)區(qū)塊中，也就是說，這兩行的其他位置不會(huì)再出現(xiàn)1。于是，借助于這兩個(gè)區(qū)塊的行排除，我們可以把起始于D4的區(qū)塊中的D4和D6排除掉，再利用G4位置的列排除，最終確定1的位置在F6。下面是其他一些使用組合排除法的例子：在實(shí)踐中，組合排除法的實(shí)際應(yīng)用機(jī)會(huì)不如區(qū)塊排除法多。但是，掌握這一技法無疑可以大大提高求解謎題的靈活性，從而增加解題的樂趣。6.矩形排除法 (

31、Rectangle Elimination Technique) 矩形排除法雖然淺顯易懂，但一般在實(shí)際解題的時(shí)候應(yīng)用得卻比較少。這是因?yàn)榧词怪i題中存在滿足使用這一方法的情況，也很難直接看出來。然而，相對(duì)組合排除法而言，在解題過程中倒是能有更多的機(jī)會(huì)用上矩形排除法。下面先看一個(gè)例子：對(duì)于這個(gè)謎題，如果不用矩形排除法是無法繼續(xù)下去的。我們將通過講解這種技法，從而找到數(shù)字8在起始于G1的區(qū)塊中的位置。乍看之下，好象一籌莫展。因?yàn)锽2和E3上的8只能列排除左下角這個(gè)區(qū)塊中的G2， H2，G3和I3這4個(gè)單元格，這時(shí)仍剩下兩個(gè)單元格G1和H1無法確定。讓我們先來留意一下第6列，這一列中暫時(shí)沒有8，那么8

32、可能會(huì)填入哪幾個(gè)單元格中呢？首先，B2中的8行排除了B6，而E3和F4中的8又分別行排除了E6和F6。這樣，能填入8的位置就只剩下C6和I6了。見下圖：同樣，對(duì)于第9列，由于F4的行排除，F(xiàn)9不可能填8，所以這一列能填入8的位置也就只剩下C9和I9了。湊巧的是，這兩列中能填入8的位置都在同樣的兩行上，即行C和行I。這時(shí)就為我們應(yīng)用矩形排除法創(chuàng)造了前提條件。如果第6列中C6=8，那么I6和C9一定不能是8。而第9列這時(shí)就只剩下I9能填入8了；又或者如果第6列中I6=8，那么C6和I9一定不能是8，而第9列就只剩下C9能填入8了。不可能再有第3種情況。所以，要么C6=8且I9=8，要么I6=8且C

33、9=8。但無論是哪種情況，不難發(fā)現(xiàn)，行C和行I都已填入了8，所以這兩行的其他位置不可能再填入8。我們正好可以利用這一點(diǎn)來進(jìn)行排除。 觀察起始于G1的區(qū)塊，我們已經(jīng)知道現(xiàn)在只剩下G1和I1兩個(gè)單元格無法確定了，通過上面的分析，利用矩形排除法排除位于行I上的I1，就可以確定數(shù)字8一定在G1上。總結(jié)一下，使用矩形排除法的條件如下： 如果一個(gè)數(shù)字在某兩行中能填入的位置正好在同樣的兩列中，則這兩列的其他的單元格中將不可能再出現(xiàn)這個(gè)數(shù)字；如果一個(gè)數(shù)字在某兩列中能填入的位置正好在同樣的兩行中，則這兩行的其他的單元格中將不可能再出現(xiàn)這個(gè)數(shù)字。讓我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子：做到這一步時(shí)，不用矩形排除法的話恐怕是走投無路

34、了。這次還是要在起始于G1的區(qū)塊中找到數(shù)字4的位置。但我們無法確定4究竟在G2還是G3呢？ 先要找找看有沒有滿足矩形排除法條件的情況存在。觀察行B，在這一行中，由于C5的區(qū)塊排除，B4和B5都不能為4，再加上H8列排除了B8，這樣行B中能填入4的位置包括B1和B3。 再看行F，由于D6的列排除，使得F6不能填4，所以行F中能填入4的位置只有F1和F3。 幸運(yùn)的是，行B和行F中能填入4的位置正好都位于同樣的兩列上，即第1列和第3列。根據(jù)上面矩形排除法的規(guī)則，第1列和第3列中不在行B和行F上的單元格中不能填入4，所以G3不能為4。這樣，起始于G1的區(qū)塊中就只有G2能填入4了。 下面是應(yīng)用矩形排除法

35、的其他一些例子，希望可以幫助大家快速掌握這種方法： 矩形排除法可以說是直觀法中最困難的技法，因?yàn)楫?dāng)前的謎題即使?jié)M足應(yīng)用這一方法的條件，也實(shí)在太難發(fā)現(xiàn)了。一般情況下，盡量先使用其他相對(duì)簡(jiǎn)單的直觀法。如果最后連矩形排除法都用上還是無法解題，你可能就需要嘗試候選數(shù)刪減法了。候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)對(duì)于解決數(shù)獨(dú)謎題，最常使用的方法就是直觀法和候選數(shù)法。在謎題相對(duì)簡(jiǎn)單時(shí)，直觀法可以取得相當(dāng)好的效果。但是如果謎題比較復(fù)雜，直觀法的效果就十分有限，即使通過試探性填數(shù)也不一定能夠解題，而這時(shí)候選數(shù)法卻可以很好地發(fā)揮作用。在對(duì)數(shù)獨(dú)謎題求解的電腦程序的設(shè)計(jì)上，

36、候選數(shù)法也因?yàn)楦咝б讓?shí)現(xiàn)而被廣泛應(yīng)用。如果用候選數(shù)法來解題，必須首先準(zhǔn)備一張如下圖所示的候選數(shù)柵格表： 初始化時(shí)，每個(gè)單元格中都包含了1至9所有的數(shù)字，它表示該單元格中在解題時(shí)還可以選擇填入的數(shù)字。很明顯，不在候選數(shù)中的數(shù)字是不能夠填入該單元格中的。如果某一單元格中已填入一個(gè)確定的數(shù)字，則根據(jù)數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則，即該單元格所在行，列及區(qū)塊中都不能再出現(xiàn)這個(gè)數(shù)字，則該數(shù)字應(yīng)從這些單元格中的候選數(shù)字中去除。對(duì)于下面的這個(gè)謎題： 每填入一個(gè)數(shù)字時(shí)，都要將該單元格中的候選數(shù)全部刪除，同時(shí)掃描其所在行，列和區(qū)塊，看它們所覆蓋的單元格上的候選數(shù)中有無該數(shù)字： 如果有，就把該數(shù)字從候選數(shù)中刪除：同理，填入謎題中

37、其他的初始數(shù)字，并刪除這些數(shù)字各自所在行，列和區(qū)塊候選數(shù)中的該數(shù)字，可以得到下面的候選數(shù)柵格表： 注意，填入數(shù)字的順序與最終的候選數(shù)柵格表無關(guān)。這時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)單元格中的候選數(shù)已經(jīng)比最初少了許多，真是一個(gè)令人興奮的開始。隨后，我們將輔以各種候選數(shù)刪減技巧，進(jìn)一步減少候選數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)某單元格中只剩下唯一的候選數(shù)時(shí)，該單元格就得到了它的唯一解。細(xì)心的朋友已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在上面的候選數(shù)柵格表中，單元格I1中已經(jīng)剩下唯一候選數(shù)1，這時(shí)我們就可以通過顯式唯一法來解題了。 在候選數(shù)刪減法中，常用的算法包括：1.顯式唯一法 (Naked Single) 2.隱式唯一法 (Hidden Single) 3.區(qū)塊刪

38、減法 (Intersection Removal) 4.顯式數(shù)對(duì)法 (Naked Pair) 5.顯式三數(shù)集法 (Naked Triplet) 6.顯式四數(shù)集法 (Naked Quad) 7.隱式數(shù)對(duì)法 (Hidden Pair) 8.隱式三數(shù)集法 (Hidden Triplet) 9.隱式四數(shù)集法 (Hidden Quad) 10.矩形對(duì)角線法 (X-wing) 11.XY形態(tài)匹配法（XY-wing） 12.XYZ形態(tài)匹配法（XYZ-wing） 13.三鏈數(shù)刪減法 (Swordfish) 14.WXYZ形態(tài)匹配法（WXYZ-wing） 1. 顯式唯一法 (Naked Single) 這是候選

39、數(shù)刪減法中最簡(jiǎn)單的一種方法，就是掃描候選數(shù)柵格表，如果哪個(gè)單元格中只剩下一個(gè)候選數(shù)，就可應(yīng)用顯式唯一法，在該單元格中填入這個(gè)數(shù)字，并在相應(yīng)行，列和區(qū)塊的候選數(shù)中刪除該數(shù)字。 在下面的圖中：?jiǎn)卧馡1有唯一的候選數(shù)1，則毫無疑問地把數(shù)字1填入該單元格中，并掃描其所在行，列和區(qū)塊的候選數(shù)中有無數(shù)字1：如果有，則把1從這些單元格的候選數(shù)中刪除：顯式唯一法雖然簡(jiǎn)單，但卻是最有效的候選數(shù)刪減法之一；尤其在謎題相對(duì)簡(jiǎn)單時(shí)，有時(shí)單單使用顯式唯一法就可以解題。2. 隱式唯一法 (Hidden Single) 見文知義，隱式唯一法也是唯一候選數(shù)法的一種，但它肯定不如顯式唯一法那樣顯而易見。我們知道，如果某一個(gè)單

40、元格中只有一個(gè)候選數(shù)字，這時(shí)可以毫不猶豫地填入它；但是有沒有這種情況，即使某個(gè)單元格中有不止一個(gè)候選數(shù)字，我們也可以輕易地推斷出這個(gè)單元格的正確解答呢？ 考慮下面的情況：在第7列中，單元格B7中雖然有多個(gè)候選數(shù)，但觀察整列后我們發(fā)現(xiàn)，只有這個(gè)單元格中有數(shù)字6。根據(jù)數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則，每一列中都必須要有從1到9的所有數(shù)字，而同時(shí)6卻只能出現(xiàn)在這個(gè)單元格中，所以很顯然B7=6。當(dāng)然，別忘了把6從B7所在的行，列和區(qū)塊中刪除。同樣，在下圖中：觀察行B后我們發(fā)現(xiàn)，只有單元格B8中含有數(shù)字7。同理，B8是該行中唯一可以填入數(shù)字7的單元格，所以B8=7。另外，我們還要掃描相應(yīng)行，列和區(qū)塊，刪除其中的候選數(shù)7。

41、當(dāng)然，這種隱藏的唯一候選數(shù)也可能躲在區(qū)塊中，看下圖：對(duì)于起始于A1的區(qū)塊而言，數(shù)字8只出現(xiàn)在單元格A2的候選數(shù)中，所以A2=8。從相應(yīng)行，列和區(qū)塊，刪除其中的候選數(shù)8。 隱式唯一法是顯式唯一法的有力補(bǔ)充，很多稍復(fù)雜的題都可以在這兩種方法的交替使用下得以解決。 3. 區(qū)塊刪減法 (Intersection Removal) 應(yīng)用顯式唯一法和隱式唯一法只能解決簡(jiǎn)單的謎題，遇到稍復(fù)雜的謎題，還是要靠其他的方法。區(qū)塊刪減法也是比較常用的方法，它的目的是盡量刪減候選數(shù)，而不一定要生成某一單元格的唯一解（當(dāng)然，產(chǎn)生唯一解更好）。區(qū)塊刪減法是利用區(qū)塊中的候選數(shù)和行或列上的候選數(shù)之間的交互影響而實(shí)現(xiàn)的一種刪減

42、方法，它分為兩種情況：區(qū)塊對(duì)行或列的影響 觀察下圖：可以看到在起始于A7的區(qū)塊中，數(shù)字9只出現(xiàn)在A9和C9的候選數(shù)中，更巧的是，A9和C9正好都在同一列上，即第9列。這時(shí)就可以應(yīng)用區(qū)塊刪減法了。具體地說，在起始于A7的區(qū)塊中，數(shù)字9只能填在A9或是C9中，又因?yàn)檫@兩個(gè)單元格都在第9列上，所以無論數(shù)字9填在哪個(gè)單元格中，第9列的其他單元格中都不能再填數(shù)字9，所以要把9從它們的候選數(shù)中刪除。在上圖中，位于第9列的單元格E9中的候選數(shù)9將被刪除。下圖說明的是區(qū)塊對(duì)行的影響：在起始于G1的區(qū)塊中，只有H2和H3可以填入數(shù)字3，而這兩個(gè)單元格正好都在行H中。同樣的道理，在這個(gè)區(qū)塊中無論數(shù)字3填入H2還是

43、H3，行H中的其他單元格中都不可能再填入3，所以在單元格H4，H6和H7的候選數(shù)中的3將被刪除。行或列對(duì)區(qū)塊的影響 與“區(qū)塊對(duì)行或列的影響”相近但卻不同，“行或列對(duì)區(qū)塊的影響”著重于先對(duì)行或列進(jìn)行分析。觀察下圖：在第5列中，8只出現(xiàn)在D5和F5的候選數(shù)中；也就是說，第5列中的數(shù)字8只能填入這兩個(gè)單元格其中的一個(gè)。碰巧的是，這兩個(gè)單元格正好都位于起始于D4的區(qū)塊中，結(jié)果使得這一區(qū)塊中的數(shù)字8也不能填入?yún)^(qū)塊的其他單元格中，所以D4，E4，E6和F6的候選數(shù)中的8將被刪除。 同樣，下圖說明了行對(duì)區(qū)塊的影響： 在行E中，只有E5和E6能填入數(shù)字6，而這兩個(gè)單元格又剛好都在起始于D4的區(qū)塊中，所以該區(qū)塊

44、中的其他單元格內(nèi)不能再填入數(shù)字6，即6將從單元格D5和F5的候選數(shù)中刪除?？偨Y(jié)一下區(qū)塊刪減法的條件，就是在某一區(qū)塊中，當(dāng)所有可能出現(xiàn)某個(gè)數(shù)字的單元格都位于同一行時(shí)，就可以把這個(gè)數(shù)字從該行的其他單元格的候選數(shù)中刪除。在某一區(qū)塊中，當(dāng)所有可能出現(xiàn)某個(gè)數(shù)字的單元格都位于同一列時(shí)，就可以把這個(gè)數(shù)字從該列的其他單元格的候選數(shù)中刪除。 在某一行（列）中，當(dāng)所有可能出現(xiàn)某個(gè)數(shù)字的單元格都位于同一區(qū)塊中時(shí)，就可以把這個(gè)數(shù)字從該區(qū)塊的其他單元格的候選數(shù)中刪除。雖然區(qū)塊刪減法應(yīng)用比較廣泛，但是還是要先給大家潑盆冷水。因?yàn)樵诤芏鄷r(shí)候，即使?jié)M足了區(qū)塊刪減的條件，也可能會(huì)發(fā)生沒有候選數(shù)可以刪減的情況，讓人空歡喜一場(chǎng)。其

45、實(shí)，這個(gè)問題對(duì)其他稍復(fù)雜的方法都是普遍存在的。4. 顯式數(shù)對(duì)法 (Naked Pair) 顯式數(shù)對(duì)法在很多謎題中都可以得到應(yīng)用，它的條件比較容易滿足，而且顯而易見。先看下圖：在行E中，E2和E8中候選數(shù)只有兩個(gè)，且都是2和3，即構(gòu)成一個(gè)2, 3的數(shù)對(duì)。這使得該行中其他單元格中不能再出現(xiàn)2或3。為什么呢，因?yàn)榧僭O(shè)E2=2，則E8一定要填3；反之，假設(shè)E2=3，則E8則一定填2，不會(huì)再出現(xiàn)其他的情況。所以2和3必然不能成為該行中其他單元格的候選數(shù)。這樣，E3，E4和E5的候選數(shù)中都不能再有2和3。對(duì)于列也是這樣：在第3列中，數(shù)對(duì)6, 8只出現(xiàn)且都出現(xiàn)在A3和H3中，所以其他單元格里都不能再有這兩個(gè)

46、數(shù)字。這樣，C3的候選數(shù)中將刪除6和8，而F3的候選數(shù)中將刪除8。同樣，別忘了還有區(qū)塊： 觀察起始于G4的區(qū)塊，可以發(fā)現(xiàn)G5和I4中含有數(shù)對(duì)2, 4，這樣，該區(qū)塊中其他的單元格里都不能再有數(shù)字2和4，這次受影響的有4個(gè)單元格，分別是G4，H4，I5和I6?？偨Y(jié)一下顯式數(shù)對(duì)的條件，也就是，在一個(gè)行，列或區(qū)塊中，如果有兩個(gè)單元格都包含且只包含相同的兩個(gè)候選數(shù)，則這兩個(gè)候選數(shù)字不能再出現(xiàn)在該行，列或區(qū)塊的其他單元格的候選數(shù)中。5. 顯式三數(shù)集法 (Naked Triplet) 顯式三數(shù)集法并不如顯式數(shù)對(duì)法那樣常見，但它們的原理卻很相似。顯式數(shù)對(duì)法要求同樣的2個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)在某行，列或區(qū)塊的2個(gè)單元格中

47、，且這2個(gè)單元格的候選數(shù)不能包含其他的數(shù)字。同樣，顯式三數(shù)集法要求的是3個(gè)數(shù)字要出現(xiàn)在3個(gè)位于同一行，列或區(qū)塊的單元格中，且這3個(gè)單元格的候選數(shù)中不能包含其他數(shù)字。但不同的是，顯式三數(shù)集法不要求每個(gè)單元格中都要包含這3個(gè)數(shù)字。例如，對(duì)于數(shù)字集2,4,5，如果在某行，列或區(qū)塊中有3個(gè)單元格的候選數(shù)分別為下面幾種情況時(shí)，都可應(yīng)用顯式三數(shù)集法，即3個(gè)單元格的候選數(shù)集可以分別為：2, 4, 5 2, 4, 5 2, 4, 5，或 2, 4 4, 5 2, 5，或 2, 4, 5 2, 5 4, 5，或 2, 4, 5 4, 5 2, 4, 5，或 . 也就是說，要形成顯式三數(shù)集，則必須要有3個(gè)在同一行

48、，列或區(qū)塊中的單元格，每個(gè)單元格中至少要有2個(gè)候選數(shù)，且它們的所有候選數(shù)字也正好都是一個(gè)三數(shù)集的子集。由于這個(gè)三數(shù)集中的3個(gè)數(shù)字正好可以分別填入這3個(gè)單元格中，所以該行，列或區(qū)塊中其他的單元格中不可能再填入這3個(gè)數(shù)字。但要注意的是，下面的這種情況不是顯式三數(shù)集：2, 4, 5 2, 4 2, 4其中2, 4和2, 4可應(yīng)用顯式數(shù)對(duì)法，所以第一個(gè)候選數(shù)集2, 4, 5將只能剩下候選數(shù)，這時(shí)就可應(yīng)用顯式唯一法了?？聪聢D：在行D中，D1，D7和D8中分別包含候選數(shù)集3, 5, 9，3, 5, 9和5, 9，根據(jù)上面的知識(shí)，可以判斷出這是一個(gè)顯式三數(shù)集，因此數(shù)字3，5和9不可能再出現(xiàn)在行內(nèi)其他的單元格

49、中，所以D4和D6的候選數(shù)中的3，5和9將被刪除。下面是列中的顯式三數(shù)集的例子： 在第2列中，G2，H2和I2中分別包含候選數(shù)集2, 6，2, 5和2, 5, 6，所以數(shù)字2，5和6只能在這三個(gè)單元格中分別填入，而不可能填入到該列的其他單元格中，因此A2，B2和E2的候選數(shù)中的2，5和6將被刪除。 細(xì)心的朋友可能還發(fā)現(xiàn)，G2，H2和I2不僅都在第2列中，而且又恰好都在起始于G1的區(qū)塊中，對(duì)于數(shù)字5，已經(jīng)符合區(qū)塊刪減法的條件，可惜的是，第2列中其他單元格的候選數(shù)中都沒有5可以刪減。 同樣，顯式三數(shù)集還有在區(qū)塊中的可能： 在起始于D7的區(qū)塊中，D8，D9和E9中分別包含了候選數(shù)集4, 9，4, 8

50、, 9和8, 9，這樣區(qū)塊中其他的單元格中不能再填入數(shù)字4，8和9，可以刪減的單元格是E7和E8。6. 顯式四數(shù)集法 (Naked Quad) 顯式四數(shù)集法比較少見，如果你已經(jīng)對(duì)顯式三數(shù)集法比較了解，則對(duì)顯式四數(shù)集法也會(huì)很快掌握。先舉個(gè)例子，對(duì)于數(shù)字集1, 2, 4, 5，如果在某行，列或區(qū)塊中有4個(gè)單元格的候選數(shù)分別為下面幾種情況時(shí)，都可應(yīng)用顯式四數(shù)集法，即4個(gè)單元格的候選數(shù)集可以分別為：1, 2, 4, 5 1, 2, 4, 5 1, 2, 4, 5 1, 2, 4, 5，或 1, 2, 4 1, 4, 5 2, 5 1, 2，或 1, 2, 4, 5 2, 5 2, 4, 5 1, 2,

51、 4, 5，或 2, 5 4, 5 1, 2, 5 1, 2, 4，或 1, 2, 5 1, 2, 4, 5 1, 2, 4, 5 2, 4，或 . 這樣的組合情況可以很多。也就是說，要形成顯式四數(shù)集，則必須要有4個(gè)在同一行，列或區(qū)塊中的單元格，每個(gè)單元格中至少要有2個(gè)候選數(shù)，且它們的所有候選數(shù)字也正好都是一個(gè)四數(shù)集的子集。由于這個(gè)四數(shù)集中的4個(gè)數(shù)字正好可以分別填入這4個(gè)單元格中，所以該行，列或區(qū)塊中其他的單元格中不可能再填入這4個(gè)數(shù)字。但要注意的是，下面的這種情況不是顯式四數(shù)集：1, 2, 4, 5 2, 4 2, 5 2, 4, 5其中2, 4 2, 5和2, 4, 5可應(yīng)用顯式三數(shù)集法，

52、所以第一個(gè)候選數(shù)集1, 2, 4, 5將只能剩下候選數(shù)1，這時(shí)就可應(yīng)用顯式唯一法了。看下圖：很明顯，在行D中，D1，D4，D6和D8中分別包含了候選數(shù)集3, 5, 6，2, 5, 6，2, 5, 6和3, 5, 6，即分別都是四數(shù)集2, 3, 5, 6的子集。這樣在行D中，數(shù)字2，3，5和6就只能填入這4個(gè)單元格中，所以D3和D7的候選數(shù)中將不能包含這幾個(gè)數(shù)字。下面是顯式四數(shù)集在列中的例子： 在第9列中，C9，D9，E9和G9中分別包含了候選數(shù)集1, 7, 8，1, 8，6, 7, 8和6, 7, 8，即分別都是四數(shù)集1, 6, 7, 8的子集。這樣數(shù)字1，6，7和8就不能填入該列中除這四個(gè)單

53、元格之外的單元格中，所以A9和B9的候選數(shù)中將不能出現(xiàn)這四個(gè)數(shù)字。同樣，顯式四數(shù)集也可以出現(xiàn)在區(qū)塊中：在起始于A7的區(qū)塊中，B9，C7，C8和C9中分別包含了候選數(shù)集6, 7，1, 6, 8，7, 8和1, 6, 7, 8，即它們分別都是四數(shù)集1, 6, 7, 8的子集。這樣，數(shù)字1，6，7和8就不能填入該區(qū)塊中除這四個(gè)單元格之外的單元格中，所以A7和A8的候選數(shù)中將不能出現(xiàn)這四個(gè)數(shù)字。 當(dāng)然，掌握了顯式四數(shù)集法，我們同樣可以演繹出顯式五數(shù)集法，顯式六數(shù)集法等，但因?yàn)轱@式四數(shù)集法出現(xiàn)的幾率已經(jīng)較小，所以我們不指望推演出的更多方法能在解決數(shù)獨(dú)謎題上帶給我們有效的幫助。 7. 隱式數(shù)對(duì)法 (Hidden Pair) 對(duì)比顯式數(shù)對(duì)法，隱式數(shù)對(duì)法也需要在同一行，列或區(qū)塊中尋找兩個(gè)單元格，而這兩個(gè)單元格上都包含有一個(gè)數(shù)對(duì)（兩個(gè)數(shù)字），且這個(gè)數(shù)對(duì)不會(huì)出現(xiàn)在該行，列或區(qū)塊的其他單元格上。然而，應(yīng)用隱式數(shù)對(duì)法卻要困難得多，因?yàn)樗c顯式數(shù)對(duì)法不同的是，包含有數(shù)對(duì)的單元格的候選數(shù)中可能還包含有其他的數(shù)字。先看下圖：可以看到，在行A中，數(shù)對(duì)3, 6只出現(xiàn)在