9.1分式及其基本性質(zhì)講解與例題

1、數(shù)學(xué)試卷9.1分式及其基本性質(zhì)1了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念，理解分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系2了解分式的定義，會(huì)求一個(gè)分式有意義、無(wú)意義、值為零的條件3理解分式的基本性質(zhì)及其內(nèi)涵要點(diǎn)，能靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的變形4增強(qiáng)數(shù)學(xué)的符號(hào)感，感受類比思想在數(shù)學(xué)中的巨大作用1分式(1) 分式及有理式的概念一般地，如果a， b 表示兩個(gè)整式，并且b 中含有字母，那么式子aa叫做分式，其中b叫做分式的分子，b 叫做分式的分母分式是兩個(gè)整式相除的一種表達(dá)方式，正如分?jǐn)?shù)可看成兩個(gè)整數(shù)相除的一種表達(dá)方式一樣理解分式的概念還應(yīng)弄清兩個(gè)問(wèn)題：一是分式是兩個(gè)整式相除的商，那么分子就是被除式，分母就是除式， 而

2、分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)作用；二是分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分式的分母必須有字母并且不能為0.整式整式和分式統(tǒng)稱為有理式，即有理式分式整式和分式的區(qū)別在于分式的分母中含有字母因此，在判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式時(shí)，只需看未化簡(jiǎn)的代數(shù)式的分母中是否含有字母即可【例 11】在下列代數(shù)式中，哪些是分式？哪些是整式？x 4 y 2yab 3x y3， x， y ， x y， 2 ， ， x y.4y2yx y解： 分式有： x，y， x y， x y；xab3整式有： 3， 2 ， .分式是形式定義，判斷一個(gè)代數(shù)式是否為分式，只看形式，不能看化簡(jiǎn)后的y2y2結(jié)果如雖然y 化簡(jiǎn)之后為

3、y，但是 y 是分式(2) 分式有意義、無(wú)意義的條件分式的分母相當(dāng)于除式中的除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即分aa式 b有意義的條件是分母b0；分式 b無(wú)意義的條件是分母b 0.數(shù)學(xué)試卷【例1 2】 (1)當(dāng)x_ 時(shí)，分式x2x2 4有意義(2) 當(dāng) x_ 時(shí)，分式1x 1沒(méi)有意義解析：(1)2當(dāng)x40，即x±2時(shí)，分式x 2x2 4有意義；(2) 當(dāng)x 10，即x1 時(shí)，1分式 x 1沒(méi)有意義答案： (1) ±2(2) 1使一個(gè)分式有意義或無(wú)意義，只看分母，可令分母等于零，列出方程，求出未知數(shù)的值， 若使分式有意義則該字母不等于求出的數(shù)值， 若使分式無(wú)意

4、義則該字母等于求出的數(shù)值(3) 分式值為零的條件分式值為零有兩個(gè)條件：一是分子等于零，二是分母的值不為零兩者必須同時(shí)滿足，缺一不可【例 1 3】已知分式x1的值是零，那么x 的值是 () x1A 1B 0C1D±1解析： 由題意知，當(dāng) x 10， x10時(shí)，分式的值等于0，因此 x 1. 故選 C答案： Ca 0，且0時(shí)，分式 a值為 0.bb2分式的基本性質(zhì)(1) 分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以( 或除以 ) 同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變即aa· m a÷ m， 都是整式，且0) (b b· m b÷ m abmm(2) 理解分

5、式的基本性質(zhì)的注意事項(xiàng)：性質(zhì)中的a，b， m表示整式 m0，因?yàn)樽帜溉≈凳侨我獾模?所以 m有可能等于零， 應(yīng)用性質(zhì)時(shí)應(yīng)著重考查 m值是否為零應(yīng)用基本 性質(zhì)時(shí)，要充分理解“都”和“同”這兩個(gè)字的含義，避免犯只乘分子或分母一項(xiàng)的錯(cuò)誤【例 2 1】判斷下列各式中從左邊得到右邊的變形是否正確n 3n(1)() ；m2mbbc(2)a ac(2) ；x yxy(3)x2 y2 xy() ；24(4)xy x2y2() 解析： (1)中的變換分子、分母不相同；(2) 中的分子、分母同乘以字母c，但是題目中無(wú)法確定字母 c 是否為 0，故不一定正確；(3) 中的分式有意義，隱含條件x y0， 因此變換正確

6、； (4)中的分子的變換與分母的變換不相同，不符合分式的基本性質(zhì)，故錯(cuò)誤答案： (1)錯(cuò)誤(2) 錯(cuò)誤(3) 正確(4) 錯(cuò)誤解答這類問(wèn)題，主要考慮三方面：(1) 分子和分母是否進(jìn)行了同樣的乘除；(2) 所同乘以 ( 或同除以 ) 的數(shù) ( 或整式 ) 是否確保不為 0；(3) 變換前后分式的值是否發(fā)生了變化，只有值不變的才可能正確數(shù)學(xué)試卷【例 2 2】填空：y(1)3x3x2y；(2)xxxy x2xyx y；(3)7xy75x2y；1a b(4)aba b.y2解析： (1)將分式 3x的分母乘以 xy，才能得到3xy，因此只有分子也同乘以xy，分式的值才能不變； (2)根據(jù)分式的基本性質(zhì)

7、分子分母同時(shí)乘以( x y) ，值不變，且最后結(jié)果的分子是xyx2；(3)分子分母同時(shí)除以xy；(4)分子分母同時(shí)乘以(a ) b答案： (1)xy2(2)x y x yx2 2xyy2(3)5x (4)a b a b a2 b23分式的約分(1) 約分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去叫做分式的約分即約分時(shí)分式的分子和分母都同除以分子和分母的公因式(2) 約分的方法：當(dāng)分子、分母是單項(xiàng)式時(shí)，約去分子、分母的公因式；當(dāng)分子、 分母是多項(xiàng)式時(shí)， 要先將分子、 分母因式分解， 將其轉(zhuǎn)化為因式相乘的形式，然后進(jìn)行約分；當(dāng)分 子或分母的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，一般先把負(fù)號(hào)提到分式本身

8、的前邊(3) 最簡(jiǎn)分式分子與分母只有公因式1 的分式，叫做最簡(jiǎn)分式一個(gè)分式約分的結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或者整式x2 6x9【例 3】約分： (1)x2 9；x2 4 4y2xy(2)4y2 x2 .分析： (1) 分子是一個(gè)完全平方式，可以分解，分母符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，也可以分解 (2) 分子、分母是多項(xiàng)式，要先將分子、分母因式分解，將其轉(zhuǎn)化為因式相乘的形式，然后進(jìn)行約分，還應(yīng)注意分母中符號(hào)的處理x2 6x 9x2x 3解： (1)x2 9xx x 3.x24 4y2x 22x 2yxyy(2)4y2 x2x 2yx 2y x 2y.(1) 能熟練地分解因式，是進(jìn)行約分的關(guān)鍵，一般一個(gè)一次多項(xiàng)

9、式，不能提取公因式的話就不能再分解；二次二項(xiàng)式，且符號(hào)相反，每一項(xiàng)都是平方項(xiàng)，考慮用平方差公式分解；二次三項(xiàng)式，有兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，且符號(hào)相同，另外一項(xiàng)是兩個(gè)底數(shù)積的2 倍或者倍的相反數(shù)，考慮用完全平方公式分解2(2) 切記約分是對(duì)于分子、分母是乘積形式時(shí)進(jìn)行的變形，分子、分母不是乘積形式的 1 12y1yx 1a不能進(jìn)行約分諸如abb，xaa或等于 b 都是錯(cuò)誤的c13x，x ac 1xbb 14分式有意義、無(wú)意義的條件及分式值為零的條件的綜合運(yùn)用分式有意義、 無(wú)意義的條件及分式值為零的條件的考查，常與絕對(duì)值、 乘方等知識(shí)一起綜合出題， 特別是考查分式值為零的題目，在利用分子求出字母的取值后，一

10、定要代入分母中進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否使分母為零，把使分母為零的值舍去數(shù)學(xué)試卷【例 4】 (1)如果分式| a| 2的值為 0，則 a _ ；ax2 9a(2) 若分式 2x 的值為 _的值為零，則x 4x3解析： 分式的值為零的條件是：分子等于零，且分母不等于零(1) 由條件可得 | a| 2 0，且 ( a2)( a3) 0，解得 a 2.(2) 由條件可得 x2 9 0，且 x2 4x30，解得 x 3.答案： (1) 2(2) 35分式的求值由已知條件， 根據(jù)分式的基本性質(zhì)， 適當(dāng)把分式進(jìn)行變形， 然后把已知條件代入變形后的分式，來(lái)求分式的值若是已知條件是分式的形式， 常常把要求值的分式的分子

11、、 分母同除以一個(gè)適當(dāng)式子 進(jìn)行變形，使要求值的分式出現(xiàn)已知的形式有的還要把已知條件變形x【例 5】已知 y 3，求分析： 由已知條件可知x2 2 3 2xyyx2 xy y2 的值y0. 利用分式的基本性質(zhì)，用 y2 去除待求式的分子與分母，再x x將其變形，使之出現(xiàn)條件式 y，把 y 3 代入即可求解x解： 由題意可知 y0， y3，因此x 22x 3x23y2yy96 3 12 2xy x 293 1 7 .x2 xy y2xyy 16分式基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用分式的變形是多樣的，但無(wú)論哪一種變形，其依據(jù)都是分式的基本性質(zhì)分式基本性質(zhì)的應(yīng)用主要有以下幾種情況：(1) 分式的分子、分母改變符號(hào)

12、的問(wèn)題分式的分子、分母和分式本身的符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)，分式的值不變它是處理分式的分子、 分母和它本身的符號(hào)問(wèn)題的主要依據(jù)，在使用時(shí)， 可以分為以下三種情況， 分列為三條法則：分式的分子、分母同時(shí)改變符號(hào)，分式的值不變；分式的分子、分母中有一個(gè)改變符號(hào)，僅當(dāng)分式本身的符號(hào)也改變，分式的值不變；分式的本身若改變符號(hào)，僅當(dāng)分子、分母中的一個(gè)也改變符號(hào)，分式的值不變m m mmm m例如，根據(jù)有n n， n n， n n ；m m mm根據(jù)和，有 n n ， n n.應(yīng)用這 個(gè)法則時(shí)，應(yīng)注意：當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，它們的第一項(xiàng)的符號(hào)并不一定是分子或分母的符號(hào)因此應(yīng)注意添括號(hào)法則的應(yīng)用 2x2 3

13、x 5如把分式的分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)時(shí)，應(yīng)有添括號(hào)的步驟，x 52x2 3x 5x2 3x，再應(yīng)用法則，同時(shí)改變分子及分式本身的符號(hào)，則分x 5x 5式的值保持不變，即 2x2 3x5 x2 3x 2x2 3x 5.x 5x 5x 5 y3 y2 1又如 1 y y2數(shù)學(xué)試卷 y3 y2 y2y y21 y2 y 1 .y3把分式的分子與分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)的一般方法是：先將分子、分母降冪排列；若分 子 ( 或分母 ) 的最高次項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，則將整個(gè)分子 ( 或分母 ) 放入帶有“”的括號(hào)內(nèi) ( 注意：放入括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要變號(hào) ) ；再根據(jù)分式的符號(hào)變化法則調(diào)整即可(2

14、) 分式中系數(shù)化整問(wèn)題把分式中的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，只要找各項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù)即可(3) 分式中字母倍增問(wèn)題當(dāng)分式中的字母有倍數(shù)變化時(shí)，要分別觀察分子、分母的倍數(shù)變化，方可探究整個(gè)分式的變化【例 6 1】不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含負(fù)號(hào)：5xyx 2y ax 3y(1)2a ； (2) x y；(3) bx .分析：由分式的基本性質(zhì)可得， 分式的分子、 分母以及分式本身的符號(hào)改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變(1) 需將分子的負(fù)號(hào)去掉，則分式本身的符號(hào)要改變； ( 2) 只改變分母的符號(hào)，則分式本身的符號(hào)也要改變；(3) 同時(shí)改變分子和分母的符號(hào)，分式本身不改變符號(hào) 5

15、xy5xy解： (1)2a 2a .x 2yx 2y(2) x y x y . ax 3yax 3yax 3y(3) bx bxbx .【例 6 2】下列各式從左到右的變形正確的是() x12x y0.2 ab2a b2yA1 x 2yB a 0.2 b a 2b2x yx 1 x1a b a bC x y xyD a b a b解析： 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式的分子和分母擴(kuò)大相同的倍數(shù)，不能漏乘分子、 分母中的任何一項(xiàng)，故B 項(xiàng)錯(cuò)誤同時(shí)在分式的變形中，還要注意符號(hào)法則，即分式的分子、分母及分式的符號(hào)，只有同時(shí)改變其中的兩個(gè)符號(hào)其值才不變，故C， D 兩項(xiàng)也錯(cuò)誤 A 項(xiàng)是分式的分子、分母都乘

16、以2 得到的，是正確的故選 A答案： A41 323 4a a【例 6 3】不改變分式的值，把分式中的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，1212a a 3并使次數(shù)最高項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)分析：分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)的分母的最小公倍數(shù)是12，利用分式的基本性質(zhì)，分式413216 3a3 12a212，得3 4a a ×12的分子、 分母同乘以1 21 6a2 12a4，再利用分式的符號(hào)變化法則，2a a 3 ×12數(shù)學(xué)試卷改變分式及分式分子的符號(hào)，結(jié)果不變41323 4a a12，解： 分式中的分子、分母同時(shí)乘以1212a a 341 3216 3a3 12a23 4aa ×

17、12得 1 21 6a2 12a4 .2a a3 ×12分式本身及分式分子的符號(hào)都變?yōu)椤啊?，?6 3a312a2 3a3 12a23a3 12a2166a2 12a 4 6a2 12a 4 6a2 12a4 .x 2y【例 6 4】若分式xy中的 x， y 的值都擴(kuò)大為原來(lái)的3 倍，則此分式的值 () A不變B擴(kuò)大為原來(lái)的 3 倍11C縮小為原來(lái)的 3D縮小為原來(lái)的 6解析： 當(dāng) x，y 都擴(kuò)大為原來(lái)的3 倍時(shí)，分母 xy 的值相應(yīng)地?cái)U(kuò)大為原來(lái)的9 倍，分子 x2y 相應(yīng)地?cái)U(kuò)大為原來(lái)的13 倍，故分式的值縮小為原來(lái)的.33xyx2yx 2y具體化簡(jiǎn)過(guò)程如下：xy9xy 3xy .答案： C7分式的實(shí)際應(yīng)用分式的知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活、經(jīng)濟(jì)生活及生產(chǎn)實(shí)際中都有廣泛應(yīng)用主要是利用分式表示現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系， 同時(shí)它也是表示現(xiàn)實(shí)世界一類量的數(shù)學(xué)模型， 解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找到題目中的數(shù)量關(guān)系，列出分式解答有關(guān)分式的應(yīng)用題時(shí)，要記住常用的幾個(gè)數(shù)量關(guān)系，如工作效率與工作時(shí)間和工作量之間的關(guān)系，路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系等再者要明確常用圖形的面積、體積公式及公式變形【例 7】如圖，在一幅矩形風(fēng)景畫(huà)四周鑲有寬度相同的木條，風(fēng)景畫(huà)的長(zhǎng)為a cm，設(shè)四周木條的寬為x cm. 整幅風(fēng)景畫(huà) ( 包括四周木框 ) 的矩形面積是S cm 2，則它的寬為 () SSSSA xaB 2x a