第2-3章 桿件的內(nèi)力和內(nèi)力圖及應(yīng)力變形

1、例例 圖示桿的圖示桿的A、B、C、D點(diǎn)分別作用著大小為點(diǎn)分別作用著大小為FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如圖，試求各段內(nèi)力并畫出桿的力，方向如圖，試求各段內(nèi)力并畫出桿的軸力圖。的軸力圖。FN1ABCDFAFBFCFDO解解： 求求OA段內(nèi)力段內(nèi)力FN1：設(shè)截面如圖：設(shè)截面如圖0 X01NABCDFFFFF 05841NFFFFFFFN21ABCDFAFBFCFDFN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求求CD段內(nèi)力：段內(nèi)力： 求求BC段內(nèi)力段內(nèi)力： 求求AB 段內(nèi)力：段內(nèi)力：0 X02DCBNFFFF0 X03DCNFFF04DNFF

2、0 XFN3= 5F，F(xiàn)N4= FFN2= 3F，BCDFBFCFDCDFCFD,21FFNFN2= 3F，F(xiàn)N3= 5F，F(xiàn)N4= F軸力圖如下圖示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3= 5F，F(xiàn)N4= FFN2= 3F，,21FFN例例 等直桿等直桿BC BC , , 橫截面面積為橫截面面積為A A , , 材料密度為材料密度為r r , , 畫畫桿的軸力圖，求最大軸力桿的軸力圖，求最大軸力解解：1. 軸力計算 00N F glAlF N2. 軸力圖與最大軸力 gxAxF N軸力圖為直線glAF maxN, l2.2 2.2 軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力軸向拉伸或壓

3、縮時橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力例題例題2.22.2 圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件ABAB、CBCB的的應(yīng)力。已知應(yīng)力。已知 F F=20kN=20kN；斜桿；斜桿ABAB為直為直徑徑20mm20mm的圓截面桿，水平桿的圓截面桿，水平桿CBCB為為15151515的方截面桿。的方截面桿。F FA AB BC C 0yFkN3 .281NF解：解：1 1、計算各桿件的軸力。、計算各桿件的軸力。（設(shè)斜桿為（設(shè)斜桿為1 1桿，水平桿為桿，水平桿為2 2桿）桿）用截面法取節(jié)點(diǎn)用截面法取節(jié)點(diǎn)B B為研究對象為研究對象kN202NF 0 xF4545045cos21NNFF045sin1 FFN1 12

4、2F FB BF F1NF2NFxy4545l2.2 2.2 軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力kN3 .281NFkN202NF2 2、計算各桿件的應(yīng)力。、計算各桿件的應(yīng)力。MPa90Pa109010204103 .286623111AFNMPa89Pa1089101510206623222AFNF FA AB BC C45451 12 2F FB BF F1NF2NFxy4545例例 已知簡單構(gòu)架：桿已知簡單構(gòu)架：桿1 1、2 2截面積截面積 A1=A2=100 mm2，材料的許材料的許用拉應(yīng)力用拉應(yīng)力 t =200 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 c

5、 =150 MPa 試求：載荷試求：載荷F F的許用值的許用值 F解：解：1. 軸力分析軸力分析0 , 0 yxFF由由)( 2N1拉伸拉伸FF)( N2壓縮壓縮FF2,t1t11AFAFNkN 14.142t1 AFkN 0 .15c2 AFc2AFkN 14.14 F2. 利用強(qiáng)度條件確定利用強(qiáng)度條件確定F（A1=A2=100 mm2，許用拉應(yīng)力，許用拉應(yīng)力 t =200 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 c =150 MPa）例例 已知已知：l, h, F（0 x a時時lbMMemax lMxFeS發(fā)生在發(fā)生在C截面右側(cè)截面右側(cè)FslxMe lMxMealMeb* 集中力偶作用點(diǎn)處剪力圖

6、無影響，彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。BlACab xlMxMe xllMxMelxaax 0解解：1、支反力2、寫出內(nèi)力方程),(2)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 畫出梁的內(nèi)力圖。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,2221)(2333333xxxxxFxMBY3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖1kN/

7、m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)2-7 2-7 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用一、一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系1 1、支反力：、支反力：2qlFFBYAYLqFAyFBy2 2、內(nèi)力方程、內(nèi)力方程qxqlxFs21)()0(lx 22121)(qxqlxxM)0(lx 3

8、3、討論如下、討論如下qxqldxxdM21)(qdxxdFs)(x),(xFs)(xqsFMARA對對dx 段進(jìn)行平衡分析，有：段進(jìn)行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(sxFxxqdxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+dFs (x)Fs(x)M(x)dxAy xqxxFdds 剪力圖上某點(diǎn)處的切線剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。小。 q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)M(x)dxAy, 0)(iAFm)(d)(dxFxxMs 彎矩圖上某點(diǎn)處的切彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力

9、的線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。大小。)(d)(d22xqxxM0)(d(21)()d(-)(d)(2xxqxMxxFxMxMsFs(x)+dFs (x) xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxMq、Fs和和M三者三者的微分關(guān)系的微分關(guān)系二、微分關(guān)系的應(yīng)用二、微分關(guān)系的應(yīng)用-作作Fs 圖和圖和 M 圖（用于定形）圖（用于定形）2 2、分布力、分布力q(x) = = 常數(shù)時常數(shù)時1 1、分布力、分布力q(x)=0)=0時時 （無分布載荷）（無分布載荷）Fs 圖：圖：M圖：圖： CxFxqxxFs)(0ddsDCxxMCxFxxMs)()(d)(d CqxxFqxqxxFs

10、)(ddsDCxqxxMCqxxFxxMs221)()(d)(d xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxM 剪力圖為一條剪力圖為一條水平線水平線； 彎矩圖為一條彎矩圖為一條斜直線斜直線。剪力圖為一條剪力圖為一條斜直線斜直線； 彎矩圖為一條彎矩圖為一條二次曲線二次曲線。（1 1）當(dāng)分布力的方向向上時）當(dāng)分布力的方向向上時, 0q剪力圖為剪力圖為斜向上斜向上的斜直線；的斜直線； 彎矩圖為彎矩圖為上凸上凸的二次曲線。的二次曲線。 CqxxFqxqxxFs)(ddsDCxqxxMCqxxFxxMs221)()(d)(d（2 2）當(dāng)分布力的方向向下時）當(dāng)分布力的方向向下時Fs圖

11、：圖：M圖：圖：M(x), 0q剪力圖為剪力圖為斜向下斜向下的斜直線；的斜直線； 彎矩圖為彎矩圖為下凸下凸的二次曲線。的二次曲線。Fs圖：圖：M圖：圖：M(x)控制點(diǎn)控制點(diǎn): :端點(diǎn)、分段點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)（極值點(diǎn)）等端點(diǎn)、分段點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)（極值點(diǎn)）等。三、簡易法作內(nèi)力圖：三、簡易法作內(nèi)力圖： 利用微分關(guān)系定形，利用特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來定值利用微分關(guān)系定形，利用特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來定值 利用積分關(guān)系定值利用積分關(guān)系定值 基本步驟： 1、確定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分規(guī)律判斷梁各段內(nèi)力圖的形狀； 4、確定控制點(diǎn)內(nèi)力的數(shù)值大小及正負(fù)； 5、畫內(nèi)力圖。利用剪力、彎矩與

12、分布荷載間積分關(guān)系利用剪力、彎矩與分布荷載間積分關(guān)系定值定值 212121)()()()()(dd1s2ssssxxxxQQdxxqFFdxxqxdFdxxqxdFxqxxF 212121)()()()()(dd12xxsxxsMMssdxxFMMdxxFxdMdxxFxdMxFxxM 梁上任意兩截面的剪力梁上任意兩截面的剪力差等于兩截面間載荷圖所包差等于兩截面間載荷圖所包圍的面積圍的面積 梁上任意兩截面的彎矩梁上任意兩截面的彎矩差等于兩截面間剪力圖所包差等于兩截面間剪力圖所包圍的面積圍的面積積分關(guān)系積分關(guān)系: : 例例 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。

13、左端點(diǎn)：剪力圖有突變，突變值左端點(diǎn)：剪力圖有突變，突變值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端點(diǎn)：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。右端點(diǎn)：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、確定支反力（可省略）、確定支反力（可省略）AB：BC：2、畫內(nèi)力圖、畫內(nèi)力圖Fym223; 0qamFYABCsFxsFsF, ,0qaqaFcs,qaFAs右右；, 0qq 0,；M,2qaMB, 0AM;5 . 12qaMC,qaFBsMqa2(Fs 0, 所以所以Fs圖向正方向斜圖向正方向斜)( 積分關(guān)系積分關(guān)系FsB=FsA+0)MC= MB+(-1/2qa a)= qa2

14、 1/2 qa2MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )M;5 . 12qa例例畫組合梁的剪力與彎矩圖畫組合梁的剪力與彎矩圖組合梁組合梁, ,需拆開需拆開, ,以分析梁的受力以分析梁的受力2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 1. 受力分析受力分析特點(diǎn)特點(diǎn)：鉸鏈傳力不傳力偶矩，：鉸鏈傳力不傳力偶矩，與鉸相連與鉸相連的兩橫截面上的兩橫截面上, M = 0 , FS 不一定為零不一定為零2. 畫畫 FS 圖圖水平直線水平直線3. 畫畫 M 圖圖直線直線23maxSFF 23maxFaM MFa/2-Fa/23Fa/2例例: 試作圖所示懸臂剛架的內(nèi)力圖。試作圖所示懸臂剛架的內(nèi)力圖。5kN

15、20kNc)b)a)ABECD20kN20kNCCDBCD5kN20kNBCD20kN5kNd)e)MCBFQCBFNCBFQBCFNBCMBCFQCDMCDFNCDMBAFNBAFQBA1m3m2m2m懸臂剛架例題懸臂剛架例題20kNCDFNCDMCDFSCD20kNCMCEFsCEFNCEBCD5kN20kNFsBCFNBCMBCBCD20kN5kNMBAFNBAFSBA5kN20kNc)b)a)ABECD20kN20kNCCDBCD5kN20kNBCD20kN5kNd)e)MCBFQCBFNCBFQBCFNBCMBCFQCDMCDFNCDMBAFNBAFQBA1m3m2m2mABCD20

16、kN5kNFsABFNABMAB5kN20kNc)b)a)ABECD20kN20kNCCDBCD5kN20kNBCD20kN5kNd)e)MCBFQCBFNCBFQBCFNBCMBCFQCDMCDFNCDMBAFNBAFQBA1m3m2m2mM圖(單位:kN.m)3050302020只有兩桿匯交的剛結(jié)點(diǎn)，若結(jié)只有兩桿匯交的剛結(jié)點(diǎn)，若結(jié)點(diǎn)上無外力偶作用，則兩桿端點(diǎn)上無外力偶作用，則兩桿端彎矩必大小相等，且同側(cè)受拉。彎矩必大小相等，且同側(cè)受拉。h)i)FQ圖(單位:kN)FN圖(單位:kN)20205205M圖(單位:kN.m)3050302020簡支剛架例題簡支剛架例題例: 試作圖示簡支剛架試作

17、圖示簡支剛架的內(nèi)力圖。的內(nèi)力圖。2m3m3m6m10kN6kN20kN/mECDAFBFBxFByFAy然后取各桿段為隔離體，分別計算各桿端的內(nèi)力。然后取各桿段為隔離體，分別計算各桿端的內(nèi)力。最后，根據(jù)各桿端內(nèi)力作出內(nèi)力圖。最后，根據(jù)各桿端內(nèi)力作出內(nèi)力圖。解：簡支剛架的內(nèi)力簡支剛架的內(nèi)力計算一般先取整個計算一般先取整個剛架為隔離體，利剛架為隔離體，利用平衡條件求出支用平衡條件求出支座反力。座反力。（1）求支座反力）求支座反力取整個剛架為隔離取整個剛架為隔離體，利用平衡條體，利用平衡條件有件有 Fx0 ： FBx16 kN（）MB0： FAy47 kN（）MA0： FBy73 kN（）2m3m3

18、m6m10kN6kN20kN/mECDAFBFBxFByFAy（2）求桿端內(nèi)力）求桿端內(nèi)力CE段段MCE（62）kNm12kNm（左拉）（左拉）FSCE6kNFNCE0AC段段MCA（103）kNm30kNm（左拉）（左拉）FSCA10kNFNCA47kNFSCE6kNMCEFNCEECFNCAMCAFSCACA47kN10kNC結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)由由M0、Fy0和和Fx0得得MCDMCAMCE18kN（上拉）（上拉）FSCDFNCA47kNFNCDFSCAFSCE16kN以此類推可以求得其余各桿端內(nèi)力。以此類推可以求得其余各桿端內(nèi)力。MCDFNCEMCEFNCAFNCDFSCDFSCAFSCEMCAC

19、FNDCFNCDFQDCFQCDMCDMDCC20kN/mD（3）根據(jù)桿件內(nèi)力的變化規(guī)律與特點(diǎn)作出剛架）根據(jù)桿件內(nèi)力的變化規(guī)律與特點(diǎn)作出剛架的內(nèi)圖。的內(nèi)圖。+647731610 FS圖（單位 kN）471673 FN圖（單位 kN）96961830 M圖（單位 kNm）1290三鉸剛架例題三鉸剛架例題例例: 試作圖所示三鉸剛架的內(nèi)力圖。試作圖所示三鉸剛架的內(nèi)力圖。6m2m4m4m20kN/mABCDEa解：（：（1）求支座反力）求支座反力取剛架整體為隔離體取剛架整體為隔離體MA0 ： FBy=80kNFy0 ： FAy=80kNFx0 ： FAx=FBx取鉸取鉸C右邊部分為隔離體右邊部分為隔離

20、體MC0：FAx=FBx =20kN 6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa（2）求桿端內(nèi)力）求桿端內(nèi)力取取AD段為隔離體段為隔離體MD0 ：MDA=120kNm （左拉）（左拉）Fx0：FSDA= 20kNFy0：FNDA= 80kNFNDAMDAFSDADA20kN80kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa取結(jié)點(diǎn)取結(jié)點(diǎn)D為隔離體為隔離體6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNaDFNDAMDAF

21、SDAFNDCMDCFSDCMD0 ：MDC= 120kNm （外拉）（外拉）沿沿FNDC方向應(yīng)用投影方程有方向應(yīng)用投影方程有FNDC= 20cos 80sin = -53.6 kN沿沿FSDC方向應(yīng)用投影方程有方向應(yīng)用投影方程有 FSDC= 62.6 kN取取DC段為隔離體，沿段為隔離體，沿FNDC方向應(yīng)用投影方程有方向應(yīng)用投影方程有FNDC=（ 53.6+ 204sin）kN = 17.8kN沿沿FSDC方向應(yīng)用投影方程有方向應(yīng)用投影方程有FSDC= (62.6 204 cos) kN = 8.9kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFB

22、y=80kNa20kN/mDCMCDFNCDFSCDFsDCFNDCMDCa同理，另一半剛架的各桿端內(nèi)力為同理，另一半剛架的各桿端內(nèi)力為MEC =120kNm（外側(cè)受拉）（外側(cè)受拉） FNEC = 53.6kN FSEC= 62.6kNMEB = 120kNm（右側(cè)受拉）（右側(cè)受拉） FNEB = 80kN FSEB=20kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa（3）作內(nèi)力圖）作內(nèi)力圖彎矩圖彎矩圖120120120-2.5120M圖(單位:kN.m)-2.56m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kN

23、FBx=20kNFBy=80kNa剪力圖剪力圖軸力圖軸力圖20-+62.6-62.58.98.9-+20+FS圖(單位:kN)-80-53.617.8-53.6FN圖(單位:kN)80例: 試作圖示組合剛架的內(nèi)力圖。試作圖示組合剛架的內(nèi)力圖。6m4.5m1.5m20kN/m4.5m10kN/mABCDEFG組合剛架例題組合剛架例題解：（1）求附屬部分的支座反力）求附屬部分的支座反力取取FGC部分為隔離體，利用平衡條件有部分為隔離體，利用平衡條件有MF0：FCy=22.5kN （）Fx0：FFx= 45kN （）Fy0：FFy= 22.5kN （）10KN/mGCFCy=22.5kN=22.5k

24、NFFyFFx=45kN6m4.5m1.5m20kN/m4.5m10kN/mABCDEFG（2）求附屬部分各桿端內(nèi)力）求附屬部分各桿端內(nèi)力分別取分別取FG段、結(jié)點(diǎn)段、結(jié)點(diǎn)G和和GC段為隔離體段為隔離體MGF=101.25kNm（上拉）（上拉） FSGF = 22.5kN FNGF= 45kNMGC= 101.25kNm（右拉）（右拉）FSGC = 45kN FNGC= 22.5kNMGCFSGC G22.5kNC10kN/mFNGCFSGFFNGFMGFGF22.5kN45kNMGFFSGFFNGFFSGC MGCFNGCG10KN/mGCFCy=22.5kN=22.5kNFFyFFx=45k

25、N（3）分析基本部分）分析基本部分20KN/mDEFBAFAx=45kNFAy=93.75kN=3.75kNFByFFyFFx10KN/mGCFCy=22.5kN=22.5kNFFyFFx=45kN（4）作內(nèi)力圖）作內(nèi)力圖彎矩圖彎矩圖6m4.5m1.5m20kN/m4.5m10kN/mABCDEFG67.527027090101.25101.2567.5M圖(單位:kN.m)剪力圖和軸力圖剪力圖和軸力圖67.527027090101.25101.2567.5M圖(kN.m)4545-26.25-4522.5-+93.75+FS圖(單位:kN)FN圖(單位:kN)26.254593.75-3.7

26、5-22.545-計算題1.梁受力如圖（a）所示，求1-1，2-2，3-3面上的剪力與彎距。其中1-1面與2-2面分別在緊靠外力偶m作用面C的左則與右則。112233（a）aa2aABC22mqaqBmBYqa1111 10( )0OMMOYqaqamFMqa a 1111現(xiàn)用設(shè)正法1）求1-1截面上Q、用截面截取梁左段為研究對象。如圖（b）所示，設(shè)截面上作用有正向Q、， 為截面形心。由靜力平衡條件 解： QQ21Mqa 1 Q 為負(fù)值，說明它實(shí)際方向向上。同時，按剪力+、-號規(guī)定也應(yīng)為負(fù)值，說明它實(shí)際轉(zhuǎn)向為順時針，按彎距+、-號規(guī)定也應(yīng)為負(fù)值。AO111Q1MaqAY( )b2222220(

27、 )201OMYqaqamFMqa aqaMqaM 22222)求2-2截面上Q 、取截面，設(shè)正后研究對象受力如圖（c） QQ對Q 的說明同）；為正值，說明它實(shí)際轉(zhuǎn)向與所設(shè) 相同，即逆時針，按彎距+、-號規(guī)定也應(yīng)為正值。( ) ca2222qaqaAO2Q2M( )da3322qaqaA3Q3MqC/2a323233023( )2022 4382OMaYqaqqaaa amFMqaqqaMqaM 33333）求3-3截面上Q 、方法同上，由圖（d）有 -QQ 對Q 、的說明同 ）。2. 列方程作圖（a）所示梁的剪力圖與彎距圖（a）2axABCmPa3BmPaBYPP2axx 322BBxMYP

28、mPaxM xACxPxaM xPxxaCBxP 如圖（a）建 軸，列方程作Q、 圖的步驟如下：1）求支承約束力用整梁平衡條件求得、（圖（a）。2）列Q、方程段Q（解：0）（0）段Q 2424axaM xPxPaa xa （）（ （b）（c）（d） (B)（b）（a）（d）（c）(C)（d）（c）（b）（a） (D)（d）（b）（c）（a）答案：DllllllllllllP( )a( ) c( )b( )dPPP四、計算31.1.540ABAlbhPcr壓桿由鋼制成，長度m,矩形截面mm60mm。試就（a）、（b）兩種支承約束情況計算臨界力 （設(shè)鉸鏈均為球鉸）。ABlPII（a）ABlII（b）PI-Ibhyzmaxminmax/yzyzPl iiI AAlIIIIOII mm c