第1章條件概率,全概率公式(二)

1、第一章第一章 隨機(jī)事件與概率（二）隨機(jī)事件與概率（二）本章要點本章要點 了解概率論中的一些基本概念了解概率論中的一些基本概念: 隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗, 樣本點樣本點, 樣本空間樣本空間. 事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系和運算. 了解概率的統(tǒng)計定義和了解概率的統(tǒng)計定義和古典概型古典概型. 了解概率的公理化定義及相關(guān)性質(zhì)了解概率的公理化定義及相關(guān)性質(zhì), 掌握古掌握古典概型中概率的計算方法典概型中概率的計算方法.五、條件概率與事件的獨立性五、條件概率與事件的獨立性 1.條件概率條件概率 引例引例 某家電商店庫存有甲、乙兩聯(lián)營廠生產(chǎn)的相同牌號的某家電商店庫存有甲、乙兩聯(lián)營廠生產(chǎn)的相同牌號的冰箱冰箱 臺臺, 甲

2、廠生產(chǎn)的甲廠生產(chǎn)的 臺中有臺中有 臺次品臺次品. 乙廠生產(chǎn)的乙廠生產(chǎn)的 100540 臺中有臺中有 臺是次品臺是次品. 今工商質(zhì)檢隊隨機(jī)地從庫存的今工商質(zhì)檢隊隨機(jī)地從庫存的6010冰箱中抽檢一臺冰箱中抽檢一臺, 那么抽檢到的那么抽檢到的 臺是次品（記為事件臺是次品（記為事件 ）1A的概率有多大？的概率有多大？轉(zhuǎn)變?yōu)樵谑录D(zhuǎn)變?yōu)樵谑录?發(fā)生的前提下（增加了一個附帶條件）發(fā)生的前提下（增加了一個附帶條件）, B 15.100P A 由古典概率的計算由古典概率的計算, 知知 若商店有意讓質(zhì)檢隊從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽檢若商店有意讓質(zhì)檢隊從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽檢 臺臺, 那那 1么這么這 臺是次品的概率又是

3、多少？臺是次品的概率又是多少？1 容易得到容易得到, 此時的概率為此時的概率為5.40P 注意到這兩個概率是不同的注意到這兩個概率是不同的, 想想為什么想想為什么? 從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取 臺（記為事件臺（記為事件 ）, 則問題則問題B1即在即在“抽到的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)抽到的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)”的條件下的條件下, 求事件求事件 發(fā)生發(fā)生A 注意到注意到, |.P A B的概率的概率. 如此概率稱為如此概率稱為條件概率條件概率, 記為記為 155,40100P BP AB從而有關(guān)系從而有關(guān)系: 55/100|.4040/100P ABP A BP B 下面就幾何概率下面就幾何概率

4、, 驗證上式的正確性驗證上式的正確性. ,m Bm ABP BP ABmm 設(shè)樣本空間設(shè)樣本空間 是某個區(qū)域是某個區(qū)域, 每個樣本點出現(xiàn)的可能性每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同相同, 則由幾何概率的計算公式得則由幾何概率的計算公式得: 在事件在事件 發(fā)生的前提下（樣本空間從發(fā)生的前提下（樣本空間從 縮小到縮小到 ）, 事事BB件件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為A |.m ABP A Bm B 由此得到由此得到 |.P ABP A BP B定義定義 給定一個隨機(jī)試驗給定一個隨機(jī)試驗, |.P ABP A BP B是相應(yīng)的樣本空間是相應(yīng)的樣本空間, 對于對于任意兩個事件任意兩個事件 , ,A B其中其中 0

5、,P B 稱稱 為在已知事件為在已知事件 發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件 的的條件概率條件概率.BA 可以驗證可以驗證, 條件概率條件概率|PB滿足概率公理化定義中滿足概率公理化定義中的的 條公理條公理.3 |.P ABP A BP B例例21 某建筑物按設(shè)計要求使用壽命超過某建筑物按設(shè)計要求使用壽命超過 年的概率為年的概率為500.8,超過超過 年的概率為年的概率為 600.6,該建筑物使用壽命超過該建筑物使用壽命超過 5010年后年后, 它將在它將在 年內(nèi)倒塌的概率有多大年內(nèi)倒塌的概率有多大?解解 設(shè)事件設(shè)事件 表示表示“該建筑物使用壽命超過該建筑物使用壽命超過 年年”, 事事件件A

6、50B表示表示“該建筑物使用壽命超過該建筑物使用壽命超過 年年”. 60由題意由題意, 得得 0.8,0.6.P AP B又因為又因為 0.6,ABP ABP B故所求的故所求的 條件概率為條件概率為|1|P B AP B A 0.6110.25.0.8P ABP B 例例22 某袋中有紅球某袋中有紅球6個個, 白球白球4個個, 取二次球取二次球, 每次取一每次取一解解 記記 分別表示第一、第二次取紅球的事件分別表示第一、第二次取紅球的事件. 由條由條,A B.59PB A 注意到注意到, 此時此時 且且 65,109610PP ABA個個. 求在第一次取到紅球的條件下求在第一次取到紅球的條件

7、下, 第二次也取到紅球第二次也取到紅球的概率（不放回）的概率（不放回）.件在第一次取紅球的條件下第二次取紅球的概率為件在第一次取紅球的條件下第二次取紅球的概率為:由由得得 .5|99P ABP B AP A 設(shè)設(shè) 為事件為事件, 且且 由條件概率公式由條件概率公式,A B( )0,P A .P ABP B AP A變形后有變形后有 .|P ABP B A P A 2.乘法公式乘法公式 進(jìn)一步地有進(jìn)一步地有 設(shè)設(shè) 為事件為事件, 則則12,nA AA11nnP A AA112121|nnnnnP AAAAP AAA211.|P AAP A例例23（機(jī)遇問題）（機(jī)遇問題）解解 以以 表示第表示第

8、人摸到獎券這一事件人摸到獎券這一事件, 則則1,2,3,4i i iA1234.DA A A A由乘法公式得由乘法公式得四個人摸到的概率四個人摸到的概率.設(shè)有十人摸一張有獎的獎券設(shè)有十人摸一張有獎的獎券, 求第求第第四人摸到的事件為第四人摸到的事件為432 1PA A A A1432 132 121|PPPP AA A A AA A AA A.178917891010121(),|,aacP AP AAababc321|,22A AacP Aabc 例例23 設(shè)袋中有設(shè)袋中有 個紅球和個紅球和 個白球個白球. 每次隨機(jī)地從袋每次隨機(jī)地從袋ab的球的球, 共取了共取了 次次, 試求試求 次取到的

9、都是紅球的概率次取到的都是紅球的概率.33解解 設(shè)事件設(shè)事件 表示第表示第 次取到的是紅球次取到的是紅球, iAi1,2,3,i 則則中取中取 球球, 然后把原球放進(jìn)然后把原球放進(jìn), 再放進(jìn)再放進(jìn) 個與取出的球同色個與取出的球同色1c所以所以123321211|AAA AP AAP AP AAP.22acaabc abacabc 獨立的意義獨立的意義 問題的引出問題的引出: 設(shè)設(shè) 是隨機(jī)試驗是隨機(jī)試驗, 是相應(yīng)的樣本空間是相應(yīng)的樣本空間,E 是兩個事件是兩個事件. 在前面的眾多例子中在前面的眾多例子中, 我們看到我們看到, 在一在一,A B般情況下般情況下, 事件事件 的發(fā)生都會對事件的發(fā)生都

10、會對事件 的發(fā)生產(chǎn)生影響的發(fā)生產(chǎn)生影響, AB |.P B AP B但某些情況下但某些情況下, 事件事件 的發(fā)生與的發(fā)生與 的發(fā)生沒有任何影響的發(fā)生沒有任何影響.AB用數(shù)學(xué)公式來反映的話即為用數(shù)學(xué)公式來反映的話即為: 2.隨機(jī)事件的獨立性隨機(jī)事件的獨立性例例24 一袋中裝有個一袋中裝有個4白球白球, 2個黑球個黑球, 從中有放回取兩次從中有放回取兩次,解解 以以 表示第一次取到的是白球表示第一次取到的是白球, 表示第二次取到的表示第二次取到的AB 226 42,.363P AP B又有條件概率公式又有條件概率公式 4/92|.2/33P ABP B AP A每次取一個每次取一個. 求在第一次取

11、到的是白球的條件下求在第一次取到的是白球的條件下, 第二次第二次取到的也是白球的概率取到的也是白球的概率.也是白球也是白球, 則有則有即即: |.P B AP B 上式表明上式表明: 事件事件 的發(fā)生對事件的發(fā)生對事件 的發(fā)生沒有任何影響的發(fā)生沒有任何影響.AB |.P B AP B再由條件概率公式再由條件概率公式: |,P ABP B AP A實際上實際上, 由于該問題是一個放回抽樣問題由于該問題是一個放回抽樣問題, 常識告訴我們常識告訴我們,AB事件事件 不應(yīng)該對事件不應(yīng)該對事件 產(chǎn)生影響產(chǎn)生影響. 由上式由上式:和前式相比較和前式相比較, 有有 .P ABP AP B為此為此, 我們引入

12、下面概念我們引入下面概念.定義定義 設(shè)設(shè) 為事件為事件, 且滿足且滿足,A B則稱事件則稱事件 是是獨立的獨立的.,A B ,P ABP AP B 獨立性獨立性定理定理 如果如果 0,P A 件是件是 .|P A BP A則事件則事件 獨立的充分必要條獨立的充分必要條,A B定理定理 下列下列 個命題是等價的個命題是等價的:4事件事件 與與 相互獨立相互獨立;A B事件事件 與與 相互獨立相互獨立;A B事件事件 與與 相互獨立相互獨立;AB事件事件 與與 相互獨立相互獨立.A B注意該定理的意義注意該定理的意義.定義定義 設(shè)設(shè) 為事件組為事件組, 且任取且任取 有有12,nA AA2,kkn

13、則稱則稱 是是相互獨立的相互獨立的.12,nA AA 1212,iiikiiikP A AAP AP AP A 當(dāng)當(dāng) 時時, 事件組事件組 獨立的含義是獨立的含義是:3n 123,A A A 1212,P A AP A P A1313,P A AP A P A2323,P A AP AP A 123123.P A A AP A P AP A當(dāng)當(dāng)成立成立, 則稱事件組則稱事件組 是是兩兩獨立兩兩獨立的的.123,A A A例例25某項工作交由三個人獨立完成某項工作交由三個人獨立完成, 設(shè)這三人完成的設(shè)這三人完成的解解 設(shè)設(shè) 分別表示第一分別表示第一, 第二第二, 第三人完成該工第三人完成該工12

14、3,A A A10.5,P A 20.6,P A30.7,P A再設(shè)事件再設(shè)事件 表示工作被完成表示工作被完成, 則則 因因B123,BAAA ,1P BP B 又又123123,BAAAA AA0.5,0.6,0.7,概率分別為概率分別為 求該項工作被完成的概率求該項工作被完成的概率.作作, 則則所以所以 123123P BP A A AP AP AP A0.50.40.30.06.所以所以 0.94.P B 注意求解該類題的一般方法注意求解該類題的一般方法.0.4%例例26 已知每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為已知每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,解解 事件事件“混合后的血清中

15、含有肝炎病毒混合后的血清中含有肝炎病毒”等價于等價于“100個個12100121001P AAAP AAA 且他們是否含有肝炎病毒是相互獨立的且他們是否含有肝炎病毒是相互獨立的. 今混合今混合100個人個人的血清的血清, 試求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率試求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率iA人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒” . 設(shè)事件設(shè)事件 表表1,2,100,i 則所求概率為則所求概率為:示示“第第 個人的血清中含有肝炎病毒個人的血清中含有肝炎病毒”, i10010011110.0040.33,iiP A 即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率為即混合

16、后的血清中含有肝炎病毒的概率為0.33. 此例說明此例說明, 小概率事件在多次的重復(fù)試驗中會有較大小概率事件在多次的重復(fù)試驗中會有較大可能出現(xiàn)可能出現(xiàn). 3.獨立性在可靠性問題中的應(yīng)用獨立性在可靠性問題中的應(yīng)用 可靠性問題是系統(tǒng)設(shè)計可靠性問題是系統(tǒng)設(shè)計, 產(chǎn)品質(zhì)量控制中的一類重要產(chǎn)品質(zhì)量控制中的一類重要問題問題. 在以下討論中在以下討論中, 假設(shè)各元件是否能正常工作是相互獨假設(shè)各元件是否能正常工作是相互獨立的立的.解解 設(shè)設(shè) 表示各部件正常表示各部件正常, 12,nA AA1211.nnniiiiPP A AAP Ap 靠度為靠度為因此系統(tǒng)的可靠度為因此系統(tǒng)的可靠度為 例例27 設(shè)一個系統(tǒng)由設(shè)

17、一個系統(tǒng)由 個元件串聯(lián)而成個元件串聯(lián)而成, 第第 個元件的可個元件的可ni,1,2, .ip in試求這個串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度試求這個串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度.B表示系統(tǒng)正常表示系統(tǒng)正常,則系統(tǒng)正常等價于每個部件正常則系統(tǒng)正常等價于每個部件正常. 這樣的問題稱為這樣的問題稱為串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)問題問題.例例28 設(shè)某臺設(shè)備由六部件組成設(shè)某臺設(shè)備由六部件組成, 已知該設(shè)備出故障已知該設(shè)備出故障解解 設(shè)設(shè) 表示各部件正常表示各部件正常, 表示設(shè)備正常表示設(shè)備正常,126,A AAB126,BAAA又又 126P BP AAA1261P AAA 每個部件都出故障每個部件都出故障. 又又, 每個部件工作出故障的可能

18、性每個部件工作出故障的可能性0.2,為為 求設(shè)備正常工作的概率求設(shè)備正常工作的概率.則有則有616110.2P AP A 0.9999. 該問題稱為該問題稱為并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)問題問題.221112,pppp 例例29 設(shè)一個系統(tǒng)由設(shè)一個系統(tǒng)由 個元件組成個元件組成, 其連接方式如圖所其連接方式如圖所4示示, 1234試求這個混合系統(tǒng)的可靠度試求這個混合系統(tǒng)的可靠度.解解 元件元件 組成一個并聯(lián)系統(tǒng)組成一個并聯(lián)系統(tǒng), 1,2相應(yīng)的可靠度為相應(yīng)的可靠度為 該系統(tǒng)與元件該系統(tǒng)與元件 組成一個串聯(lián)系統(tǒng)組成一個串聯(lián)系統(tǒng), 此時可靠度為此時可靠度為3222.pppp最后與元件最后與元件 構(gòu)成并聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)成并

19、聯(lián)系統(tǒng), 故相應(yīng)的可靠度為故相應(yīng)的可靠度為4123421121ppppp 23423.pppp 貝努利試驗貝努利試驗?zāi)繕?biāo)是目標(biāo)是相互獨立的相互獨立的.則稱這個試驗為貝努利試驗則稱這個試驗為貝努利試驗, 相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努 4.貝努利概型和二項概率貝努利概型和二項概率 甲、乙、丙甲、乙、丙 名射手向同一目標(biāo)射擊名射手向同一目標(biāo)射擊, 把每個射手的把每個射手的3射擊看做是一個試驗射擊看做是一個試驗, 共有共有 個試驗個試驗.3假定每個射手射中假定每個射手射中假定假定 個試驗的試驗結(jié)果是相互獨個試驗的試驗結(jié)果是相互獨n立的立的, 便稱這便稱這 個試驗個試驗相互獨立相互獨立.

20、n 如果在如果在 次試驗中次試驗中, 我們只關(guān)心某個事件我們只關(guān)心某個事件 是否發(fā)生是否發(fā)生,1A利概型利概型. 通常記通常記 01 ,P App則則 1.P Ap 如果把貝努利試驗獨立地重復(fù)做如果把貝努利試驗獨立地重復(fù)做 次次, 這這 個試驗合在一個試驗合在一nn起稱為起稱為 重貝努利概型重貝努利概型.n 設(shè)事件設(shè)事件 表示表示“ 重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件 恰好發(fā)生恰好發(fā)生 次次”nkBAk0,1, .kn 在指定的在指定的 次試驗中發(fā)生次試驗中發(fā)生 而其余的為而其余的為 的概率為的概率為:AkA11ppppk1.n kkppnk 注意到注意到, 這樣的指定方式總共有這樣的指定方

21、式總共有 個個, 所以所求概率所以所求概率knC為為1.n kkkknP BC pp 又因為這樣的概率僅和數(shù)又因為這樣的概率僅和數(shù) 有關(guān)有關(guān), 因而上式常常簡記因而上式常常簡記k為為 1.n kkknnP kC pp 通常又稱上式為通常又稱上式為二項概率二項概率.例例30 拋起一枚均勻的硬幣拋起一枚均勻的硬幣 次次, 試求恰出現(xiàn)試求恰出現(xiàn) 次正面向次正面向36上的概率上的概率.解解 此時此時16,3,.2nkp由公式由公式得得 3336611530.3125.2216PC 例例31 設(shè)某人開車回家設(shè)某人開車回家, 途經(jīng)途經(jīng)6個道口個道口, 已知在每個道口已知在每個道口解解 此為此為 的二項概率

22、的二項概率. 由公式由公式得得6,0.4np1. 6424640.40.60.1382.PC2. 0615016610.40.60.40.60.4868.CC 66212101P XP XPP 遇紅燈的概率為遇紅燈的概率為0.4, 求求1.恰好遇到恰好遇到4個紅燈的概率個紅燈的概率;2.至少遇到二個紅燈的概率至少遇到二個紅燈的概率.例例32 某小區(qū)有某小區(qū)有10部電梯部電梯, 每部電梯發(fā)生故障的概率為每部電梯發(fā)生故障的概率為解解 此問題是此問題是 的二項概率的二項概率, 以以 表示在表示在10,0.2npX3 ,P X 103731030.20.80.2013.PC0.2, 求在同一時刻有三部

23、電梯發(fā)生故障的概率求在同一時刻有三部電梯發(fā)生故障的概率.同一時刻電梯發(fā)生故障的臺數(shù)同一時刻電梯發(fā)生故障的臺數(shù), 則問題為求概率則問題為求概率 由公式由公式得得 該問題可以進(jìn)一步延伸為該問題可以進(jìn)一步延伸為: 某小區(qū)有某小區(qū)有200部電梯部電梯, 每部每部電梯發(fā)生故障的概率為電梯發(fā)生故障的概率為0.02, 電梯發(fā)生故障時電梯發(fā)生故障時, 物業(yè)管理物業(yè)管理部門需要派出一名維修工人進(jìn)行修理部門需要派出一名維修工人進(jìn)行修理. 要保證電梯發(fā)生要保證電梯發(fā)生故障時故障時, 物業(yè)管理部門一定有維修工人可以派遣物業(yè)管理部門一定有維修工人可以派遣, 則一則一個最可靠的方法是個最可靠的方法是, 為每一部電梯都安排

24、一個維修人員為每一部電梯都安排一個維修人員.但實際上但實際上, 沒有一個物業(yè)管理部門會這樣做沒有一個物業(yè)管理部門會這樣做. 現(xiàn)在的問題現(xiàn)在的問題是是, 如果我們要求以如果我們要求以95%的把握保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時的把握保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時,物業(yè)部門有維修人員可以派遣物業(yè)部門有維修人員可以派遣, 則應(yīng)該聘用多少名維修則應(yīng)該聘用多少名維修人員？人員？ 若以若以 表示發(fā)生故障的電梯臺數(shù)表示發(fā)生故障的電梯臺數(shù), 表示聘用的維修人表示聘用的維修人XN0.95.P XN即要找到適當(dāng)?shù)募匆业竭m當(dāng)?shù)?使上式成立使上式成立. 若用公式若用公式進(jìn)行計算進(jìn)行計算, N員數(shù)員數(shù), 則問題為則問題為則問題是比較復(fù)雜的

25、則問題是比較復(fù)雜的. 在下一章中在下一章中, 我們尋找更好的方我們尋找更好的方法來解決該問題法來解決該問題. 例例33 甲、乙兩名選手進(jìn)行比賽甲、乙兩名選手進(jìn)行比賽, 已知甲的實力較強(qiáng)已知甲的實力較強(qiáng), 每盤棋獲勝的概率為每盤棋獲勝的概率為 0.6,假定每盤棋的勝負(fù)是相互獨立假定每盤棋的勝負(fù)是相互獨立 的的, 在下列在下列 種情況下種情況下, 試求甲最終獲勝的概率試求甲最終獲勝的概率.3采用三盤比賽制采用三盤比賽制;采用五盤比賽制采用五盤比賽制;采用九盤比賽制采用九盤比賽制.解解 每盤比賽只有每盤比賽只有“甲勝甲勝”（記作（記作 ）與甲負(fù)（記作）與甲負(fù)（記作 ）AB兩種結(jié)果，兩種結(jié)果， 此為一

26、個貝努利概型此為一個貝努利概型. 0.6.p 3,n 22323333230.60.40.6 0.4PPPCC0.648. 555345PPPP0.68256.5,n 9,n 99999550.60.4kkkkkPP kC0.734. 1.完備事件組完備事件組六、全概率公式和貝葉斯公式六、全概率公式和貝葉斯公式 設(shè)設(shè) 為隨機(jī)試驗為隨機(jī)試驗, 為相應(yīng)的樣本空間為相應(yīng)的樣本空間, E12,nA AA,ijAAij12,nAAA 則稱該事件組為則稱該事件組為完備事件組完備事件組.為事件組為事件組, 若滿足若滿足 是一個完備事件組是一個完備事件組.例例34 設(shè)設(shè) 而而128, 11357,A 224,

27、A 368,A 注注 完備事件組實質(zhì)上是樣本空間的一個劃分完備事件組實質(zhì)上是樣本空間的一個劃分.1A2A3A4A5A 2.全概率公式與逆概率公式全概率公式與逆概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式 1|.|iiiiniiiP ABP A P B AP A BP BP A P B A全概率公式全概率公式 定理定理 設(shè)設(shè) 個事件個事件 構(gòu)成樣本空間的一個劃構(gòu)成樣本空間的一個劃n12,nA AA分分, 是一個事件是一個事件, 當(dāng)當(dāng) 時時,B01,2,iP Ain 1|;niiiP BP A P B A當(dāng)當(dāng) 時時, 0P B 公式公式稱為貝葉斯公式或逆概率公式稱為貝葉斯公式或逆概率公式不合格率分別為不合格率分別

28、為機(jī)地取了一臺機(jī)地取了一臺.求該產(chǎn)品為不合格品的概率求該產(chǎn)品為不合格品的概率; 顧客開箱測試后發(fā)現(xiàn)冰箱不合格顧客開箱測試后發(fā)現(xiàn)冰箱不合格, 但這臺冰箱的廠標(biāo)但這臺冰箱的廠標(biāo)例例35 某商店有某商店有 臺相同型號的冰箱待售臺相同型號的冰箱待售, 其中其中 臺臺10060是甲廠生產(chǎn)的是甲廠生產(chǎn)的, 臺是乙廠生產(chǎn)的臺是乙廠生產(chǎn)的, 臺是丙廠生產(chǎn)的臺是丙廠生產(chǎn)的,25150.1,0.4,0.2.一位顧客從這批冰箱中隨一位顧客從這批冰箱中隨已經(jīng)脫落已經(jīng)脫落, 試問這臺冰箱是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的概試問這臺冰箱是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的概率各為多少率各為多少?解解 以以 分別表示分別表示“顧客買到的冰箱是甲

29、廠、顧客買到的冰箱是甲廠、乙乙123,A A A廠、丙廠生產(chǎn)的廠、丙廠生產(chǎn)的”, 1230.6,0.25,0.15.P AP AP A由全概率公式由全概率公式得得:123,A A A則則是樣本空間的一個劃分是樣本空間的一個劃分,且且再設(shè)再設(shè) 表示表示“買到的是不合格品買到的是不合格品”, 則則B1|0.1,P B A2|0.4,P B A3|0.2,P B A 31|iiiP BP AP B A0.6 0.10.25 0.40.15 0.20.19.由貝葉斯公式由貝葉斯公式: 111|0.06|0.316,0.19P A P B AP A BP B 222|0.10|0.526,0.19P A

30、P B AP ABP B 333|0.03|0.158.0.19P AP B AP ABP B 注意注意 對一個較為復(fù)雜的由多種對一個較為復(fù)雜的由多種“原因原因”形成的概率形成的概率問問題題, 使用全概率公式是一個很好的選擇使用全概率公式是一個很好的選擇.例例36 甲袋中有紅球甲袋中有紅球6個個, 白球白球3個個, 乙袋中有紅球乙袋中有紅球5個個, 白白解解 以以 分別表示從甲袋及乙袋中取到的是紅球分別表示從甲袋及乙袋中取到的是紅球, 則則,A B 62,93P A 1,3P A ,663|64105P B A ,1|2P B A 由全概率公式由全概率公式得得球球4個個, 今隨機(jī)地從甲袋中取一

31、球放入乙袋今隨機(jī)地從甲袋中取一球放入乙袋, 再從乙袋中再從乙袋中取一球取一球, 求從乙袋中取紅球的概率求從乙袋中取紅球的概率. |P BP A P B AP A P B A.3 21 16121125175 32 3156563030 注意該概率的具體意義注意該概率的具體意義.5%,例例37 設(shè)有三箱產(chǎn)品設(shè)有三箱產(chǎn)品, 其中甲箱有產(chǎn)品其中甲箱有產(chǎn)品120件件, 次品率次品率隨機(jī)取一箱隨機(jī)取一箱, 再取一件再取一件, 取到的是次品取到的是次品; 開箱后混放開箱后混放, 從中取一件從中取一件, 取到的是次品取到的是次品;3%,4%,乙箱有乙箱有100件件, 次品率次品率 丙箱有丙箱有200件件,

32、次品率次品率 求以求以下概率下概率:在第二種情況下在第二種情況下, 發(fā)現(xiàn)是次品發(fā)現(xiàn)是次品, 該產(chǎn)品是由乙廠生產(chǎn)該產(chǎn)品是由乙廠生產(chǎn)的的.解解 設(shè)設(shè) 表示從甲、乙、丙三箱中取產(chǎn)品表示從甲、乙、丙三箱中取產(chǎn)品, 表表123,A A AB由于是隨機(jī)取箱由于是隨機(jī)取箱, 所以所以1231,3P AP AP A示取到的是次品示取到的是次品, 則則1|0.05,P B A2|0.04,P B A3|0.03,P B A由全概率公式由全概率公式又又 31|iiiP BP AP B A1110.050.040.030.04.333由于第二個問題是開箱后混放產(chǎn)品由于第二個問題是開箱后混放產(chǎn)品, 故取到各箱產(chǎn)品故取

33、到各箱產(chǎn)品的概率就不同了的概率就不同了, 此時產(chǎn)品總數(shù)為此時產(chǎn)品總數(shù)為420件件, 所以所以11200.2857,420P A21000.2381,420P A32000.4761,420P A再由全概率公式得再由全概率公式得 31|iiiP BP A P B A0.2857 0.05 0.2381 0.040.4761 0.030.0381.因因 222|0.04 0.2381|0.25.0.0381P AP B AP BP A B2|0.04,P B A21000.2381,420P A由貝葉斯公式由貝葉斯公式例例37 一批產(chǎn)品中一批產(chǎn)品中, 由甲、乙、丙三廠共同生產(chǎn)的由甲、乙、丙三廠共同

34、生產(chǎn)的, 其中其中解解 以以 分別表示從甲、乙、丙三廠取產(chǎn)品分別表示從甲、乙、丙三廠取產(chǎn)品, 則則123,A A A10.40,P A20.35,P A30.25,P A又設(shè)又設(shè) 表示取到的是次品表示取到的是次品, 則則B40%,1%,35%,甲廠的產(chǎn)品占甲廠的產(chǎn)品占 次品率為次品率為 乙廠的產(chǎn)品占乙廠的產(chǎn)品占2%,25%,3%,次品率為次品率為 丙廠的產(chǎn)品占丙廠的產(chǎn)品占 次品率次品率 今隨機(jī)今隨機(jī)地抽取一產(chǎn)品地抽取一產(chǎn)品, 已知取到的是次品已知取到的是次品, 則該產(chǎn)品是由乙廠則該產(chǎn)品是由乙廠生產(chǎn)的概率是多少生產(chǎn)的概率是多少?10.40,P A20.35,P A30.25,P A及及1|0.0

35、1,P B A2|0.02,P B A3|0.03,P B A由全概率公式由全概率公式, 得得 再由公式再由公式得得 0.0185.P B 222|P AP B AP ABP B 2231|0.0070.3784.0.0185|ijiP AB AP AB A例例38某架飛機(jī)有可能飛過三城市上空某架飛機(jī)有可能飛過三城市上空, 飛過甲地的概飛過甲地的概0.1,0.2,0.05.解解 設(shè)設(shè) 表示飛機(jī)飛過甲、乙、丙三城市的上空表示飛機(jī)飛過甲、乙、丙三城市的上空,123,A A A1230.2,0.5,0.3.P AP AP A率為率為0.2; 飛過乙地的概率為飛過乙地的概率為0.5; 飛過丙地的概率為

36、飛過丙地的概率為0.3;當(dāng)飛機(jī)飛過城市當(dāng)飛機(jī)飛過城市, 有可能被擊落有可能被擊落, 擊落的概率分別為擊落的概率分別為現(xiàn)已知飛機(jī)被擊落現(xiàn)已知飛機(jī)被擊落, 問飛機(jī)在哪個城市上問飛機(jī)在哪個城市上空被擊落的可能性最大？空被擊落的可能性最大？B 表示飛機(jī)被擊落表示飛機(jī)被擊落, 則由已知條件得則由已知條件得: 及及123|0.1,|0.2,|0.05.P B AP B AP B A則由全概率公式得則由全概率公式得, 31|iiiP BP AP B A0.1 0.20.20.50.050.30.135,再由貝葉斯公式再由貝葉斯公式得得: 111|P A P B AP A BP B0.1 0.20.020.1

37、482,0.1350.135 222|P AP B AP ABP B0.2 0.50.10.7407,0.1350.135 333|P AP B AP ABP B0.05 0.30.0150.1111.0.1350.135所以所以, 在乙城市上空被擊落的可能性最大在乙城市上空被擊落的可能性最大.例例39 三人獨立向一飛機(jī)射擊三人獨立向一飛機(jī)射擊, 命中率分別為命中率分別為0.2,0.3,0.4,解解 設(shè)設(shè) 分別表示第一、二、三人擊中飛機(jī)分別表示第一、二、三人擊中飛機(jī), 則則 123,A A A1230.2,0.3,0.4,P AP AP A又設(shè)又設(shè) 表示有一人擊中飛機(jī)表示有一人擊中飛機(jī), 則則

38、1B1123123123,BA A AA A AA A A已知飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為已知飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.4, 如果被二人如果被二人擊中擊中, 被擊落的概率為被擊落的概率為0.7, 三人擊中三人擊中, 則飛機(jī)一定被擊則飛機(jī)一定被擊落落. 求飛機(jī)被擊落的概率求飛機(jī)被擊落的概率.上式中的事件是兩兩互不相容的上式中的事件是兩兩互不相容的, 因而有因而有1123123123P BP A A AP A A AP A A A 123123123P A P A P AP A P A P AP A P A P A0.452.設(shè)設(shè) 表示飛機(jī)被擊落表示飛機(jī)被擊落, 則由已知條件得則由已知條

39、件得B1|0.4.P B B2123123123,BAA AAA AAA A2|0.7.P B B及及 和和 最后設(shè)最后設(shè) 表示有三人表示有三人20.188P B3B2B同理同理, 設(shè)設(shè) 表示有二人擊中飛機(jī)表示有二人擊中飛機(jī), 則有則有擊中飛機(jī)擊中飛機(jī), 則有則有 及及 由全概率由全概率30.024P B3|1.P B B 31|0.3364.iiiP BP B P B B公式得公式得例例40 （橋式系統(tǒng)）（橋式系統(tǒng)） 設(shè)一個系統(tǒng)由設(shè)一個系統(tǒng)由 個元件組成個元件組成, 連接連接5方式如下圖方式如下圖.12345每個元件的可靠度都是每個元件的可靠度都是 , p每個元件是否每個元件是否 正常工作是

40、相互獨立的正常工作是相互獨立的, 試求這個橋式系統(tǒng)的可靠度試求這個橋式系統(tǒng)的可靠度. 當(dāng)元件當(dāng)元件 正常時正常時, 系統(tǒng)相當(dāng)于下圖所示一個混聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)相當(dāng)于下圖所示一個混聯(lián)系統(tǒng):5解解 記記 表示元件表示元件 處于正常工作處于正常工作, 表示系統(tǒng)正常表示系統(tǒng)正常.5AB因而可靠度為因而可靠度為2222|112.P B Appp若若 不發(fā)生時不發(fā)生時, 系統(tǒng)如下圖所示的混聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)如下圖所示的混聯(lián)系統(tǒng):A因而可靠度為因而可靠度為2224|112.P B Appp 由全概率公式得由全概率公式得 |P BP AP B AP AP B A2224212pppppp23452252.pppp七、部分作業(yè)

41、解答七、部分作業(yè)解答1.2 化簡下列各式化簡下列各式解解 ;ABAB;ABAB.ABAB;ABABABBA ;ABABAABB .ABABABAB 1.3 某建筑物倒塌（記為事件某建筑物倒塌（記為事件 ）的原因有以下三個）的原因有以下三個:A1.地震（記為事件地震（記為事件 ）；）；2.臺風(fēng)（記為事件臺風(fēng)（記為事件 ）; 3.暴暴1A2A雨（記為事件雨（記為事件 ）. 已知臺風(fēng)時必有暴雨已知臺風(fēng)時必有暴雨, 試用簡明的試用簡明的3A形式表達(dá)下列事件形式表達(dá)下列事件. A解解12313.AAAAAA1.6 已知已知 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 是不合格品是不合格品, 今從中隨機(jī)地抽今從中隨機(jī)地抽NM

42、件件, 試求試求:n 產(chǎn)品中恰有產(chǎn)品中恰有 不合格品的概率不合格品的概率;nk 產(chǎn)品中至少有一件不合格的概率產(chǎn)品中至少有一件不合格的概率.n解解 以以 表示取到的表示取到的 件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有 件是次品件是次品, 則取則取Ank法總數(shù)為法總數(shù)為,nNC而取到的產(chǎn)品中恰有而取到的產(chǎn)品中恰有 件是次品的取法件是次品的取法k數(shù)為數(shù)為 ,n kkN mMCC因而所求的概率為因而所求的概率為 M.n kkNMnNCCP AC 11.nN MnNCP BP BC 以以 表示取到的產(chǎn)品中至少有一件是次品表示取到的產(chǎn)品中至少有一件是次品, 則則 表示表示BB取到的產(chǎn)品都是正品取到的產(chǎn)品都是正品. 所以所

43、求概率為所以所求概率為所求概率為所求概率為:中取中取, 相應(yīng)的取法數(shù)是相應(yīng)的取法數(shù)是 253101.12CP AC1.7 一個口袋里裝了一個口袋里裝了 球球, 編號分別是編號分別是101,10.今隨機(jī)今隨機(jī) 地從袋取地從袋取 只球只球, 試求試求:3最小號碼是最小號碼是 的概率的概率;5最大號碼是最大號碼是 的概率的概率.5解解 以以 表示取到的最小號碼是表示取到的最小號碼是 此意味著另外此意味著另外 球從球從A5,26,1025,C 243101.20CP BC記事件記事件 表示表示“最大號碼是最大號碼是 ”，則同樣地有，則同樣地有B51.11 設(shè)設(shè) 是兩個事件是兩個事件, 已知已知,A B

44、 0.5,0.7,P AP B試求試求 ,.P ABP BA解解 因因0.8,P AB P ABP AP BP AB0.4.P AB所以所以 0.1,P ABP AP AB0.3.P BA1.12 設(shè)設(shè) 是是 個事件個事件, 已知已知, ,A B C3 P AP B 0.3,0.2,0,P CP ABP BCP AC P ABCP AP BP C試求試求 中至少有中至少有 個發(fā)生的概率和個發(fā)生的概率和 全不發(fā)全不發(fā), ,A B C1, ,A B C生的概率生的概率.解解 P ABP ACP BCP ABC3 0.30.20.7. 1P ABCP ABCP ABC 1 0.70.3. 1.14

45、一盒子中裝有一盒子中裝有 只晶體管只晶體管, 其中有其中有 只是不合格品只是不合格品.103現(xiàn)在做不放回抽樣現(xiàn)在做不放回抽樣, 連接取連接取 次次, 每次隨機(jī)地取每次隨機(jī)地取 只只, 試試21求下面事件的概率求下面事件的概率: 只都是合格品只都是合格品;2 只是合格品只是合格品, 是不合格品是不合格品;11至少有至少有 只是合格品只是合格品.1解解 連續(xù)兩次取產(chǎn)品的所有可能的取法總數(shù)是連續(xù)兩次取產(chǎn)品的所有可能的取法總數(shù)是10 990. 以以 表示取到的都是合格品表示取到的都是合格品, 則取法總數(shù)是則取法總數(shù)是A42.A 所以所以 427.9015P A 以以 表示取到的產(chǎn)品中有一個是合格品表示

46、取到的產(chǎn)品中有一個是合格品, 則取法數(shù)為則取法數(shù)為B7 33 742,B 所以所以 427.9015P B 以以 表示取到的產(chǎn)品中至少有一個是合格品表示取到的產(chǎn)品中至少有一個是合格品, 則則 表表CC示取到的產(chǎn)品中全部是不合格品示取到的產(chǎn)品中全部是不合格品. 因而因而6.C 所以所以 61411.9015P CP C 1.15 一商店出售晶體管一商店出售晶體管, 每盒裝每盒裝 只只. 已知每盒中有已知每盒中有100 只為不合格品只為不合格品. 商店采用商店采用“缺一賠十缺一賠十”的銷售方式的銷售方式. 顧顧客客4買一盒晶體管買一盒晶體管, 如果隨機(jī)地取如果隨機(jī)地取 只只, 發(fā)現(xiàn)是不合格品發(fā)現(xiàn)是

47、不合格品, 商商1店要立刻把店要立刻把 只合格的晶體管放入盒中只合格的晶體管放入盒中. 不合格的那只不合格的那只10晶體管就不再放回晶體管就不再放回. 顧客在一只盒子中隨機(jī)地先后取顧客在一只盒子中隨機(jī)地先后取3只晶體管進(jìn)行測試只晶體管進(jìn)行測試, 試求他發(fā)現(xiàn)全是不合格品的概率試求他發(fā)現(xiàn)全是不合格品的概率.解解 以以 表示第表示第 次取到的是不合格品次取到的是不合格品, 則由已知條件則由已知條件iAi得得:14,100P A213|,109P AA3122|,118P AA A由乘法公式得由乘法公式得 123121312|P A A AP A P AA P AA A4 3 20.00002.100

48、 109 118 1.16 設(shè)設(shè) 是兩個相互獨立事件是兩個相互獨立事件, 已知已知,A B 0.3,P A 0.65,P AB 求求 .P B解解 由由 P ABP AP BP AB ,P AP BP A P B獨立性獨立性 1,P AP AP B由此得由此得 0.5.P B 1.18 設(shè)一名情報員能破譯一份密碼的概率是設(shè)一名情報員能破譯一份密碼的概率是0.6.試試問問, 至少要使用多少名情報員才能使破譯一份密碼的概至少要使用多少名情報員才能使破譯一份密碼的概率大于率大于 95%?解解 設(shè)總共使用設(shè)總共使用 名情報員破譯密碼名情報員破譯密碼. 則密碼被破譯的則密碼被破譯的n概率為概率為 111

49、1 0.4 .nnniiP AP AAP A 又由已知條件又由已知條件 0.95P A 0.40.05.n即即ln0.05/ln0.43.2694.n 所以要使用所以要使用 名情報員名情報員.41.20 有有 個元件個元件, 每個元件的可靠度都是每個元件的可靠度都是 試求下試求下2n, p列系統(tǒng)的可靠度列系統(tǒng)的可靠度:每每 個元件串聯(lián)成一個子系統(tǒng)個元件串聯(lián)成一個子系統(tǒng), 再把這兩個子系統(tǒng)并再把這兩個子系統(tǒng)并n連連;每兩個元件并聯(lián)成一個子系統(tǒng)每兩個元件并聯(lián)成一個子系統(tǒng), 再把這再把這 個子系統(tǒng)串個子系統(tǒng)串n連連.解解 個元件串聯(lián)之后的可靠度為個元件串聯(lián)之后的可靠度為:n1.npp所以兩個子系統(tǒng)并

50、聯(lián)之后的可靠度為所以兩個子系統(tǒng)并聯(lián)之后的可靠度為22112.nnnpppp 兩個元件并聯(lián)后構(gòu)成的子系統(tǒng)的可靠度為兩個元件并聯(lián)后構(gòu)成的子系統(tǒng)的可靠度為2311,pp 因而因而 個這樣的子系統(tǒng)串聯(lián)后所形成的系統(tǒng)的可靠度為個這樣的子系統(tǒng)串聯(lián)后所形成的系統(tǒng)的可靠度為n24112.nnnpppp1.22 名籃球運動員獨立地投籃名籃球運動員獨立地投籃, 每個運動員投籃的命每個運動員投籃的命5中率都是中率都是 80%,他們各投籃一次他們各投籃一次, 試求試求:恰有恰有 次投中的概率次投中的概率;4至少有至少有 次投中的概率次投中的概率;4至多有至多有 次投中的概率次投中的概率;4解解 該問題是一個該問題是一

51、個5,0.8np的二項概率的二項概率. 445540.80.20.4096.PC 55445 ,P XPP 5550.80.3277,P所以所以40.40960.32770.7373.P X 4150.6723.P XP X 1.24 某廠生產(chǎn)的鋼琴中有某廠生產(chǎn)的鋼琴中有 可以直接出廠可以直接出廠, 剩下的剩下的70%經(jīng)調(diào)試后經(jīng)調(diào)試后, 其中其中 可以出廠可以出廠, 80%20%被定為不合格品被定為不合格品不能出廠不能出廠.該廠現(xiàn)生產(chǎn)了該廠現(xiàn)生產(chǎn)了 架鋼琴架鋼琴, 假定各鋼琴假定各鋼琴2n 的質(zhì)量是相互獨立的的質(zhì)量是相互獨立的, 求求:任意一架鋼琴能出廠的概率任意一架鋼琴能出廠的概率;恰有恰有 架不能出廠的概率架不能出廠的概率;2全部鋼琴能出廠的概率全部鋼琴能出廠的概率.解解 以以 表示能直接出廠表示能直接出廠, AB表示能出廠表示能出廠, 則則 0.7,0.3,P AP A|1,|0.8,P B AP B A所