多元函數(shù)微分學(xué)1學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1第一頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容第1頁/共60頁第二頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。1、區(qū)域、區(qū)域(1) 鄰域鄰域(2) 區(qū)域區(qū)域 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.(3) 聚點聚點.(4) n 維空間維空間.第2頁/共60頁第三頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。2、多元函數(shù)概念、多元函數(shù)概念(1) 二元函數(shù)二元函數(shù).(2) 當(dāng)當(dāng) n 2 時時, n 元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).3、多元函數(shù)的極限及求法、多元函數(shù)的極限及求法注意注意: 定義中定義中 P P0 的方式是任意的的方式是任意

2、的.4、多元函數(shù)的連續(xù)性、多元函數(shù)的連續(xù)性(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理;(2) 介值定理介值定理.5、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第3頁/共60頁第四頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。6、偏導(dǎo)數(shù)概念及求法、偏導(dǎo)數(shù)概念及求法7、高階偏導(dǎo)數(shù)及求法、高階偏導(dǎo)數(shù)及求法二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .8、全微分概念及求法、全微分概念及求法9、多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)存在、可微的關(guān)系、多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)存在、可微的關(guān)系第4頁/共60頁第五頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏

3、導(dǎo)存在第5頁/共60頁第六頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。10、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(1) 復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形中間變量均為一元函數(shù)的情形;(2) 復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形中間變量均為多元函數(shù)的情形; (3) 復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函又有多元函數(shù)的情形數(shù)的情形.11、全微分形式不變性、全微分形式不變性12、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則第6頁/共60頁第七頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。13、多元函數(shù)的極值與最值、多元函數(shù)的極值與最值(1) 定義定義及求法及求法(2) 條

4、件極值及求法條件極值及求法.第7頁/共60頁第八頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。二、典型例題分析二、典型例題分析第8頁/共60頁第九頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 解題思路解題思路 (1) 利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性求二元利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性求二元函數(shù)的極限函數(shù)的極限 (如例如例 1); (3) 利用夾逼定理求二元函數(shù)的極限利用夾逼定理求二元函數(shù)的極限 (如例如例 3); (2) 利用變量替換將求二元函數(shù)極限的問題轉(zhuǎn)化為利用變量替換將求二元函數(shù)極限的問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)極限的問題求一元函數(shù)極限的問題 (如例如例 2); (4) 判定二元函數(shù)的極限不存在判定二元函數(shù)的極限不存在 (如

5、例如例 4).第9頁/共60頁第十頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。例例 1 求極限求極限解解第10頁/共60頁第十一頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。例例 2 求極限求極限解解第11頁/共60頁第十二頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。解解例例 3 求極限求極限 第12頁/共60頁第十三頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。例例 4 判定極限判定極限 是否存在是否存在.解解不存在不存在.第13頁/共60頁第十四頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 (4) 利用利用多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù) (如例如例 6 11);(5) 用隱函

6、數(shù)的求導(dǎo)公式求偏導(dǎo)數(shù)用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式求偏導(dǎo)數(shù) (如例如例 12 14). 解題思路解題思路 (1) 已知二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)已知二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 求二元函求二元函數(shù)數(shù) (如例如例 1);(3) 利用利用全微分的概念求函數(shù)的全微分全微分的概念求函數(shù)的全微分 (如例如例 4 5);(2) 利用偏導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)利用偏導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) (如例如例 2 3);第14頁/共60頁第十五頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。例例 1 設(shè)設(shè) z(x, y) 滿足滿足 求求 z (x, y).解解兩邊對兩邊對 x 積分積分, 得得代入題設(shè)條件代入題設(shè)條件, 得得其中其中 (y) 為待定函數(shù)為待定

7、函數(shù).第15頁/共60頁第十六頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。例例 2 設(shè)設(shè) 求求 .解解第16頁/共60頁第十七頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。例例 3 設(shè)設(shè) 求求 .解解第17頁/共60頁第十八頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。第18頁/共60頁第十九頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。例例 4 求函數(shù)求函數(shù) 的全微分的全微分.解解第19頁/共60頁第二十頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 5 設(shè)設(shè) z = z(x, y) 是由方程是由方程 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù), 其中其中 具有二階導(dǎo)數(shù)且具有二階導(dǎo)數(shù)且 ,(1) 求求 dz ;(2) 記記 , 求求 .解解(1)由所

8、給方程的兩邊求全微分由所給方程的兩邊求全微分, 得得第20頁/共60頁第二十一頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。(2)第21頁/共60頁第二十二頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。解解例例 6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u (x) 由方程組由方程組 所確定所確定, 且且 試求試求方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得第22頁/共60頁第二十三頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。由由 (3) 得得代入代入 (2) 得得代入代入 (1) 得得第23頁/共60頁第二十四頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 7 設(shè)設(shè) u = f (x, y, z) 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

9、, 又函數(shù)又函數(shù) y = y (x) 及及 z = z (x) 分別由下列兩式確定分別由下列兩式確定:.ddxu解解由由 e xy - - xy = 2 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得和和求求第24頁/共60頁第二十五頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。由由 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得第25頁/共60頁第二十六頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。解解例例 8 設(shè)設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求求第26頁/共60頁第二十七頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。第27頁/共60頁第二十八頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。函數(shù)函數(shù) 都可微都可微, 求求例例 9 設(shè)設(shè) 其

10、中其中解法解法 1由多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則, 得得第28頁/共60頁第二十九頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。解法解法 2由全微分形式的不變性由全微分形式的不變性, 得得于是于是第29頁/共60頁第三十頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 10 設(shè)設(shè) z = f (u), 方程方程 確定確定 u 是是 x, y 的函數(shù)的函數(shù), 其中其中 f (u), (u) 可微可微, 連續(xù)連續(xù), 且且 , 求求 .解解由方程由方程 z = f (u) 可得可得第30頁/共60頁第三十一頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。即即第31頁/共60頁第三十二頁，編輯于星期一：十五點

11、四十三分。例例 11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (u, v) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且滿足且滿足解解又又求求第32頁/共60頁第三十三頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。第33頁/共60頁第三十四頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。例例 12 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = z (x, y) 由方程由方程 所確所確定定, 試求試求解法解法 1利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式.令令則則第34頁/共60頁第三十五頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。解法解法 2方程兩邊分別對方程兩邊分別對 x, y 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得解得解得第35頁/共60頁第三十六頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。解法解法

12、3由所給方程的兩邊求全微分由所給方程的兩邊求全微分, 得得即即解得解得e.eeyzxyzzzzyxy 第36頁/共60頁第三十七頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 13 試證由方程試證由方程 所確定的所確定的函數(shù)函數(shù) z = z (x, y) 滿足滿足證明證明令令則則第37頁/共60頁第三十八頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。第38頁/共60頁第三十九頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 14 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = z (x, y) 由方程由方程 所確定所確定, 證明證明證明證明令令則則第39頁/共60頁第四十頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。xzFzxF yzFzyF 第4

13、0頁/共60頁第四十一頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。第41頁/共60頁第四十二頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 解題思路解題思路 (1) 利用函數(shù)極值的定義討論函數(shù)的利用函數(shù)極值的定義討論函數(shù)的極值極值 (如例如例 1);(2) 求函數(shù)的無條件極值求函數(shù)的無條件極值 (如例如例 2 3);(3) 利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值 (如例如例 4 7).第42頁/共60頁第四十三頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x, y) 在點在點 O (0, 0) 及其鄰域內(nèi)連續(xù)及其鄰域內(nèi)連續(xù), 且且討論討論 f (x, y) 在點在點 O

14、(0, 0) 是否有極值是否有極值, 若有若有, 是極大值是極大值還是極小值？還是極小值？解解第43頁/共60頁第四十四頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。存存在點在點 O (0, 0) 的某個鄰域內(nèi)的某個鄰域內(nèi), 使得在該鄰域內(nèi)有使得在該鄰域內(nèi)有故函數(shù)故函數(shù) f (x, y) 在點在點 O (0, 0) 處有極大值處有極大值., 0cossin1)0 , 0(),(lim22)0,0(),( Ayyxxfyxfyx且且即即第44頁/共60頁第四十五頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 2 證明函數(shù)證明函數(shù) 有無窮有無窮多個極大值多個極大值, 但無極小值但無極小值.證明證明其二階偏導(dǎo)數(shù)為

15、其二階偏導(dǎo)數(shù)為第45頁/共60頁第四十六頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。函數(shù)函數(shù) f (x, y) 取得極大值取得極大值;0,B 函數(shù)函數(shù) f (x, y) 無極值無極值,故故 f (x, y) 有無窮多個極大值有無窮多個極大值, 但無極小值但無極小值.第46頁/共60頁第四十七頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 3 某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售售, 售價分別為售價分別為 p1 和和 p2 , 銷售量分別為銷售量分別為 q1 和和 q2 , 需求需求函數(shù)分別為函數(shù)分別為 和和 , 總成本總成本函數(shù)為函數(shù)為 . 試問試問: 廠家如何確定兩

16、個廠家如何確定兩個市場的售價市場的售價, 才能使得獲得的總利潤最大才能使得獲得的總利潤最大 ? 最大利潤最大利潤為多少為多少 ?解解總收入函數(shù)與總利潤函數(shù)分別為總收入函數(shù)與總利潤函數(shù)分別為第47頁/共60頁第四十八頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。由函數(shù)取得極值的必要條件得由函數(shù)取得極值的必要條件得解方程組得唯一駐點解方程組得唯一駐點 (80, 120). 由問題的實際意義知由問題的實際意義知, 當(dāng)當(dāng) p1 = 80, p2 = 120 時時, 廠家廠家所獲得的總利潤最大所獲得的總利潤最大, 其最大總利潤為其最大總利潤為第48頁/共60頁第四十九頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。解解 例例

17、 4 求函數(shù)求函數(shù) 在附加條件在附加條件下的極值下的極值作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)則由則由解得駐點為解得駐點為第49頁/共60頁第五十頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 當(dāng)當(dāng) 時時, 函數(shù)取得最大值函數(shù)取得最大值 u = 3, 從而也是極大值從而也是極大值;122,333xyz 當(dāng)當(dāng) 時時, 函數(shù)取得最小值函數(shù)取得最小值 u = 3, 從而也是極小值從而也是極小值.122,333xyz 所給函數(shù)在閉球面上連續(xù)且不為常數(shù)所給函數(shù)在閉球面上連續(xù)且不為常數(shù),必取得最大值與最小值且二者不相等必取得最大值與最小值且二者不相等.又條件極值點只有兩個又條件極值點只有兩個,第50頁/共60頁第五十一頁，編

18、輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 5 求函數(shù)求函數(shù) 在約束條件在約束條件和和 下的最大值和最小值下的最大值和最小值.解解 作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)則由則由解得解得或或第51頁/共60頁第五十二頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 該函數(shù)在所給旋轉(zhuǎn)拋物面及平面上連續(xù)且不為該函數(shù)在所給旋轉(zhuǎn)拋物面及平面上連續(xù)且不為常數(shù)常數(shù),該函數(shù)必取得最大值與最小值且二者不相等該函數(shù)必取得最大值與最小值且二者不相等,即可能極值點為即可能極值點為 (- -2, - -2, 8), (1, 1, 2).第52頁/共60頁第五十三頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 6 當(dāng)當(dāng) x 0, y 0, z 0 時

19、時, 求函數(shù)求函數(shù) u = ln x + 2ln y + 3ln z 在球面在球面 上的最大值上的最大值, 并并證明對任意的正實數(shù)證明對任意的正實數(shù) a, b, c, 不等式不等式成立成立.解解由函數(shù)取得極值的必要條件由函數(shù)取得極值的必要條件, 得得設(shè)設(shè)第53頁/共60頁第五十四頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。第54頁/共60頁第五十五頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。第55頁/共60頁第五十六頁，編輯于星期一：十五點 四十三分。 例例 7 某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告商品的廣告. 根據(jù)統(tǒng)計資料根據(jù)統(tǒng)計資料, 銷售收入銷售收入 R (萬元萬元) 與電臺與電臺廣告費用廣告費用 x (萬元萬元) 及報紙廣告費用及報紙廣告費用 y (萬元萬元) 之間的關(guān)之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式系有如下的經(jīng)驗公式: (1) 在廣告費用不限的情況下在廣告費用不限的情況下