初三《圓》知識點及定理(共4頁)

1、圓知識點及定理一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線； 4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩

2、條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi)；2、點在圓上 點在圓上；3、點在圓外 點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點；2、直線與圓相切 有一個交點；3、直線與圓相交 有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點 ；外切（圖2） 有一個交點 ；相交（圖3） 有兩個交點 ；內(nèi)切（圖4） 有一個交點 ；內(nèi)含（圖5） 無交點 ； 五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?（3）平分弦所對的一條弧的直

3、徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相

4、等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。 即：在中，四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半

5、徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

6、即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計算在中進行：；（2）正四邊形同理，

7、四邊形的有關(guān)計算在中進行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖 =（2）圓柱的體積：（2）圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：十六、圓中常見的輔助線1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等2）作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進行證明3）作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角5)作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的

8、圓周角直角6)遇到切線，作過切點的弦，構(gòu)造弦切角7)遇到切線，作過切點的半徑，構(gòu)造直角8)欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結(jié)公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑9)遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點10)遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點11)遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線12)遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線13)求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊十七、圓中較特殊的輔助線1)過圓外一點或圓上一點作圓的切線2)將割線、相交弦補充完整3)作輔助圓例1如圖23-11，CA為O的切線，切點為A，點B在O上，如果CAB55°，那么AOB等于( )A35°B90°C110°D120°例2 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于( )A B C D例3 如圖23-12，在半徑為4的O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交