初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽解題方法大全(配PDF版)-第08章-二次方程與方程組(共26頁)

1、第八章二次方程與方程組第一節(jié)一元二次方程【賽題精選】§1、一元一次方程的解法主要有：直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法。例1、利用直接開平方法解下列關(guān)于x的方程。（1）（2）（3）例2、利用因式分解法解下列關(guān)于x的方程。（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1)（2）(3)(4)（5）例3、用配方法解下列關(guān)于x的方程。（1）（2）（3）§2、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理：若的兩個(gè)根為、，那么、與a、b、c的關(guān)系為：兩根之和；兩根之積。例4、若首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)二次方程（1）、（2）（其中a、b均為正整數(shù)）有一個(gè)公共根。求的值。例5、已知方程與各有兩

2、個(gè)根、及、，且0，0。求證：（1）0，0，0，0；（2）b-1cb+1；（3）求b、c所有可能的值。例6、已知、是方程的兩個(gè)根，求代數(shù)式的值一。例7、已知a、b為整數(shù)，ab，且方程的兩個(gè)根、滿足關(guān)系式。試求所有適合條件的整數(shù)對（a，b）。例8、求使方程僅有整數(shù)根的所有a。例9、已知關(guān)于x的二次方程（1）（n為自然數(shù)，且n2）。當(dāng)n2時(shí)，此方程的兩根記作、；當(dāng)n3時(shí)，此方程的兩根記作、；當(dāng)n100時(shí)，此方程的兩要記作、。求的值。例10、設(shè)m不為0的整數(shù)，二次方程有有理根。求m的值。例11、方程有兩個(gè)實(shí)根，且兩根差的絕對值為6。求a的值。§3、可化為一元二次方程求解的高次方程舉例

3、7;4、可化為一元二次方程的分式方程和無理方程§5、一元二次方程在其它相關(guān)問題中的運(yùn)用【針對訓(xùn)練】第二節(jié)二元二次方程組的解法【賽題精選】【針對訓(xùn)練】第三節(jié)不定方程初步【知識點(diǎn)撥】所謂不定方程（方程組）是指未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程（方程組）。不定方程的解是不確定的，有的有無數(shù)組解，有的無解，有的僅存在的限組解。對于不定方程（組），主要涉及有關(guān)方程（組）的整數(shù)解、正整數(shù)解或者有理數(shù)解。（一）二元一次不定方程無解的判定方法在不定方程axbyc中（a、b、c均為正整數(shù)），若a與b的最大公約數(shù)不能整除c，則該不定方程無整數(shù)解。（二）二元一次方程有解的判定方法在整系數(shù)不定方程axbyc的系數(shù)

4、a、b互質(zhì)時(shí)，方程axby1或axbyc都有整數(shù)解?！举愵}精選】例1、求方程5x6y16的整數(shù)解。例2、求方程7x4y100的正整數(shù)解。例3、求方程63x8y23的整數(shù)解。例4、求三元不定方程3x2y9z25的整數(shù)解。例5、已知直角三角形的三邊長均為正整數(shù)，且周長與面積的數(shù)值相等，求滿足條件的所有直角三角形。例7、若不等邊三角形各邊長均為正整數(shù)，且周長小于13CM，求這樣的三角形的個(gè)數(shù)。例8、若一個(gè)兩位數(shù)除以它的反序數(shù)所得的商恰好等于余數(shù)，則這樣的兩位數(shù)是多少？例9、有兩堆石頭，若從第一堆搬100塊到第二堆，則第二堆的數(shù)目將變成第一堆的兩倍；反之，若從第二堆搬若干到第一堆，則第一堆將變成第二堆

5、的6倍。問第一堆至少多少塊石頭？并求出此時(shí)第二堆的數(shù)目。例10、A市、B市和C市分別有某種機(jī)器10臺、10臺、8臺?，F(xiàn)決定把這些機(jī)器支援給D市18臺、E市10臺。已知從A市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到D市和E市的運(yùn)費(fèi)為200元和800元，從B市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到D市和E市的運(yùn)費(fèi)分別為300元和700元；從C市調(diào)運(yùn)一臺到D、E市的運(yùn)費(fèi)分別為400元和500元。（1）已知從A市、B市各調(diào)x臺機(jī)器到D市，當(dāng)28臺機(jī)器全部調(diào)運(yùn)完畢后，求總運(yùn)費(fèi)W（元）與所調(diào)機(jī)器臺數(shù)（x）之間的關(guān)系式，并求出總運(yùn)費(fèi)W的最大值與最小值。（2）已知從A市調(diào)x臺機(jī)器到D市，從B市調(diào)y臺機(jī)器到D市，當(dāng)這28臺機(jī)器全部調(diào)運(yùn)完畢后，求總運(yùn)費(fèi)與調(diào)運(yùn)的機(jī)

6、器臺數(shù)（x與y）之間的關(guān)系式。并求出這時(shí)總運(yùn)費(fèi)W的最大與最小值。例11、現(xiàn)在質(zhì)量分別為9克和13克的砝碼若干，在天平上要稱出質(zhì)量為3克的物體，問至少要用多少只這樣的砝碼才能稱出？例12、小明到水果店買了xkg蘋果（x為整數(shù)），按標(biāo)價(jià)應(yīng)付y元，且正好等于小明總和為20元的5張人民幣中的2張面值之和。這時(shí)蘋果筐里還剩下6kg蘋果，店主便對小明說：“如果你把這剩下的蘋果全買了，那么連同剛才的蘋果你只要付10元錢就可以了?！毙∶饕凰悖@相當(dāng)于每千克蘋果比原來的標(biāo)價(jià)便宜了0.5元，于是買下了剩下的蘋果。試求x與y分別是多少？【針對訓(xùn)練】第四節(jié)應(yīng)用問題選講【賽題精選】例1、某商場經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)的

7、價(jià)格比原來的進(jìn)價(jià)降低了6.4%，這樣便使得利潤增加了8個(gè)百分點(diǎn)，那么銷售這種商品原來的利潤率是多少？例2、東堤邊的一塊洼地發(fā)生了管涌，江水不斷涌出，假定每分鐘涌出的水量相等。如果每用兩臺抽水機(jī)抽水，40分鐘可以抽完；如果用同樣的4臺抽水機(jī)抽水，則需16分鐘，如果要在10分鐘內(nèi)把水抽完，那么至少要多少臺抽水機(jī)？例3、現(xiàn)有12名旅客要趕往40KM遠(yuǎn)的火車站，現(xiàn)在離開車時(shí)間只有3個(gè)小時(shí)，如果他們單獨(dú)以4KM/h的速度步行，那么肯定不能趕到火車站，如果再借助一輛連同司機(jī)最多能坐5人且時(shí)速為60Km/h的小汽車，那么這12人參趕上火車嗎？例4、自動扶梯由上向下運(yùn)動，甲從頂部朝下走到底部，共走了150級，

8、乙從底部朝上走到頂部，共走了75級。若甲的速度（在單位時(shí)間內(nèi)所走的電梯的級數(shù)）的3部，求扶梯從頂部到底部共有多少級？例5、某工地上有A、B兩個(gè)土堆，此外還有一個(gè)洼地E和一個(gè)漏池塘F。兩個(gè)土堆的土方數(shù)分別為781方、1584方，而且已知洼地E需要填土1025方，池塘F可以填土1390方。現(xiàn)在要挖掉這兩個(gè)土堆，并用這些土先填洼地E，再將余下的土填入池塘F。如何安排運(yùn)土方案，才能使工程量最?。坷?、一水果商欲將剛收購的一批容易變質(zhì)的水果運(yùn)往外地銷售，他想用汽車、火車或飛機(jī)這三種運(yùn)輸工具中的一種。如果飛機(jī)、火車、汽車的行駛速度分別為200km/h、100 km/h、50 km/h；運(yùn)費(fèi)分別是16元/k

9、m、4元/km、8元/km；而且所用的裝卸費(fèi)分別是1000元、2000元、1000元；裝卸時(shí)間分別是2h、4h、2h。這批水果在運(yùn)輸過程中（包括裝卸過程）的損耗經(jīng)計(jì)算折合為200元/h，收購地點(diǎn)與銷售地點(diǎn)之間的路程記為xkm。(1) 用x表示使用飛機(jī)、火車、汽車運(yùn)輸時(shí)的總支出W1、W2、W3（包括損耗）；(2) 采用哪一種運(yùn)輸方式，才能使運(yùn)輸過程中所支出的費(fèi)用最小？例7、甲乙兩車同時(shí)由A開往B地，甲車在前一半路程中的速度為V1，在后一半路程中的速度為V2（V1V2）；乙車在前一半時(shí)間內(nèi)的速度為V1，在后一半時(shí)間內(nèi)的速度為V2。試問哪輛車先到達(dá)終點(diǎn)？再給出證明過程是。例8、現(xiàn)在濃度為5%、8%、

10、9%的甲乙丙三種溶液60g、60g、47g，要配制濃度為7%的溶液100g，問最多需甲種溶液多少克？最少需甲多少克？例9、甲乙兩人分別從矩形跑道ABCD的A、B兩點(diǎn)出發(fā)，并沿矩形按逆時(shí)針方向前進(jìn)（即沿ABCDABC的方向前進(jìn)），若甲的速度是65m/min，乙的速度為74m/min，則乙至少在跑第幾圈時(shí)才可能第一次追上甲？乙至多在跑第幾圈時(shí)一定能追上甲？例10、一幢33層的大樓，除了設(shè)有扶手樓梯外，在大樓的第一層有一部最多能容納32人的電梯，但該電梯在上升的過程中只能在第2層至第33層中的某一層停一次?，F(xiàn)假設(shè)32人分別居住在該大樓的第2層到第33層，他們對下一層樓梯感到不滿意的程度記為1分，對上一層樓梯感到不滿意的程度記為3分。若某天這32人都同時(shí)聚在第一層，那么電梯在哪一層停一次，才可以使得這32人感到不滿意的程度的總分值最小？最小值是多少？（提示：可以讓一些人不乘電梯而直接從扶手樓梯上樓。）例11、自2001年11月16日起，證券交易所印花稅調(diào)到成交金額的0.2%，另外證券營業(yè)部還要從股票交易中收取成交額的0.35%的傭金。