(完整版)勾股定理經(jīng)典例題(含答案)

1、1勾股定理經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中，/ C=90(1) 已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.思路點(diǎn)撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析:(1)在厶 ABC 中，/ C=90,在厶 ABC 中，/ C=90,在厶 ABC 中，/ C=90,a=6,c=10,b=-a=40,b=9,c= &Ic=25,b=15,a=-舉一反三【變式】如圖/B=ZACD90 ,AD=13,C!=12,B(=3,則 AB 的長(zhǎng)是多少？【答案I：/AC

2、D90AD=13, CD=12 AC=ADJ-CD=132-122=25AC=5/ABC=90 且BC=3由勾股定理可得AB2=AC BC2 2=5 3=16AB=4AB 的長(zhǎng)是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在中，一弓二匚飛,匸二二二丄 U .求BC的長(zhǎng).角的直角三角形，為此作匸 i 一 -1-于D,則有思路點(diǎn)撥：由條件小X 陽=2曲=15BAD = ,2，再由勾股定理計(jì)算出AD DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng).解析：作于D,則因二二二巴,(的兩個(gè)銳角互余)BD=-AB = 5- .o-(在中，如果一個(gè)銳角等于-L J那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)根據(jù)勾股定理，在 二一工匸中，

3、血=JAB2-BD2=如-1亍=15 .根據(jù)勾股定理，在八匚中，23CD=JQ _的=J祁-15 = 65二上E二+匸 J 亠二舉一反三【變式 1】如圖，已知：一匚：二：，二 WX , _：二二一丄 于 p. 求證：Ji i；_.解析：連結(jié) BM 根據(jù)勾股定理，在矗 ASMF 中，加二冊(cè)_加.而在-中，則根據(jù)勾股定理有=曲亦.又二量=-T-1-（已知），.加二曲-曲+亦.在三二匚 27 中，根據(jù)勾股定理有?.囲=肘+血類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地 A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東 60方 向走了亠二-到達(dá) B 點(diǎn)，然后再沿北偏西

4、 30方向走了 500m 到達(dá)目的地 C 點(diǎn)。/ A=60 AB=4, CD=2 求：四邊形 ABCD 勺面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長(zhǎng) AB DC 交于 F,或延長(zhǎng) AD BC 交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng) AD BC 交于 E。/A=Z60/B=90,.ZE=30o.AE=2AB=8 CE=2CD=4.Bh=AE-AB2=82-42=48,BE=:：o/DE=CE2-CD2=42-22=12,.DE=：=o丄 丄S四邊形 ABC=SAABES CDE= 2 AB- BE-2 CD- DE?【變式

5、 2】已知:4（1） 求 A、C 兩點(diǎn)之間的距離。（2） 確定目的地 C 在營(yíng)地 A 的什么方向。解析：（1）過 B 點(diǎn)作 BE/AD/ DAB=/ ABE=60/ 30 +/ CBA+Z ABE=180/ CBA=90即厶 ABC 為直角三角形由已知可得：BC=500m AB=m由勾股定理可得：1一丨-止亠所以-I I (2)在 Rt ABC 中，/ BC=500m AC=1000m/ CAB=30/ DAB=60 / DAC=30即點(diǎn) C 在點(diǎn) A 的北偏東 30的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5 米，寬 1.6 米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工

6、廠的廠門？【答案】由于廠門寬度足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于D 在離廠門中線 0.8 米處，且 CDLAB,與地面交于 H. 解：OC= 1 米（大門寬度一半），0.8 米（卡車寬度一半）Rt OCD 中，由勾股定理得：； =0.6米，=0.6+2.3=2.9（米）2.5（米）.高度上有 0.4 米的余量，所以卡車能通過廠門.（二）用勾股定理求最短問題4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四 個(gè)村莊 A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了CH 如圖所示，點(diǎn)5四種架

7、設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是： 最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較,得出結(jié)論.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 1，則圖（1 ）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD = 3, AB+BC+CID3圖（3 ）中，在 Rt ABC 中圖（3）中的路線長(zhǎng)為-圖（4）中，延長(zhǎng) EF 交 BC 于 H,貝 UFHLBC, B 十 CH=-由/ FBHh及勾股定理得：里施璽EA = ED= FB= FC=二 EF= 1 2FH= 1 -此圖中總線路的長(zhǎng)為 4EA+EF= I IJ- -3 2.8282.732圖（4）的連

8、接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高 AE 為 4cm, EC 是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A 出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.6圖，在 RtABC中，EC=底面周長(zhǎng)的一半=10cm,根據(jù)勾股定理得（提問：勾股定理）AC=丄_丄10.77（cm）（勾股定理） 答：最短路程約為1 0.77cm.類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為而的線段5、作長(zhǎng)為：、廣的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為 1 的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于/ ，直角邊為和 1 的直角 三角形斜邊長(zhǎng)就是,類似地可作作法：如圖所示舉一反三 【變式】在數(shù)軸上

9、表示 |的點(diǎn)。解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， ,為了有利于畫圖，讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而 10 又是 9 和 1 這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3 和 1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A 點(diǎn)，使 0A=3 作 AC 丄 OAAC=1,以 0C 為半徑，0 為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B 即為-。五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對(duì)頂角相等（正確）3 原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.4 原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.（1）作直角邊為 1 （單位長(zhǎng)）的等腰直角ACB,

10、使 AB 為斜邊;（2）以 AB 為一條直角邊，作另一直角邊為1 的直角卩丄。斜邊為廣;（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形宀八二 這樣斜邊二占、4-、】、的長(zhǎng)度就是7思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓(不正確)2.逆命題：相等的角是對(duì)頂角(不正確)3.逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.？(正確)4.逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.(正確)總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果 ABC 的三邊分別為 a、b、c,且滿足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷 ABC 的形狀。思路點(diǎn)撥：要

11、判斷厶 ABC 的形狀，需要找到 a、b、c 的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題。2 2 2解析：由 a +b+c +50=6a+8b+10c,得：2 2 2a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(C-5)2=0。/ (a-3)2 0, (b-4)2 0, (c-5)2 0。 a=3 , b=4, c=5。/ 32+42=52,2.2 2 a +b =c。由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。舉

12、一反三 【變式 1】四邊形 ABCD 中，/ B=90, AB=3 BC=4, CD=12, AD=13 求四邊形 ABCD 勺面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié) AC/ B=90 , AB=3 BC=4AC=AB+BC=25（勾股定理） AC=5/ AC+CD=169 , AD=169AC+CD=AD / ACD=90 （勾股定理逆定理）=(w?所以ABC是直角三角形.【變式 2】已知：ABC勺三邊分別為形.mi- n2,2mn,m2+ n2(m,n 為正整數(shù)，且 mn),判斷 ABC 是否為直角三角2 2 2只要證明：a+b=c即可證明:8【變式 3】如圖正方形 ABCD E 為 BC 中點(diǎn)，F(xiàn) 為 A

13、B 上一點(diǎn)，且 BF AB請(qǐng)問 FE 與 DE 是否垂直？請(qǐng)說明?！敬鸢浮看穑篋EI EF。明：設(shè) BF=a,則 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE=cU+cD=4a2+16a2=20a2。連接 DF （如圖）DF=AF2+AD）=9a2+16a2=25a2。DFMF+DE, FE 丄 DE經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長(zhǎng)是 20，求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù) 勾股定理列出方程，求出未

14、知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x，根據(jù)題意得：2 2 2(3x) + (4x)= 20化簡(jiǎn)得 x2= 16;1直角三角形的面積=二X3xX4x =6X2=96總結(jié)升華： 直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求解。舉一反三 【變式 1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2，求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊 ABC 作 AC 丄 BC 于 D2貝 BD-二 BC (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合) AB= AC= BC= 2 (等邊三角形各邊都相等) BD- 1在直角三角形 ABD 中, AB= AD+BD,即：AD= AB- BD=

15、4 1 = 3 AC=【變式 2】直角三角形周長(zhǎng)為 12cm 斜邊長(zhǎng)為 5cm,求直角三角形的面積。 【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是X, y，根據(jù)題意得：+ + 5 = 12、丁 4 才=53(2)由(1)得：x+y =乙(x+y)2= 49, x2+2xy+y2= 49 (3)-(2),得：xy = 12 ABC=BC- AC=注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a,則其面積為-a。9直角三角形的面積是二 xy = 2x12= 6 (cmi)【變式 3】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1, n+2, n+3，求 n。思路點(diǎn)撥： 首先要確定斜邊(最長(zhǎng)的邊)長(zhǎng)n+3,然后利用勾股定理

16、列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3，由勾股定理可得：2 2 2(n+1) + (n+2)=( n+3)化簡(jiǎn)得：n2= 4 n= 2，但當(dāng) n= 2 時(shí)，n+1= 10,二 n= 2總結(jié)升華： 注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?4】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是()A、8, 15, 17 B 、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D 、8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用 c2= a2+b2的變形：b2= c2 a2=( c a

17、) (c+a)來判斷。 例如：對(duì)于選擇 D,2/ 8 工(40+39)X(4039),以 8, 39, 40 為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)?！敬鸢浮浚篈【變式 5】四邊形 ABCD 中，/ B=90 AB=3 BC=4, CD=12 AD=13 求四邊形 ABCD 勺面積。解：連結(jié) AC/B=90 , AB=3 BC=4AC=AB+BC=25（勾股定理） AC=5/ AC+CD=169 , AD=169AC+CD=AD/ACD=90 （勾股定理逆定理）1 1 S四邊形 ABC=SAABC+SAACt= AB 類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路 MN 和公路 PQ 在點(diǎn) P

18、處交匯，且/ QPN= 30,點(diǎn) A 處有一所中學(xué)，AP= 160m。假設(shè)拖拉機(jī) 行駛時(shí)，周圍 100m 以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN 上沿 PN 方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h ,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A,實(shí)質(zhì)上是看 A 到公路的距離是否小于 100m,小于 100m則受影響，大于 100m 則不受影響，故作垂線段 AB 并計(jì)算其長(zhǎng)度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要 求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校 A 的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)

19、后結(jié)束 影響學(xué)校。解析：作 AB 丄 MN 垂足為 B。在 Rt ABP 中，/ ABP= 90,/ APB= 30, AP = 160,1 AB = AP= 80。(在直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半) 點(diǎn) A 到直線 MN 的距離小于 100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN 上沿 PN 方向行駛到點(diǎn) C 處學(xué)校開始受到影響，那么AC= 100(m),由勾股定理得：2 2 2BC = 100 -80 = 3600, BC= 60。10同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn) D 處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD- 100(m), BD- 60(m), CD- 120(m)。拖拉

20、機(jī)行駛的速度為：18km/h 5m/st 120m 5m/s 24s。答：拖拉機(jī)在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24 秒。總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式 1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條路”。他們僅僅少走了 _步路(假設(shè) 2 步為 1m),卻踩傷了花草。73【答案】(1)單位正三角形的高為-，面積是-(2)如圖可直接得出平行四邊形ABCD 含有 24 個(gè)單位正三角形，因此其面積類型三：數(shù)學(xué)思

21、想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪牵蜻M(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問 題來解決.3、如圖所示， ABC 是等腰直角三角形， AB=AC D 是斜邊 BC 的中點(diǎn)，E、F 分別是 AB AC 邊上的點(diǎn)，且解析：他們?cè)瓉碜叩穆窞?+4- 7(m)設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為 xm,則.廠故少走的路長(zhǎng)為 7-5 - 2(m)又因?yàn)?2 步為 1m,所以他們僅僅少走了 4 步路?！敬鸢浮?【變式 2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1 的正三角形,這樣的三角形稱為單位正三角形。(1)直接寫出單位正三角形的高與面積。(2)圖中的平行四邊形ABCD 含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD 勺面積是多少?24x =斗(3)過 A 作AKLBC 于點(diǎn) K (如圖所示)，1+1 = 1心以曲，故=-尼11思路點(diǎn)撥： 現(xiàn)已知 BE CF,要求 EF,但這三條線段不在冋一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD.解：連接 AD.因?yàn)? BAC=