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1、2008信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)計(jì)算方法習(xí)題 付敏編第一章 緒論姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn):有效數(shù)字的計(jì)算、計(jì)算方法的比較選擇、誤差和誤差限的計(jì)算。1. 若誤差限為0.5×105,那么近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字?(有效數(shù)字的計(jì)算)2. ,具有4,5位有效數(shù)字的近似值分別是多少?(有效數(shù)字的計(jì)算)3. 已知是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值,問有幾位有效數(shù)字?(有效數(shù)字的計(jì)算)4. 設(shè),的相對(duì)誤差為,求的誤差和相對(duì)誤差?(誤差的計(jì)算)5測(cè)得某圓柱體高度的值為,底面半徑的值為,已知,求圓柱體體積的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限。(誤差限的計(jì)算)5. 設(shè),求的相對(duì)誤差與的相對(duì)誤差的關(guān)系。設(shè)的相

2、對(duì)誤差為,求的相對(duì)誤差.(函數(shù)誤差的計(jì)算)6. 計(jì)算球的體積,為了使體積的相對(duì)誤差限為1%,問度量半徑時(shí)允許的相對(duì)誤差限為多大何?(函數(shù)誤差的計(jì)算)7. 設(shè)求證:(1)(2)利用(1)中的公式正向遞推計(jì)算時(shí)誤差逐步增大;反向遞推計(jì)算時(shí)誤差逐步減小。(計(jì)算方法的比較選擇)第二章 插值法姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn):拉格朗日插值法的構(gòu)造,均差的計(jì)算,牛頓插值和埃爾米特插值構(gòu)造,插值余項(xiàng)的計(jì)算和應(yīng)用。1. 求一個(gè)次數(shù)小于等于三次多項(xiàng)式,滿足如下插值條件:, (插值多項(xiàng)式的構(gòu)造)2. 已知:,求的lagrange插值多項(xiàng)式。(拉格朗日插值)3. 已知y=,=4,=9,用線性插值求的近似值。(拉格朗

3、日線性插值)4. 若為互異節(jié)點(diǎn),且有5. 證明 (拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì))6. 已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用拋物線插值計(jì)算sin0.3367的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。(拉格朗日二次插值)7. 用余弦函數(shù)在三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值寫出二次lagrange插值多項(xiàng)式函數(shù), 并近似計(jì)算及其絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差,且與誤差余項(xiàng)估計(jì)值比較。(拉格朗日二次插值)8. 已知函數(shù)值f(0)=6,f(1)=10,f(3)=46,f(4)=82,f(6)=212,求函數(shù)的四階均差f0,1,3,4,6和二階均差f4,1,3。(均差的計(jì)算)9. 設(shè):求之值

4、,.這里互異。(均差的計(jì)算)10. 依據(jù)如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的牛頓插值多項(xiàng)式。(牛頓插值多項(xiàng)式的構(gòu)造)11. 作一個(gè)三次多項(xiàng)式使?jié)M足(埃爾米特插值)。12. 設(shè)(1)試求在上的三次hermite插值多項(xiàng)式h(x)使?jié)M足h(x)以升冪形式給出。(2)寫出余項(xiàng)的表達(dá)式。(埃爾米特插值及其余項(xiàng)的計(jì)算)。13. 證明若,f(a)=f(b)=0,則:(插值余項(xiàng)的應(yīng)用)14. 給出函數(shù)表: xi0 12f(xi)121f(xi)  -115. 且已知f(x)在0,2上4階連續(xù)可導(dǎo),求f(x)的3次hermite插值多項(xiàng)式。(埃爾米特插值)。16. 設(shè),求 使 ;

5、又設(shè) ,則估計(jì)余項(xiàng) 的大小 。(插值余項(xiàng)的計(jì)算)第三章 函數(shù)逼近姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn):最小二乘法,最佳平方逼近,正交多項(xiàng)式的構(gòu)造。1. 設(shè),求于上的線性最佳平方逼近多項(xiàng)式。(最佳平方逼近)2. 令,且設(shè),求使得為于 上的最佳平方逼近多項(xiàng)式。(最佳平方逼近)3. 定義內(nèi)積試在中尋求對(duì)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式. (最佳平方逼近)4. 證明:切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間上帶權(quán)正交。(正交多項(xiàng)式的證明)5. 求矛盾方程組:的最小二乘解。(最小二乘法)6. 已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù) 22.5 3 455.5 44.5 6 88.59試用直線擬合這組數(shù)據(jù). (計(jì)算過程保留3位小數(shù))。(最小二乘線性逼近)7. 用

6、最小二乘原理求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使與下列數(shù)據(jù)相擬合.19 25 31 38 44 19 32.3 49 73.3 97.8 (最小二乘二次逼近)第四章 數(shù)值積分姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn):代數(shù)精度的計(jì)算,構(gòu)造插值型求積公式(梯形,simpson公式),復(fù)化求積的計(jì)算,高斯公式的構(gòu)造。1. 求積公式,試確定系數(shù)及,使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度,并給出代數(shù)精確度的次數(shù)。(代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算)2. 已知高斯求積公式 將區(qū)間0,1二等分,用復(fù)化高斯求積法求定積分的近似值。(高斯公式)3. 試確定常數(shù)a,b,c和,使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多

7、少?它是否為gauss型的?(代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算,高斯點(diǎn)的特征)4. 數(shù)值積分公式,是否為插值型求積公式,為什么?又該公式的代數(shù)精確度為多少?(插值型求積公式特征)5. 給定求積公式試確定使它的代數(shù)精度盡可能高。(代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算)6. 如果,證明用梯形公式計(jì)算積分所得到的結(jié)果比準(zhǔn)確值大,并說明其幾何意義。(梯形求積)7. 用的復(fù)化梯形公式計(jì)算積分,并估計(jì)誤差。(復(fù)化梯形求積)8. 設(shè),則用復(fù)化simpson公式計(jì)算,若有常數(shù)使 ,則估計(jì)復(fù)化simpson公式的整體截?cái)嗾`差限。(復(fù)化simpson公式)9. 驗(yàn)證當(dāng)時(shí),的牛頓-科茨公式是準(zhǔn)確的。(牛頓-科茨公式)10. 1)設(shè)是0,1區(qū)間

8、上帶權(quán)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式系,求 2)構(gòu)造如下的gauss型求積公式(高斯求積)第五章 常微分方程數(shù)值解姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn):歐拉方法的構(gòu)造,單步法的收斂性和穩(wěn)定性的討論,線性多步法中亞當(dāng)姆斯方法的構(gòu)造和討論。1. 對(duì)于初值問題,證明當(dāng)時(shí),歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定。(歐拉法穩(wěn)定性的討論)2. 證明:隱式的梯形公式無條件穩(wěn)定。(穩(wěn)定性討論)3. 用龍格庫(kù)塔方法對(duì)方程取在區(qū)間上計(jì)算。(龍格庫(kù)塔方法的應(yīng)用)4. 用四階龍格庫(kù)塔法求解初值問題取h=0.2, 求x=0.2, 0.4時(shí)的數(shù)值解. 要求寫出由h,xk,yk直接計(jì)算yk+1的迭代公式,計(jì)算過程保留3位小數(shù)。(龍格庫(kù)塔方法的應(yīng)用)5

9、. 設(shè)有常微分方程的初值問題試用taylor展開原理構(gòu)造形如的方法,使具有二階精度,并推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。(積分余項(xiàng)的計(jì)算)6. 已知試求出adams公式的局部截?cái)嗾`差的首項(xiàng),并由此公式計(jì)算。(adams公式的應(yīng)用)7. 用adams方法對(duì)方程取在區(qū)間上計(jì)算。(adams公式的應(yīng)用)第六章 非線性方程求根姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn):二分法、迭代法、牛頓法和弦截法求根,迭代法求根的收斂性和穩(wěn)定性討論。1 用二分法求方程的正根,要求誤差小于0.05。(二分法)2 說明方程 在區(qū)間1,2內(nèi)有惟一根,并選用適當(dāng)?shù)牡ㄇ螅ň_至3位有效數(shù)),并說明所用的迭代格式是收斂的。(迭代法)3 設(shè)方程

10、在 內(nèi)有實(shí)根,試寫出迭代公式使 。(迭代法構(gòu)造)4 設(shè)有解方程的迭代法(1)證明均有(為方程的根);(2) 取用此迭代法求方程根的近似值,誤差不超過,列出各次迭代值;(3)此迭代的收斂階是多少,證明你的結(jié)論。(迭代法和收斂性討論)5 設(shè)證明 由 ,得到的序列收斂于 。 (收斂性證明)6 設(shè)有解方程在0,1內(nèi)的根為,若采用如下迭代公式證明均有為方程的根);取,要迭代多少次能保證誤差?此迭代的收斂階是多少,證明你的結(jié)論。(迭代法和收斂性討論)7 方程在附近有根,把方程寫成3種不同的等價(jià)形式:(1),對(duì)應(yīng)迭代格式:(2),對(duì)應(yīng)迭代格式:(3),對(duì)應(yīng)迭代格式:判斷迭代格式在的收斂性,并估計(jì)收斂速度,選

11、一種收斂格式計(jì)算出附近的根到4位有效數(shù)字,從出發(fā),計(jì)算時(shí)保留5位有效數(shù)字。(收斂速度的計(jì)算和比較)8 設(shè) (1) 寫出解 的newton迭代格式;(2) 證明此迭代格式是線性收斂的。 (牛頓迭代的構(gòu)造)9 試述解非線性方程的newton迭代法的計(jì)算格式,并設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算的newton迭代法,且不用除法(其中)。(牛頓迭代法)10 用牛頓法求的近似值,取x=10或11為初始值,計(jì)算過程保留4位小數(shù)。(牛頓迭代的構(gòu)造)11 設(shè)是非線性方程的m重根,證明:用迭代法具有2階收斂速度。(收斂速度證明)12 設(shè)在附近有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,試證迭代法在附近是階收斂的。  (收斂速度證明)

12、13 設(shè)是非線性方程的m重根,證明:用牛頓迭代法求只是線性收斂。(收斂速度證明)14 用弦截法求方程xsinx0.5=0在1.4,1.6之間的一個(gè)近似根,滿足,計(jì)算過程保留4位小數(shù)。(弦截法)第七章 線性方程組的直接解法姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn):高斯消去法,lu分解法,平方根法和追趕法解線性方程組。1. 用高斯消去法解方程組。 (高斯消去法的應(yīng)用)2. 證明:(1)兩個(gè)下三角矩陣的乘積仍為下三角矩陣。(2)下三角矩陣的逆仍為下三角矩陣。(l,u矩陣的性質(zhì))3. 用lu分解法求解線性方程組: 。(lu分解法的應(yīng)用)4. 設(shè),求a的lu分解。(lu分解法的應(yīng)用)5. 用平方根法求解線性方程

13、組。(平方根法的應(yīng)用)6. 試用“追趕法”解方程組,其中:, (追趕法的應(yīng)用)7. 設(shè),求(條件數(shù)的計(jì)算)8. 求證:(范數(shù)的性質(zhì))9. 求證:(范數(shù)的性質(zhì))10. 對(duì)矩陣 求,和。(范數(shù),條件數(shù)的計(jì)算)11. 方程組,其中,a是對(duì)稱的且非奇異。設(shè)a有誤差,則原方程組變化為,其中為解的誤差向量,試證明其中和分別為a的按模最大和最小的特征值。(范數(shù)的性質(zhì),誤差的分析)12. 證明:如果是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,則為非奇異陣。(嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的性質(zhì))13. 設(shè)是任意階矩陣,由的各次冪所組成的矩陣序列收斂于零矩陣,即的充分必要條件是 (譜半徑的性質(zhì))第八章 線性方程組的迭代解法姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要

14、考察點(diǎn):jacobi,gauss-seidel迭代法解線性方程組,及其收斂性討論。1. 用jacobi,gauss-seidel迭代法解下列方程組是否收斂?為什么?若將方程組變?yōu)樵儆蒙鲜鰞煞N迭代法求解是否收斂?為什么?(jacobi,gauss-seidel迭代法的計(jì)算和比較)2. 證明:迭代格式收斂,其中。(迭代法收斂性判斷)3. 證明解線性方程組ax=b的jacobi迭代收斂,其中 a=。(jacobi迭代收斂判斷)4. 已知方程組,其中(1)試討論用jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法求解此方程組的收斂性。(2) 若有迭代公式,試確定一個(gè)的取值范圍,在這個(gè)范圍內(nèi)任取一個(gè)值均

15、能使該迭代公式收斂。(jacobi,gauss-seidel迭代法的計(jì)算和比較)5. 給出矩陣,(為實(shí)數(shù)).試分別求出的取值范圍:1)   使得用jacobi迭代法解方程組時(shí)收斂;2)   使得用gauss-seidel迭代法解方程組時(shí)收斂。(jacobi,gauss-seidel迭代法的計(jì)算和比較)6. 設(shè)求1) 設(shè)是由 jacobi 迭代求解方程組ax=b所產(chǎn)生的迭代向量,寫出的精確表達(dá)式。2) 設(shè)是ax=b的精確解,寫出誤差的精確表達(dá)式。3) 如構(gòu)造如下的迭代公式解方程組ax=b,試 確定的范圍,使迭代收斂。(jacobi迭代及其收斂判斷)7. 設(shè)給定線性方程組:(1)討論jacobi迭代法與gauss-seidel迭代法

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