不定積分課件

1、不定積分課件 作者: 日期：不定積分的例題分析解法這一章的基本概念是原函數(shù)、不定積分、主要的積分法是利用基本積分公式，換元積分法和分部積分法。對(duì)于第一換元積分法，要求熟練掌握湊微分法和設(shè)中間變量u (x),而第二換元積分法重點(diǎn)要求掌握三角函數(shù)代換，分部積分法是通過(guò)“部分地”湊微分將ud轉(zhuǎn)化成 du,這種轉(zhuǎn)化應(yīng)是朝有利于求積分的方向轉(zhuǎn)化。對(duì)于不同的被積函數(shù)類(lèi)型應(yīng)該有針 對(duì)性地、靈活地采用有效的積分方法，例如 f(x)為有理函數(shù)時(shí)，通過(guò)多項(xiàng)式除法分解成最 簡(jiǎn)分式來(lái)積分，f(x)為無(wú)理函數(shù)時(shí)，常可用換元積分法。應(yīng)該指出的是：積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來(lái)，不僅技巧性更強(qiáng)，而且業(yè)已證明，有許多初等函數(shù)是“積不

2、出來(lái)”的，就是說(shuō)這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來(lái)表示，例如sin-xdx ; e x dx; -dx;. dx 2 (其中 0 k 1) 等。x1nx 1 k sin x這一方面體現(xiàn)了積分運(yùn)算的困難，另一方面也推動(dòng)了微積分本身的發(fā)展，在第 7章我們 將看到這類(lèi)積分的無(wú)限形式的表示。(一)關(guān)于原函數(shù)與不定積分概念的幾點(diǎn)說(shuō)明(1)原函數(shù)與不定積分是兩個(gè)不同的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對(duì)于定義在某 區(qū)間上的函數(shù)f(x),若存在函數(shù)F(x),使得該區(qū)間上每一點(diǎn)x處都有F(x) f(x),則稱(chēng) F(x)是f (x)在該區(qū)間上的原函數(shù)，而表達(dá)式 F(x) C(C為任意常數(shù))稱(chēng)為f(x)的不定積 分。(

3、2) f(x)的原函數(shù)若存在，則原函數(shù)有無(wú)限多個(gè)，但任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差某個(gè)常數(shù)，因此求f(x)的不定積分f(x)dx時(shí)，只需求出f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x),再加上一個(gè)任 意常數(shù)C即可，即 f(x)dx F(x) Co(3)原函數(shù)F(x)與不定積分f (x)dx是個(gè)體與全體的關(guān)系，F(xiàn)(x)只是f(x)的某個(gè)原函 數(shù)，而f(x)dx是f(x)的全部原函數(shù)，因此一個(gè)原函數(shù)只有加上任意常數(shù)C后，即F(x) C 才能成為f(x)的不定積分，例如x2 1,x2 1,x2 3都是2x的原函數(shù)，但都不是2x的不定積 分，只有x2 C才是2x的不定積分(其中C是任意常數(shù))。(4) f(x)的不定積分f(x

4、)dx中隱含著積分常數(shù)C,因此計(jì)算過(guò)程中當(dāng)不定積分號(hào)消 失后一定要加上一個(gè)任意常數(shù)Co(5)原函數(shù)存在的條件：如果函數(shù) f(x)是某區(qū)間上連續(xù)，則在此區(qū)間上 f(x)的原函數(shù) 一定存在，由于初等函數(shù)在其定義域區(qū)間上都是連續(xù)的，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有 原函數(shù)，值得注意的是，有些初等函數(shù)的原函數(shù)很難求出來(lái)，甚至不能表為初等函數(shù)，例如 下列不定積分sin x , dxx2 ,dx, , e dxx In x都不能“積”出來(lái)，但它們的原函數(shù)還是存在的。(二)換元積分法的幾點(diǎn)說(shuō)明換元積分是把原來(lái)的被積表達(dá)式作適當(dāng)?shù)膿Q元，使之化為適合基本積分公式表中的某一 形式，再求不定積分的方法。(1)第一換元

5、積分法(湊微分法)：令 u u(x)若已知 f(x)dx F(x) C ,則有f (x) (x)dx F (x) C其中(x)是可微函數(shù)，C是任意常數(shù)。應(yīng)用第一換元法熟悉下列常見(jiàn)的微分變形(湊微分形式)。,、1(1) dx d(x b) - d(ax b)(a、b為常數(shù)，a 0)a具體應(yīng)用為1(ax b) dx (ax b) d(ax b)a(m 1)(m 1)1 (ax b)m1a m 11_-In ax b C a(2) xadxd(xa 1 b)a 1d (axa 1 b) (a 1)a(a、b、a均為常數(shù)，且a 0,a1)。例如:,1,2_21xdx dx ,. xdx- d (x一

6、x),dx2d . x23. x1 1(3) -dx dlnx -d(alnx b)(a,b 為吊數(shù)，a 0) xa(4) exdx dex, axdx d(a ) (a 0,且a 1); In a(5) sin xdx d (cos x), cosxdx d (sin x);22(6) sec xdx d(tanx),csc xdx d( cotx)/1(7) 2 dx d (arctanx)1 x(8)1 x2dxd(arcsin x)在具體問(wèn)題中，湊微分要根據(jù)被積函數(shù)的形式特點(diǎn)靈活運(yùn)用，例如求一, 、1,f (arctanx)2 dx1 x一.、， dx ,時(shí)，應(yīng)將 2"dx湊

7、成 d arctanx ； 求1 xf (arc cotx)2dx1 x一.、，1,一，、 2x 一.1時(shí)，應(yīng)將 2dx湊成 darccotx;而求 2dx時(shí)，2就不能照搬上述兩種湊1 x21 x21 x2法，應(yīng)將 2xdx湊成 dx2 ,即 2xdx dx2 d(1 x2)。(2)第二換元法積分法：令x (t),常用于被積函數(shù)含Va2 x2或，x2 a2等形式。常見(jiàn)的元理函數(shù)積分所采用的換元式如表5-1所示:表5-1代換名稱(chēng)被積函數(shù)含有換元式角 代 換，22弋a(chǎn)x:22Vax，22Vx ax asint,t () 2 2x a tan t,t (一,一)2 2x a sect, t(0,一

8、)2無(wú) 理 代 換Vax b1nx11(ax b)n1 ,(ax b) n2. 1 一ax b t,即 x (t b) a11-t,即 x 1xttn (ax b), n為4,1的最小公倍 數(shù)(3)同一個(gè)不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時(shí)所得結(jié)果在形式上可能不一致，但實(shí)質(zhì)上僅相差一常數(shù)，這可能過(guò)對(duì)積分結(jié)果進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證。(三)關(guān)于積分形式不變性在講第一換元積分法時(shí)，講過(guò)這樣一個(gè)定理：如果 f(x)dx F(x) C,那么有 f(u)du F(u) C ,其中u(x)是x的可微函數(shù)這個(gè)定理說(shuō)明：(1)積分變量x無(wú)論是自變量，還是中國(guó)變量，積分公式的形式不變，這一特性叫做 積分形式不變性

9、。(2)根據(jù)這個(gè)定理，基本積分表中的 x既可以看作是自變量，也可以看作是函數(shù)(可 微函數(shù))，因此基本積分表中的公式應(yīng)用范圍就擴(kuò)大了，例如基本積分公式1 .八dx ln x Cx現(xiàn)在就可以看作是1-dln C其中括號(hào)內(nèi)可填充任意一個(gè)可微函數(shù)，只要三個(gè)括號(hào)填充的內(nèi)容保持一致即可，這也正是不定積分的湊微分法的由來(lái)，即如果被積函數(shù)f(x)dx能夠?qū)懗蒰 (x) (x)dx的形式，且已知 g(u)du F(u) C ,則有f (x)dx g (x) (x)dxg (x)d (x)F (x) C同學(xué)們?cè)趹?yīng)用積分不變性時(shí)，一定要注意三個(gè)括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容必須是一致的，否則將出現(xiàn) 錯(cuò)誤。(四)分部積分法設(shè)u u(x

10、),(x)是可微函數(shù)，且u (x) (x)或u(x) (x)有原函數(shù)，則有分部積分公式：u(x) (x)dx u(x) (x)(x) u (x)dx或ud u du當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積形式時(shí)，如果用以前的方法都不易計(jì)算，則可考慮用分部積分法求解，用分部積分法求積分時(shí)首先要將被積函數(shù)湊成u dx或ud的形式，這一步類(lèi)似于湊微分，然后應(yīng)用分部積分公式 u du,或u udx,再計(jì)算 udx,即得到 積分結(jié)果。顯然，用分部積分法計(jì)算不定積分時(shí)，關(guān)鍵是如何恰當(dāng)?shù)剡x擇誰(shuí)做 u和 的原則 是：根據(jù) 容易求出； udx要比原積分u dx容易計(jì)算，實(shí)際中總結(jié)出一些常見(jiàn)的適用分部積分法求解的積分類(lèi)型及其

11、u和的選擇規(guī)律，一歸納如表5-2表5-2分類(lèi)不定積分類(lèi)型u和的選擇Ipn(x)sin xdx pn (x)cosxdx Pn(x)exdxuPn(x),sinxuPn(x),cosxuPn(x),exIIpn (x) ln xdx pn(x)arcsinxdx pn (x) arccosxdx pn (x) arctanxdxu ln x,pn(x)uarcsin x,pn(x)uarccosx,pn(x)uarctan x,pn(x)IIIex sinxdx excosxdx一一一 x 一一x一一usin x,e 或ue ,sin xxxucosx,e 或ue ,cosx說(shuō)明(1)表5-2中

12、，px(x)表示n次多項(xiàng)式。(2)表5-2中的sin x,cosx,ex,arcsin x等函數(shù)，不只局限于這些函數(shù)本身，而是指它們 代表的函數(shù)類(lèi)型，例sinx,表示對(duì)所有正弦函數(shù)sin(ax b)均適用，而ex表示對(duì)所有eaxb均 適用，其它幾個(gè)函數(shù)也如此。(3) III類(lèi)積分中，也可選擇u ex,sinx (或cosx ),無(wú)論怎么樣選擇，都得到遞推循環(huán)形式，再通過(guò)移項(xiàng)、整理才能得到積分結(jié)果。(五)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)可分為如下三種類(lèi)型：(1)多項(xiàng)式：它的積分根據(jù)積分公式表即可求得，是最易計(jì)算的類(lèi)型。(2)有理真分式：從代數(shù)理論可知，任何有理真分式都可通過(guò)待定系數(shù)法分解或下列 四種類(lèi)型的

13、最簡(jiǎn)分式的代數(shù)和：A A Ax B Ax B7，IZTk，-2"-，T2"Tlkx a (xa) xpxq (xpxq)其中p,q,k為常數(shù)，p2 4q 0,k 1。因此求得有理真分的積分歸結(jié)為求上述四種最簡(jiǎn)分式的積分。(3)有理假分式(分子次數(shù)不低于分母次數(shù))；任何有理假分式都可分解為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)有理真分式之和，而這兩部分的積分可分別歸結(jié)為(1)和(2)綜上所述，有理函數(shù)的積分實(shí)質(zhì)上歸結(jié)為求多項(xiàng)式的積分和最簡(jiǎn)化式的積分，而前者是 易于求得的，后者可通過(guò)湊微分法求出的結(jié)果。、例題分析例1為下列各題選擇正確答案：1 一 一，(1)()是函數(shù)f(x) 的原函數(shù)2x1A. F

14、 (x) In 2xB. F (x)22x21 . cC. F (x) ln(2 x)D. F (x) - ln3x(2)若 f(x)滿(mǎn)足 f(x)dx sin2x C,則 f (x)()A. 4sin2xB. 2cos2xC. 4sin2xD. 2cos2x(3)下列等式中()是正確的A . f (x)dx f (x)B. f (ex)dx f(ex) CC. f (Jx)dx f (Vx) CD. xf (1 x2)dx1 f(1 x2) C(4)若 f (x)dx F (x) C,貝U sin xf (cosx)dx ()A .F (cosx) CC .f (sin x) CB. F (

15、cosx) CD. F (sin x) C(5)下列函數(shù)中,A. 一 cos2x2)不是sin2x的原函數(shù)。B. cos2xD.cos2 x解(1)根據(jù)原函數(shù)的概念，驗(yàn)證所給函數(shù)1, 一F(x)是否酒足F (x)云。由于A 中(ln 2x)2 工2x x 2x114x3 2xC 中 ln(2 x)2x_ , 1D 中(-ln3x)1 312 3x 2x故正確選項(xiàng)為D(2)根據(jù)不定積分的性質(zhì)可知f(x) ( (x)dx) (sin 2x C) 2cos2xf (x) (2cos2x) 4sin 2x于是故正確選擇為C(3)根據(jù)不定積分的性質(zhì)可湊微分的原則知 f (u)du f (u) C其中u是

16、變量或可微函數(shù)，據(jù)此可知：A 中應(yīng)為 f (x)dx f (x) C (缺 C)B 中應(yīng)為 f (ex)exdx f(ex) C (缺 ex)C中應(yīng)為 f (gdx f (<x) C (不應(yīng)沒(méi)有2"G)2 x1c cD 中應(yīng)為 xf (1 x2 -f(1 x2) C正確選項(xiàng)應(yīng)為D(4)設(shè) u cosx,貝U dusinxdx,于是sin xf (cosx)dx f (u)du F (u) C F (cosx) C正確選項(xiàng)應(yīng)為D(5)根據(jù)原函數(shù)定義，對(duì)所名&答案一一求導(dǎo)可知cos2x不是sin2x的原函數(shù)，故正確)dx- f (1 x2)d(1 x2)37例2給出下列各題

17、的正確答案:(1)4dx(2)ln xd(ln x)(3)若 f(x) x Jx(x 0),則 f (x2)dx(4)通過(guò)點(diǎn)“一，1(1,4)斜率為彳-1 2x,則 dx二的曲線(xiàn)方程為 x1一 I-du ,于是2-dx1 2x1.-ln u212du)12ln1 2x C、 1應(yīng)填 51n 1 2x(2)設(shè) u Inx ,In xd(ln x)udu1 1 2 c ln x C2.1 c應(yīng)填1n2x C2(3)由于f (x)擊，故f(X2)1j因此2x一 2f (x )dx(11)dx 2x1八In x C2、1應(yīng)填x ln x 2汪忠： f(x2)dxf(x2) C(4)設(shè)曲線(xiàn)方程為f (x

18、),則 f (x)f(x) 111-2x1 工曰1,于 TH xdx arctanx C通過(guò)點(diǎn)(i,),則有arctan1 C,即C 0,故所求曲線(xiàn)方程為yarctanx.例3求下列不定積分:(1)5 xexdx ;(2)(Jx 4)2dx解(1)5 xexdx根據(jù)積分公式在此a e,故5(2)由于(Jx 4)2x 8616 ,根據(jù)不定積分的運(yùn)算性質(zhì)，有3 2/ 小，x x x . x 31 2x ,(3)( 2sinx)dx;(4) -2-dx .xx (1 x )分析 題目所給的不定積分，都不能直接利用基本積分表中的公式計(jì)算，但稍作變形 后，再利用不定各分的運(yùn)算性質(zhì)，便可得出結(jié)果。竟dxx

19、 .1 x ca dx a CIna原積分 (e)x c -4Ce)x C,e 51 ln5 5In 5(.x 4)2dx(x 8 x 16)dxxdx 8 , xdx 16dx1 o 2 5x 8 - x2 16x C23(3)x3 x x .x 3(2sin x) dxx一 2sin x)dx xx2dx一 xdx；dxxc 1 ,3 dxx2 sin xdxx3 2 x x 2 x 31nx 2cosx C 33(4)由于1 2x2x2(1 x2)22(1 x ) x2 ,A 2、x (1 x )11 x21x2)dx_ 2(1 2x )dx-2-2x (1 x )1 ,1,1dx2dx

20、arctanx Cx 1 x x小結(jié)：（1）從上面的例子中可以看出，許多不定積分往往不能直接得用基本積分表進(jìn) 行計(jì)算，而要先對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)變形，使之化成積分表中所列形式的積分后，進(jìn)而才能計(jì) 算出結(jié)果，一般說(shuō)來(lái)。所采用的包等變形手段主要有：分式拆項(xiàng)、三解公式包等變形等，要 求讀者熟悉這些手段。（2）將一個(gè)不定積分拆成幾個(gè)不定積分的代數(shù)和后，求每一項(xiàng)的不定積分時(shí)，不必將每項(xiàng)不定積分中的積分常數(shù)一一寫(xiě)上，而只需在最后積分結(jié)果中統(tǒng)一加上一個(gè)積分常數(shù) 可。（3）檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否時(shí)，只需將所得結(jié)果求導(dǎo)（或微分）即可，若其導(dǎo)數(shù)（或微分）等于被積函數(shù)（或被積表達(dá)式）時(shí)，則說(shuō)明所得積分結(jié)果是正確的，否則是

21、錯(cuò)誤的。例4求下列不定積分2 x，(1) sin -dx2(2)2x e-dx 1(3)c°s2)2 dx(4)(3x 5x)2dxcos sin x解 (1)由于sin2 1 8sx ,所以(2) 2.2x1111 .sin -dx(-cosx)dx-x-sinxC2xe 1(2)22222(ex1)(ex 1)xe 12xe 1ex1xx(e 1)dx e dx 1dxex x C(3) 由于 cos2x cos2 sin2x所以cos2x22cos sin x22cos x sin x22cos xsin x22sin x cos x故原積分一12dx-dx cotx tanx

22、 Csin x cos(4) (3x 5x)2dx(32x 2 3x 5x 52x)dx(9x 2 15x 25x)dx1x2x1 x 9x 15x 25x Cln9 ln15 In 25例5計(jì)算下列不定積分xe(1) sin( x 1)dx(2) 2ydx1 e1cos1(3) 一2xdx(4)dxxxln x分析 觀(guān)察這些積分中的被積函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都不符合基本積分表中的公式表式，即使進(jìn)遷適當(dāng)?shù)淖冃我不怀杀碇泄降男问剑虼诵璨扇⌒碌姆椒ㄒ灰粨Q元積分法求解。解(1)觀(guān)察題目發(fā)現(xiàn)，此被積表達(dá)式與基本各分表中公式sinxdx cosx C(*)類(lèi)似，但又不完全一致，那么能否套用公式(*)直接得

23、到sin( x 1)dx cos( x 1) C呢？經(jīng)檢驗(yàn)積發(fā)結(jié)果知，這樣做是錯(cuò)誤的，原因是公式(*)中的被積函數(shù)sinx已換為sin( x 1),而積分變量的微分依然是dx,沒(méi)有相慶地?fù)Q為d( x 1)。正確的做法是先設(shè)中間變量u x 1,然后使被積表達(dá)式化成公式(*)的形式再求解。、riU111設(shè) ux 1 ,則 x, dx -du,于是1 .1.sin( x 1)dx sinu du 一 sinudu1 -一 cosu C再將u x 1代回，得1原積分 一 cos( x 1) C1,汪：本題也可不與中間變量u ,而用湊微分法來(lái)解：根據(jù)dx -d( x 1)有1sin( x 1)dx si

24、n( x 1) d( x 1)1sin( x 1)d(x 1)x7一27 dx1 earctanex C本題也可采用湊微分法求解：由于e2dx dex,想到公式cos( x 1)(2)設(shè) u ex ,則 du exdx ,于是du2 arctanu C1 udx2arctanx Cx于是有*dxdex1 (ex)2arctanex C(3)設(shè) u 1,貝Uxxdu1 cosx2xdxcosu(1)2u(-12)ducosuduu八.1 八sinu C sin Cx，一 1如果熟悉湊微分式子dx xd(-)x1d(1)，則可用湊微分法直接計(jì) 算如下: x1 cosx2xdx1 cos xd(-)

25、 x1 1/1 cos d()x x,1 - sin Cx(4)設(shè) u Inx ,貝U du1 一 1一 dx,于是 x，dxxln x1或者用湊微分法計(jì)算：因?yàn)?dxx1dxIn x xd In x所以1du lnu u41dx d lnx ln Inxln x In x用第一換元積分法（湊微分法）計(jì)算不定積分時(shí)，要根據(jù)被積函數(shù)的形式來(lái)決定如何來(lái) 設(shè)置中間變量或湊微分，一般常見(jiàn)的符合湊微分形式的不定積分類(lèi)型可參閱疑難解析中的（二）o計(jì)算下列不定積分:(1)exdxx447 dx(3)x2 3 x3dx(4)x 72 dx1 x1 2(1)設(shè) tt2, dx2tdt,于是exdx.xt e 2

26、tdt 2edt 2et C 2ex Ct或湊微分法計(jì)算：由1-j=dx d(2Vx) 2ddx,得 xa x-一e dx 2 e xd . x 2e x C x（2）觀(guān)察題目,不易直接看出如何進(jìn)行換元，不妨將積函數(shù)先做變形1Z24 9x2聯(lián)想到積分公式rJ7dxarctanx14 9x2dx3dx 321(2x)換元3-x2-du 3arctanu 6 還原3- u x21arctan 6gx) C熟練掌握湊微分形式后，可以省去換元步聚，直接求出結(jié)果。(3)由 x1 2dx 1dx3, v3 x33可以看成是于關(guān)x3的函數(shù)，所以x2 3 x3dx 3 x3 - dx3313 x3d(3 x3

27、)9(3 x3)-2C1 2 dx21 x22d(1 x )1 x21211n(1 x2) C進(jìn)行換元積分(或湊微分)運(yùn)算時(shí)，有時(shí)由于中間變量設(shè)置的不同，所得的積分結(jié)果形式有可能不同，但實(shí)質(zhì)是等價(jià)的；有時(shí)被積函數(shù)不易看出如何換元，則應(yīng)先做適當(dāng)變形。請(qǐng) 看下面例子。計(jì)算下列不定積分(1)1 21nx dxx(2)1_2x x2dx(3)x x &xx 3xdx94(4)一 3x2 .xe dx(5)(1)由于1,-dx d 1nx,所以 x1 21nxl dx (1 x21n x)d ln x1-(1 21nx)d(1 21nx)dxx xe e原積分(1 21nx)d1nxd In x

28、 2 Inxd Inx, 2ln x 1n x C想一想,這兩個(gè)計(jì)算結(jié)果是否相同？為什么?(2)由于2x x2.1 (1-2x-x2)1-(x-1)21聯(lián)想至 U 2dx arcsinx C, dx1 x2d(x1),故(3)(4)1, 2xX2 dx2d(x1 (x 1)2arcsin(x 1)將分子、分母同除以9x22(-),則 lnt xln-,dx 332x9r3xdt,于是2x 3x-7 dx9x 4x1)1 1-dt ,2 t ln3ln2 ln31ln2 ln32(ln 2 ln3)(ln 11ln2(ln 2 ln3) |12(lnlnt In 1(2)x31 (3)x3x 2

29、x3x 2xt) C1.2由于xdx dx 21d( 63x2 xe3x2),所以dx1 3x22(6)ed(3x)13x2一 e6(5)dx-xxe eexdx/ xx7(e e )¥arctanex ce 1例8計(jì)算下列不定積分(1) sin3xsin5xdx(3)sin3 * *xcos2xdx(2) cos6 xdx1(4)dxsinxcosx分析 這些積分中的被積函數(shù)都是三角函數(shù)，一般說(shuō)來(lái)，三角函數(shù)的積分比較復(fù)雜，不 易直接看出求解方法，往往需先對(duì)被積函數(shù)作包等變形，至于如何去變形，則需從實(shí)踐中總 結(jié)經(jīng)驗(yàn)，變形過(guò)程中常用到三角函數(shù)的基本關(guān)系式、積化和差公式、倍角或半角公式。

30、解 (1)觀(guān)察被積函數(shù)知，須先對(duì)被積函數(shù)作積化和差變形后，再湊微分去求解。sin3xsin5xdx1, c(cos2x2cos8x)dx1sin2x 21sin8x C 81 1cos2xdx cos8xdx2 21. c 1. c 八 sin2x sin8x C16(2)利用公式cos2 x1 cos2x,將被積函數(shù)降次,于是6.cos xdx181 x81 x8(13 cos2x3 . osin2x163 .sin2x161-x85 x165 x162 .3cos 2xcos3 2x)dx3 cos2 2xdx8316cos3 2xdx(1 cos4x)dx3 sin2x163 .與一si

31、n2x161 . o -sin2x4±16Wx 芻 sin4x16643sin4x6433 sin4x64cos2 xd sin2x161,與sin2x161. 3 Q一sin 2x482 _(1 sin 2x)dsin2xsin32x C 483222(3)sin xcos xdx sin xcos x sin xdx22(1 cos x) cos x( d cosx)cos2 xd cosxcos4 xd cosx(4)所以(1)(2)(3)分析13cos x311由于；Lsinxcosx tanxcos x15c cos x C5工 1，而2dx d(tanx), cos x-

32、dx sin xcosx計(jì)算下列不定積分dx(1 x2)ydx2dxx2 . x2 9132 2x (1 x )2dx1 八d(tanx) In tanx C tanx這幾個(gè)不定積分的被積表達(dá)式中都含有va2 x2Tx2a2,v'x2 a2類(lèi)的式子，要用三角代換來(lái)求解。各自的代換式是(1)含.a2x2(2)含-.x2a2(3)含x2a2設(shè) x asint ,貝U dx acostdt ；設(shè) x asect ,貝 dx asect tantdt；2設(shè) x atant ,貝U dx asec tdt;(1)因被積表達(dá)式含有V1 x2 ,故設(shè) x sint( 一 t 一)，則 dx22332

33、22 23(1 x )2 (1 sin t)2 cos tcostdt,于是dx(1x2)2答出cos t127 cos tdt由 x sin t,可知 cost v1 x2 , tant sn. x , 所以cost . 1 x2dx3(1 x2)3x2 9 3. sec2 1 3tant于是dxx2 , x23sect tant lx2出9sec t 3tant11.1.1 . 八- dt costdt sint C9 sect 9933sect,得 cost -, xsin t2 .cos tx29心，所以于是dx-22x x 91為了去掉(1 x2)2,設(shè)x tant( 5 t2),d

34、x sec tdt11(1 x2)2 (1 tan21)2 sect1x3(1 x2)2 dxtan3t sect sec2 tdttan3t se(3 tdt(Tcos tsin3t1一3- 一3dt cos t cos2 ,(1 cos t)d ( cost)6 .cos t1 m + ) d cost cos t15cos t51 cos3112由 x tant,可知 cost ., v1 x，于是,1 x cost1532 212 2x (1 x ) dx -(1 x )53(13x29C小結(jié) 從上面例子看出，進(jìn)行三角換元后，得到的積分結(jié)果一般都是關(guān)于 t的三角函數(shù) 式，用x還原t時(shí)，

35、雖然可以引進(jìn)三角函數(shù)式或反三角函數(shù)的運(yùn)算，但較麻煩，為了直觀(guān)起 見(jiàn)，往往用“三角形法”進(jìn)行還原計(jì)算，如圖5-1的常用的三種三角代換類(lèi)型簡(jiǎn)圖，根據(jù)簡(jiǎn) 圖，則很容易計(jì)算出其它的三角函數(shù)式。例如圖5-1 (2),設(shè)xatant,則可設(shè)直角三角形角t的對(duì)邊長(zhǎng)為x ,鄰邊長(zhǎng)為a,故斜長(zhǎng)為a2x2 ,從圖中看出 sin t . 2x2 ,cost.a xa-= 022a x例10計(jì)算dx.16x2 8x 5分析對(duì)于被積函數(shù)含有Jax2 bx c的積分，一般不能做代換t Vax2 bx C ,而應(yīng)將ax2 bx C配平方，然后作變量代換，歸結(jié)為含 a2 x2x2 a2的積分后再用第二換元法求解。解由于 Vl

36、6x2 8x 5 w'(4x 1)2 4、一11111設(shè) t 4x 1 ,貝U x -t 一,dx dt,于是44t 44dx4dt 1 dt16x2 8x 5,t2 44 .t2 4根據(jù)材料上的補(bǔ)充公式8),再將t 4x 1代回，所以原積分 -lnt Jt2 4 C4112-ln4x 1 V16x2 8x 5 C4對(duì)于被積函數(shù)含有根式或其它較為特殊的情形，也可以采用第二換元積分法計(jì)算例11計(jì)算下列不定積分:(1) xx 2dx(2) x3(1 3x2)10dx(3)dx- x (1 x)化。jx2 ,則 x t2 2, dx 2tdt,于是ix x 2dx(t22)t 2tdt(t4

37、22t2)dt解 (1)被積函數(shù)是無(wú)理函數(shù)，又不能湊微分計(jì)算，因此選擇根式代換，使之有理1 52 32 (-15 -t3)C535,32o42-(x2)2-(x2)2C53(2)被積函數(shù)是有理多項(xiàng)式，如若展開(kāi)(1 3x2)10去計(jì)算，將是很麻煩的，不妨設(shè)t 1 3x2,于是 x2 1(1 t),dx2 33x (11dt,再考慮到x3dx - x2dx2 ,所以32_ 2 102_ 2 10 123x2) dxx2(1 3x2)10 -dx21(1 t) t10 -( -dt) 32 31 z 1 .111 .12一(t t18 1112*1(3)方法一：設(shè)t 豉，則x3x2)11，(1 3x

38、2)122162t , dx 2tdt ,于是dx2tdt 2 dt.x(1 x) t(1 t2)1 t22arctant Cf"2arctant、x C方法二：湊微分法由于，dx d(2Nx) 2d(Vx),1 x 1 (Vx)2 ,所以 xdx 2d , x2 2actan、x C x(1 x) 1 (、x).x .dx xdx d (一) d2小結(jié) 利用第二換元積分法計(jì)算不定積分時(shí)，要特別注意被積函數(shù)的特點(diǎn)，針對(duì)這些特選，選擇適當(dāng)?shù)拇鷵Q，常見(jiàn)的第二換元積分法求解的類(lèi)型請(qǐng)見(jiàn)疑難解析中的有關(guān)內(nèi)容。例12計(jì)算下列不定積分 2 x (1) xcos2xdx(2) x e dx22(3)

39、 (x 1)ln xdx(4) x arctanxdx分析 計(jì)算形如u dx的積分時(shí)，如果不能用換元積分法求解，則可考慮用分部積分法求解，具體步驟是：(1)湊微分：從被積函數(shù)中選擇恰當(dāng)?shù)牟糠肿鳛閐x,湊微分dx d ,這樣積分就變成ud的形式：(2)代公式：ud u du,并計(jì)算出微分du udx;(3)計(jì)算積分u dx這些積分都不能用換元積分法計(jì)算，故考慮用分部積分法，u和 的選擇參見(jiàn)表5-2解(1)設(shè)u x,cos2x,故,c .,1 . c、d dx cos2xdx d(-sin2x)代入分療積分公式，有xcos2xdxxd(-sin2x)1. c 1 . c . xsin2x sin2

40、xdx221八一 cos2x C41 一 xsin2x2如果設(shè)u cos2x, x,會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？事實(shí)上，由2一 .x .udcos2xd()22 x cos2x22 x d cos2x22x2cos2x x sin2xdx2顯然積分x2sin2xdx比原積分xcos2xdx中的x次數(shù)更高了，即更難計(jì)算了，因此這種選擇是不恰當(dāng)?shù)摹?2)設(shè) uex,則dxexdx dex于是2 x ,x e dx2 xx dex 2e dx雖然，xexdx還不能直接積分,因此(3)設(shè) u于是X , 2xe dx還須再做一次分部積分，這時(shí)設(shè)xexdxxdex2 x2 xxx e dx x e 2(xex x2

41、xe 2eu x,ex,于是xxe_xxe dx xeex C,2In x, xdx(x2xxe )(x21)dxx3d(T x)1)ln xdx3 xln xd( x)3x) In xx)d In xx) In x、1 .x) 一 dxx32xx( x)lnx (1)dx333(x)ln x 3(4)設(shè) u arctanx,x2,則dx x2dx于是3zx、.()arctan x3Ldxx32x 、x arctan xdx arctan xd ()31x3arctanx 3(x3 x)2 xdx1 x131 : x613 c-x arctanx313x arctanx3/ x(x -一2)d

42、x1 x2 x1n(1 x21)般說(shuō)來(lái)，如果被積函數(shù)是多項(xiàng)式與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，則u選擇多項(xiàng)式,而 選擇三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)；如果被積函數(shù)是多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時(shí),則u選擇對(duì)數(shù)函數(shù)或反三解函數(shù)，而選擇多項(xiàng)式例13計(jì)算下列不定積分, 、2, 、1(1) (x 2)sin2xdx(2) 1n xdxx(3) xsin2 xdx(4)x2arcsinxdx解（1）22(x 2) sin 2xdx x sin2xdx 2sin 2xdx2x sin2xdx cos2x對(duì)第一項(xiàng)用分部積分法求解1 2 o12一 x cos2x- cos2xdx22原積分于是(2)(3)(4)于是被積

43、函數(shù)是所以In x-dx x1 2 Qx cos2x212 Qx cos2x21 20x cos2x2xcos2xdx1 (xsin2x21 xsin2x21 x2cos2x 2sin2xdx)-cos2x C41 211 c c-x cos2x xsin2x - cos2x C1 xd sin2x21 、，_ 1 _ ，一，-31n x ,從形式上看 應(yīng)選擇-13 （否則選擇ln x將求不出）即In xd(dx1dx d( x-n ln x 2x212x212x2d In xIn x被積函數(shù)含有sin2 x,xsin2 xdx設(shè) u arcsin x,12x212x2-dx x14x2應(yīng)先將

44、sin2 x降次,然后再計(jì)算。1 cos2x .1dx -1 : -x41 : x4xdxxdsin2x41 xsin2x41cos2x 8dx x2dx1 xcos2xdx21 /一 (xsin2x4sin2xdx)d(1x)33x .()arctan x3，dxx32x 、x arctan xdxarctan xd ()31x3arctanx 31x3arctanx 3(x3 x) 1 x2/ x(x -2)dx 1例14計(jì)算下列不定積分(1)excosxdx(2)Incosn xdx(3).a2 x2dx(1)對(duì)于積分ex sin xdx,1x3arctanx 3cosxdxcosxdx

45、_x _e sinxx _ e sinx1 212、小x ln(1 x ) C66dsin x,于是ex d sin xsin xdexexsinxdx還要用分部積分法計(jì)算，此時(shí)仍設(shè)uex,于是41sin x,d sin xdx d ( cosx),因此sin xexd(cosx)_xxe sinx ecosxex cosxdxex (sin x cosx) I移項(xiàng)，兩端同除以2,得ex (sinx cosx) C計(jì)算該題時(shí)，注意以下三點(diǎn)第二次分部積分時(shí)，選擇定要和第一次選擇的函數(shù)類(lèi)型相同，如 u都選ex,都選三角函數(shù)（cosx和sinx）,否則第二次積分將與第一次各分相抵銷(xiāo)。出現(xiàn)循環(huán)后，移項(xiàng)

46、整理時(shí)，等式右端不要忘記加上積分常數(shù)C,因?yàn)榇藭r(shí)右端已沒(méi)有含積分號(hào)的式子了。此題也可以設(shè)u cosx,ex,即x_x_xIcosxdee cosxe sinxdxxxe cosx sinxdexx xe cosx e sinx e cosxdxxxe cosx esin x I1 V移項(xiàng)并整理，得I-e (cosx sinx) C(2)I ncosn xdxcosn 1 xd sin xn 1n 1sin xcos x sin xdcox xn 1 2 _ _ n 2sinxcos x (n 1) sin xcox xdxn 12n2sinxcos x (n 1) (1 cos x) cos dxdsinxcosn 1 x (n 1) cosn 2 xdxcos1