阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用

1、阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用數(shù)學(xué)理論P(yáng)A1.阿波羅尼斯圓:在平面上給定兩點(diǎn) AB，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足 =£，當(dāng)£0PB且九¥1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓。（九=1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段 AB的中垂線） 2.阿波羅尼斯圓的證明及相關(guān)性質(zhì)定理：A,B為兩已知點(diǎn)，P,Q分別為線段 AB的定比為人（九#1）的內(nèi)外分點(diǎn)，則以 PQ為直徑的圓。上任意點(diǎn)到 A,B兩點(diǎn)的距離之比為證（以兒1為例）AP AQ設(shè)AB =a,= -Q =九，則PB QB一 a _ a - aAP =,PB =,AQ =,BQ =1： ，1 .， 1由相交弦定理及勾股定理知22 2_ 2_ a

2、_ 22_ 2'.aBC2 = PB BQ = - , AC2 = AB2 BC2 = 2-12 -1于是BC,A21-1ACBC而P,Q,C同時(shí)在到A,B兩點(diǎn)距離之比等于 h的曲線（圓）上，不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，因此，圓 O上任意一點(diǎn)到 A,B兩點(diǎn)的距離之比恒為 九.性質(zhì)1.當(dāng)兒A1時(shí)，點(diǎn)B在圓。內(nèi)，點(diǎn)A在圓。外；當(dāng)0九M1時(shí)，點(diǎn)A在圓。內(nèi)，點(diǎn)B在圓。外。性質(zhì)2.因AC2 = AP AQ ,過(guò)AC是圓O的一條切線。若已知圓。及圓O外一點(diǎn)A,可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn) B,反之亦然。性質(zhì)3.所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為PQ =2a2-1性質(zhì)4.過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線AC(C為切點(diǎn))，則

3、CP,CQ分別為/ACB的內(nèi)、外角平分線。性質(zhì)5.過(guò)點(diǎn)B作圓O不與CD重合白勺弦EF,則AB平分/EAF.數(shù)學(xué)應(yīng)用 1.(03北京春季)設(shè)A(c,0), B(c,0)(c>0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之比為定值a(a >0),求點(diǎn)P的軌跡.2. (05江蘇)圓O1和圓02的半徑都是1OQ2=4,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓Oi和圓。2的切線PM ,PN(M ,N分別為切點(diǎn))，使得PM= J2PN，試建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.3 . (06四川)已知兩定點(diǎn) A(2,0), B(1,0).如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB ,則點(diǎn)P的軌跡所 圍成的圖形的面積是.4 .(08江蘇

4、)滿足條件AB =2, AC = V2BC的 MBC面積的最大值是 .5 .在等月AABC中，AB = AC,BD是腰AC上的中線，且BD =/3，則AABC面積的最大值是.6 .已知A( 2,0), P是圓C : (x + 4)2+y2 = 16上任意一點(diǎn)，問(wèn)在平面上是否存在一點(diǎn)B ,使PA 1得 =?若存在，求出點(diǎn) B坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.PB 222變式：已知圓C : (x +4) + y =16 ,問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn) A和點(diǎn)B，使得對(duì)于圓C上PA 1 任意一點(diǎn)P,都有 =?若存在，求出 A,B坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.PB 27.在 AABC 中，AB =2AC, AD 是/A 的平分線，且 AD = kAC.(1)求k的取值范圍；