第可分離變量方程PPT課件

1、 但并不是所有的一階方程都能象上面那樣采取兩邊積分的方法來求它的通解如22xydxdy 困難就在于方程的右端含有未知函數(shù)積分 dxxy22求不出來為了解決這個(gè)問題 方程的兩邊同乘以 dxy21使方程變?yōu)閤dxdyy212 這樣變量 x , y 已經(jīng)分離在等式的兩端兩邊積分得 cxy 21或cxy 21第1頁(yè)/共14頁(yè)可以驗(yàn)證 cxy 21是方程的通解注注y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中 稱為奇解一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 這類方程的特點(diǎn)是經(jīng)

2、過適當(dāng)整理，可使方程的只含有一個(gè)變量和其微分第2頁(yè)/共14頁(yè)解法解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxxfdyyg)()(分離變量法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù), CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.求解步驟求解步驟分離變量分離變量?jī)蛇叿e分兩邊積分得到得到隱式通解隱式通解或或通積分通積分第3頁(yè)/共14頁(yè)二、典型例題二、典型例題例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為所求通解為所求通解x

3、cey 第4頁(yè)/共14頁(yè).0)()(2通解通解求方程求方程例例 xdyxygydxxyf解解,xyu 令令,ydxxdydu 則則, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx通解為通解為.)()()(|lnCduugufuugx 第5頁(yè)/共14頁(yè)例例 3 3 衰變問題衰變問題:衰變速度與未衰變?cè)雍克プ兯俣扰c未衰變?cè)雍縈成成正比正比,已知已知00MMt ,求衰變過程中鈾含量求衰變過程中鈾含量)(tM隨時(shí)間隨時(shí)間t變化的規(guī)律變化的規(guī)律. 解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(衰變系數(shù)衰

4、變系數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM,lnlnctM ,tceM 即即00MMt 代代入入00ceM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律第6頁(yè)/共14頁(yè)例例5 5 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時(shí)空氣中開始時(shí)空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺(tái)風(fēng)量為每秒用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時(shí)以同樣的同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少

5、?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0解解 設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后 時(shí)刻時(shí)刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量,03. 02000 dt2CO的排出量的排出量),(2000txdt 第7頁(yè)/共14頁(yè)2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分

6、比降低到%.056. 02CO第8頁(yè)/共14頁(yè)三、小結(jié)三、小結(jié)分離變量法步驟分離變量法步驟:1.分離變量分離變量;2.兩端積分兩端積分-隱式通解隱式通解.注注 分離變量時(shí)，注意檢查是否有漏解，特別是寫成對(duì)稱形式的方程（因?yàn)橐毐ＷC分母不等于0）第9頁(yè)/共14頁(yè)思考題思考題求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考題解答思考題解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.第10頁(yè)/共14頁(yè)練練 習(xí)習(xí) 題題一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解

7、: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. . 二、二、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. . 第11頁(yè)/共14頁(yè)三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng), ,這外力這外力和時(shí)間成正比和時(shí)間成正比, ,和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比. .在在10 t秒時(shí)

8、秒時(shí), ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點(diǎn)點(diǎn) 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系數(shù)為系數(shù)為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .第12頁(yè)/共14頁(yè)練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. . 二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . . 三、三、3