高中數(shù)學(xué)必修+選修全部知識(shí)點(diǎn)精華歸納總結(jié)(蘇教版)

1、專題一：推理與證明推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明數(shù)學(xué)歸納法間接證明 比較法類比推理歸納推理 分析法 綜合法 反證法知識(shí)結(jié)構(gòu)1、歸納推理把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)； 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）；證明（視題目要求，可有可無）.2、類比推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：找出兩類對(duì)象

2、之間可以確切表述的相似特征；用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；檢驗(yàn)猜想。3、合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理.歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式“三段論”，包括 大前提-已知的一般原理； 小前提-所研究的特殊情況； 結(jié)論-據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷M·a S用集合的觀點(diǎn)來理解：若集合中的所有元素都具有

3、性質(zhì),是的一個(gè)子集,那么中所有元素也都具有性質(zhì)P.從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.5、直接證明與間接證明綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示： 要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止. 框圖表示： 要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)

4、誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法. 反證法法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1)（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2)（推理）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止； (3)（歸謬）斷言假設(shè)不成立；(4)（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.6、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)的命題的一種方法.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟;（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)時(shí)命題成立，推證當(dāng)時(shí)命題也成立. 只要完成了這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)都成立.用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、幾何中的計(jì)

5、算問題等.專題二：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位；復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，虛數(shù)與純虛數(shù).2、復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)3、相關(guān)公式指兩復(fù)數(shù)實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)（互為共軛復(fù)數(shù)）.4、復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)加減法：；復(fù)數(shù)的乘法：；復(fù)數(shù)的除法：（類似于無理數(shù)除法的分母有理化虛數(shù)除法的分母實(shí)數(shù)化）5、常見的運(yùn)算規(guī)律設(shè)是1的立方虛根，則，6、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面：用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系，其中軸叫做復(fù)平面的實(shí)軸，軸叫做復(fù)平面的虛軸.專題三：排列組合與二項(xiàng)式定理1、基本計(jì)數(shù)原理 分類加法計(jì)數(shù)原理：(分類相加)做一件事情，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法在第類辦法中

6、有種不同的方法.那么完成這件事情共有種不同的方法. 分步乘法計(jì)數(shù)原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同的方法做第個(gè)步驟有種不同的方法.那么完成這件事情共有種不同的方法.2、排列與組合排列定義：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素的一個(gè)排列.組合定義：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合.排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素的排列數(shù)，記作.組合數(shù)：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫

7、做從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素的組合數(shù)，記作.排列數(shù)公式：；，規(guī)定.組合數(shù)公式：或；，規(guī)定.排列與組合的區(qū)別：排列有順序，組合無順序.排列與組合的聯(lián)系：，即排列就是先組合再全排列. 排列與組合的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)排列；組合.解排列組合問題的方法特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）.間接法（對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.不相鄰

8、(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.有序問題組合法.選取問題先選后排法.至多至少問題間接法.相同元素分組可采用隔板法.分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！.3、二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開公式： .二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：.主要用途是求指定的項(xiàng).項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù).如在的展開式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)等于二項(xiàng)式系數(shù)；二項(xiàng)式系

9、數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)不一定為正.的展開式：，若令，則有.二項(xiàng)式奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和等于二項(xiàng)式偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和.即二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大，當(dāng)時(shí),C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)（第1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第和1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等并同時(shí)取最大值.系數(shù)最大項(xiàng)的求法設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，由不等式組可確定.賦值法若則設(shè) 有：專題四：隨機(jī)變量及其分布知識(shí)結(jié)構(gòu)1、基本概念互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件.如果事件，其中任何兩個(gè)都是互斥事件，則說事件彼此

10、互斥.當(dāng)是互斥事件時(shí)，那么事件發(fā)生（即中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于事件分別發(fā)生的概率的和，即.對(duì)立事件：其中必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件.事件的對(duì)立事件通常記著.對(duì)立事件的概率和等于1. . 特別提醒：“互斥事件”與“對(duì)立事件”都是就兩個(gè)事件而言的，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件，因此，對(duì)立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，也就是說“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分的條件.相互獨(dú)立事件：事件（或）是否發(fā)生對(duì)事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，（即其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響）.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.當(dāng)是相互獨(dú)立事件時(shí)

11、，那么事件發(fā)生（即同時(shí)發(fā)生）的概率，等于事件分別發(fā)生的概率的積.即 .若A、B兩事件相互獨(dú)立，則A與、與B、與也都是相互獨(dú)立的.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)試驗(yàn)恰好發(fā)生次的概率條件概率：對(duì)任意事件A和事件B，在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.公式：2、離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用字母等表示.離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的

12、值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.連續(xù)型隨機(jī)變量: 對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出. 若是隨機(jī)變量，是常數(shù)）則也是隨機(jī)變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）.3、離散型隨機(jī)變量的分布列概率分布（分布列）設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，的每一個(gè)值（）的概率，則稱表為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.性質(zhì)： 兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量

13、的分布列為01 則稱服從兩點(diǎn)分布，并稱為成功概率.二項(xiàng)分布如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是其中，于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01kn我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，并稱p為成功概率.判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有三點(diǎn)：對(duì)立性：即一次試驗(yàn)中事件發(fā)生與否二者必居其一；重復(fù)性：即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了次;等概率性：在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率均相等.注：二項(xiàng)分布的模型是有放回抽樣；二項(xiàng)分布中的參數(shù)是超幾何分布一般地, 在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件,其中恰有件次品數(shù),則事件發(fā)生的概率為,于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01

14、其中,.我們稱這樣的隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列,且稱隨機(jī)變量服從超幾何分布.注:超幾何分布的模型是不放回抽樣；超幾何分布中的參數(shù)是其意義分別是總體中的個(gè)體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量.4、離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望）.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. 性質(zhì)： 若服從兩點(diǎn)分布，則若，則離散型隨機(jī)變量的方差一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為離散型隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度. 越小，的穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越

15、小，取值越集中；越大，的穩(wěn)定性越差，波動(dòng)越大，取值越分散.性質(zhì)： 若服從兩點(diǎn)分布，則若，則專題五：矩陣與變換重要知識(shí)要點(diǎn)五種特殊變換1.旋轉(zhuǎn)變換 關(guān)于X軸對(duì)稱 2.反射變換 關(guān)于Y軸對(duì)稱 關(guān)于Y=X對(duì)稱 縱軸伸縮 3.伸縮變換 橫軸伸縮 橫縱均伸縮 關(guān)于X軸正投影 4.投影變換 關(guān)于Y軸正投影 關(guān)于AX+BY=0投影 5.切變變換 沿X軸平行方向移ky個(gè)單位 沿Y軸平行方向移kx個(gè)單位 有關(guān)矩陣的乘法1 矩陣A= 與=相乘 = = = 復(fù)合變換 若向量先經(jīng)過矩陣A再經(jīng)過矩陣B變換后 （矩陣相乘沒有交換律） 若AC=AB 但 （沒有消去律） 若 為單位矩陣應(yīng)掌握的重要題型：已知曲線經(jīng)過矩陣變換后

16、得曲線逆矩陣 （五種特殊變換，除了投影變換外其他都有逆矩陣）已知 矩陣A= 求逆矩陣若 =則A有逆矩陣= 為單位矩陣 為零矩陣 用逆矩陣求二元一次方程組已知 A= 為二元一次方程組的系數(shù)矩陣這二元一次方程組可寫成 = =已知（其中是不全為0的常數(shù)） 則此二元一次方程組有非0解的充要條件是 =0特征值與特征向量已知A= = 求特征值、特征向量和令 =0 解出當(dāng) 當(dāng) 是A屬于的一個(gè) 是A屬于的一個(gè) 特征向量 特征向量設(shè) 得=專題六：坐標(biāo)系與參數(shù)方程1、平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換。2、極坐標(biāo)

17、系的概念rqO圖1M在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)引一條射線叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。點(diǎn)的極坐標(biāo)：設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)與點(diǎn)的距離叫做點(diǎn)的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點(diǎn)的極角，記為。有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為. 注：極坐標(biāo)與表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)的坐標(biāo)為.若,則,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，即與表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示（即一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系）；同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)

18、應(yīng)惟一點(diǎn)P(，)，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一一個(gè)點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(,)或（，），(Z)極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意取若對(duì)、的取值范圍加以限制則除極點(diǎn)外，平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0，0或<0，等極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的 3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是，極坐標(biāo)是，從圖中可以得出：rqqrcos=xqrsin=y222r=+yx)0(tan¹=xxyqïïîïïíìïïîïïíìyyxOMHN（直極互化 圖）4、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程以極點(diǎn)為圓心