九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 特殊平行四邊形 1 菱形的性質(zhì)與判定菱形知識(shí)講解及例題演練含解析新版北師大版

1、菱形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形. 要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件. 要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部

2、分. （2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題. 要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)1、如圖所示，菱形a

3、bcd中，e、f分別是bc、cd上的點(diǎn)，beaf60°，bae18°求cef的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】由已知b60°，bae18°，則aec78°欲求cef的度數(shù)，只要求出aef的度數(shù)即可，由eaf60°，結(jié)合已知條件易證aef為等邊三角形，從而aef60°【答案與解析】 解：連接ac 四邊形abcd是菱形， abbc，acbacf 又 b60°， abc是等邊三角形 bacacb60°，abac acfb60° 又 eafbac60° baecaf abeacf aeaf aef為等邊三角形

4、 aef60° 又 aefcefbbae，bae18°， cef18°【總結(jié)升華】當(dāng)菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°時(shí)，連接菱形較短的對(duì)角線得到兩個(gè)等邊三角形，有助于求相關(guān)角的度數(shù)在求角的度數(shù)時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系2、如圖，在周長(zhǎng)為12的菱形abcd中，ae=1，af=2，若p為對(duì)角線bd上一動(dòng)點(diǎn)，則ep+fp的最小值為（）a1b2c3d4【思路點(diǎn)撥】作f點(diǎn)關(guān)于bd的對(duì)稱點(diǎn)f，則pf=pf，由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)e、p、f在一條直線上時(shí)，ep+fp有最小值，然后求得ef的長(zhǎng)度即可【答案】c【解析】解：作f點(diǎn)關(guān)于bd的對(duì)稱點(diǎn)f，則pf=pf，連接e

5、f交bd于點(diǎn)pep+fp=ep+fp由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)e、p、f在一條直線上時(shí)，ep+fp的值最小，此時(shí)ep+fp=ep+fp=ef四邊形abcd為菱形，周長(zhǎng)為12，ab=bc=cd=da=3，abcd，af=2，ae=1，df=ae=1，四邊形aefd是平行四邊形，ef=ad=3ep+fp的最小值為3故選：c【總結(jié)升華】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱路徑最短問題，明確當(dāng)e、p、f在一條直線上時(shí)ep+fp有最小值是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】（2015春濰坊期中）如圖，在菱形abcd中，對(duì)角線ac、bd相交于點(diǎn)o，e是ab的中點(diǎn)，如果eo=2，求四邊形abcd的周長(zhǎng)【答案】解：四邊

6、形abcd為菱形，bo=do，即o為bd的中點(diǎn)，又e是ab的中點(diǎn)，eo是abd的中位線，ad=2eo=2×2=4，菱形abcd的周長(zhǎng)=4ad=4×4=16 類型二、菱形的判定3、如圖，在等邊三角形abc中，bc=6cm，射線agbc，點(diǎn)e從點(diǎn)a出發(fā)沿射線ag以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)f從點(diǎn)b出發(fā)沿線射bc以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）連接ef，當(dāng)ef經(jīng)過ac邊的中點(diǎn)d時(shí)，求證：adecdf；（2）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形acfe是菱形【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得到ad=cd，再由ag與bc平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，利用aas即可得證；（

7、2）若四邊形acfe是菱形，則有cf=ac=ae=6，由e的速度求出e運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可【答案與解析】（1）證明：agbc，ead=dcf，aed=dfc，d為ac的中點(diǎn)，ad=cd，在ade和cdf中，adecdf（aas）；（2）解：若四邊形acfe是菱形，則有cf=ac=ae=6，則此時(shí)的時(shí)間t=6÷1=6（s）故答案為：6s【總結(jié)升華】此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知，在abc中，abaca，m為底邊bc上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)m分別作ab、ac的平行線交ac于p，交ab于q.求四邊形aqmp的周長(zhǎng)；m位于bc的什么位置時(shí)

8、，四邊形aqmp為菱形？說明你的理由.【答案】解：（1）mqap，mpaq，四邊形aqmp是平行四邊形 qmap又abac，mpaq，2c，pmc是等腰三角形，pmpcqmpmappcaca 四邊形aqmp的周長(zhǎng)為2a（2）m位于bc的中點(diǎn)時(shí)，四邊形aqmp為菱形.m位于bc的中點(diǎn)時(shí),易證qbm與pcm全等,qmpm, 四邊形aqmp為菱形類型三、菱形的綜合應(yīng)用4、如圖所示，菱形abcd中，ab4，abc60°，eaf60°，eaf的兩邊分別交bc、cd于e、f (1)當(dāng)點(diǎn)e、f分別在邊bc、cd上時(shí)，求cecf的值(2)當(dāng)點(diǎn)e、f分別在cb、dc的延長(zhǎng)線時(shí)，ce、cf又存

9、在怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論【思路點(diǎn)撥】(1)由菱形的性質(zhì)可知abbc，而abc60°，即聯(lián)想到abc為等邊三角形，bac60°，又eaf60°，所以baecaf，可證baecaf，得到becf，所以ce+cfbc(2)思路基本與(1)相同但結(jié)果有些變化【答案與解析】 解：(1)連接ac 在菱形abcd中，bcab4，abcd abc60°， abacbc，bacacb60° acf60°，即acfb eaf60°，bac60°， baecaf abeacf(asa)， becf cecfcebebc4(2)cecf4連接ac如圖所示 baceaf60°， eabfac abcacd60°， abeacf120° abac， abeacf(asa)， becf cecfcebebc4【總結(jié)升華】(1)菱形的性質(zhì)的主要應(yīng)用是證明角相等、線段相等、兩直線平行、兩線段互相垂直、互相平分等(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它讓菱形這個(gè)特殊的平行四邊形變得更加特殊，常與等邊三角形發(fā)生聯(lián)系6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3