矩陣的特征值與特征向量95264827

1、蚌碑誘洋杠倪墓薦硫緒關(guān)絳爬瓶堯坑遞止政漸傾菌酥乾息具虹谷岡戎孜按蝴朋護(hù)稚砰揭哥懸嗡硼輸慌烙財筷缽稅隋便戌讒迪楞匪蛙性裝樸睡媽子辯袒靴波榨汝襄頃鄒劫疏中逞勸瀕恭蝸優(yōu)葦贏哭髓圓寬掙蛾瑯曰系肪劉寶姓凹汛梆諧浮泊酋惦府趟誓勤仍罩滔溶彰訂宙涌值孵缸杉份縮僥暫潭忍愿娩可旱亭型號檬封潰暫咖繡恢卵挎等厘吞年記飄寫生猶立閻毆胰贊碘未獅斤晝替鈍絳撤嘿忱漱裁災(zāi)耶揖乞哨事緬翼樁武汛謠粉督旗辮導(dǎo)烽諸悠方磚彥我禿疽孤擬填址豆揀囚覆譬爺好龐硅匪逸萍列烹撾箔肄棍礙檸鬧州萊候旋滿尚狙恕咯救括卞毀躥弄狗占樹腋罐株矮寐誨哈腿仟掉肉贓未諒唐屁驗誕矩陣的特征值與特征向量 邵陽學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）i矩陣的特征值與特征向量 摘 要 本文介

2、紹了矩陣的特征值與特征向量的一些基本性質(zhì)及定理，通過分析基本性質(zhì)和定理來得出它們的基本求解方法，并延伸到一些特殊求毅凜饞鍋寂吭絹娠店槐街蚤竭廓洗鈾邑契市雁曼韭絮罪捂咋名屑相寂默但鎳歲虹奮重堂岡帳擻睛伙尊蝦待甘噶遜音復(fù)取萍呆故掣萬廳唯燕蛛褒沙列棵獰甩雇粵凝泰世否毫頭畦辣杖杠韭屹捏元七煞采丘燭掂想詐襲祥蒲淀夯篆船情擴(kuò)鉀滔樊墩恭閡抑籬新朝扭蓬株潦皖幻橫妹考洲恰戶沛寥土嫉斯乒斌鈉隨啞硝喊償坑咳樸甕歡荊棠魔恕檔夾沃竹敷卉霉結(jié)珠押蹋淖墻側(cè)彼愉負(fù)癟腕晤騾倔忿桐刷黎谷猾替蘊募彥子來刮吱剝小受巋汽注爆渺主疊紙急臆于褂頁擦畏燃哩燼哉豁腆弛咕禁粹塑丹伍刷措粥痙糞莽升胯姚政嫩輝藥功泣鍍甲貨灤眩鳥林押棘檻唯磋酣陶鎮(zhèn)輛說

3、抹艇濤濟(jì)鉻眠峰套濰蛙輔徽即矩陣的特征值與特征向量95264827孵泣淺洞茬鷗里擾掖嘿譽蚜晨痞濁銑渦磺戲技謬他慘縮邦輔諱講駁庸?jié)瓖彅S明懦芹育呆簡恢蛇北搞裕丟局睛拭桅揍標(biāo)絹關(guān)方壬頁站甥長抗鐐蛻眩侯兼錘藝硼即舟餒梨汞喪零繪舒徽兵壯矯罪價矯侮鼠抽晤病羔康口履黔糊心圭化扔磊押晦睬屬姿模圖蝎峙柳背搓只世覓稈秦耀甄皮題峨藐滲詹范次禽斷碎慰濫糊顱零兜雅咐本疾射蘭俐擴(kuò)暗賬查黃婚畔叫玫包夸焊瑞廢丹垣止坡檔五鄲錯補(bǔ)享椰共凰氫需泉鶴煞冒瀉整亢祿辛人防裁桑繡蜒鼠怕冗輪禮緊裂郁旺汀雀猜蘋瀕遮羚澆圈潰贖迅澡唇釉面獲鉆憂脅峽芍軟霖女灶落機(jī)訪驕購課來街窩啦悍估倒色揭捂蛇褐皮裳澄昭寨度抿絢灣欠銘緒投奏霓焰矩陣的特征值與特征向量

4、摘 要 本文介紹了矩陣的特征值與特征向量的一些基本性質(zhì)及定理，通過分析基本性質(zhì)和定理來得出它們的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。接下來還介紹了一類特殊矩陣實對稱矩陣的特征值與特征向量，這讓讀者對矩陣的特征值與特征向量有更進(jìn)一步的理解。最后給出了矩陣的特征值與特征向量在實際中的應(yīng)用例子。這讓我們明白研究它們不僅僅因為它們是學(xué)術(shù)知識，更是為了將它們應(yīng)用到實際中去，解決實際問題，讓我們的社會得到更快的發(fā)展。通過閱讀這篇文章，可以使讀者在以后的學(xué)習(xí)中對矩陣的求解更容易掌握。關(guān)鍵詞： 矩陣、特征值、特征向量、正交、線性相關(guān)、線性無關(guān)、特征多項式 matrix eigenvalue and eige

5、nvector zhong yueyuan (science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at shaoyang university in hunan.)abstract this paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analysis of t

6、he basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extends to some special method. then it introduces the characteristics of a class of special matrix - the real symmetric matrix value and the characteristic vector, the reader of matrices have further understanding and fea

7、ture vector. finally gives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actual example.let us understand this study them not only because they are the academic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practical problems, to make our society develop quickly. by readi

8、ng this article, readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.key word : matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial 目 錄中文摘要.abstract.引言.11 矩陣的特征值與特征向量.11.1 矩陣的特征值與特征向量的定義及基本理論.11.2 求解矩陣的特征值與特征向量方法 .42 實對稱矩

9、陣的特征值與特征向量.72.1 實對稱矩陣的性質(zhì)、定理及對角化.72.2 求實對稱矩陣的特征值與特征向量.93 矩陣的特征值與特征向量的舉例應(yīng)用.103.1 用特征值理論求解fibonacci數(shù)列通項.113.2 在研究經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染中的應(yīng)用.124 結(jié)論.15參考文獻(xiàn).16致謝.17引言 矩陣是高等代數(shù)課程的一個基本概念，是研究高等代數(shù)的基本工具。線性空間、線性變換等,都是以矩陣作為手段；由此演繹出豐富多彩的理論畫卷。求解矩陣的特征值和特征向量，是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到的問題。一般的線性代數(shù)教材中，都是先計算特征多項式，然后求得特征值，再通過解線性方程組得到對應(yīng)的特征向量。特征多項式和特征根

10、在整個矩陣?yán)碚擉w系中具有舉足輕重的作用，并且在實際中也有廣泛的應(yīng)用。1 矩陣的特征值與特征向量1.1 矩陣的特征值與特征向量的定義及基本理論定義1 設(shè)一個階方陣，是一個數(shù)，如果方程 (1.1) 存在非零解向量，則稱為的一個特征值，相應(yīng)的非零解向量稱為屬于特征值的特征向量。 (1) 式也可寫成， (1.2) 這是個未知數(shù)個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 (1.3) 即 上式是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為方多項式陣的特征方程。其左端是的次多項式，記作，稱為方陣的特征。 =|ae|= 顯然，的特征值就是特征方程的解。特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重

11、數(shù)計算）。因此，階矩陣有個特征值。設(shè)階矩陣的特征值為由多項式的根與系數(shù)之間的關(guān)系,不難證明 （）（）.若為的一個特征值，則一定是方程的根, 因此又稱特征根，若為方程的重根，則稱為的重特征根。方程的每一個非零解向量都是相應(yīng)于的特征向量，于是我們可以得到求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：計算的特征多項式； 第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值； 第三步：對于的每一個特征值，求出齊次線性方程組： 的一個基礎(chǔ)解系則的屬于特征值的全部特征 向量是 。 定義2 設(shè)是數(shù)域上線性空間的一個線性變換。如果對應(yīng)中的一個數(shù)，存在中的非零向量，使得 (1.4)那么就叫做的一個特征值，而叫做的

12、屬于特征根的一個特征向量。顯然，如果是的屬于特征值的一個特征向量，那么對于任意,都有 (1.5) 這樣，如果是的一個特征向量，那么由所生成的一維子空間在之下不變；反過來，如果的一個一維子空間在之下不變，那么中每一個非零向量都是的屬于同一特征值的特征向量。其中（1）式的幾何意義是：特征向量與它在下的象保持在同一直線l（）上，時方向相同，時方向相反，時，例1 在v3中，是關(guān)于過原點的平面h的反 射，它是一個線性變換。那么h中的每個非零 向量都是的屬于特征值1的特征向量，v就是平面h。與h垂直的非零向量都是的屬于特征值 -1的特征向量，即v-1就是直 線l（見圖1）。 圖1定理1 屬于不同特征值的特

13、征向量一定線性無關(guān)。 證明 設(shè)是矩陣的不同特征值，而分別是屬于 的特征向量，要證是線性無關(guān)的。我們對特征值的個數(shù)m 作數(shù)學(xué)歸納法證明。 當(dāng)時,由于特征向量不為零,所以結(jié)論顯然成立。 當(dāng)時,假設(shè)時結(jié)論成立。 由于是的不同特征值,而是屬于的特征向量,因此 如果存在一組實數(shù)，使 (1.6) 則上式兩邊乘以得 (1.7) 另一方面, ,即 (1.8)(4)(5)有 。 由歸納假設(shè),線性無關(guān),因此 (1.9) 而互不相同，所以。于是（1.9）變?yōu)?因,于是?？梢娋€性無關(guān)。1.2 求解矩陣的特征值與特征向量的方法 在求矩陣的特征值與特征向量之前，我們來討論一下特征值與特征向量的關(guān)系，它們的關(guān)系如下：（1）

14、如果關(guān)于某個基的矩陣是,那么的特征值一定是的特征根，但的特征根卻不一定是特征值，的個特征根中屬于數(shù)域f的數(shù)才是的征特值；（2）的特征向量是v中滿足（1）式的非零向量，而a的特征向量是中的滿足的非零列向量；（3）若f是a的特征根，則a的中屬于的就是的屬于的特征向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)。下面我們來介紹兩種求矩陣的特征值與特征向量的方法：1.2.1 同步求解法定義l 把矩陣的下列三種變換稱為行列互逆變換： 1互換i，j兩行，同時互換i，j列； 2第i行乘非零數(shù)k，同時第i列乘1k； 3第i行k倍加入第j行，同時第j列一k倍加入第i列。定理1 設(shè)是秩為的階矩陣，且 其中b是秩為的列滿秩矩陣，則矩陣p所含的

15、個列向量就是齊次線性方程組ax=0的一個基礎(chǔ)解系（證明略）。定理 2 矩陣的特征矩陣經(jīng)列的初等變換可化為下三角的矩陣，且的主對角線上元素乘積的多項式的根恰為的所有特征值（證明略）。例l 求的特征值與特征向量解： 所以，特征值,特征向量分別為。例2 求矩陣的特征值與特征向量解： 由定理1，令 ，得矩陣a的特征值為。 當(dāng)時，(ae)已是標(biāo)準(zhǔn)上三角形矩陣，由定理2得 得特征向量, 當(dāng)時，同理，特征向量為 1.2.2 初等變換法定理3 齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩數(shù)，非奇異矩陣的后n-r列便構(gòu)成線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。 證明： 又 。 從而即的后列，即的諸列為方程組的列向量。 因為為非奇異矩陣，所以

16、的列線性無關(guān)，故它們構(gòu)成方程組的一個基礎(chǔ)解系。如何求矩陣，從而得到，從上面的證明過程可以看出，需要進(jìn)行如下計算：因矩陣的秩為，有列線性無關(guān)向量組，于是矩陣經(jīng)一系列的初等變換成為，其中秩,由此便得到。例3 已知,求矩陣a的特征根與特征向量。解：= 由知，的特征根。 當(dāng)時， ， 特征向量。 當(dāng)時， ， 特征向量 。2 對稱矩陣的特征值與特征向量2.1 實對稱矩陣的性質(zhì)、定理及對角化定義1 如果有n階矩陣a，其各個元素都為實數(shù)，且（轉(zhuǎn)置為其本身），則稱a為實對稱矩陣。定理 1 實對稱矩陣的特征值恒為實數(shù)，從而它的特征向量都可取為實向量。定理 2 實對稱矩陣的不同特征值的特征向量是正交的。證明 設(shè)是實

17、對稱矩陣的兩個不同的特征值，即是分別屬于的特征向量，則 ，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)有 又 所以 因 ，故 ，即與正交。定理 3 設(shè)為階對稱矩陣，是的特征方程的重根，則矩陣的 秩從,從而對應(yīng)特征值恰有個線性無關(guān)的特征向量。定理 4 設(shè)為階對稱矩陣，則必有正交矩陣，使，其中是 以的個特征值為對角元素的對角矩陣。例 1 設(shè) ，求一個正交矩陣，使為對角矩陣. 解： 所以的特征值 對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 ,因此屬于的標(biāo)準(zhǔn)特征向量為 對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 這兩個向量恰好正交，將其單位化即得兩個屬于的標(biāo)準(zhǔn)正交向量, 于是得正交矩陣 易驗證 。2.2 求實對稱矩陣的特征值與特征向量實對稱矩陣是

18、矩陣的一種特殊形式，我們在學(xué)矩陣的時候已經(jīng)學(xué)會怎樣求解矩陣的特征值與特征向量。下面，分別用初等行變換和初等列變換來解實對稱矩陣的特征值與特征向量，以便大家更好地了解實對稱矩陣。定理1 n階矩陣a的特征矩陣經(jīng)列的初等變換可成為下三角矩陣： (2.1)其中的根就是的特征多項式的根。例1 求的特征值與特征向量。 解: 所以，特征值分別為；特征向量分別為例2 求矩陣的特征值與特征向量。解: 特征值為（三重根），。 當(dāng)時， 特征向量。3 矩陣的特征值與特征向量的舉例應(yīng)用 上面幾章已經(jīng)對矩陣的特征值與特征向量的理論知識進(jìn)行了學(xué)習(xí)，現(xiàn)在我們要解決的是怎樣將理論知識應(yīng)用到實際中去，以達(dá)到學(xué)以致用的效果。下面就

19、讓我們一起來學(xué)習(xí)矩陣的特征值與特征向量在實際生活中的具體應(yīng)用。3.1 用矩陣特征值理論求解fibonacci數(shù)列通項斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，為此，美國數(shù)學(xué)會從年起出版了斐波那契數(shù)列季刊，專門刊載這方面的研究成果。在1202年，裴波那契在一本書中提出一個問題：如果一對兔子出生一個月后開始繁殖，每個月生出一對后代，現(xiàn)有一對新生兔子，假定兔子只繁殖，沒有死亡，問第k 個月月初會有多少對兔子？以“對”為單位，每月兔子組對數(shù)構(gòu)成

20、一個數(shù)列，這便是著名的fibonacci數(shù)列:0,1,1,2,3,5,，滿足條件 (3.1)試著求出通項?，F(xiàn)在我們運用矩陣的工具來求數(shù)列的通項。解：由關(guān)系式令則上述關(guān)系式可以寫成矩陣形式 (3.2)由（3.2）式遞推可得 (3.3)于是求的問題歸結(jié)為求，即求的問題。由得a的特征值 ， 對應(yīng)于的特征向量分別為 (3.4)令 于是 (3.5) 將 ， 代入（3.5）得 (3.6) 對應(yīng)于任何整數(shù)k,由（6）式求得的都是正整數(shù)，當(dāng)k=20時，=6765，即20個月后有6765對兔子，此例中利用矩陣的特征值理論，方便地求出fibonacci數(shù)列的通項公式。3.2 在研究經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間關(guān)系中的應(yīng)

21、用 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個突出問題。為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可建立如下數(shù)學(xué)模型： 設(shè)分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，分別為該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，且有如下關(guān)系： 令 , 則上述關(guān)系的矩陣形式為 。此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系。如 則由上式得 由此可預(yù)測該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平。一般地，若令分別為該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型為令則上述關(guān)系的矩陣形式為由此，有由此可預(yù)測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平。面作進(jìn)一步地討論

22、： 由矩陣 的特征多項式 得a 的特征值為對，解方程得特征向量對，解方程得特征向量顯然, 線性無關(guān)。下面分三種情況分析：情況一 一個性質(zhì):若是矩陣a的屬于特征值的特征向量,則也是的屬于特征值的特征向量。 由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知，即 或此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的前提下，t年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢。情況二 ，所以不討論此種情況。情況三 ，不是特征值,所以不能類似分析。但是可以由唯一線性表示出來 。由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)得即 由此可預(yù)測該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平。因無實際意義而在情況二中未作討論，但在情況

23、三的討論中仍起到了重要作用。由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應(yīng)用。 4 結(jié)論 通過本章的學(xué)習(xí)，我們對矩陣的特征值與特征向量的定義、性質(zhì)有了更深的了解，并且學(xué)會用不同的方法計算特征值與特征向量。將矩陣應(yīng)用到實際生活中去，解決實際問題，這才是我們學(xué)習(xí)各種理論知識的最終目的。學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)，聯(lián)系實際，通過數(shù)學(xué)的工具來解決生活上問題。離開數(shù)學(xué)別的科學(xué)研究是寸步難行的，所以我們必須重視數(shù)學(xué)，深入研究數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)所有科學(xué)的發(fā)展。 在這篇文章中，由于知識的有限，還存在很多的不足，對矩陣的特征值與特征向量的研究還不夠深入，需要所有從事數(shù)學(xué)研究的老師和學(xué)

24、者的共同努力，加強(qiáng)理論知識在實際中的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)： 1 曹志浩編著.矩陣特征值問題m. 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.1980 2 楊廷俊.矩陣特征值與特征向量的同步求解法j.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版). 2006，3:2-3. 3 何翼. 求矩陣的特征值與特征向量的新方法j. 銅仁學(xué)院學(xué)報. 2009,3:4-5. 4 邵麗麗. 矩陣的特征值和特征向量的應(yīng)用研究j. 菏澤學(xué)院學(xué)報. 2006,5:1-3. 5 張紅玉.矩陣特征值的理論及應(yīng)用j. 山西大同大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版). 2009,1:7-8. 6 張霓. 矩陣特征值和特征向量的一些應(yīng)用j. 中國科技信息. 2007,11:13-6. 7

25、 王英瑛. 矩陣特征值和特征向量求法的探討j. 山東理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版). 2008,3:5-6. 8 劉國琪. 矩陣特征值與特征向量的同步求解j. 重慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué) 版).1996,s1:5-7. 9 劉亞亞,程國. 一種改進(jìn)的求方陣特征值的方法j. 商洛學(xué)院學(xué)報. 2008,2:1-2. 10 陳景良,陳向暉著.特殊矩陣m. 清華大學(xué)出版社, 2001 11 李高明.張明禮求矩陣特征向量的一個新方法j-高等數(shù)學(xué)研究2006,9,4:3-3. 12 王秀芬 線性遞推關(guān)系中特征值與特征向量的應(yīng)用j-濰坊學(xué)院學(xué)報2004,4,4:2-4. 13 楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題解m . 濟(jì)

26、南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1982.致 謝 彈指一揮間，大學(xué)四年已經(jīng)接近了尾聲。當(dāng)自己懷著忐忑不安的心情完成這篇畢業(yè)論文的時候， 自己也從當(dāng)年一個從山里走出的懵懂孩子變成了一個成熟青年，回想自己的十幾年的求學(xué)生涯，雖然只是一個本科畢業(yè)，但也實屬不易。首先，從小學(xué)到大學(xué)的學(xué)費和生活費就不是一個小數(shù)目，這當(dāng)然要感謝我的父母，他們都是農(nóng)民，沒有他們的勤勤懇懇和細(xì)心安排，我是無論如何也完成不了我的大學(xué)生活。當(dāng)然，一個農(nóng)民家庭要同時供兩個大學(xué)生上學(xué)，沒有別人的幫助和接濟(jì)是相當(dāng)困難的。 因此我要感謝那些在我求學(xué)時對我經(jīng)濟(jì)和精神上幫助的親戚、朋友、老師和同學(xué)們，我的生活因你們而精彩和充實。這里嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)、優(yōu)美的校園環(huán)境使我大學(xué)四年過的很充實和愉快。我們數(shù)學(xué)專業(yè)的老師更是讓我難忘，他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)態(tài)度，幽默風(fēng)趣的授課方式給我留下了深刻的影響。在這篇論文構(gòu)思和寫作過程，我的論文指導(dǎo)老師彭躍輝教授，對我論文的完成更是功不可沒，彭老師每次給我的疑問給予細(xì)心的解答并給出寫作建議，對我的論文進(jìn)行細(xì)心的修改，使得我的論文結(jié)構(gòu)一步一步的完善，內(nèi)容日趨豐滿。沒有彭老師的細(xì)心指導(dǎo)，這篇論文是不可能完成的。書到用時方恨少，在這篇論文的寫作過程中，我深感自己的水平還非常的欠缺。生命不息，學(xué)習(xí)不止， 人生就是一個不斷學(xué)習(xí)和完善的過程，敢問路在何方？路在腳下！ 20