線性代數(shù)CH行列式PPT課件

1、0平時成績（共計平時成績（共計30%） 0 1、 考勤（考勤（10%）0 2、 作業(yè)（作業(yè)（20%）0期末理論考試（期末理論考試（70%） 第1頁/共146頁 第2頁/共146頁一、研究對象三、核心方法二、研究工具以討論線性方程組的解為基礎，研究線性空間的結構、線性變換的形式. .線性代數(shù)線性代數(shù)研究對象與邏輯結構概述研究對象與邏輯結構概述利用矩陣理論, 求解線性方程組.通過初等(線性)變換，將方程組化為最簡形式的同解方程組求解. .四、課程特點公式多，式子大，符號繁，但規(guī)律性強。內(nèi)容比較抽象。第3頁/共146頁五、邏輯結構線性代數(shù)線性代數(shù)研究對象與邏輯結構概述研究對象與邏輯結構概述線性方程組

2、矩陣理論行列式Cramer法則矩陣對角化二次型的化簡線性變換初等變換 第4頁/共146頁 基本理論基本理論 基本方法基本方法 第5頁/共146頁在以往的學習中，我們接觸過二在以往的學習中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組元、三元等簡單的線性方程組. .但是，從許多實踐或理論問題里但是，從許多實踐或理論問題里導出的線性方程組常常含有相當導出的線性方程組常常含有相當多的未知量，并且未知量的個數(shù)多的未知量，并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等與方程的個數(shù)也不一定相等. .第6頁/共146頁-1 0 1 2 3 4 xy-11234( (唯唯一一解解) )13yxyx(1)二元一次方程組二元

3、一次方程組第7頁/共146頁6223yxyx13yxyx無窮多組解無解第8頁/共146頁 x + y z = 5 2x -3y +z = 3 -5x+2y - 2z= 0記作12312312352335220 xxxxxxxxx 三元一次方程組三元一次方程組第9頁/共146頁第10頁/共146頁例10043214321xxxxxxxx10021321321xxxxxxxx顯然，此方程組無解. . 例2顯然，此方程組有無窮多解. . a11x1a12x2 a1nxn b1a21x1a22x2 a2nxn b2am1x1am2x2 amnxnbm 例3第11頁/共146頁m個方程式n個未知數(shù)的線性

4、方程式系統(tǒng)mnmnmmmnnnnnnbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa332211333332321312232322212111313212111mnmmmnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA321333323122322211131211mbbbb21nxxxx21bAx 以矩陣方式表示為第12頁/共146頁我們先討論未知量的個數(shù)與方程我們先討論未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等的特殊情形的個數(shù)相等的特殊情形. .在討論這一類線性方程組時，我在討論這一類線性方程組時，我們引入行列式這個計算工具們引入行列式這個計算工具. .第13頁/共146頁第一章第一章

5、 行列式行列式內(nèi)容提要內(nèi)容提要1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式2 2 n 階行列式的定義階行列式的定義 3 3 行列式的性質行列式的性質4 4 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開5 5 克萊姆法則克萊姆法則行列式的概念行列式的概念. .行列式的行列式的性質及計算性質及計算. . 線性方程組的求解線性方程組的求解. . 行列式是線性代行列式是線性代數(shù)的一種工具！數(shù)的一種工具！學習行列式主要學習行列式主要就是要能計算行列就是要能計算行列式的值式的值. .第14頁/共146頁1 二階與三階行二階與三階行列式列式我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其

6、求解公式，并設法化簡此公式求其求解公式，并設法化簡此公式. .第15頁/共146頁一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式一元一次方程 ax = b 當 a0 時，bax1 10 x2x22x3x22121二元 （三元）線性方程組例 解二元線性方程組14x71 得于是2x1 6x2 42x72 類似地，可得于是第16頁/共146頁一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 21222112112

7、2211)(baabxaaaa 當當 時，該方程組有唯一解時，該方程組有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 第17頁/共146頁求解公式為求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 二元線性方程組二元線性方程組 分母相同，分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定.分子、分母都是分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再四個數(shù)分成兩對相乘再 相減相減而得而得.122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa

8、a 此公式有什么特點？11122122aaaa記號記號 11122122aaaa數(shù)表數(shù)表 我們引進新的符號來表示我們引進新的符號來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減四個數(shù)分成兩對相乘再相減”. .第18頁/共146頁記：記： 2112221122211211aaaaaaaa稱上式的左邊為二階行列式，右邊的式子為二階行列式的展開式 。其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2)ijijai 為為行標行標，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標列標，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .第19頁/共146頁二階行列式的計算二階行列式的計算 11122122aaaa11

9、221221a aa a主對角線主對角線 副對角線副對角線 即：主對角線上兩元素之積即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積 對角線法則對角線法則 例如29245) 3(8515831行列式的計算結果是一個數(shù)。注意：注意：第20頁/共146頁例1：設231D 問當 （1）為何值時，D = 0 （2）為何值時，D0解：23D(1) 0 3或或 時，D=0(2) 0 3或或 時，D 0第21頁/共146頁其求解公式為其求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 1 2212 2111 22122111 21 21211 221221baa bxa a

10、a aa bbaxa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 2112221122211211aaaaaaaa112222baba= D1D =111212abab= D2于是，當D00時，方程組的解為第22頁/共146頁22211211aaaaD ; 2221211ababD 2211112babaD 第23頁/共146頁例例1.2 求解二元線性方程組求解二元線性方程組 1212232121xxxx解解 因為因為 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 第24頁/共146頁二、三階行列式二、三階行列式

11、定義定義 設有設有9個數(shù)排成個數(shù)排成3行行3列的數(shù)表列的數(shù)表原則：橫行豎列原則：橫行豎列引進記號引進記號稱為稱為三階行列式三階行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主對角線主對角線 副對角線副對角線 二階行列式的對角線法則二階行列式的對角線法則并不適用！并不適用！第25頁/共146頁三階行列式的計算可用下面的對角線法則333231232221131211aaaaaaaaa33221

12、1aaa 312312aaa 322113aaa 312213aaa 332112aaa .322311aaa 注意注意: 2. 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號。1. 三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積。第26頁/共146頁12-4-221-34-2D 例例2 計算行列式計算行列式 解解按對角線法則，有按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 0a0b0c0d0D = 0= ?第27頁/共146頁對于三元線性方程組 333323212123232221211313

13、212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 記,3332323222131211aabaabaabD 則三元線性方程組的解為: :,11DDx ,22DDx .33DDx ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 第28頁/共146頁例例3 3 解線性方程組12312312322,231,0.xxxxxxxxx 由于方程組的系數(shù)行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 第29頁/共146頁同理可得1103111

14、221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx第30頁/共146頁 j = 1, 2, , n11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xaxba xa xaxbaxaxaxb ，時，當DDxDjj 0111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa n階行列式其中Dj j為將D的第 j 列換為常數(shù)項后得到的行列式. .n元一次方程組系數(shù)行列式方程組的解:Cramer法則猜想猜想: 第31頁/共146頁2 n 階行列式階行列式的定義的定義第32頁/共14

15、6頁問題問題 把把 n 個不同的元素排成一列，共有多少種不同的個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？排法？定義定義 把把 n 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素個元素的的全排列全排列. n 個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 顯然顯然 即即n 個不同的元素一共有個不同的元素一共有n! 種不同的排法種不同的排法.一、全排列及其逆序數(shù)第33頁/共146頁所有所有6種不同的排法中，只有一種排法種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然）中的數(shù)字是按從

16、小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前數(shù)排在小的數(shù)之前. .因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“順序順序”，而是而是“逆序逆序”. . 3個不同的元素一共有個不同的元素一共有3! =6種不同的排法種不同的排法。123，132，213，231，312，321第34頁/共146頁對于對于n 個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標準次序個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標準次序.n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序.定義定義 當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，當某兩個元素的先后次序與標準次序不

17、同時，就就稱這兩個元素組成一個稱這兩個元素組成一個逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？答：答：2和和1，3和和1也構成逆序也構成逆序.第35頁/共146頁定義定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).排列排列 的逆序數(shù)通常記為的逆序數(shù)通常記為 . .1 2ni ii1 2()ni ii 奇排列：奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. .偶排列：偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. .例如例如 排列32514 中， 3

18、2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為3。1010故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.第36頁/共146頁計算排列的逆序數(shù)的方法計算排列的逆序數(shù)的方法 則此排列的則此排列的逆序數(shù)逆序數(shù)為為12n設設 是是 1, 2, , n 這這n 個自然數(shù)的任一排列，個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標準次序并規(guī)定由小到大為標準次序. 先看有多少個比先看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ；再看有多少個比再看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;最后看有多少個比最后看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;12np pp1p1p1 2p2p2 npn

19、pn 3 4 2 143 2 1從而得 (3421)55. .5練習：求排列 32541 32541 的逆序數(shù). .答：(32541)66. .第37頁/共146頁例例4 4 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論奇偶性.217986354解解453689712544310010 18 此排列為偶排列.54 0100134 第38頁/共146頁( (1)21) n n(1)(2)1nn1(1)2n n說明說明: : 一般說來, ,在n n個數(shù)碼的全排列中，奇偶排列各占一半. .(12)n 0思考題：思考題：符合標準次序的排列是奇排列還是偶排列？符合標準次序的排列是奇排列還是偶排列？ 偶排列偶排列第39頁

20、/共146頁111lmnaabbcb ca二、對換二、對換定義定義 在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的方法叫做素不動，這種作出新排列的方法叫做對換對換將相鄰兩個元素對換，叫做將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換相鄰對換例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb第40頁/共146頁對換改變排列的奇偶性對換改變排列的奇偶性. .11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabb 11lmbaaabbrrr 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變.

21、 ., a b第41頁/共146頁當當 時，時， ， ， . . ab 當當 時，時， ， ， . . ab 因此相鄰對換改變排列的奇偶性因此相鄰對換改變排列的奇偶性. . 1aar bbr aar 1bbr 1r 1r 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabb 11lmbaaabbrrr 第42頁/共146頁nmlccbbbaaa111ab次相鄰對換mnmlccbbabaa111次相鄰對換1 mnmlccabbbaa111ba,111nmlcbcbabaa次相鄰對換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。ab（2）考

22、慮一般情形第43頁/共146頁三階行列式的定義333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 1.1.概念的引入概念的引入規(guī)律：規(guī)律：1.1.三階行列式共有三階行列式共有6項，即項，即3!項項2.2.每一項都是位于每一項都是位于不同行不同列不同行不同列的三個元素的乘積的三個元素的乘積3.3.每一項可以寫成每一項可以寫成 （正負號除外），其中（正負號除外），其中 是是1、2、3的某個排列的某個排列. .123123pppaaa123p p p三、n階行列式的定義第44頁/共1

23、46頁例如，例如，322113aaa列標排列的逆序數(shù)為 , 211312 322311aaa列標排列的逆序數(shù)為 , 101132 偶排列奇排列正號正號 ,負號負號 333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 4.4.當當 是是偶排列偶排列時，對應的項取時，對應的項取正號正號； 當當 是是奇排列奇排列時，對應的項取時，對應的項取負號負號. . 123p p p123p p p第45頁/共146頁所以，三階行列式可以寫成所以，三階行列式可以寫成 其中其中 表示對表示對1、2

24、、3的所有排列求和的所有排列求和. 123p p p 二階行列式有類似規(guī)律二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形. 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a第46頁/共146頁三、三、n 階行列式的定義階行列式的定義1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項項2.2.每一項都是位于不同行不同列的每一項都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積個元素的乘積3.3.每一項可以寫成每一項可以寫成 （正負號除外），

25、其中（正負號除外），其中 是是1, 2, , n 的某個排列的某個排列. .4.4.當當 是是偶排列偶排列時，對應的項取時，對應的項取正號正號； 當當 是是奇排列奇排列時，對應的項取時，對應的項取負號負號. . 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnp ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 簡記作簡記作 ，其中其中 為行列式為行列式D的的( (i, j) )元元det()ijaija第47頁/共146頁思考題：思考題： 成立嗎？成立嗎？答：答：符號符號 可以有兩種理解：可以有兩種理解：若

26、理解成絕對值，則若理解成絕對值，則 ；若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . .11 1 11 11 注意：注意：當當n = 1時，一階行列式時，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與絕對值的記號相混淆絕對值的記號相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 第48頁/共146頁111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：寫出四階行列式中含有因子寫出四階行列式中含有因子 的項的項. . 2311aa例：例：計算行列式計算行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000

27、000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 第49頁/共146頁解：解：112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)a a a a 14233341a a a a (4321)0123 3 46.2 其中其中 第50頁/共146頁111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344

28、000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a 14233341a a a a 第51頁/共146頁12,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四個結論：四個結論：(1) (1) 對角行列式對角行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa 第52頁/共146頁nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側元素都為（主對角線下側元素都為0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側

29、元素都為（主對角線上側元素都為0 0）nnaaa2211 第53頁/共146頁111212122212nnnnnnaaaaaaaaa第54頁/共146頁3 3 行列式的性質行列式的性質第55頁/共146頁一、行列式的性質一、行列式的性質111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉置行列式轉置行列式. . TDD若記若記 ，則，則 .det(), det()TijijDaDb ijjiba 記記性質性質1 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa

30、 第56頁/共146頁121212()12( 1)nnnp ppTppnpp ppDbbb 證明證明根據(jù)行列式的定義，有根據(jù)行列式的定義，有若記若記 ，則，則det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijjibai jn 1121221()2( 1)nnnppp ppp ppp naaa D 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,行列式的性質行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立凡是對行成立的對列也同樣成立. .性質性質1 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等, ,即即 .TDD 第57頁/共146頁性質性質2 互換行列式的兩行（列）互換行

31、列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .驗證驗證于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 ，所以，所以 . DD 0D 備注：交換第備注：交換第 行（列）和第行（列）和第 行（列），記作行（列），記作 . .ji()ijijrr cc第58頁/共146頁驗證驗證性質性質3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)以同一個倍數(shù) ，等于用數(shù)

32、，等于用數(shù) 乘以此行列式乘以此行列式. .kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有根據(jù)三階行列式的對角線法則，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 備注：第備注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，記作，記作 . .ki()iirk ck第59頁/共146頁1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaa

33、a112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk 推論推論 備注：第備注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，記作，記作 . .ki()iirk ck第60頁/共146頁212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa驗證驗證我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 性質性質4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列式中如果有兩行（列

34、）元素成比例，則此行列式為零則此行列式為零第61頁/共146頁性質性質5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和之和, ,如如：121222221113212331332323aaDaaabababaa 則則111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa第62頁/共146頁121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppp p pppp p pabaa 123123131312312223()()131322( 1)(

35、 1)p p pp p pppppp p pppp p paaaaab111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa驗證驗證我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 第63頁/共146頁性質性質6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列數(shù)然后加到另一列( (行行) )對應的元素上去，行列式不變對應的元素上去，行列式不變則則1.DD 驗證驗證122211132123313323,aaDaaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 1112131

36、212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 備注：備注：以數(shù)以數(shù) 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，記作行（列）上，記作 . .ki().ijijrkr ckc j1112131113212223212331323331323331331aaaaaDaaaaaaaaakakakaa第64頁/共146頁行列式的計算 方法一：利用性質化成上（下）三角行列式。 方法二：利用性質化簡、降階。第65頁/共146頁上三角行列式: : 非零元素在主對角線及其上方。 nnnnaaaaaa22211211非零元素在主對角線及其下方。下三角行列式: : 上三角上三角 行

37、列式行列式nnnnaaaaaa21222111下三角下三角 行列式行列式OO第66頁/共146頁例例2101044614753124025973313211 D二、應用舉例二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值上三角形行列式，從而算得行列式的值ijrkr 3 第67頁/共146頁2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr第68頁/共146頁2101044614753140202010013211 210104461

38、4753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 第69頁/共146頁42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 第70頁/共146頁2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 第71頁/共146頁6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 第72頁/共146頁例例2 2計算 2810610

39、7511641253D思考思考: : 化為三角形行列式前怎樣變形可簡化過程解解: :28106107511641253D6810250714161325141cc 1第73頁/共146頁6810250711110325112rr 12040022201110325113rr 142rr 2第74頁/共146頁232rr 04000000111032510例例3 3計算 6740151821256039D第75頁/共146頁解解: :分析分析: :求行列式的值時,本著化繁為簡的原則,有公因式時先提公因式。D31r21cc 67041581215220313 3 )2(142cc 123cc 27

40、12415111211200013第76頁/共146頁242cc 23cc 225124216111001200013 ) 6/21(34)6/21(cc 2/951240611100120001381第77頁/共146頁例例4 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2第78頁/共146頁 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 1(1) ().nanb a b 第79頁/共146頁例例5 設設 111111

41、1111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明 第80頁/共146頁證明證明1111110;kkkkkpDpppp對對 作運算作運算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 1Dijrkr 1D設為設為對對 作運算作運算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp設為設為第81頁/共146頁對對 D 的前的前 k 行作運算行作運算 ，再對后，再對后 n 列作運算列作運算 ，把把 D 化為

42、下三角形行列式化為下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故第82頁/共146頁x4221;121211102001xxxDxxx x4( 1) (4321) a14a23a32a41=2x4第83頁/共146頁已知已知計計算算,111222333abcabcaabc111222333acbacbbacb112233123112233222333aaaaaaDbbbcbcbcb第84頁/共146頁112233123123222aaaaaabbbcccD 112233123123222aa

43、aaaabbbccc112233123123222333aaaaaabbbbbb第85頁/共146頁2ab123123123aaabbbccc123123123222aaabbbccc111222333abcabcabc1112223332acbacbacb第86頁/共146頁 ( (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位, , 凡是對行成立的性質對列也同樣成凡是對行成立的性質對列也同樣成立立).). 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)(1)利用定義利用定義; ; (2)(2)利用性質利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行

44、列式的值得行列式的值三、小結三、小結行列式的行列式的6 6個性質個性質第87頁/共146頁4 行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. .本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式階行列式. .第88頁/共146頁例如例如 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 稱為元素稱為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 1ijijijAM ija在在n 階行列式中，把

45、元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃后，列劃后，留下來的留下來的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作 . ijijMijaija結論結論 因為行標和列標可唯一標識行列式的元素，所以因為行標和列標可唯一標識行列式的元素，所以行列行列式中每一個元素都分別對應著一個余子式和一個代數(shù)余子式式中每一個元素都分別對應著一個余子式和一個代數(shù)余子式. .第89頁/共146頁例如9248734167023915 94874131523 M 2332231MA .23M 注：注：以及其所在行、列的所有元素均無關。元素 的余子式及代數(shù)余子式與元素 本身ijaij

46、a第90頁/共146頁11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa 引理引理 一個一個n 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘與它的代數(shù)余子式的乘積，即積，即 ijijDa A iijaija第91頁/共146頁21222121100nnnnnaaaaaaaD 即有即有1

47、111.Da M 又又 1 11111111,AMM 從而從而1111.Da A 下面再討論一般情形下面再討論一般情形.分析分析 當當 位于第位于第1 1行第行第1 1列時列時, ,ija第92頁/共146頁 再證一般情形，設 1111100jnnnjnnijaaaaDaaa 用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把 aij 調到左上角，得行列式第93頁/共146頁11111111111 11111111 1111111110000j,j,jni,ji,i,ji,ji,ni,ji,i,ji,ji,nnjnn,jn,jnnijDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 利用前面的結果，得ijij1MaD

48、于是1ji11j1iDDD11)()()()( 所以引理成立.ijjiijMa1)( ijijAa 第94頁/共146頁11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa12111213142122232441424334442000( 1)rraaaaaaaaaaaaa1112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行

49、變換？代替上述兩次行變換？13rr第95頁/共146頁231234234414243444142434411121212223314111213142421222324000( 1)000rrrraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？133434411112142314111434441421222324212223221323414444000( 1)000rraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa答：答：不能不能. .13rr第96頁/共146頁二、行列式按行（列）展開法則二、行列式按行（列）

50、展開法則定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 或11221 2jjjjnjnjDa Aa Aa Aj, ,n 證 因為nn2n1nin2i1in11211aaaa000a000aaaaD 第97頁/共146頁椐引理，就得到nn2n1ninn11211nn2n1n2in11211nn2n1n1in11211aaaa00aaaaaa0a0aaaaaa00aaaa .n,2 ,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 類似地可得.n,

51、2 ,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 第98頁/共146頁861504312例：將按第一行展開 1 11 21 3054540681213811116 124405168 1 11 21 3054540111681816124 ? 第99頁/共146頁例例3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 第100頁/共146頁 證明證明 用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法21211Dxx 21()ijijxx 例例 證明范德蒙德證明范德蒙德

52、( (Vandermonde) )行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (1)所以所以n=2時時(1)式成立式成立.21xx第101頁/共146頁2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 假設假設(1)對于對于n1階范德蒙行列式成立，從第階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行行開始，后行減去前行的減去前行的 倍：倍：1x按照第按照第1列展開，并提出每列的公因子列展開，并提出每列的公因子 ，就有，就有1()ixx 第102頁

53、/共146頁213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式第103頁/共146頁推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我們以我們以3階行列式為例階行列式為

54、例. . 111213111112121313212223313233aaaa Aa Aa Aaaaaaa把第把第1行的元素換成第行的元素換成第2行的對應元素，則行的對應元素，則 0. 第104頁/共146頁定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即應的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiinina Aa Aa AD in 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.iji

55、jinjna Aa Aa Aij 1122,0,niinijjjDija Aa Aa Aij 1122,0,ijijinjnDija Aa Aa Aij 綜上所述，有綜上所述，有同理可得同理可得第105頁/共146頁例例 設設 , , 的的 元的余子式和元的余子式和代數(shù)余子式依次記作代數(shù)余子式依次記作 和和 ，求，求分析分析 利用利用3521110513132413D D( , )i jijMijA11121314AAAA及及11213141.MMMM111213142122232411111212131314143132333441424344aaaaaaaaa Aa Aa Aa Aaaaa

56、aaaa第106頁/共146頁125202100 解解111213141111105134311321AAAA 43rr 31rr 1111110522021100 115222110 21cc 2502 4. 第107頁/共146頁1521110513131413 105105113 43rr 1521110513130100 121105113 132rr 0. 1121344111213141MMMMAAAA第108頁/共146頁拉普拉斯展開定理拉普拉斯展開定理1、行列式D的k階子式M： 任選D中k行k列，位于其交叉點元素按原來順序排列成的一個k階行列式叫做D的一個k階子式,記為Mnnn

57、nnnaaaaaaaaaD212222111211設第109頁/共146頁3、M的代數(shù)余子式A：在 N 之前冠以一個符號，符號由下式?jīng)Q定)()(21121) 1(kkjjjiii其中),(21,21kkjjjiii表示 M 在D中的行標和列標。2、M的余子式N： 劃去k k行、k k列后，余下的元素按原來順序排成的一個n-k階行列式, ,記為N第110頁/共146頁如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD33312321aaaaMD的一個二階子式：44421412aaaaNM的余子式為：NAM)31()32() 1(的代數(shù)余子式為：

58、第111頁/共146頁定理定理4.2（拉普拉斯定理）（拉普拉斯定理） 在n階行列式D中，任意取定k行(列)后，由這k行(列)元素所組成的一切k階子式與它的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D的值。第112頁/共146頁 例例 計算 1111021220121101010120102D 解：解： 按1，2行展開，不為零的二階子式為 1121111221MM第113頁/共146頁1111021220121101010120102D011121212111NM 的余子式0) 1(1311111NAM 的代數(shù)余子式011012021022NM 的余子式0) 1(2531122NAM 的代數(shù)余子式由拉普拉斯

59、定理0221. 1AMAMD第114頁/共146頁1.利用利用n階行列式的定義計算階行列式的定義計算;n第115頁/共146頁112211nnnnnababDabba n （）1121 21( 1)nnnnnDa aab bbb 1121 21( 1)nnnna aabbb b 第116頁/共146頁0121122000000nnnabbbcacaDca 012112122100010()001nnnnabbbcacDa aaaca )0,(21naaa其中解：例 計算行列式箭形行列式從第二行開始，每一行提出對角線上的元素。第117頁/共146頁012112122100010()001nnnn

60、abbbcacDa aaaca 01111222000100()010001niiiinnnb caacaa aacaca 1201()()niiniib ca aaaa 第一行減去biri i=2,3,n第118頁/共146頁練習練習1 1nD001030100211111 箭形行列式ncnccc13121321 nini00003000020111112 )11( !2 niin第119頁/共146頁baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21練習練習2 2 （可化（可化為