高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.2 簡單的三角恒等變換學(xué)案 新人教A版必修4

1、3.2簡單的三角恒等變換學(xué)習(xí)目標：1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進行簡單的應(yīng)用(重點)2.了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應(yīng)用(難點、易錯點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知半角公式(1)sin± ，(2)cos± ，(3)tan± ，(4)tan，tan.基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)cos .()(2)存在r，使得cos cos .()(3)對于任意r，sin sin 都不成立()(4)若是第一象限角，則tan .

2、()解析(1)×.只有當2k2k(kz)，即4k4k(kz)時，cos .(2).當cos 1時，上式成立，但一般情況下不成立(3)×.當2k(kz)時，上式成立，但一般情況下不成立(4).若是第一象限角，則是第一、三象限角，此時tan 成立答案(1)×(2)(3)×(4)2已知180°360°，則cos的值等于()abc dc180°360°，90°180°，又cos2，cos .3已知24，且sin ，cos 0，則tan的值等于_3由sin ，cos 0得cos ，tan3.合 作 探 究

3、·攻 重 難化簡求值問題(1)設(shè)56，cosa，則sin等于()abcd(2)已知<<，化簡：. 【導(dǎo)學(xué)號：84352339】思路探究(1)先確定的范圍，再由sin2得算式求值(2)1cos 2cos2，1cos 2sin2，去根號，確定的范圍，化簡(1)d(1)56，.又cosa，sin.(2)原式.，cos0，sin0，原式cos.規(guī)律方法1.化簡問題中的“三變”(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切(3)變式：觀察式子的

4、結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當?shù)淖冃瓮緩剑缟齼?、降冪、配方、開方等2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系(2)明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號作準備(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tan，涉及半角公式的正、余弦值時，常利用sin2，cos2計算(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值提醒：已知cos 的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號跟蹤訓(xùn)練1已知cos ，且180°<<270°，求tan .解法一：180°<<270°，90°<<135°，即是第二象限角，tan &

5、lt;0，tan 2.法二：180°<<270°，即是第三象限角，sin ，tan 2.三角恒等式的證明求證：sin 2.思路探究法一：切化弦用二倍角公式由左到右證明；法二：cos2不變，直接用二倍角正切公式變形證明法一：用正弦、余弦公式左邊sincoscos sin cos sin 2右邊，原式成立法二：用正切公式左邊cos2·cos2·tan cos sin sin 2右邊，原式成立規(guī)律方法三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡；(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差

6、異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同；(4)比較法：設(shè)法證明“左邊右邊0”或“左邊/右邊1”；(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立.跟蹤訓(xùn)練2求證：. 【導(dǎo)學(xué)號：84352340】證明左邊右邊所以原等式成立.三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合已知函數(shù)f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期(2)求證：當x時，f(x). 【導(dǎo)學(xué)號：84352341】思路探究解(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所

7、以t.(2)證明：令t2x，因為x，所以2x，因為ysin t在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)sin，得證規(guī)律方法三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問題的解題策略：運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成yasin xbcos xk的形式，借助輔助角公式化為yasin(x)k(或yacos(x)k)的形式，將x看作一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)sin2sin2(xr)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，t.(2)當f(x)取得最大值時，sin1，有

8、2x2k，即xk(kz)，所求x的集合為.三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用探究問題1用三角函數(shù)解決實際問題時，通常選什么作為自變量？求定義域時應(yīng)注意什么？提示：通常選角作為自變量，求定義域時要注意實際意義和正弦、余弦函數(shù)有界性的影響2建立三角函數(shù)模型后，通常要將函數(shù)解析式化為何種形式？提示：化成yasin(x)b的形式如圖3­2­1所示，要把半徑為r的半圓形木料截成長方形，應(yīng)怎樣截取，才能使oab的周長最大？ 【導(dǎo)學(xué)號：84352342】圖3­2­1思路探究解設(shè)aob，oab的周長為l，則abrsin ，obrcos ，loaabobrrsin rcos r(

9、sin cos )rrsinr.0<<，<<，l的最大值為rr(1)r，此時，即，即當時，oab的周長最大母題探究：1.在例4條件下，求長方形面積的最大值解如圖所示，設(shè)aob，則abrsin ，oarcos .設(shè)矩形abcd的面積為s，則s2oa·ab，s2rcos ·rsin r2·2sin cos r2sin 2.，2(0，)因此，當2，即時，smaxr2.這時點a，d到點o的距離為r，矩形abcd的面積最大值為r2.2若例4中的木料改為圓心角為的扇形，并將此木料截成矩形，(如圖3­2­2所示)，試求此矩形面積的最大

10、值圖3­2­2解如圖，作poq的平分線分別交ef，gh于點m，n，連接oe，設(shè)moe，在rtmoe中，mersin ，omrcos ，在rtonh中，tan，得onnhrsin ，則mnomonr(cos sin )，設(shè)矩形efgh的面積為s，則s2me·mn2r2sin (cos sin )r2(sin 2cos 2)2r2sinr2，由，則2，所以當2，即時，smax(2)r2.規(guī)律方法應(yīng)用三角函數(shù)解實際問題的方法及注意事項(1)方法：解答此類問題，關(guān)鍵是合理引入輔助角，確定各量之間的關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識求解.(2)注意

11、：在求解過程中，要注意三點：充分借助平面幾何性質(zhì)，尋找數(shù)量關(guān)系.注意實際問題中變量的范圍.重視三角函數(shù)有界性的影響.提醒：在利用三角變換解決實際問題時，常因忽視角的范圍而致誤. 當 堂 達 標·固 雙 基1已知cos ，則sin 等于() 【導(dǎo)學(xué)號：84352343】abc da由題知，sin >0，sin .2(2018·全國卷)若f(x)cos xsin x在0，a是減函數(shù)，則a的最大值是()a bc dcf(x)cos xsin xcosx.當x0，a時，x，a，所以結(jié)合題意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故選c.3函數(shù)f(x)sin2x的最小正周期為_因為

12、f(x)sin2x，所以f(x)的最小正周期t.4設(shè)asin 2°cos 2°，b12sin213°，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_. cabacos 60°sin 2°sin 60°cos 2°sin 62°，b12sin213°cos 26°sin 64°，csin 60°，又ysin x在上為增函數(shù)，cab.5北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形(如圖3­2­3所示)如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，求cos 2.圖3­2­3解由題意，5cos 5sin 1，所以cos sin .由(cos sin )2(cos sin )22，所以cos sin ，所以cos 2cos2sin2(cos sin )(cos s