高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換學(xué)案 新人教A版必修4

1、3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會(huì)其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用(重點(diǎn))2.了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知半角公式(1)sin± ，(2)cos± ，(3)tan± ，(4)tan，tan.基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)cos .()(2)存在r，使得cos cos .()(3)對(duì)于任意r，sin sin 都不成立()(4)若是第一象限角，則tan .

2、()解析(1)×.只有當(dāng)2k2k(kz)，即4k4k(kz)時(shí)，cos .(2).當(dāng)cos 1時(shí)，上式成立，但一般情況下不成立(3)×.當(dāng)2k(kz)時(shí)，上式成立，但一般情況下不成立(4).若是第一象限角，則是第一、三象限角，此時(shí)tan 成立答案(1)×(2)(3)×(4)2已知180°360°，則cos的值等于()abc dc180°360°，90°180°，又cos2，cos .3已知24，且sin ，cos 0，則tan的值等于_3由sin ，cos 0得cos ，tan3.合 作 探 究

3、·攻 重 難化簡(jiǎn)求值問題(1)設(shè)56，cosa，則sin等于()abcd(2)已知<<，化簡(jiǎn)：. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352339】思路探究(1)先確定的范圍，再由sin2得算式求值(2)1cos 2cos2，1cos 2sin2，去根號(hào)，確定的范圍，化簡(jiǎn)(1)d(1)56，.又cosa，sin.(2)原式.，cos0，sin0，原式cos.規(guī)律方法1.化簡(jiǎn)問題中的“三變”(1)變角：三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切(3)變式：觀察式子的

4、結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?，如升冪、降冪、配方、開方等2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系(2)明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號(hào)作準(zhǔn)備(3)選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan，涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常利用sin2，cos2計(jì)算(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值提醒：已知cos 的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號(hào)跟蹤訓(xùn)練1已知cos ，且180°<<270°，求tan .解法一：180°<<270°，90°<<135°，即是第二象限角，tan &

5、lt;0，tan 2.法二：180°<<270°，即是第三象限角，sin ，tan 2.三角恒等式的證明求證：sin 2.思路探究法一：切化弦用二倍角公式由左到右證明；法二：cos2不變，直接用二倍角正切公式變形證明法一：用正弦、余弦公式左邊sincoscos sin cos sin 2右邊，原式成立法二：用正切公式左邊cos2·cos2·tan cos sin sin 2右邊，原式成立規(guī)律方法三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡(jiǎn)；(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)拼湊法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差

6、異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之間的差異，簡(jiǎn)言之，即化異求同；(4)比較法：設(shè)法證明“左邊右邊0”或“左邊/右邊1”；(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立.跟蹤訓(xùn)練2求證：. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352340】證明左邊右邊所以原等式成立.三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合已知函數(shù)f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期(2)求證：當(dāng)x時(shí)，f(x). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352341】思路探究解(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所

7、以t.(2)證明：令t2x，因?yàn)閤，所以2x，因?yàn)閥sin t在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)sin，得證規(guī)律方法三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問題的解題策略：運(yùn)用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成yasin xbcos xk的形式，借助輔助角公式化為yasin(x)k(或yacos(x)k)的形式，將x看作一個(gè)整體研究函數(shù)的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)sin2sin2(xr)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，t.(2)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，sin1，有

8、2x2k，即xk(kz)，所求x的集合為.三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用探究問題1用三角函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，通常選什么作為自變量？求定義域時(shí)應(yīng)注意什么？提示：通常選角作為自變量，求定義域時(shí)要注意實(shí)際意義和正弦、余弦函數(shù)有界性的影響2建立三角函數(shù)模型后，通常要將函數(shù)解析式化為何種形式？提示：化成yasin(x)b的形式如圖3­2­1所示，要把半徑為r的半圓形木料截成長(zhǎng)方形，應(yīng)怎樣截取，才能使oab的周長(zhǎng)最大？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352342】圖3­2­1思路探究解設(shè)aob，oab的周長(zhǎng)為l，則abrsin ，obrcos ，loaabobrrsin rcos r(

9、sin cos )rrsinr.0<<，<<，l的最大值為rr(1)r，此時(shí)，即，即當(dāng)時(shí)，oab的周長(zhǎng)最大母題探究：1.在例4條件下，求長(zhǎng)方形面積的最大值解如圖所示，設(shè)aob，則abrsin ，oarcos .設(shè)矩形abcd的面積為s，則s2oa·ab，s2rcos ·rsin r2·2sin cos r2sin 2.，2(0，)因此，當(dāng)2，即時(shí)，smaxr2.這時(shí)點(diǎn)a，d到點(diǎn)o的距離為r，矩形abcd的面積最大值為r2.2若例4中的木料改為圓心角為的扇形，并將此木料截成矩形，(如圖3­2­2所示)，試求此矩形面積的最大

10、值圖3­2­2解如圖，作poq的平分線分別交ef，gh于點(diǎn)m，n，連接oe，設(shè)moe，在rtmoe中，mersin ，omrcos ，在rtonh中，tan，得onnhrsin ，則mnomonr(cos sin )，設(shè)矩形efgh的面積為s，則s2me·mn2r2sin (cos sin )r2(sin 2cos 2)2r2sinr2，由，則2，所以當(dāng)2，即時(shí)，smax(2)r2.規(guī)律方法應(yīng)用三角函數(shù)解實(shí)際問題的方法及注意事項(xiàng)(1)方法：解答此類問題，關(guān)鍵是合理引入輔助角，確定各量之間的關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解.(2)注意

11、：在求解過程中，要注意三點(diǎn)：充分借助平面幾何性質(zhì)，尋找數(shù)量關(guān)系.注意實(shí)際問題中變量的范圍.重視三角函數(shù)有界性的影響.提醒：在利用三角變換解決實(shí)際問題時(shí)，常因忽視角的范圍而致誤. 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1已知cos ，則sin 等于() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352343】abc da由題知，sin >0，sin .2(2018·全國(guó)卷)若f(x)cos xsin x在0，a是減函數(shù)，則a的最大值是()a bc dcf(x)cos xsin xcosx.當(dāng)x0，a時(shí)，x，a，所以結(jié)合題意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故選c.3函數(shù)f(x)sin2x的最小正周期為_因?yàn)?/p>

12、f(x)sin2x，所以f(x)的最小正周期t.4設(shè)asin 2°cos 2°，b12sin213°，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_. cabacos 60°sin 2°sin 60°cos 2°sin 62°，b12sin213°cos 26°sin 64°，csin 60°，又ysin x在上為增函數(shù)，cab.5北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形(如圖3­2­3所示)如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，求cos 2.圖3­2­3解由題意，5cos 5sin 1，所以cos sin .由(cos sin )2(cos sin )22，所以cos sin ，所以cos 2cos2sin2(cos sin )(cos s