高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.1 不等關(guān)系與不等式學(xué)案 新人教A版必修5

1、3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解不等式的性質(zhì)(重點(diǎn)).2.能用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1不等符號與不等關(guān)系的表示：(1)不等符號有，；(2)不等關(guān)系用不等式來表示2不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于思考：不等式ab和ab有怎樣的含義？提示不等式ab應(yīng)讀作：“a大于或等于b”，其含義是a>b或ab，等價于“a不小于b”，即若a>b或ab中有一個正確，則ab正確不等式ab應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是a<b或ab，等價于“a不大于b”，即若a<b或ab中有一

2、個正確，則ab正確3比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)思考：x21與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關(guān)系并不顯而易見你能想個辦法，比較x21與2x的大小，而且具有說服力嗎？提示作差：x212x(x1)20，所以x212x.4不等式的性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)1(對稱性)a>bb<a性質(zhì)2(傳遞性)a>b，b>ca>c性質(zhì)3(可加性)a>bac>bc推論ab>ca>cb性質(zhì)4(可乘性)a>b，c>0ac>bca>b，c<0ac<bc性質(zhì)5(不等式同向可加性)a>b，c>dac>bd性質(zhì)6(不等式同向正

3、數(shù)可乘性)a>b>0，c>d>0ac>bd性質(zhì)7(乘方性)a>b>0an>bn(nn，n1)性質(zhì)8(開方性)a>b>0>(nn，n2)思考：關(guān)于不等式的性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有哪些？(1)a>b且c>d則ac>bd.(2)a>b則ac>bc.(3)a>b>0且c>d>0則>.(4)a>b>0則an>bn.(5)a>b則>.提示對于不等式的性質(zhì)，有可加性但沒有作差與作商的性質(zhì)，(1)中例如5>3且4>1時，則54>31是錯的

4、，故(1)錯(2)中當(dāng)c0時，不成立(3)中例如5>3且4>1，則>是錯的，故(3)錯(4)中對n0均不成立，例如a3，b2，n1，則31>21顯然錯，故(4)錯(5)因?yàn)?gt;0，所以a·>b·，故(5)正確因此正確的結(jié)論有(5)基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)不等式x2的含義是指x不小于2.()(2)若a<b或ab之中有一個正確，則ab正確()(3)若a>b，則ac>bc一定成立()(4)若ac>bd，則a>b，c>d.()答案(1)(2)(3)×(4)×提示：(1)正確不等式x2表示x&g

5、t;2或x2，即x不小于2.(2)正確不等式ab表示a<b或ab.故若a<b或ab中有一個正確，則ab一定正確(3)錯誤由不等式的可乘性知，當(dāng)不等式兩端同乘以一個正數(shù)時，不等號方向不變，因此若a>b，則ac>bc不一定成立(4)錯誤取a4，c5，b6，d2.滿足ac>bd，但不滿足a>b.2大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車貨總重量t不超過40噸，用不等式表示為()at<40bt>40ct40 dt40c限重就是不超過，可以直接建立不等式t40.3已知a>b，c>d，且cd0，則()【導(dǎo)學(xué)號：9143

6、2263】aad>bc bac>bccac>bd dac>bdda，b，c，d的符號未確定，排除a、b兩項；同向不等式相減，結(jié)果未必是同向不等式，排除c項，故選d項4設(shè)m2a22a1，n(a1)2，則m，n的大小關(guān)系是_mnmn2a22a1(a1)2a20.合 作 探 究·攻 重 難用不等式表示不等關(guān)系用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于110 m2，靠墻的一邊長為x m試用不等式表示其中的不等關(guān)系.【導(dǎo)學(xué)號：91432264】解由于矩形菜園靠墻的一邊長為x m，而墻長為18 m，所以0<x18，這時菜園

7、的另一條邊長為(m)因此菜園面積sx·，依題意有s110，即x110，故該題中的不等關(guān)系可用不等式表示為規(guī)律方法1此類問題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系2當(dāng)問題中同時滿足幾個不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問題有幾個變量，選用幾個字母分別表示這些變量即可3用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語：至多、至少、不多于、不少于等(2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量(3)用不等號表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式跟蹤訓(xùn)練1某礦山車隊有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少

8、要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式解設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則即比較兩數(shù)(式)的大小已知a，b為正實(shí)數(shù)，試比較與的大小.【導(dǎo)學(xué)號：91432265】思路探究：注意結(jié)構(gòu)特征，嘗試用作差法或者作商法比較大小解法一：(作差法)().a，b為正實(shí)數(shù)，>0，>0，()20，0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)法二：(作商法)11，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號>0，>0，(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)法三：(平方后作差)22，()2ab2，2()2.a>0，b>0，0，又&

9、gt;0，>0，故(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)規(guī)律方法1作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法：(1)作差法比較的步驟：作差變形定號結(jié)論(2)變形的方法：因式分解；配方；通分；對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；分母或分子有理化；分類討論2如果兩實(shí)數(shù)同號，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1.跟蹤訓(xùn)練2已知x<1，比較x31與2x22x的大小解(x31)(2x22x)(x1)(x2x1)2x(x1)(x1)(x2x1)(x1).因?yàn)閤<1，所以x1<0.又2>0，所以(x1)<0.所以x31<2x22x.不等式性質(zhì)的應(yīng)用探究問題1小明同學(xué)做題

10、時進(jìn)行如下變形：2<b<3，<<，又6<a<8，2<<4.你認(rèn)為正確嗎？為什么？提示：不正確因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變，在本題中只知道6<a<8.不明確a值的正負(fù)故不能將<<與6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘2由6<a<8，4<b<2，兩邊分別相減得2<ab<6，你認(rèn)為正確嗎？提示：不正確因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有耘c可乘性但不能相減或相除，解題時要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價變形，而

11、不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì)3你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？2<ab<4，4<ba<2.又2<ab<2，0<a<3，3<b<0，3<ab<3.這怎么與2<ab<2矛盾了呢？提示：利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形本題中將2<ab<4與2<ab<2兩邊相加得0<a<3，又將4<ba<2與2<ab<4兩邊相加得出3<b<2，又將該式與0<a<3兩邊相加得出3<ab&

12、lt;3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了ab范圍的擴(kuò)大已知c>a>b>0，求證：>.【導(dǎo)學(xué)號：91432266】思路探究：如何證明<？由<怎樣得到<？解c>a>b>0，ca>0，cb>0.由<，>.母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤癮>b>0，c<0”證明：>.證明因?yàn)閍>b>0，所以ab>0，>0.于是a×>b×，即>.由c<0，得>.2(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件

13、“c>a>b>0”變?yōu)椤耙阎?<a<8,2<b<3”如何求出2ab，ab及的取值范圍解因?yàn)?<a<8,2<b<3，所以12<2a<16，所以10<2ab<19.又因?yàn)?<b<2，所以9<ab<6.又<<，(1)當(dāng)0a<8時，0<4；(2)當(dāng)6<a<0時，3<<0.由(1)(2)得3<<4.規(guī)律方法1利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上， 記準(zhǔn)、記

14、熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則2利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題(1)恰當(dāng)設(shè)計解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì)(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等(3)準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1某校對高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95

15、分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式組表示為_“不低于”即“”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以2若<<0，則下列不等式：ab<ab；|a|>|b|；a<b中，正確的不等式有_個.【導(dǎo)學(xué)號：91432267】1由<<0，得a<0，b<0，故ab<0且ab>0，所以ab<ab，即正確；由<<0，得>，兩邊同乘|ab|，得|b|>|a|，故錯誤；由知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，故錯誤3已知a，b均為實(shí)數(shù)，則(a3)(a5)_(a2)(a4)(填“>”“<”或“”)<因?yàn)?a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)7<0，所以(a3)(a5)<(a2)(a4)4若8<x<10,2<y<4，則的取值范圍是_(2,5)2<y<4，<<.8<x<10，2<<5.5若bcad0，bd>0.求