【步步高高考數(shù)學總復習】§__1.3__簡單的邏輯聯(lián).

1、 13簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞 要點梳理 1.命題中的“或”、“且”、“非”叫做邏輯聯(lián)結詞. 2 用來判斷復合命題的真假的真值表： P q Ml （pv q） 氏 真 假 假 真 A- 假 假 假 假 真 假 假 真 直 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 真 真 真 3 全稱量詞與存在量詞 (1) 常見的全稱量詞有： “任意一個”、 “一切”、 “每一個”、 “任 給”、“所有的等. (2) 常見的存在量詞有： “存在一個”、 “至少有一個”、 “有些”、 “有一個”、“某個”、“有的等. (3) 全稱量詞用符號“ V表示；存在量詞

2、用符號“日”表示. 4 仝稱命題與存在性命題 (1) 含右全稱量詞的命題叫全稱命題. (2) 含右存丫E磺詞的命題口H特稱命題. 5 命題的否定 (1) 全稱命題的否定是特稱命題;特稱命題的否定是全稱命題. (2) ”或q的否定為：非且非q； 自主學習 P且q的否定為：非或非q 基礎自測 1 已知命題 P： V nER.sinl ,貝I (C ) A. p： 3 aC R sinal B. p： V QW R,sinrrMl C. r p：弓 RsinQl I).p： V :reR,sinHl 解析 命題p是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題. 2.已知命題 加33;中34,則下列選項正確的是

3、 (I) A. p/ q為假,pf q為假，-*為真 B. V q為真,pKq為假，“為真 C. V q為假 A 9為假，P 為假 DpV q為真9 pK q為假，P為假 解析 .命題p：33是真命題，g：34是假命題， p! q為真， A q為假,p為假.3. （2008 廣東理，6）已知命題 Q：所有有理數(shù)都是實數(shù)；命題 q：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)則下列命題中為真命題的是（I） A. （Q） V q B.少/ q C. （ 衛(wèi)）/ （ q） D. （ V （ q） 解析 不難判斷命題為真命題，命題q為假命題，從而上 述敘述中只有（/） V（-q）為真命題. 4. 下列命題中是全稱命題的是 A.

4、圓有內接四邊形 B. 挖 C. 氐匝 D. 若三角形的三邊長分別為3,4,5,則這個三角形為直角三 角形 解析由全稱命題的定狡可知：“圓有內接四邊形， 即為“所有圓都有內接四邊形，是全稱命題.5. 命題：“至少有一個點在函數(shù)y=kx 的圖象上”的否 定是 （D ） A.至少有一個點在函數(shù)y=kx （ kO）的圖象上 B至少有一個點不在函數(shù)y=k （上工0）的圖象上 C所有點都在函數(shù)的圖象上 D. 所有點都不在函數(shù)y=k（kO）的圖象上 解析 因特稱命題P： 3 PT）的否足為全稱命題 rr G M,、（工）. 典例剖析 題型一 復合命題的構造及 其真假性的判斷 .例分別指出由下列命題構成的“p

5、V q”、“pA q”、“ - Pn 形式的命題的真假. （1） 少：3是9的約數(shù)，中3是18的約數(shù)； （2） 加菱形的對角線相等，中菱形的對角線互相垂直； （3） p：方程T2 4-父一 1 = 0的兩實根符號相同， q：方程衛(wèi)+工一1=0的兩實根絕對值相等. （4） fi：K是有理數(shù)，q：尺是無理數(shù). 【，電維啟迪】 由含邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的命題的形 式及其真值表直接判斷.解 （1） p是真命題9 q是真命題， V q是真命題，pN q是真命題，是假命題. （2） V p是假命題，q是真命題， /. pv q是真命題，p l q是假命題，/是真命題. （3） 是假命題，q是假命題

6、， pV q是假命題 是假命題，Q 是真命題. （1）力是假命題，q是真命題， *. p V q是真命題9 Q八q是假命題，P是真命題. 探究拓展 判斷含有邏輯聯(lián)結詞“或”“且“非”的命題的真 假：必須弄清構成它的命題的真假；弄清結構形式；根 據(jù)真值表判斷其真假. 題型二以復合命題的真假 . 為背景，求解參對 112 （12分）已知兩個命題 廣（h） ： sinH+ COSm, s（兀）：of +加攵+ l0.如果對V夂 R, r（工）與、（父）有且僅有一個是 真命題求實數(shù)川的取值范圍. 【思維啟迪】 由已知先求出對v R時，廠（工），$（工）都是 真命題時夜的范圍， 再由要求分情況討論出所求

7、川的范圍. 解 T si門工COSH=挖8山（工 ）N 匹, 當K父）是真命題時，?7i C 匹. 2分 又/對V QW R s（ x）為真命題，即殳 ）nx + 1（）恒成立， 有= in 4V0, /. 2 mC2. 1 分 當？（夂）為真，s（工:）為假時,?nZ J2 , 同時 7用二一2 或 mZ- 2 9 即 I71C：- 2 ； 6 分 當r（工）為假，工）為真時，初二一挖且一2V”2, 即一庖5 mC2. 8分 綜上，實數(shù)択的取值范圍是mW 2或 邁 Wm、q是全稱命題，？、，是特稱 命題. 全稱命題p： V hW Mt pa）,它的否定p： d工 M,力（h）. 特稱命題q：

8、 3 hW A4 （/（ r），它的否定 r q： V工W M,q（）.解 工+ VO ,這是假命題, 因為V nW R,疋一工+冷-=(工 - )三()恒成立. (2) - q：至少存在一個正方形不是矩形，是假命題. (3) r： V hW R ar +2工+ 2O,是真命題，這是由于V工 R, /亠2兀+2 =(工一I) +1仝1()成立. (4) *、： V工6 R, r + I/O,是假命題，這是由于工= 1時， 玄+ 1=0. 探究拓展 (1)全(特)稱命題的否定與命題的否定有著一定 的區(qū)別，仝(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞 (或存在量詞改為仝稱量詞，并把結論否定；而命

9、題的否定 則是直接否定結論即可. (2) 要判斷”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷/ 的真假，因為與少的真假相對. 方法與技巧 1常見的全稱量詞有：“所有的 J任意一個”、“一切化“每 -個”、“任給”；常見的存在量詞有嚴存在一個”、“至少有 個”、“有些”、“有一個”、“某個”、“有的”等. 2.同一個全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能 有不同的表述方法，在實際應用中可以靈活地選擇. 命題 全稱命題V尤W A, Q（ x） 特稱命題3 :rW 對所有的工A,少（工） 存在A,使p（ J） 成立 成立 對一切戈C A, Q （工）成 至少有一個rrC A, 立 使”（工）成立 表

10、述 對每一個工C A, p （工） 對有些工e A，使 方法 成立 爐（工）成立 任選一個HC A,使 對某個H C A,使 Qj）成立 pC久）成立 凡工C A,都有少（工）成 有一個X A，使 衛(wèi)（久）成立 失誤與防范 1一些常用正面敘述的詞語及它的否定詞語列表如下: 正面詞語 等于（=） 大于（） 小于（V） 是 都是 解 工+ VO ,這是假命題, 否定詞語 不等于（工） 不大于（） 不小于（） 不是 不都是 正面詞語 至多有 一個 至少有 一個 任意的 所有的 一定 否定詞語 至少有 兩個 一個也 沒有 某個 某些 一定不 另外：或q的否定為：非且非q且q的否定為：非P 或非q 2.

11、 全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱 命題. - 知能遷移 一 - 1. 分別指出由下列命題構成的JV (、“pA “”形式的命題 的真假. (1) /：4G 2,3,q：2E 2,3 ； (2) /： 1是奇數(shù)，q：l是質數(shù)； (3) p ： 0 G 0 9 q： 工I / 3 x 5 VO U R ； (4) /：5W5,q：27 不是質數(shù)； (5) /：不等式 3? +2T. 8V0 的解集是 4V:tV2, q：不等式/ + 2 x 8 V0的M集是rd nV 4或2 解 (1 ) I 0是假命題，q是真命題， /. pv q為真、p ! q為假，P為真. (2) VI是奇

12、數(shù)，是真命題9 又T不是質數(shù)，q是假命題， 因此衛(wèi)V q為真,p ! q為假，-1少為假. (3) OG0,p為假命題， 知空一3工一50=工|上護*：吐浮匚1 C5為真命題，q：27不是質數(shù)為真命題， / p V(I為真命題，p /(J為真命題9“為假命題. (5) / r -2 X 8 V0 9 (x+4 )(2) VO9 即 1 Vx為真，q為假. / V q為真 p A rj為假9 p為假. 2. 已知a0,設命題 觸函數(shù)$=/在R上單調遞減，中不等式 rt+|x-2u|l的解集為R若衛(wèi)和q中有且只有一個命題 為真命題，求u的取值范圍. 解 由函數(shù)y/在R上單調遞減知OVaVl,所以命

13、題p 為真命題的的取值范圍是O 1的解集 2 a ( 2 a). 為R,只要min 1即可，而函數(shù)，在R上的最小值為2s,所 以 2al ,即 即 q 真Uu - 所以命題力和q有且只有一個命題正確的a的取值范圍是 或 1. 3寫出下列命題的否定并判斷真假. 又 T 工 3 工 5 V 0 / rr 0 ； (3) r：存在一個三角形，它的內角和大于180 ； (4) z：某些梯形的對角線互相平分. 解 (1)衛(wèi)：存在一個末位數(shù)字是0的整數(shù)不能被整除, 假命題. (2) q： 3 xO , JT 0 9 真命題 (3) -門所有三角形的內角和都小于等于18() ,真命題. (1)-九每一個梯形

14、的對角線都不互相平分，真命題. 活頁作業(yè)一 一、選擇題 1今有命題、q，若命題加為且q ”，則=卜或q”是加 的 (C ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 “P且g”的否定是“或q”，反之也成立. 2.已知命題”：0UO,q：lGl,2,由它們組成的“p或 q”p且q”和P”形式的復合命題中，真命題的個數(shù)為 (C ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析 因為命題是真命題，命題q是假命題，所以命題“ 或q”是真命題，命題“卩且q”和“少”報是假命題. 3. “力Vq為真命題”是up/ q為真命題的 (B ) A.充分不必要條件

15、B必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 若e V q為真命題9則“9 q至少有一個為真， 但p / q不一定為真9 若p / q為真命題，則q 都為真命題, I “ V q 定為真， /. P V q為真”是“力八q為真的必要不充分條件. 4. （2009安徽懷遠三中月考） 命題“對任意的a-6R,x3- + 1M0”的否定是 （C ） A. 不存在 xE R, T3 jr +1 0 B. 存在hW R, h 分十1W0 （：.存在 nW R, :r?十 I 0 D.對任意的 nW R , h x2 + 1 0 5 .若命題 /： HC A n R,則是 （B） A

16、.工W A且工 13 B.工& A或工$ 13 C. ng A 且 it g U D. xC AU U 解析 “HC An HUW A且IT, pt HG A 或 rr G R 6若是兩個簡單命題，且“V /的否定是真命題，則必有 A.力真真 （：.力真q假 （B ） B.步假q假 D.力假q真 解析“/于的否定是真命題, /? V q是假命題，；左9 q都假. 二、填空題 7. （2008揚州模擬）命題“mHCRrWl 或,4”的否定是 V 工1“1 且 *4 . 解析已知命題為特稱命題，故其否定應是全稱命題. 8. 令ru) : ax： +2工+ 1 0 9若對V R皿(工)是真命

17、題9則實 數(shù)4的取值范圍是01 解析.對V x6R, p0恒成立， 當a= 0時9不等式為2工+丨二0不恒成立9 當工0時， 若不等式恒成立， 三、解答題 9 指出下列命題的真假： (1) 命題“不等式(文+2)20沒有實數(shù)解”； (2) 命題“1是偶數(shù)或奇數(shù)”； (3) 命題“倫屬于集合Q,也屬于集合R”； (4) 命題“AAU 解 (1)此命題為護的形式，其中 伙“不等式(工+2)W0 有實數(shù)解，因為工=一2是該不等式的一個解，所以/)是真 命題，即Q 是假命題，所以原命題是假命題. (2)此命題是V q的形式，其中 加“1是偶數(shù)”，q：“l(fā)是奇 數(shù)”，因為P為假命題，q為真命題， 所以pV q是真命題，故原命題是真命題. (3)此命題是“p/ q”的形式，其中伏“任屬于集合Q ,q： “血 屬于集合R,因為/為假命題，q為真命題，所以p!q是假 命題，故原命題是假命題. (1)此命題是“的