MATLAB函數(shù)的迭代、混沌與分形

1、實(shí)驗(yàn)四函數(shù)的迭代、混沌與分形實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦斫獾幕竞x掌握迭代數(shù)列的系列圖形表示方法以一類特殊二次函數(shù)（Logistic函數(shù)）為例, 掌握二次函數(shù)迭代數(shù)列的收斂性分析方法熟悉編寫函數(shù)迭代的Matlab程序 了解二元函數(shù)迭代的方法及其圖形特征實(shí)驗(yàn)四 函數(shù)的迭代、混沌與分形1、定義給定某個(gè)初值，反復(fù)作用以同一個(gè)函數(shù)的 過程祿另遙代，一般形處為兀 0，兀1 =/（兀 0），% =/（兀1），?！?=/*（£1），它生成了一個(gè)序列兒,稱為迭代序列2、迭代序列的收斂性設(shè)函數(shù)才滿足:對任意x w(a,b),f(x)w(a,b);(2)幾兀疵(°,b)內(nèi)可導(dǎo)，且存在常數(shù)厶使得fx)<

2、;L<l則當(dāng)初值Jr。時(shí)，由才(兀)生成的迭代序 列收斂.問題1：如果迭代序列收斂，收斂點(diǎn)會(huì)滿足怎樣 的條件?53 分式線性函數(shù)的迭代例：f(x)= 25x-85先取初值5=5.5% + 3f= inEne( * (25*x-85) / (x+3)1);% 先定義函數(shù) x0=5.5;for i= 1:1:20x0=f(x0);fprintf(*%g5%gnf 丄xO );end迭代次數(shù)迭代序列£迭代次數(shù)n迭代序列心16.176471116.988427.56411216.995439.854371316.9981412.55291416.9993514.71251516.999

3、7615.96681616.9999716.56421717.816.82181817.916.92811917.1016.97112017.#取其它的初值做試驗(yàn)初值收斂性得到收斂點(diǎn)的迭代次數(shù)-40000收斂于1716-500收斂于1716-20收斂于17160收斂于17174收斂于17174.9收斂于17195收斂于505收斂于17196收斂于171720收斂于1712100收斂于17141000收斂于17147結(jié)論：只要初值不取為5，迭代序列總收斂 于17。易知，f(x)的不動(dòng)點(diǎn)恰好是17與5。5稱為排斥 點(diǎn),17麻另吸引點(diǎn)。問題2為何17是吸引點(diǎn)，5是排斥點(diǎn)？例1用分式函數(shù)的迭代法近似計(jì)

4、算血4迭代的可視化（蜘蛛網(wǎng)圖）11Xf= inline (! (25*x-85)/ (x+3)1);x=linspace (1,202,202) ;y=linspace (1,202,202); x(l)=5.5;y(l)=0;x(2)=x(l);y(2)=x(l); for i=1:100x(l+2*i)=x(2*i); y(l+2*i)=f(x(l+2*i);x (2+2*i)=y(l+ 2*i);y(2+2*i)=y(l+2*i);endplot(x,y；rf);hold on;syms x y;y=x；ezplot(x,0,20);ezplot (f (x), 0,20);axis (

5、0,20,0,20);hold off5.認(rèn)識(shí)混沌迭代序列如果不收斂，會(huì)出現(xiàn)什么情況？1迭代次數(shù)充分大時(shí)，迭代序列出現(xiàn)周期性 重復(fù)兀 0,兀卩，兀N，%N+1，,1 XN , %N+1，">XN+k- k稱為該序列的周期2.序列沒有規(guī)律、雜亂無章，稱之為混沌.例 /(x) =(xr(l - x) (0 < x < 1)6人口增長的Logistic模型£+1 =心1£)/(%)二 ca(l - x) (0 < x < 1) 稱為Logistic映射15#7. Feigenbaum®對于Logistic映射，取a二2.5,我們通

6、過離 散圖形觀察迭代的收斂情況。syms x;f=inline(t2.5*x*(l-x)1);%i換成25會(huì)怎樣？進(jìn)一步的,此句前加上“if i>50"，后加 上 “end;”x0=0.12; for i=l:l:10plot(i,f(xO),''); xO=f(xO);hold on; end; hold off一個(gè)試驗(yàn)：首先取a的值為3,在(0, 1)中隨 機(jī)取一數(shù)必作為初值進(jìn)行迭代，共迭代300次 左右，丟棄起始的100次迭代的數(shù)據(jù)，在圖趕加畑聽 驟，一直增加到a = 4為止，這樣得到的圖形,稱為 Feigenbaum 圖.logis tic=inline

7、 (!u*x*( 1-x)1); x0=0.5;for u=3.0:0.01:4for i= 1:300xO=logis tic (u,x0);if i>100plot(u,x0/k1 / linewidth1,1); hold on;end;end; end; hold off17133.13.23.33.43.53.63.73.83.94.二維迭代與分形由兩個(gè)二元函數(shù)/（兀丿）與g（兀）取初值 （兀00）構(gòu)成的迭代I 兒+i 二 g（£，y“）稱為一個(gè)二維迭代.例 1 函數(shù) y) = y-sinx 與 g(x,a) = a-x , 取0=3.1、初值為(12,0)a=3.1;xn= 1.2;yn=0;for n= 1: