矩陣知識點歸納

1、-作者xxxx-日期xxxx矩陣知識點歸納【精品文檔】矩陣知識點歸納(一)二階矩陣與變換1線性變換與二階矩陣在平面直角坐標系xOy中，由(其中a，b，c，d是常數(shù))構(gòu)成的變換稱為線性變換由四個數(shù)a，b，c，d排成的正方形數(shù)表稱為二階矩陣，其中a，b，c，d稱為矩陣的元素，矩陣通常用大寫字母A，B，C，或(aij)表示(其中i，j分別為元素aij所在的行和列)2矩陣的乘法行矩陣a11a12與列矩陣的乘法規(guī)則為a11a12a11b11a12b21，二階矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則為.矩陣乘法滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律3幾種常見的線性變換(1)恒等變換矩陣M；(2)旋轉(zhuǎn)變換R對應(yīng)的矩陣是M；(3)反

2、射變換要看關(guān)于哪條直線對稱例如若關(guān)于x軸對稱，則變換對應(yīng)矩陣為M1；若關(guān)于y軸對稱，則變換對應(yīng)矩陣為M2；若關(guān)于坐標原點對稱，則變換對應(yīng)矩陣M3；(4)伸壓變換對應(yīng)的二階矩陣M，表示將每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋1倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膋2倍，k1，k2均為非零常數(shù)；(5)投影變換要看投影在什么直線上，例如關(guān)于x軸的投影變換的矩陣為M；(6)切變變換要看沿什么方向平移，若沿x軸平移|ky|個單位，則對應(yīng)矩陣M，若沿y軸平移|kx|個單位，則對應(yīng)矩陣M.(其中k為非零常數(shù))4線性變換的基本性質(zhì)設(shè)向量，規(guī)定實數(shù)與向量的乘積；設(shè)向量，規(guī)定向量與的和.(1)設(shè)M是一個二階矩陣，、是平面上的任意兩個向量，是

3、一個任意實數(shù)，則M()M，M()MM.(2)二階矩陣對應(yīng)的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線(或一點)(二)矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量1矩陣的逆矩陣(1)一般地，設(shè)是一個線性變換，如果存在線性變換，使得I，則稱變換可逆并且稱是的逆變換(2)設(shè)A是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BAABE，則稱矩陣A可逆，或稱矩陣A是可逆矩陣，并且稱B是A的逆矩陣(3)(性質(zhì)1)設(shè)A是一個二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的A的逆矩陣記為A1(4)(性質(zhì)2)設(shè)A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)1B1A1.(5)已知A，B，C為二階矩陣，且ABAC，若矩陣A存在逆

4、矩陣，則BC.(6)對于二階可逆矩陣A(adbc0)，它的逆矩陣為A1.2二階行列式與方程組的解對于關(guān)于x，y的二元一次方程組我們把稱為二階行列式，它的運算結(jié)果是一個數(shù)值(或多項式)，記為det(A)adbc.若將方程組中行列式記為D，記為Dx，記為Dy，則當(dāng)D0時，方程組的解為3二階矩陣的特征值和特征向量(1)特征值與特征向量的概念設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)，存在一個非零向量，使得A，那么稱為A的一個特征值，稱為A的一個屬于特征值的一個特征向量(2)特征多項式設(shè)是二階矩陣A的一個特征值，它的一個特征向量為，則A，即也即(*)定義：設(shè)A是一個二階矩陣，R，我們把行列式f()2(ad)ad

5、bc稱為A的特征多項式(3)矩陣的特征值與特征向量的求法如果是二階矩陣A的特征值，則一定是二階矩陣A的特征多項式的一個根，即f()0，此時，將代入二元一次方程組(*)，就可得到一組非零解，于是非零向量即為A的屬于的一個特征向量所有變換矩陣單位矩陣：，點的變換為伸壓變換矩陣：，將原來圖形橫坐標擴大為原來倍，縱坐標不變，將原來圖形橫坐標縮小為原來倍，縱坐標不變點的變換為： ，將原來圖形縱坐標擴大為原來倍，橫坐標不變，將原來圖形縱坐標縮小為原來倍，橫坐標不變點的變換為反射變換： ：點的變換為 變換前后關(guān)于軸對稱：點的變換為 變換前后關(guān)于軸對稱：點的變換為 變換前后關(guān)于原點對稱：點的變換為 變換前后關(guān)于直線對稱旋轉(zhuǎn)變換：逆時針：；順時針： 旋轉(zhuǎn)變化矩陣還可以設(shè)為：投影變換：將坐標平面上的點垂直投影到軸上點的變換為：將坐標平面上的點垂直投影到軸上點的變換為：將坐標平面上的點垂直于軸方向投影到上點的變換為：將坐標平面上的點平行于軸方向