《條件概率》ppt課件

1、1. 條件概率條件概率2. 乘法公式乘法公式3. 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式4. 小結(jié)小結(jié)1.51.5條件概率條件概率 在處理許多概率問題時(shí)，往往需在處理許多概率問題時(shí)，往往需求在有某些附加信息求在有某些附加信息(條件條件)下求事件下求事件的概率的概率.如在事件發(fā)生的條件下求事件發(fā)如在事件發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的概率，將此概率記作生的概率，將此概率記作P(|). 普通普通 P(|) P() ， 那么那么 P(|) ？ 1. 條件概率 將一枚硬幣拋擲兩次將一枚硬幣拋擲兩次 ,察看其出現(xiàn)正察看其出現(xiàn)正反兩面的情況反兩面的情況,設(shè)事件設(shè)事件 A為為 “至少有一次為正面至少有一次為正

2、面,事件事件B為為“兩次擲出同一面兩次擲出同一面. 如今來求知事件如今來求知事件A 曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率發(fā)生的概率.分析分析. , , , TTTHHTHHS .)()()( SNBNBP. , 為為反反面面為為正正面面設(shè)設(shè)TH(1) 引例引例,TTHHBTHHTHHA ,)()()( SNANAP易知易知,)(？考考慮慮 ABP )(ABP).(BP )()(ANABN 在知發(fā)生的條件下思索，樣本空間減縮為在知發(fā)生的條件下思索，樣本空間減縮為,THHTHHAS 而而 只需一個(gè)樣本點(diǎn)只需一個(gè)樣本點(diǎn)S ,BHH 故故)()(SNABN 31 )()()()()

3、|(SNANSNABNABP .)()(APABP . 1)( ABN即即易知易知)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得為事件為事件 B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率.)()()(, 0)(,條件概率條件概率發(fā)生的發(fā)生的發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件設(shè)設(shè)BAAPABPABPAPBA (2) 定義定義,0)(時(shí)時(shí) BP);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP ; 0)(, 1)(: )2( BPBSP規(guī)規(guī)范范性性則有則有件件是兩兩不相容的事是兩

4、兩不相容的事設(shè)設(shè)可列可加性可列可加性, , ,: )5(21BB. )(11 iiiiABPABP(3) 性質(zhì)性質(zhì); 0)(: )1( ABP非負(fù)性非負(fù)性例例1 1 一盒子裝有一盒子裝有4 4 只產(chǎn)品只產(chǎn)品, , 其中有其中有3 3 只一等品、只一等品、1 1只二等品只二等品. . 從中取產(chǎn)品兩次從中取產(chǎn)品兩次, , 每次任取一只每次任取一只, , 作作不放回抽樣不放回抽樣. . 設(shè)事件設(shè)事件A A為為“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品 、事件、事件B B 為為“第二次取到的是一等品試求條第二次取到的是一等品試求條件概率件概率 P(B|A). P(B|A).解法一減縮樣本空間法解法一減

5、縮樣本空間法.4;3, 2, 1,號為二等品號為二等品為一等品為一等品將產(chǎn)品編號將產(chǎn)品編號則試驗(yàn)的樣本空間為則試驗(yàn)的樣本空間為號產(chǎn)品號產(chǎn)品號、第號、第別取到第別取到第表示第一次、第二次分表示第一次、第二次分以以,),(jiji),4 , 3(),2 , 3(),1 , 3(),4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1(),3 , 1(),2 , 1( A),2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1( AB),3 , 4(),2 , 4(),1 , 4(),(),(),(, )4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4

6、, 1(),3 , 1(),2 , 1( S當(dāng)知發(fā)生時(shí)，樣本空間減縮為當(dāng)知發(fā)生時(shí)，樣本空間減縮為AS )()()|(SNABNABP 于是于是)()()(APABPABP )(ABP )(AP 由條件概率的定義得由條件概率的定義得解法二條件概率的定義法解法二條件概率的定義法由于由于2423AA213423 2433AAA 343例例2 2 某種動物由出生算起活某種動物由出生算起活2020歲以上的概率為歲以上的概率為0.8, 0.8, 活到活到2525歲以上的概率為歲以上的概率為0.4, 0.4, 假設(shè)如今有一個(gè)假設(shè)如今有一個(gè)2020歲的這種動物歲的這種動物, , 問它能活到問它能活到2525歲

7、以上的概率是歲以上的概率是多少多少? ? 設(shè)設(shè) A 表示表示“ 能活能活 20 歲以上歲以上 的事件，的事件，B 表示表示 “ 能活能活 25 歲以上的事件歲以上的事件,那么有所求概率為那么有所求概率為NoImage, 8 . 0)( AP因?yàn)橐驗(yàn)?)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解).()(.)()()()(12122112112121 nnnnnAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAAAP則則有有且且, 0)(121 nAAAP, 2,:221 nnAAAn個(gè)個(gè)事事件件為為設(shè)設(shè)

8、推推廣廣則則有有且且為為事事件件設(shè)設(shè)推推廣廣, 0)(,:121321 AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP ).()()(, 0)(BPBAPABPBP 則有則有設(shè)設(shè)2. 乘法公式例例3 3 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, , 第一次落下第一次落下時(shí)突破的概率為時(shí)突破的概率為1/2,1/2,假設(shè)第一次落下未突破假設(shè)第一次落下未突破, , 第第二次落下突破的概率為二次落下突破的概率為7/10 , 7/10 , 假設(shè)前兩次落下假設(shè)前兩次落下未突破未突破, , 第三次落下突破的概率為第三次落下突破的概率為9/10.9/10.試求透試求透鏡落

9、下三次而未突破的概率鏡落下三次而未突破的概率. .解解以以B B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未突破透鏡落下三次而未突破. .,321AAAB 因因?yàn)闉?()(321AAAPBP 所所以以)()()(213121AAAPAAPAP )1091)(1071)(211( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第表表示示事事件件以以iiAi .,.)ii(;, 2, 1,) i (,212121的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分為樣本空間為樣本空間則稱則稱若若的一組事件的一組事件為為的樣本空間的樣本空間為試驗(yàn)為試驗(yàn)設(shè)設(shè)定義定義SBBBSBBBnjijiBBEBBBESnnjin (

10、1) 樣本空間的劃分樣本空間的劃分1B2B3B1 nBnB3. 全概率公式與貝葉斯公式21 有三個(gè)罐子有三個(gè)罐子,1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某人從中隨機(jī)取一某人從中隨機(jī)取一罐，在從中恣意取出一球，求獲得紅球的概率罐，在從中恣意取出一球，求獲得紅球的概率.3引例：引例： 如何求獲得紅球的概率？如何求獲得紅球的概率？(2) 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 則則

11、且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理 jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 圖示圖示A1B2B3B1 nBnB證明證明)(21nBBBAASA .21nABABAB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整為零各個(gè)擊破它可以將一個(gè)復(fù)雜它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問事件的概率計(jì)算問題題,分解為假設(shè)干分解為假設(shè)干個(gè)簡單事件的概率個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題計(jì)算問題,最后運(yùn)最后運(yùn)用概率的可加性求用概率的可加性求出最終結(jié)果出最終結(jié)果. 某一事件某一事件A的發(fā)生有各種能夠的緣的發(fā)生有

12、各種能夠的緣由由Bi(i=1,2,n),假設(shè)假設(shè)A是由緣由是由緣由Bi所引所引起，那么起，那么A發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 每一緣由每一緣由Bi都能夠?qū)е露寄軌驅(qū)е翧發(fā)生，故發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各緣由引起發(fā)生的概率是各緣由引起A發(fā)生概率發(fā)生概率的總和，即全概率公式的總和，即全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去了解全概率公式：我們還可以從另一個(gè)角度去了解全概率公式： niiiBPBAPAP1)()()()()()(iiiBPBAPABP 21解解 記記 Bi = 球取自球取自 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; A = 獲得紅球獲得紅球 由于由于A 發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著 B1,B2,B3

13、 之一同時(shí)發(fā)生，之一同時(shí)發(fā)生， B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分是樣本空間的一個(gè)劃分 有三個(gè)罐子有三個(gè)罐子,1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某人從中隨機(jī)取一罐，某人從中隨機(jī)取一罐，再 從 中 恣 意 取 出 一 球 ， 求 獲 得 紅 球 的 概 率再 從 中 恣 意 取 出 一 球 ， 求 獲 得 紅 球 的 概 率 . 31)|()()(iiiBAPBPAP由由全全概概率率公公式式得得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(A) 0.639 . 3再看引例再看引例 依題意依題意: P(A|B1)

14、=2/3, P(A|B2 )=3/4,P(A|B3 )=1/2,引例：引例：某人從任一罐中恣意摸出一球，發(fā)現(xiàn)某人從任一罐中恣意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.213這是這是“知結(jié)果求緣由知結(jié)果求緣由的問題是求一個(gè)條件的問題是求一個(gè)條件概率概率.下面就引見為處理這類問題而引出的下面就引見為處理這類問題而引出的 Bayes(貝葉斯貝葉斯)公式公式稱此為貝葉斯公式稱此為貝葉斯公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(, 0)(, 0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 則則且且的的

15、一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理 (3) 貝葉斯公式貝葉斯公式貝葉斯資料貝葉斯資料證明證明)()()(APABPABPii ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在它是在察看到事件察看到事件B已發(fā)生的條件下，尋覓導(dǎo)致已發(fā)生的條件下，尋覓導(dǎo)致B發(fā)生的發(fā)生的每個(gè)緣由的概率每個(gè)緣由的概率.某人從任一罐中恣意摸出一球，發(fā)現(xiàn)某人從任一罐中恣意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.再看引例再看引例 21解解

16、 記記 Bi = 球取自球取自 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; A = 獲得紅球獲得紅球 B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃是樣本空間的一個(gè)劃分分 31)|()()()|()|(iiiBAPBPBPBAPABP由由貝貝葉葉斯斯公公式式得得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：3其中其中P(A|B1)=2/3, P(A|B2 )=3/4,P(A|B3 )=1/2,P(Bi)=1/3,i=1,2,3， )|(ABP;,)1.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在倉庫中隨機(jī)地取一只在倉庫中隨機(jī)地取一只無區(qū)別的標(biāo)志無區(qū)別的標(biāo)志且

17、且倉庫中是均勻混合的倉庫中是均勻混合的設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在提供元件的份額提供元件的份額次品率次品率元件制造廠元件制造廠的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)根據(jù)以往的記錄有以下根據(jù)以往的記錄有以下件制造廠提供的件制造廠提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某電子設(shè)備制造廠所用某電子設(shè)備制造廠所用例例.,)2率率分分別別是是多多少少家家工工廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)的的概概求求出出此此次次品品由由三三的的是是次次品品若若已已知知取取到到元元件件在在倉倉庫庫中中隨隨機(jī)機(jī)地地取取一一只只解解,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示設(shè)設(shè) A.家家工工廠廠提提供供的的”“所所取取到到的的產(chǎn)產(chǎn)品品是是由由第第表表示

18、示i)3 , 2 , 1( iBi,321的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分是樣本空間是樣本空間則則SBBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP1) 由全概率公式得由全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 2) 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只次次品品來來自自第第例例 有一臺用來檢驗(yàn)產(chǎn)質(zhì)量量的儀器，有一臺用來檢驗(yàn)產(chǎn)質(zhì)量量的儀器，知一只次品經(jīng)檢驗(yàn)被以為是次品的概率為知一只次品經(jīng)檢驗(yàn)被以為是次品的概率為0.990.99，而一只正品經(jīng)檢驗(yàn)被以為是次品的概率而一只正品經(jīng)檢驗(yàn)被以為是次品的概率0.0050.005，知產(chǎn)品的次品率為，假設(shè)一產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)被知產(chǎn)品的次品率為，假設(shè)一產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)被以 為 是 次 品 ， 求 它 確 為 次 品 的 概 率 以 為 是 次 品 ， 求