期末概率論復(fù)習(1)ppt課件

1、1 1(二十一)開場王柱2021.05.272 2第七章續(xù)第七章續(xù) 特殊的區(qū)間估計特殊的區(qū)間估計3 3(7.4.1 ) 大樣本情形下總體均值大樣本情形下總體均值的區(qū)間估計的區(qū)間估計 由概率論中的中心極限定理可知，不論所調(diào)查的總體分由概率論中的中心極限定理可知，不論所調(diào)查的總體分布如何，只需樣本容量布如何，只需樣本容量n n足夠大，樣本均值近似地服從足夠大，樣本均值近似地服從正態(tài)分布。即正態(tài)分布。即設(shè)總體設(shè)總體X X的分布是恣意的，均值的分布是恣意的，均值 和方差和方差 都是未知的。用樣本都是未知的。用樣本 對總對總體平均數(shù)體平均數(shù) 作區(qū)間估計。作區(qū)間估計。E(X) D(X) 2 ),(21nX

2、XX (0,1)nXDXN)(E(X) 由于樣本容量由于樣本容量n n足夠大，總體方差近似地用樣本方差替足夠大，總體方差近似地用樣本方差替代，也近似地服從正態(tài)分布。即代，也近似地服從正態(tài)分布。即(0,1)nSX2NE(X) 4 4于是，由于是，由得，總體平均數(shù)得，總體平均數(shù) 的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 1unXDXP21)(E(X)/)nSuXnSuX(2121 /, 5 5 某市為了解在該市民工的生活情況，從中某市為了解在該市民工的生活情況，從中隨機抽取了隨機抽取了100個民工進展調(diào)查，得到民工月平均個民工進展調(diào)查，得到民工月平均工資為工資為230元，規(guī)范差為元，規(guī)范差為60元，試在元，試在9

3、5%的概率保的概率保證下，對該市民工的月平均工資作區(qū)間估計。證下，對該市民工的月平均工資作區(qū)間估計。 這里這里n=100可以以為是大樣本?？梢砸詾槭谴髽颖尽?1- =0.95, /2=0.025,查附表查附表2得得 u 0.975=1.96, 于是于是, 置信度為置信度為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(218.24,241.76)。 解解:218.24100601.96230nsux21 241.76100601.96230nsux21 置信下限置信下限 ( (元元) ) 置信上限置信上限 ( (元元) ) 例例21-01.21-01.6 6設(shè)有一容量大于設(shè)有一容量大于50的樣本的樣本,它來

4、自參數(shù)為它來自參數(shù)為p的的0-1分分布的總體布的總體 X .又例又例. 0-1分布參數(shù)的區(qū)間估計分布參數(shù)的區(qū)間估計求求: p的置信度為的置信度為1- 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.p)np(1npXnp)np(1npXn1ii 樣本為樣本為 X1,X2,Xn,由于樣本容量大由于樣本容量大,以為以為近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布N(0,1).于是有于是有1zp)np(1npXnzP2/2/7 7)4(2121acbbap而不等式而不等式于是有，于是有，p 的近似的、置信度為的近似的、置信度為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為221/z)p(npnpXnz等價于等價于0)2()(222/222/Xnpz

5、Xnpzn記記)4(2122acbbap222222Xnc),zXn(b),zn(a/).,(21pp8 8例、從一大批產(chǎn)品的例、從一大批產(chǎn)品的100個樣品中個樣品中, 得一級品得一級品60個個.一級品率一級品率 p 是是0-1分布的參數(shù)分布的參數(shù).計算得計算得于是所求于是所求p的置信度為的置信度為0.95的近似置信區(qū)間為的近似置信區(qū)間為. 6 . 0100/60 x).69.0,50.0(求求:這大批產(chǎn)品的一級品率這大批產(chǎn)品的一級品率 p 的置信度為的置信度為0.95的置的置信區(qū)間信區(qū)間.解解:這里這里 1- =0.95, /2=0.025 ，n=100, u 0. 975=1.96,.36

6、,84.123,84.103cba.69. 0,50. 021pp例例21-02.21-02.9 9下面調(diào)查總體下面調(diào)查總體X X服從二點分布服從二點分布 情形，其分布情形，其分布律為律為 ，從總體中抽取一個，從總體中抽取一個容量為容量為n n的樣本，其中恰有的樣本，其中恰有 m m 個個“1 1，現(xiàn)對，現(xiàn)對p p作區(qū)間作區(qū)間估計。此時，估計。此時， 在最后一式推導(dǎo)中，需留意僅能取在最后一式推導(dǎo)中，需留意僅能取“1 1和和“0 0，把這些，把這些量代入上式，得量代入上式，得p p的置信度為的置信度為1- 1- 的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是), 1 (pB p10XPp,1XP nmXn1Xp,E(

7、X)n1ii )nm(1nmnm)m(n)nm(nmXXn1S222n1i2i2 )nm(1nmn1unm, )nm(1nmn1unm(2121 1010 從一大批產(chǎn)品中隨機的抽出從一大批產(chǎn)品中隨機的抽出100個進展個進展檢測，其中有檢測，其中有4個次品，試以個次品，試以95%的概率估計這批產(chǎn)的概率估計這批產(chǎn)品的次品率。品的次品率。 記次品為記次品為“1，正品為，正品為“0，次品率為?？傮w分，次品率為?？傮w分布是二點分布，根據(jù)題意布是二點分布，根據(jù)題意n=100，m=4,由由1- =0.95, /2=0.025,查附表查附表2得得 u 0.975=1.96。置信下限置信下限 于是于是, 置信度

8、為置信度為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(0.002, 0.078)。解解:置信上限置信上限 0.0020.960.041011.960.04)nm(1nmn1unm21 0.0780.960.041011.960.04)nm(1nmn1unm21 例例21-03.21-03.11 11需求指出，上面引見的兩種情況均屬于總體分布為需求指出，上面引見的兩種情況均屬于總體分布為非正態(tài)分布的情形，假設(shè)樣本容量較大普通非正態(tài)分布的情形，假設(shè)樣本容量較大普通時，可以按正態(tài)分布來近似其未知參數(shù)的估計區(qū)時，可以按正態(tài)分布來近似其未知參數(shù)的估計區(qū)間。假設(shè)樣本容量較小普通間。假設(shè)樣本容量較小普通 時，不能用時

9、，不能用上述的方法求參數(shù)的估計區(qū)間。上述的方法求參數(shù)的估計區(qū)間。參數(shù)估計采用表格的方式小結(jié)于表參數(shù)估計采用表格的方式小結(jié)于表7-4-1中。中。50n50n1212 設(shè)對于給定的值設(shè)對于給定的值 (01),假設(shè)由樣本假設(shè)由樣本 X1,X2,Xn 1.假設(shè)統(tǒng)計量假設(shè)統(tǒng)計量 (X1,X2,Xn),滿足滿足 7.5： 單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間 我們稱隨機區(qū)間我們稱隨機區(qū)間 ( , )為為 的置信度為的置信度為1- 的單的單(上、右上、右)側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間, 稱稱 為置信度為為置信度為1- 的單側(cè)置信下限的單側(cè)置信下限.1),.,(1nXXP2.假設(shè)統(tǒng)計量假設(shè)統(tǒng)計量 (X1,X2,Xn),滿足滿足1

10、),.,(1nXXP 我們稱隨機區(qū)間我們稱隨機區(qū)間 (- , )為為 的置信度為的置信度為1- 的單的單(下、左下、左)側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間, 稱稱 為置信度為為置信度為1- 的單側(cè)置信上限的單側(cè)置信上限.1313如如,正態(tài)總體正態(tài)總體 X; 均值均值 ,方差方差 2均為未知均為未知.設(shè)設(shè)X1,X2, Xn為該總體為該總體 N (, 2)的樣本的樣本.并給定置并給定置信度為信度為1- , 由由于是得到于是得到 的置信度為的置信度為1- 的單的單(下下)側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間為為)1(/ntnSX有有(1)1,/XPtnSn (1)1,SPXtnn 即即(,(1).SXtnn 的置信度為的置信度為

11、1- 的單的單(下下)側(cè)置信區(qū)間的置信上限側(cè)置信區(qū)間的置信上限為為(1).SXtnn 1414留意到留意到 因此，因此， 的置信度為的置信度為1- 的單的單(下下)側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間1(1)(1)tntn 即即即即(,(1).SXtnn 的置信度為的置信度為1- 的單的單(下下)側(cè)置信區(qū)間的置信上限側(cè)置信區(qū)間的置信上限(1).SXtnn 1(,(1).SXtnn 1(1).SXtnn 1515由由于是得到于是得到 的置信度為的置信度為1- 的單的單(上上)側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間為為)1(/ntnSX有有1(1)1,/XPtnSn 1(1)1,SPXtnn 即即1(1),).SXtnn 的置信度

12、為的置信度為1- 的單的單(上上)側(cè)置信區(qū)間的置信下限側(cè)置信區(qū)間的置信下限為為1(1).SXtnn 同理同理1616留意到留意到 因此，因此， 的置信度為的置信度為1- 的單的單(上上)側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間1(1)(1)tntn 即即即即(1),).SXtnn 的置信度為的置信度為1- 的單的單(上上)側(cè)置信區(qū)間的置信下限側(cè)置信區(qū)間的置信下限(1).SXtnn 1(1),).SXtnn 1(1).SXtnn 17 17又由又由于是得到于是得到 2 的置信度為的置信度為1- 的單的單 (下下)側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間為為有有即即 2的置信度為的置信度為1- 的單的單(下下)側(cè)置信區(qū)間的置信上限側(cè)置信

13、區(qū)間的置信上限為為)1()1(222nSn,1)1()1(222nSnP,1)1()1(222nSnP),)()(,(11022nSn.)1()1(222nSn1818又由又由于是得到于是得到 2 的置信度為的置信度為1- 的單的單 (上上)側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間為為有有即即 2的置信度為的置信度為1- 的單的單(上上)側(cè)置信下限為側(cè)置信下限為)1()1(222nSn2212(1)(1)1,nSPn 2221(1)1,(1)nSPn 22(1)(,)(1)nSn 2221(1).(1)nSn 1919 從一批燈泡中隨機取從一批燈泡中隨機取5只作壽命實驗只作壽命實驗. 測得測得的壽命如下的壽命如下

14、:1050 1100 1120 12501280設(shè)燈泡壽命近似地服從正態(tài)分布設(shè)燈泡壽命近似地服從正態(tài)分布. 這里這里 1- =0.95, n=5, t 0. 95(4)=2.1318,計算得計算得于是所求置信度為于是所求置信度為0.95的單的單(上上)側(cè)置信下限為側(cè)置信下限為.9950,11602sx15(1)1065.xtnn 求燈泡壽命平均值的置信度為求燈泡壽命平均值的置信度為0.95的單的單(上上)側(cè)置信下限側(cè)置信下限.解解:例例21-04.21-04.2020第八章續(xù)第八章續(xù) 特殊的假設(shè)檢驗特殊的假設(shè)檢驗2121(*1)基于成對數(shù)據(jù)的檢驗基于成對數(shù)據(jù)的檢驗n1=n2=n ，12 22

15、且未知且未知為了比較兩種產(chǎn)品、兩種儀器、兩種方法等為了比較兩種產(chǎn)品、兩種儀器、兩種方法等 的差的差別，我們常在一樣的條件下做對比實驗，得到一別，我們常在一樣的條件下做對比實驗，得到一批成對批成對n1=n2=n的察看值。然后分析察看數(shù)據(jù)做的察看值。然后分析察看數(shù)據(jù)做出推斷。這種方法稱為逐對比較法。出推斷。這種方法稱為逐對比較法。令令 , ,), 2 , 1(niYXZiii),(222121NZi),(222121NZ),(21nZZZ視視 為總體為總體 的的一個樣本，于是，所要進展的檢驗等價于一個正態(tài)一個樣本，于是，所要進展的檢驗等價于一個正態(tài)總體，方差未知的檢驗即可總體，方差未知的檢驗即可(

16、t(t檢驗檢驗) ) 。其中：。其中： 那么那么 , ,0:,0:211210HH2121)(11,1ZZnsZnZniinii) 1(2ntnSZt2222(*2) 總體方差總體方差12 22 都未都未知，且知，且n1 n2的檢驗的檢驗令，令，并設(shè)并設(shè)X1,X2,Xn1為來自總體為來自總體 N (1, 12)的樣本的樣本. Y1,Y2,Yn2為來自總體為來自總體 N (2, 22)的樣本的樣本. 這這兩個樣本相互獨立。兩個樣本相互獨立。 n1 n2.檢驗為檢驗為H0:1 =2; H1: 1 2 。), 2 , 1(111121212121niYnYnnYnnXZnkknkkiii2323那么

17、那么其中，其中，2122212211)(nnnnZEi2221212121221222221122222121221221212211)222()(1)(1)()(21nnnnnnnnnnnnnnnnnYnYnnYnnXEZDnkknkkiii),2,1,(0),(1njijiZZCovji2424在在H0H0成立的條件下，選用統(tǒng)計量成立的條件下，選用統(tǒng)計量 即可，其中即可，其中 于是，視于是，視 為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體的一個樣本。原來的問題等價于一個正態(tài)總體，的一個樣本。原來的問題等價于一個正態(tài)總體，未知方差，檢驗未知方差，檢驗)(1112ntnSZt2n1ii12n1ii1)Z(Z1

18、n1S,Zn1Z11 ),(121nZZZ),(22212121nnN0:, 0:211210HH2525 在平爐上做操作方法的實驗在平爐上做操作方法的實驗.交替進展兩種方交替進展兩種方法各法各10爐爐,其得率為其得率為:這里取這里取 =0.05, 由表由表8.3.1知此檢驗問題的回絕域知此檢驗問題的回絕域為為設(shè)兩個樣本相互獨立設(shè)兩個樣本相互獨立.且來自兩個正態(tài)總體且來自兩個正態(tài)總體N ( 1, 2), N ( 2, 2).問新法問新法y能否提高得率能否提高得率?(取取 =0.05).解解:按題意需檢驗按題意需檢驗 H0:1-2=0; H1: 1-2 0 。有時提出的假設(shè)檢驗問題能夠是：有時提

19、出的假設(shè)檢驗問題能夠是： 此時稱為右邊檢驗。此時稱為右邊檢驗。在顯著性程度在顯著性程度 下，檢驗假設(shè)下，檢驗假設(shè) H0： = 0； H1： 0 的回絕域的回絕域.取檢驗統(tǒng)計量取檢驗統(tǒng)計量nXz0.,0待定kknXz 當假設(shè)當假設(shè)H0為真時為真時, z不應(yīng)太大不應(yīng)太大.因此回絕域的方式因此回絕域的方式為為 當假設(shè)當假設(shè)H0為真時為真時, ) 1 , 0(0NnXzzk 由正態(tài)分布分位點的定義得由正態(tài)分布分位點的定義得, . 回絕域為回絕域為.unXz10z.00knXP2929類似地類似地:在顯著性程度在顯著性程度 下，左邊檢驗問題下，左邊檢驗問題 “ H0： = 0； H1： 0 。3.在顯著

20、性程度在顯著性程度 下，左邊檢驗假設(shè)下，左邊檢驗假設(shè) H0： = 0； H1： 0 。回絕域的方式為回絕域的方式為取檢驗統(tǒng)計量取檢驗統(tǒng)計量nXz0.10zunXz3232 知某種水果罐頭知某種水果罐頭(維生素維生素C)的含量服從正的含量服從正態(tài)分布。規(guī)范差為態(tài)分布。規(guī)范差為3.98(毫克毫克)。產(chǎn)質(zhì)量量規(guī)范中，。產(chǎn)質(zhì)量量規(guī)范中，Vc的平均含量必需大于的平均含量必需大于21毫克?，F(xiàn)從一批這種水果罐頭毫克?，F(xiàn)從一批這種水果罐頭中抽取中抽取17罐，測得含量平均值罐，測得含量平均值 (毫克毫克)。問這批罐頭的問這批罐頭的Vc含量能否合格？取含量能否合格？取 =0.05。解解:由于此題要求的平均含量必需

21、大于由于此題要求的平均含量必需大于21毫克，少毫克，少了判為不合格品，所以用單側(cè)檢驗。了判為不合格品，所以用單側(cè)檢驗。 在成立的條件下，在成立的條件下，23x21:21:100HH) 1,0(2201NUnXnXU例例21-07.21-07.3333由檢驗程度由檢驗程度=0.05 ，查規(guī)范正態(tài)分布表，得臨界值，查規(guī)范正態(tài)分布表，得臨界值 ，確定否認域為，確定否認域為 。由樣本察看值計算由樣本察看值計算 所以，否認，即以為這批罐頭的含量符合規(guī)范。所以，否認，即以為這批罐頭的含量符合規(guī)范。 38. 11u)(1，u38. 107. 21798. 321232200 , 1nXU34342. 2為未

22、知為未知,關(guān)于均值關(guān)于均值 的的檢驗檢驗(t檢驗檢驗)nSXt/0采用統(tǒng)計量采用統(tǒng)計量總體為總體為 N (, 2),其中其中, 2為未知為未知,我們來求檢驗問我們來求檢驗問題題:H0： = 0； H1： 0 。在顯著性程度在顯著性程度 下的回絕域下的回絕域.作為檢驗統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)計量,當當 t 過分大時就回絕過分大時就回絕H0,回絕域回絕域的方式為的方式為./knSXt0)(11ntk35353. 單個正態(tài)總體方差的假單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗設(shè)檢驗設(shè)總體為設(shè)總體為N ( , 2) , 、 2均為未知均為未知,要求要求 檢檢驗假設(shè)驗假設(shè)(顯著性程度為顯著性程度為 )： H0： 2 = 02

23、； H1： 2 02 。由于由于s2 是是 2的無偏估計，當?shù)臒o偏估計，當H0 為真時，為真時，比值在比值在 1 附近擺動，而不應(yīng)過分大于附近擺動，而不應(yīng)過分大于1，也不應(yīng)過分小于也不應(yīng)過分小于1。我們知。我們知),1() 1(2202nSn3636我們?nèi)∥覀內(nèi)?)1(2022sn 其回絕域的方式為：其回絕域的方式為：作為檢驗統(tǒng)計量。作為檢驗統(tǒng)計量。,)(ksn20221此處此處k的值由下式確定：的值由下式確定：).(1212nk), ) 1(21n3737 機器包裝食鹽，假設(shè)每袋鹽重服從正態(tài)分布，機器包裝食鹽，假設(shè)每袋鹽重服從正態(tài)分布，規(guī)定每袋鹽規(guī)范分量為規(guī)定每袋鹽規(guī)范分量為500克，規(guī)范差

24、不能超越克，規(guī)范差不能超越10克?？?。某日開工后，從裝好的食鹽中隨機抽取某日開工后，從裝好的食鹽中隨機抽取9袋，測得分量袋，測得分量為為(單位：克單位：克)：497 507 510 475 484 488 524 491 515。問這天包裝機的任務(wù)能否正常。問這天包裝機的任務(wù)能否正常(取取 =0.05)？所以所以, ,不能否認不能否認H0 H0 ，即可以以為平均每袋鹽重為，即可以以為平均每袋鹽重為500500克?？恕Ｔ谠贖0H0成立的條件下成立的條件下解解:包裝機任務(wù)正常指包裝機任務(wù)正常指 克和克和 ，因此分兩步進展，因此分兩步進展檢驗。檢驗。 如今如今, n=9, =0.05，得臨界值，得臨

25、界值又得又得 5002210500:500:100HH) 1(20ntnsXt306. 2)8(21t306. 2187. 0903.16500499|2200nsXt例例21-08.21-08.3838 所以，否認所以，否認 ，即可以以為方差超越，即可以以為方差超越(10)2 (10)2 ，包裝機任務(wù)不穩(wěn)定。，包裝機任務(wù)不穩(wěn)定。 由、可以以為，包裝機任務(wù)不正常。由、可以以為，包裝機任務(wù)不正常。在在 成立的條件成立的條件下下如今如今, n=9, =0.05，得臨界值，得臨界值又得又得 22122010:10:HH0H) 1() 1(10) 1(22222221nsnsn5 .15)8(215

26、.1556.201003.168) 1(2220220,1sn0H3939 總體總體 X N (, 2), =2, =40。如今。如今用新法消費。隨機取用新法消費。隨機取n=25。樣本均值為。樣本均值為 =41.25。設(shè)總體均方差不變。問在顯著性程度設(shè)總體均方差不變。問在顯著性程度= 0.05之下之下產(chǎn)品有否提高？產(chǎn)品有否提高？X解解:按題意需檢驗假設(shè)按題意需檢驗假設(shè)“ H0： = 0 =40 ； H1： 0。這是右邊檢驗問。這是右邊檢驗問題。題?；亟^域為回絕域為6451z0500.nXz.如今如今645.1125.32524025.41z落在回絕域中?；亟^落在回絕域中。回絕H0，以為產(chǎn)品有顯

27、著的提高。，以為產(chǎn)品有顯著的提高。例例21-09.21-09.4040是利用假設(shè)是利用假設(shè)H0為真時服從為真時服從N(0,1)分布來確定回絕域的的統(tǒng)計量分布來確定回絕域的的統(tǒng)計量, nXU0這種檢驗法稱為這種檢驗法稱為 u 檢驗法檢驗法.0X上面例上面例1中中,如將需求檢驗的問題寫成以下的方式更如將需求檢驗的問題寫成以下的方式更為合理為合理:H0： 0； H1： 0 。取顯著性程度取顯著性程度 ，來確定回絕域，來確定回絕域. 由于在由于在H0中的中的 都比在都比在H1中的中的 要小，從直要小，從直觀上看觀上看,較合理的檢驗法那么應(yīng)是較合理的檢驗法那么應(yīng)是:假設(shè)察看值的假設(shè)察看值的 與與0的差的差 過分大過分大,即即 那么我那么我們回絕們回絕H0,因此因此 回絕域