材料閱讀題及答案

1、重慶中考材料閱讀題分類講練(含答案)類型1代數(shù)型新定義問(wèn)題例1【2017 重慶 A對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n,如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都 不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”.將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可 以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)， 把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F(n).例如n=123, 對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到 213,對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到 321,對(duì)調(diào)十位與個(gè)位 上的數(shù)字得到132,這三個(gè)新三位數(shù)的和為 213+ 321 + 132=666, 666+ 111 = 6,所以， F(123) =6.(1)計(jì)算:F(243) , F(617);若 s, t 都是

2、“相異數(shù)"，其中 s=100x+32, t =150+y(1 &x&9, 1<y<9, x, y 都F( s)是正整數(shù))，規(guī)定：k=Fj.當(dāng)F(s) +F(t) =18時(shí)，求k的最大值.針對(duì)訓(xùn)練1 .對(duì)于一個(gè)兩位正整數(shù) xy(0<y<x<9,且x、y為正整數(shù))，我們把十位上的數(shù)與個(gè)位 上的數(shù)的平方和叫做t的“平方和數(shù)”，把十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的平方差叫做t的“平方差數(shù)”.例如：對(duì)數(shù) 62來(lái)說(shuō)，62+22= 40, 6222=32,所以40和32就分別是62 的“平方和數(shù)”與“平方差數(shù)”.(1)75的“平方和數(shù)”是 , 5可以是 的“平方

3、差數(shù)”；若一個(gè)數(shù)的“平方和數(shù)”為10,它的“平方差數(shù)”為8,則這個(gè)數(shù)是.(2)求證：當(dāng)x<9, y08時(shí)，t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果也是另 一個(gè)數(shù)的“平方差數(shù)”.(3)將數(shù)t的十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)交換得到數(shù) t ',若t與t的“平方和數(shù)”之和等 于t'與t'的“平方差數(shù)”之和，求t.2 .將一個(gè)三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含n本身).得到新三位數(shù)abc(a< c),在所有重新排列中，當(dāng)| a+c-2b|最小時(shí)，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定F(n) =b2 ac.例如215可以重新排列為125、152、215,因?yàn)閨

4、 1 + 5 2X2 | =2,| 1+2 2X5| =7, | 2+5 2X1| = 5,且 2<5<7,所以 125是 215 的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”， F(215) =221X5= 1.(1)F(236) =(2)如果在正整數(shù)n三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字中，有一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，求證： F(n) 是一個(gè)完全平方數(shù)；(3)設(shè)三位自然數(shù)t = 100x+ 60+ y(1 <x<9, 1<y<9, x, y為自然數(shù))，交換其個(gè)位上的 數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t'.若tt' = 693,那么我們稱t為“和順數(shù)”.求所有“和 順數(shù)"中F(t)的

5、最大值.3,進(jìn)制也就是進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法.對(duì)于任何一種進(jìn)制一一X進(jìn)制，就表示某一位置上的數(shù)運(yùn)算時(shí)是逢 X進(jìn)一位.十進(jìn)制是逢十進(jìn)一，十六進(jìn)制是逢十六進(jìn)一， 二進(jìn)制就是逢二進(jìn)一，以此類推，X進(jìn)制就是逢X進(jìn)一.為與十進(jìn)制進(jìn)行區(qū)分，我們常把 用X進(jìn)制表示的數(shù)a寫成(a)X.類比于十進(jìn)制，我們可以知道：X進(jìn)制表示的數(shù)(1111) x中，右起第一位上的1表示1xX 第二位上的1表示1XX1,第三位上的1表示1XX2,第四位上的1表示1XX3.故(1111)x = ixX3+ixx2+1xx1 + ixX0,即：(iiii)x轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù)為 x3+x2+x1+X)jn： (1 1 1

6、1) 2= 1 X 2 3+ 1 X 2 2+ 1 X 21 + 1 X 2 0= 15, (1 1 1 1) 5= 1 X 5 3+ 1 X 52+ 1 X 51+ 1 X 50= 156. 根據(jù)材料，完成以下問(wèn)題：(1)把下列進(jìn)制表示的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù)：(101011)2 =; (302) 4 =; (257) 7 =(2)若一個(gè)五進(jìn)制三位數(shù)(a4b) 5與八進(jìn)制三位數(shù)(ba4) 8之和能被13整除(1 &a&5, 1<b< 5,且a、b均為整數(shù))，求a的值；(3)若一個(gè)六進(jìn)制數(shù)與一個(gè)八進(jìn)制數(shù)之和為666,則稱這兩個(gè)數(shù)互為“如意數(shù)”，試判斷(mm1)與(n

7、n5)8是否互為“如意數(shù)”？若是，求出這兩個(gè)數(shù)；若不是，說(shuō)明理由.4.我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n = px q(p,q是正整數(shù)，且pwq), 在n的所有這種分解中，如果p, q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱 pxq是n的最佳分解.并規(guī)定：F(n) =p.例如12可以分解成1X12, 2X6或3X 4,因?yàn)?21>6 2>433,所以3X4是12的最佳分解，所以F(12) =4.(1)如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù) m是完全平方數(shù).求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù) m,總有F(m)=1.(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t, t = 10x+y(1

8、<x<y<9, x, y為自然數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；在(2)所得的“吉祥數(shù)”中，求F(t)的最大值.類型2函數(shù)型新定義問(wèn)題例2已知一個(gè)大于1的正整數(shù)t可以分解成t=ac+b2的形式(其中a<c, a, b, c均為 正整數(shù))，在t的所有表示結(jié)果中，當(dāng)bcba取得最小值時(shí)，稱“ ac+b2”是t的“等比中項(xiàng)分解”，此時(shí)規(guī)定：P(t),"：、,例如：7=1X6+12=2X3+12= 1X3+ 22, 1 2 (a+b)X6-1X 1>2X3-2X 1&

9、gt;1X3-1X2,所以 2X3+12是 7 的”等比中項(xiàng)分解”，P(7) =1.3(1)若一個(gè)正整數(shù)q=ni+ n2,其中m n為正整數(shù)，則稱q為“偽完全平方數(shù)”，證明： 1對(duì)任意一個(gè)“偽完全平方數(shù)” q都有P(q) =1.(2)若一個(gè)兩位數(shù)s= 10x+y( 1<y<x<5,且x, y均為自然數(shù))，交換原數(shù)十位上的數(shù)字 和個(gè)位上的數(shù)字得到的新數(shù)的兩倍再加上原數(shù)的14倍，結(jié)果被8除余4,稱這樣的數(shù)s為“幸福數(shù)”，求所有“幸福數(shù)”的 P(s)的最大值.針對(duì)訓(xùn)練1 .如果關(guān)于x的一元二次方程ax2 + bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“

10、倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說(shuō)法：方程x2-x 2 = 0是倍根方程；若(x 2)(mx + n) =0 是倍根方程，則 4n2+5mn n2=0;若點(diǎn)(p, q)在反比但J函數(shù)y=2的圖象上，則關(guān)于x的方程px2+3x + q = 0是倍根方程. "X''其中正確的是.(寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào))2 .先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y) + 1.解：將“x + y”看成整加，令 x + y = A,則原式=A2+ 2A+ 1 = (A+1)2.再將“A”還原，彳#原式=(x+y+1)2.上述解題中用到的是“整體思想”， 整體思

11、想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：2(1)因式分解：1+2(x y)+(x y) =;(2)因式分解：(a + b)(a+b4)+4 =;(3)證明：若n為正整數(shù)，則式子(n + 1)(n +2)(n 2+ 3n) + 1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方.3 .若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x, y, z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和， 則稱這三個(gè)實(shí)數(shù)x, y, z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.(1)實(shí)數(shù)1, 2, 3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；若M(t,y1), N(t+1,y2), R(t + 3, y3)三點(diǎn)均在函數(shù)y=k(k為常數(shù)，k*0)的圖象上， x且這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)

12、y" y2, y3構(gòu)成“和諧三數(shù)組"，求實(shí)數(shù)t的值； 2(3)右直線 y=2bx+2c(bc W0)與 x 軸父于點(diǎn) A(x1，0),與拋物線 y = ax+3bx+3c(a W0) 交于 B(x2, y2) , C(x3, y3)兩點(diǎn).求證：A, B, C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)Xi, x2, x3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；若a>2b>3c, x2=1,求點(diǎn)P(c, b)與原點(diǎn)。的距離OP的取值范圍. a a4,若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2(a, b是整數(shù))的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.例如，5 是“完美數(shù)”，因?yàn)?5= 22+12.再如，M= x2+ 2xy + 2y2 =

13、 (x+y)2+ y2(x, y 是整數(shù))，所以 M也是“完美數(shù)”.(1)請(qǐng)你再寫一個(gè)小于10的“完美數(shù)”，并判斷29是否為“完美數(shù)”. 22 ' '(2)已知S= x +4y +4x-12y+k(x , y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求 出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由.如果數(shù)mi n都是“完美數(shù)”，試說(shuō)明 m也是“完美數(shù)”.5.若將自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)稱為“3倍點(diǎn)” P,取任意的一個(gè)“3 倍點(diǎn)” P,到點(diǎn)P距離為1的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別記為a, b.定義：若數(shù)K= a2+ b2-ab,則 稱數(shù)K為“尼爾數(shù)”.例如：若P所表示白勺數(shù)為3,則2=

14、2, b = 4,那么K= 22+ 42-2X4 = 12;若P所表示白勺數(shù)為12,則a=11, b= 13,那么K= 132+ 112 13X 11= 147,所以 12, 147是“尼爾數(shù)”.(1)請(qǐng)直接判斷6和39是不是“尼爾數(shù)”，并且證明所有“尼爾數(shù)” 一定被 9除余3;(2)已知兩個(gè)“尼爾數(shù)”的差是189,求這兩個(gè)“尼爾數(shù)”.類型3整除問(wèn)題例3我們知道，任意一個(gè)大于1的正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n = p+q(p、q是正 整數(shù)，且p<q),在n的所有這種分解中，如果p、q兩數(shù)的乘積最大，我們就稱p+q是 n的最佳分解.并規(guī)定在最佳分解時(shí)：F(n) = pq.例如6可以分解成

15、1 + 5或2+4或3+3, 因?yàn)?X5<2X4<3X 3,所以3+3是6的最佳分解，所以F(6) =3X3= 9.一個(gè)正整數(shù)，由N個(gè)數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被 1整除，它的前兩位數(shù) 被2除余1,前三位數(shù)被3除余2,前四位數(shù)被4除余3,，一直到前N位數(shù)被N除余 (N-1),我們稱這樣的數(shù)為“多余數(shù)” .如：236的第一位數(shù)“ 2”能被1整除，前兩位 數(shù)“23”被2除余1, “236”被3除余2,則236是一個(gè)“多余數(shù)”.若把一個(gè)小于 200 的三位“多余數(shù)”記為t ,它的各位數(shù)字之和再加1為一個(gè)完全平方數(shù)，請(qǐng)求出所有“多 余數(shù)”中F(t)的最大值.針對(duì)訓(xùn)練1 . 一個(gè)正整

16、數(shù)，由N個(gè)數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)可以被1整除，它的前兩位數(shù)可以被2整除，前三位數(shù)可以被3整除，一直到前N位數(shù)可以被N整除，則這樣的 數(shù)叫做“精巧數(shù)” .如：123的第一位數(shù)“1”可以被1整除，前兩位數(shù)“12”可以被2 整除，“123”可以被3整除，則123是一個(gè)“精巧數(shù)”.若四位數(shù)123k是一個(gè)“精巧數(shù)”，求k的值；若一個(gè)三位“精巧數(shù)” 2ab各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，請(qǐng)求出所有滿足條件的 三位“精巧數(shù)”.2 .人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類似的關(guān)系.若兩個(gè)不同的自然數(shù) 的所有真因數(shù)(即除了自身以外的正因數(shù))之和相等，我們稱這兩個(gè)數(shù)為“親和數(shù)”.例如： 18的正因

17、數(shù)有1、2、3、6、9、18,它的真因數(shù)之和為1 + 2 + 3 + 6+9 = 21; 51的正因數(shù) 有1、3、17、51,它的真因數(shù)之和為1 + 3+17 = 21,所以稱18和51為“親和數(shù)”.數(shù) 還可以與動(dòng)物形象地聯(lián)系起來(lái)，我們稱一個(gè)兩頭(首位與末位)都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”.例如：121、1351等.(1)8的真因數(shù)之和為 ;求證：一個(gè)四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的 兩位數(shù)的3倍的差，能被7整除；一個(gè)百位上的數(shù)為4的五位“兩頭蛇數(shù)”能被16的“親和數(shù)”整除，若這個(gè)五位“兩 頭蛇數(shù)”的千位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，求滿足條件的五位“兩頭蛇數(shù)”一一x2 x+ 3 v 人 , 人

18、t3 .材料1:將分式xx；3拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式(分子為整數(shù))的和的形式.解:x2x+3_x (x+1) 2 (x+1) +5_x (x+ 1)2 (x+1)5 _5X+1 x+1 x+1 x+1+x+1 X 2 + x+1，x2 x + 35這樣，分式x+1就拆分成一個(gè)整式x-2與一個(gè)分式x的和的形式.材料2:已知一個(gè)能被11整除的個(gè)位與百位相同的三位整數(shù) 100x+10y+x,且1&x&4, 求y與x的函數(shù)關(guān)系式.101x+10y 99x+11y+2x y斛：=11112x-y = 9x+y+ 11 ,、一 一 2xy ,., 又1&x&4, 0<

19、;y<9, a-7<2x-y<8,還要使為整數(shù),2x y = 0.(1)將分式x + 6x 3x- 1拆分成一個(gè)整式與個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為2x2+5x-20已知整數(shù)x使分式 的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x=x 34.已知一個(gè)六位整數(shù)20xy17能被33整除，求滿足條件的x, y的值.在任意n（n>1且n為整數(shù)）位正整數(shù)K的首位后添加6得到的新數(shù)叫做K的“順數(shù)”， 在K的末位前添加6得到的新數(shù)叫做K的“逆數(shù)”.若K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差能被 17整除，稱K是“最佳拍檔數(shù)”.比如1324的“順數(shù)”為16324,1324的“逆數(shù)”為13264, 1324

20、的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差為 16324 13264= 3060, 3060+ 17=180,所以 1324 是“最佳拍檔數(shù)”. 請(qǐng)根據(jù)以上方法判斷31568.（填“是”或“不是”）位是5的四位“最佳拍檔數(shù)” N,其個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為 位數(shù)字，求所有符合條件的N的值；（2）證明：任意三位或三位以上的正整數(shù) K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”“最佳拍檔數(shù)”；若一個(gè)首8,且百位數(shù)字不小于十之差一定能被 30整除.a5.若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)3使得b=n，即a=bn.例如：若整數(shù)a能被整數(shù)7整除，則一定存在整數(shù)n,使得a=7n.（1）將一個(gè)多位自然數(shù)分解為個(gè)位與個(gè)位之前的數(shù)，讓個(gè)位之前的數(shù)減

21、去個(gè)位數(shù)的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數(shù)一定能被 7整除.例如：將數(shù)字1078分解為8 和107, 1078X2=91,因?yàn)?1能被7整除，所以1078能被7整除，請(qǐng)你證明任意一 個(gè)三位數(shù)都滿足上述規(guī)律.k(k（2）若將一個(gè)多位自然數(shù)分解為個(gè)位與個(gè)位之前的數(shù)，讓個(gè)位之前的數(shù)加上個(gè)位數(shù)的為正整數(shù)，1&k05）倍，所得之和能被13整除，求當(dāng)k為何值時(shí)使得原多位自然數(shù)一定 能被13整除.參考答案例 1.解：(1) F(243) =(423+342+234) + 111=9,F(617) =(167 + 716+671) + 111= 14.二Y，t都是“相異數(shù)”， . F(s)

22、= (302 + 10x + 230+x+ 100x + 23) + 111= x+ 5,F(t) =(510+y+100y + 51 + 105+ 10y) + 111=y + 6,F(s) + F(t) = 18, x+5+y + 6 = x + y + 11 = 18,x+ y= 7,1< x< 9, 1<y<9, x,y都是正整數(shù)，.x = 2,y=5或,x = 3,力4或,x = 4,;或 y=3x = 5)=2或,x= 6,J=1.(2) ; s 是“相異數(shù)”，：xw2, xw3x二x二.ywl, yw5, 1二 t是“相異數(shù)”，x = 5,1 = 2.F(

23、s) =10, 或1F(t) =8.1 或 k=91 = 5 jk F(t) 4,卜(s)=6,或 F(s)=91Kt)=12LF(t) =9"瞽=1或卜=菖=F(t) 2 F(t) 5 k的最大值為5.針對(duì)訓(xùn)練1 解：（1） 74; 32; 31(2)證明：令 t = 10x + y,2(10x + y) -(x2-y2) -99= 20x + 2yx2 + y299=(y2 + 2y+ 1) (x220x+100) =(y+1)2 (x 10)2,- t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果是另一個(gè)數(shù)的“平方差”數(shù).令 t =xy, t ' =yx,由題意知：10x

24、 + y + x2+ y2= 10y + x + y2 x2,所以 9x 9y+2x2= 0, 9(x y)+2x2=0,. x-y>0, 2x2>0,/.x = y = 0.故 t = 0.2.解：(1)F(236)= 3(2)證明：設(shè)這個(gè)正整數(shù)n三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別為：x+yx，-2-, y.: | a+c 2b|最小時(shí)，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，；F(n) = b2 ac=x2+y2 xy=4 一萬(wàn).F(n)為一個(gè)完全平方數(shù)； t = 100x + 60 + y, t' =100y + 60 + x,y= 1, 8或tt' =99x 99y=693,

25、. 99(x y) = 693, x y = 7, x = y + 7, 1<x<9, 1<y<9, - 1<y + 7<9,1<y<2,y=2,. t =861 或 t = 962,3 = 9,當(dāng)t =861時(shí)，可以重新排列為168, 186, 618. |1 +8 2X6| =3, |1+62X8|=9, |6 + 82X 1| = 12, . 168 為 861 的“調(diào)和優(yōu)選；F(861) =6X61X8= 28;當(dāng) t=962 時(shí)，可以重新排列為 269, 296, 629, : |2+9 2X6|=1, |2+6 2X9| = 10,

26、|6+9 2X 2| = 11,269 為 962 的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，： F(962) =6X6 2X9= 18.所有“和順數(shù)”中 F(t)的最大值為28.3.解：(1) 43; 50; 140(2) b+4X 51+aX52+4+aX8+bX82=33a+65b+24= 13(2a+5b+ 1) +7a+11,.13 整除 7a+11,一-15 .而 1&a&5, 1<b<5, a 18<7a+ 11 046, . 7a+11 = 26或 39.解得 a=了(舍去)或 4,a = 4.(3)( mm)6+(nn5)8=1 + 6m+ 36m 5+ 8n +

27、64n=6 +42M 72n.若互為“如意數(shù)”，則6 + 42m+72n =666, .7m 12n=110,止匕時(shí)m必為偶數(shù),經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) 2, n = 8 時(shí)，7m 12n=110, ，這兩個(gè)數(shù)為85和581.4. (1)證明：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù) m,設(shè)m= a2(a為正整數(shù))， | aa| =0, . ax a是m的最佳分解,、 、. a;對(duì)任息一個(gè)元全平萬(wàn)數(shù) m,總有F(n)=g=l.a(2)設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t ',則t ' = 10y + x, /t是“吉祥數(shù)”， .t' -t =(10y + x) (10x+y) =9(yx) =

28、36,. y = x+4, / 1<x<y<9, x, y 為自然數(shù),滿足“吉祥數(shù)”的有15, 26, 37, 48, 59._3 _2 _1_6 3 _13 3 2 1 1 一一(3) F(15)F(26)=有 F(37) =37, F(48) =8=4, F(59)=而 /石力>37>59, . .所3有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)(t)的最大值是3.類型二例2解：(1)證明：: awc, a, b, c為正整數(shù)，bcba=b(c a) >0.又 q = m2+ n2=mn2,令 n = b, m=a=c,則此時(shí)bcba最小為0,故m-mHn2是q的”等比中項(xiàng)分解”

29、，_n+m1;P(q)=2 加口)=2.(2)由題意，得 2(10y + x) + 14(10x + y)=8k + 4(k 為整數(shù)),即：142x + 34y = 8k + 4. .8(18x + 4y)+2y 2x4=8k,；2(y x 2)是8的倍數(shù)，.二yx2是4的倍數(shù).又= 1&ywx&5且x, y均為自然數(shù)， 6&y x 20 2, - yx2= 4,. x = y+2, .s = 31, 42, 53.bcba=b(c a),且 a, b, c 為正整數(shù)，a<c, 當(dāng)b越小，c a的差越小，b(c-a)越小. 當(dāng) s=31 時(shí)，31 = 5X6+12

30、,則 P(31) =2*(；+1)J；當(dāng) s = 42 時(shí)，42=2X3+ 62,6+39貝P(42)=P(42)2X (6+2)16，當(dāng) s = 53 時(shí)，53=7X7+ 22或 53=2X2+7；則 P(53) = ；. .11- Rs)max= 77.216 12 216針對(duì)訓(xùn)練12 .解：(1)1 +2(x y)+(xy)2=(x y+1)2；(2)令人=a+b,則原式變?yōu)?A(A 4)+4=A2 4A+ 4= (A 2)2,故(a+b)( a+b-4) +4=(a+b2)2；(3)證明：(n+1)( n + 2)( n2+3n) + 1= (n2 + 3n)( n+1)( n + 2

31、) +1= (n2 + 3n)( n2+ 3n + 2) +1= (n2 + 3n) 2+2(n2 + 3n) +1= (n2 + 3n+1)2,.n為正整數(shù)，.n2+3n+1也為正整數(shù)，代數(shù)式(n+1)( n + 2)( n2+3n) +1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方.3 .解：(1)二12, 3的倒數(shù)分別為1, 1, 1,且1>1>；2 32 311一 5+a*1,1, 2, 3不可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.2 3 kk _k k k k(2) M(t, R, N(t + 1, e八R(t + 3, f73)，且，口，干構(gòu)成 和諧三數(shù)組.若 r= : 3 得 2t + 4 = t ,

32、得 t = - 4;k k kt + 1 t t + 3若一-= +-k-,得 2t+3 = t+1,得 t = 2;t 43 t t +1若F Q +,得 2t+1=t+3,得 t = 2. k k k綜上，t的值為4或2或2. /c證明：: a, b, c均不為0, ；X1, X2, X3都不為0,令y = 2bx+2c = 0,則x1二衛(wèi),y=2bx + 2c,2聯(lián)立42整理得：ax+bx+c = 0.y=ax +3bx + 3c,»2+乂3=，x2 , 乂3=一, a'a，1 1 x?+x3b a b 1x2x3 x2 x3a c c x1a>2b,5b>

33、3a,.A, B, C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)x% x2, x3構(gòu)成“和諧三數(shù)組” . x2 1, a" bd- c 0,c = a b. a>2b>3c, . . a>2b>3( ab),且 a>0,整理得3 b 1 廠 bc b5<a<2且 aWP(a，a)，_2c 2 b 2ab 2 b 2 b 1 2 1OP=(a)+(a)=()+(a)=2(a+2)+?令 nn= b,貝U3<nm1 且 nm0,貝U OP= 2(mH & 5 口 o2.10 口 .2&OP<2且 Opw1, .-< OP<2-且 ON

34、1.)2+1,2>0,a 522231 . 3 . . 一 ,13.1 .當(dāng)一£<m<彳時(shí)，OP隨m的增大而減小，當(dāng) m=一1時(shí)，OP有取大值不，當(dāng)m=一彳時(shí),525252c1oP有最小值2；1111.1.當(dāng)一2<m<2且mO時(shí)，OP隨m的增大而增大，當(dāng)2時(shí)，OP有最小值,當(dāng)m= 2時(shí),c5op有最大值2，4 .解：(1)(答案不唯一)0, 1, 2, 4, 8, 9均可.因?yàn)?9 = 52 + 2；所以29是“完美數(shù)”； (2)當(dāng) k=13 時(shí)，S= x2+4y2+4x 12y+13 = x2+4x + 4 + 4y212y+9=(x + 2)2 +

35、(2y 3)2, vx, y是整數(shù)，；x + 2, 2y 3也是整數(shù)，一. S是一個(gè)“完美數(shù)”.:m與n都是“完美數(shù)”，設(shè)a'+b； n = c2+d2(a, b, c, d都是整數(shù)),則mn= (a2 + b2)( c2+ d2) = a2c2+ a2d2+ b2c2+ b2d2=a2c2+ 2abcd+ b2d2+ b2c2 2abcd + a2d2= (ac+bd)2+ (bc ad)2. a, b, c, d是整數(shù)，ac+ bd與bc ad都是整數(shù)，mn也是“完美數(shù)”.5 .解：(1)6不是“尼爾數(shù)”；39是“尼爾數(shù)”；設(shè)a = 3n+1, b=3n1(其中n為自然數(shù))， K=

36、 (3n+ 1)2+(3n-1)2-(3n+1)(3 n-1)= 2X9n2 + 2X1-(9 n2- 1) =9n2 + 3,所有“尼爾數(shù)” 一定被9除余3.設(shè)這兩個(gè)“尼爾數(shù)”分別為 9吊+ 3, 9n2+3, 其中 母n為整數(shù)，則(9吊+3)(9n2+3) = 189, n2 n2= 21. ( n)( m- n)=1X21 或 3X7.m- n -7,3.m= 11,m= 5,n=2.當(dāng) m= 11, n=10時(shí)，9n2 + 3 = 9X 112+3= 1092, 9n2+3=9X 102+ 3 = 903.當(dāng) m= 5, n = 2 時(shí)，9m2+3=9X 52+3 = 228, 229

37、n +3= 9X2 +3= 39.答：這兩個(gè)“尼爾數(shù)”分別是 1092和903或228和39.類型3.整除問(wèn)題例 3.解：(1)11 =1 + 10= 2+9=3+8=4+7=5 + 6, 且 1X10<2X 9<3X 8<4X 7<5X 6,所以 F(11) =5X 6=30.(2)設(shè)此數(shù)為1bc,由題可得10+b=2m+ 1，由得：10+b為奇數(shù)，所以b為奇數(shù)； 100+10b+c=3n + 2，由得：1+b+ c+1 是 3 的倍數(shù);1 + b+c+1 = k2.(其中m, n, k為整數(shù))又因?yàn)?1&b09, 1&c&9,所以 401+b

38、+c+1020,所以1 + b+c+1只能等于9,即b+c = 7.所以當(dāng)b=1時(shí)，c = 6,此數(shù)為116.當(dāng)b=3時(shí)，c = 4,此數(shù)為134;當(dāng)b=5時(shí)，c = 2,此數(shù)為152;當(dāng)b=7時(shí)，c = 0,此數(shù)為170;當(dāng)b=9時(shí)，舍去；所以 F(t)max= F(170) =85X 85= 7225.針對(duì)訓(xùn)練1.解：(1)二.四位數(shù)123k是一個(gè)“精巧數(shù)”，1230+ k是4的倍數(shù)；即 1230+k = 4n,當(dāng) n = 308時(shí)，k = 2;當(dāng) n= 309時(shí)，k=6, . k = 2 或 6;:Zab是“精巧數(shù)”，一. a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，,. a<10, b&l

39、t;10, . - 2 + a+b<22,;各位數(shù)字之，為一個(gè)完全平方數(shù)，.2 + a+b=32 = 9,當(dāng) a= 0時(shí)，b=7；當(dāng) a=2 時(shí)，b = 5;當(dāng) a=4 時(shí)，b=3;當(dāng) a=6 時(shí)，b=1, ，所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”有： 207, 225, 243, 261.2.解：（1）證明：設(shè)這個(gè)四位“兩頭蛇數(shù)”為 1ab1,由題意，得1ab1 3ab= 1001+ 100a + 10b 30a 3b= 1001+ 70a + 7b = 7（143 +10a+b）. a、b為整數(shù)，143+10a+b為整數(shù)， 一個(gè)四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍能被7整除. :16 的真因數(shù)有：1, 2, 4, 8,1 + 2+4+8=15.15=1 + 3+11, . 16 的“親和數(shù)”為 33.設(shè)這個(gè)五位“兩頭蛇數(shù)”為1x4y1,由題意，得與？為整數(shù), 3310x+10y + 6、,詼業(yè)心一 315+ 30x+-2一為整數(shù)，故 10x+10y + 6 = 66,33x = 2