速率方程組與粒子數(shù)反轉ppt課件

1、.速率方程組與粒子數(shù)反轉速率方程組與粒子數(shù)反轉回想回想實現(xiàn)粒子數(shù)反轉的兩個必要條件實現(xiàn)粒子數(shù)反轉的兩個必要條件: : 任務物質(zhì)粒子有適當?shù)哪芗墭嬙烊蝿瘴镔|(zhì)粒子有適當?shù)哪芗墭嬙?有適宜的鼓勵能源有適宜的鼓勵能源前瞻前瞻分析方法分析方法: : 速率方程方法以及速率方程的求解步驟速率方程方法以及速率方程的求解步驟速率方程方法速率方程方法: : 分析粒子系統(tǒng)能否實現(xiàn)反轉的一種方法分析粒子系統(tǒng)能否實現(xiàn)反轉的一種方法 速率方程速率方程: : 描畫各能級粒子數(shù)描畫各能級粒子數(shù)( (密度密度) )變化速率的方程組變化速率的方程組 速率方程的求解步驟速率方程的求解步驟: : (1)(1)列出速率方

2、程列出速率方程: : ( i=1,2,. n)( i=1,2,. n) dtdnin是粒子參予光和物質(zhì)相互作用的能級總數(shù)。假設粒子有是粒子參予光和物質(zhì)相互作用的能級總數(shù)。假設粒子有n個能級個能級, 那么可列出那么可列出n個方程個方程, 其中其中(n-1)個獨立。個獨立。(!可實現(xiàn)粒子數(shù)反轉的幾種量子系統(tǒng)可實現(xiàn)粒子數(shù)反轉的幾種量子系統(tǒng))(2)(2)求出速率方程的穩(wěn)定解求出速率方程的穩(wěn)定解( (數(shù)學解數(shù)學解): ): 求出穩(wěn)態(tài)下求出穩(wěn)態(tài)下 ( ) ( )各能級的粒子數(shù)各能級的粒子數(shù), , 或比值或比值 0dtdniijnn 其中其中nj -nj -激光上能級粒子數(shù)激光上能級粒子數(shù) ni - ni

3、-激光下能級粒子數(shù)激光下能級粒子數(shù)穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)-到達動態(tài)平衡時到達動態(tài)平衡時; ; 穩(wěn)態(tài)下各能級粒子數(shù)密度不再穩(wěn)態(tài)下各能級粒子數(shù)密度不再變化變化 ( (即即 ) )。 0dtdni3 3 確定粒子數(shù)反轉確定粒子數(shù)反轉( (即即 的物理條件的物理條件( (物了解物了解) )1ijnn2.2.1 2.2.1 三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)一一. . 二能級系統(tǒng)二能級系統(tǒng) * *( (光與粒子相互作用過程只涉及二個能級光與粒子相互作用過程只涉及二個能級) )1.1.能級圖能級圖 E1 E2 21 A21 W21 W12 商定商定: : 實線箭頭代表輻射躍遷實線箭頭代表輻射躍遷; ; 虛線箭

4、頭代表非輻射躍遷。虛線箭頭代表非輻射躍遷。其中其中 ：W12W12受激吸收幾率受激吸收幾率( (鼓勵幾率鼓勵幾率) ) W21 W21受激發(fā)射幾率受激發(fā)射幾率 A21 A21自發(fā)發(fā)射幾率自發(fā)發(fā)射幾率 21 21非輻射躍遷幾率非輻射躍遷幾率( (熱弛豫等熱弛豫等, , 熱弛豫即熱弛豫即熱運動熱運動 碰撞交換能量碰撞交換能量) ) 雙下標代表過程的量雙下標代表過程的量 dtndnW1212dtndnW2221dtndnA2221 2. 2.速率方程速率方程: : 二能級系統(tǒng)只需二能級系統(tǒng)只需1 1個獨立的速率方程個獨立的速率方程方程中的每一項方程中的每一項: :某一過程的幾率與該過程始態(tài)能級上的粒

5、子數(shù)之積某一過程的幾率與該過程始態(tài)能級上的粒子數(shù)之積 = = 該過程該過程導致的粒子數(shù)變化率導致的粒子數(shù)變化率(!) (!) 能級能級E2E2上粒子數(shù)密度的變化率為上粒子數(shù)密度的變化率為 ：2212212211122nnAnWnWdtdn 第一項第一項受激吸收引起的受激吸收引起的n2n2的添加率的添加率, , 取正號取正號 ( (過程幾率與過程始態(tài)上粒子數(shù)的乘積過程幾率與過程始態(tài)上粒子數(shù)的乘積); ); 第二項第二項受激發(fā)射引起的受激發(fā)射引起的n2n2的減少率的減少率, , 取負號取負號; ; 第三項第三項自發(fā)發(fā)射引起的自發(fā)發(fā)射引起的n2n2的減少率的減少率, , 取負號取負號; ; 第四項第

6、四項非輻射躍遷引起的非輻射躍遷引起的n2n2的減少率的減少率, , 取負號。取負號。 E1 E2 21 A21 W21 W12 假設設假設設 g1=g2 , 那么那么 W12=W21=W, 速率方程變?yōu)樗俾史匠套優(yōu)?21221212)(nnAnnWdtdn 3.穩(wěn)定解穩(wěn)定解(數(shù)學解數(shù)學解): 穩(wěn)態(tài)下穩(wěn)態(tài)下 , 故故 02dtdn212112AWWnn 可見可見: 對二能級系統(tǒng)對二能級系統(tǒng), 普通總有普通總有 ; 僅當鼓勵速率很大時僅當鼓勵速率很大時 ( ), 12nn 212112 AW12nn 4. 4.結論結論( (物了解物了解): ): 在光頻區(qū)在光頻區(qū), , 二能級系統(tǒng)不能夠實現(xiàn)粒子數(shù)

7、二能級系統(tǒng)不能夠實現(xiàn)粒子數(shù) 反轉反轉二二. . 實現(xiàn)上下能級之間粒子數(shù)反轉產(chǎn)生激光的物理過程：實現(xiàn)上下能級之間粒子數(shù)反轉產(chǎn)生激光的物理過程：1. 1. 三能級系統(tǒng)圖三能級系統(tǒng)圖: :其中其中 E1 E1基態(tài)能級基態(tài)能級, , 又是激光下能級又是激光下能級, , 也是抽運能級。也是抽運能級。 E2 E2激光上能級激光上能級, , 是亞穩(wěn)能級是亞穩(wěn)能級( 21( 21小小) )。 E3 E3抽運能級抽運能級, , 非輻射躍遷幾率大非輻射躍遷幾率大(32(32大大(!)(!) 其主要特征是激光的下能級為基態(tài)，極易積累粒子(幾乎聚集了一切粒子),發(fā)光過程中下能級的粒子數(shù)不斷保管有相當?shù)臄?shù)量,對抽運的要

8、求很高。所以不易實現(xiàn)粒子數(shù)反轉32n1n2n3n 假設激光下能級不是基態(tài), 那么反轉條件較易實現(xiàn) - 這正是要討論的四能級系統(tǒng)的優(yōu)點 由圖可見:四能級系統(tǒng)要實現(xiàn)粒子數(shù)反轉, 只需求n2n1而不用令n2 n0,而n0那么是極易積累的基態(tài)粒子數(shù)。E0:基能級基能級/光抽運能級光抽運能級E1:不是基態(tài)能級，而是一個激發(fā)態(tài)能不是基態(tài)能級，而是一個激發(fā)態(tài)能,是激光下能級是激光下能級, 10小小 而而10大大(迅速弛豫到迅速弛豫到E0, 抽空抽空E1, 減少減少n1)在常溫下根本上是空的。在常溫下根本上是空的。E2: 激光上能級激光上能級/亞穩(wěn)能級亞穩(wěn)能級(易積累易積累n2)E3: 光抽運能級光抽運能級,

9、 32小而小而32 大大(迅速弛豫到迅速弛豫到E2) 2. 四能級系統(tǒng)圖:10 3. 3.激光下能級粒子數(shù)與基態(tài)粒子數(shù)的比較激光下能級粒子數(shù)與基態(tài)粒子數(shù)的比較: : 實例實例: (三價釹離子三價釹離子) 3dNeVh25. 010eVkT062. 0 45 . 9210110)/exp(ekThnn01nn ,而常溫下(T=300K) 即即2.2.2 2.2.2 速率方程組速率方程組一一.未思索譜線增寬時的情況未思索譜線增寬時的情況1.三能級系統(tǒng) A31 W31 W13 31 32 W21 W12 A21 21 E3 E1 E2 商定: 實線箭頭代表輻射躍遷; 虛線箭頭代表非輻射躍遷。 (1)

10、.速率方程: 3個能級應有2個獨立方程33131323311133)(nAnWnWdtdn 3113WW但31nn 113331113nWnWnW故且3132 331321133)(nAnWdtdn而22121211123322)(nWAnWndtdn021 221211123322)(nWAnWndtdn三能級系統(tǒng)激光任務物質(zhì)的典型例子是紅寶石晶體。紅寶石在室溫下的一些躍遷幾率數(shù)據(jù)為: 320.5107s-l A313105s-1,A210.3103s-1,21,310. (2).穩(wěn)定解(數(shù)學解): 故由1)有023dtdndtdn31321133AnWn代入2有21211231323213

11、12)(AWWAWnn 3132A 2121121312AWWWnn331321133)(nAnWdtdn221211123322)(nWAnWndtdn(1)(2) 當激光器任務到達穩(wěn)定時,抽運和躍遷到達動平衡，各能級上粒子數(shù)密度并不隨時間而改動，即： (3)當當 ( (如紅寶石如紅寶石), ), 那么那么 , , 得得 , , 于是于是21gg 2112BB 2112WW 2121211312WAWWnn(3)(3)要實現(xiàn)粒子數(shù)反轉即要實現(xiàn)粒子數(shù)反轉即 , , 應該滿足應該滿足112nn2113AW (4). (4).物了解物了解: : 三能級系統(tǒng)粒子數(shù)反轉三能級系統(tǒng)粒子數(shù)反轉( ( 即即

12、 的物理條的物理條 件是：件是： 必需使從基態(tài)必需使從基態(tài)E1E1到到E3E3的抽運速率的抽運速率W13W13大于從大于從 E2 E2到到E1E1的的 自發(fā)發(fā)射幾率自發(fā)發(fā)射幾率A21. A21. 即即W13W13A21A21112nn0n A31 W31 W13 31 32 W21 W12 A21 21 E3 E1 E2 這里對W13的要求很高,由于這一緣由, 除紅寶石激光器采用三能級系統(tǒng)外, 目前大多數(shù)激光器都采用激光下能級不是基態(tài)的四能級系統(tǒng).選擇任務物質(zhì)的一條規(guī)范: 粒子有易于實現(xiàn)反轉的能級構造.2.四能級系統(tǒng)(1)能級圖 E1 E2 E3 E4 W14 A41 41 W24 A32 W

13、23 32 W32 43 21 12 (2)用以上方法可得其數(shù)學解:)1)()/exp(12143232211423WWAkThWnn(4)四能級系統(tǒng)中四能級系統(tǒng)中 1)/exp(21kTh(3)物理條件: 比較(4)式與三能級系統(tǒng)的(3)即 2121211312WAWWnn可見:四能級系統(tǒng)要實現(xiàn)粒子數(shù)反轉,所需鼓勵速率 遠小于三能級 系統(tǒng)的 ;所需抽運強度遠低于三能級。因此，四能級系統(tǒng)的閾值抽運強度比三能級系統(tǒng)小，有時甚至可以小34個數(shù)量級。產(chǎn)生激光要比三能級系統(tǒng)容易得多。14W13W1. 1. 圖圖(2-5)(2-5)為簡化的四能級圖，為簡化的四能級圖，n0n0、n1n1、n2n2分別為基

14、態(tài)、上能級、下能分別為基態(tài)、上能級、下能級的粒子數(shù)密度；級的粒子數(shù)密度；n n為單位體積內(nèi)增益介質(zhì)的總粒子數(shù)，為單位體積內(nèi)增益介質(zhì)的總粒子數(shù)，R1R1、R2R2分別是鼓分別是鼓勵能源將基態(tài)勵能源將基態(tài)E0E0上的粒子抽運到上的粒子抽運到E1E1、E2E2能級上的速率；能級上的速率； 2. 2.速率方程速率方程: 3: 3個能級應有個能級應有2 2個獨立方程個獨立方程(1)E2(1)E2能級在單位時間內(nèi)添加的粒子數(shù)密能級在單位時間內(nèi)添加的粒子數(shù)密度為：度為：)()( 121212212212121221222fBnfBnAnRWnWnAnRdtdn第一項第一項鼓勵能源抽運引起的鼓勵能源抽運引起的

15、n2n2的添加率的添加率, , 取正號取正號; ;第二項第二項自發(fā)發(fā)射引起的自發(fā)發(fā)射引起的n2n2的減少率的減少率, , 取負號取負號; ;第三項第三項受激發(fā)射引起的受激發(fā)射引起的n2n2的減少率的減少率, , 取負號取負號; ;第四項第四項受激吸收引起的受激吸收引起的n2n2的添加率的添加率, , 取正號取正號; ;)(02121vfBW 此處由于思索到介質(zhì)的線型函數(shù)遠比傳播著的光能量密度為 的單色受激輻射光的線寬要寬得多,故運用(1-54)式和(1-55)式)(01212vfBW由于E2能級向E1能級的自發(fā)躍遷幾率A21遠大于E2能級向基級能級E0的自發(fā)躍遷幾率A20 ,所以這里沒有思索由

16、A20引起的躍遷.圖(2-5)簡化的四能級圖0n1n2n二二.思索譜線增寬時的情況思索譜線增寬時的情況?(2)E1(2)E1能級在單位時間內(nèi)添加的粒子數(shù)密度為：能級在單位時間內(nèi)添加的粒子數(shù)密度為：圖(2-5)簡化的四能級圖0n1n2n101121212212110112121221211)()( AnfBnfBnAnRAnWnWnAnRdtdn式中各項的物理過程及物理意義好像以上所述.總的粒子數(shù)為各能級粒子數(shù)之和nnnn210)()( 121212212212121221222fBnfBnAnRWnWnAnRdtdn101121212212110112121221211)()( AnfBnfB

17、nAnRAnWnWnAnRdtdn210nnnn速率方程組速率方程組 以上三式即為在增益介質(zhì)中同時存在抽運、吸收、自發(fā)輻射和受激輻射時各能級上的粒子數(shù)密度隨時間變化的速率方程組。2.2.3 2.2.3 穩(wěn)態(tài)任務時的粒子數(shù)密度反轉分布穩(wěn)態(tài)任務時的粒子數(shù)密度反轉分布一一. . 當激光器任務到達穩(wěn)定時當激光器任務到達穩(wěn)定時, ,抽運和躍遷到達動態(tài)平衡，各抽運和躍遷到達動態(tài)平衡，各能級上粒子數(shù)密度并不隨時間而改動，即：能級上粒子數(shù)密度并不隨時間而改動，即： 0210dtdndtdndtdn 假設能級E2、E1的簡并度相等，即g1=g2，因此有B12=B21，又以為E2能級向E1能級的自發(fā)躍遷幾率遠大于

18、E2能級向基態(tài)E0的自發(fā)躍遷幾率，即A2=A21 那么有：將上兩式相加可得：1211111121)()(RRnnAnRR0)()(12121221222fBnBnAnRdtdn0)()(1112121221211AnfBnBnAnRdtdn)(1)()( )()()(212212121222122112122fBfBRRRfBAfBRRRn1212122121212212)()(1)()(RRfBfBRRRnnn)(1)(1)(212021212122fBnfBRRR由上幾式可得：那么激光上下能級粒子數(shù)密度反轉分布的表達式為：式中1、 2 分別為上、下能級的壽命2.2.4 2.2.4 小信號任

19、務時的粒子數(shù)密度反轉分布小信號任務時的粒子數(shù)密度反轉分布)(1)(1)(21202121212212fBnfBRRRnnn 由式 可得： 一一. .小信號粒子數(shù)密度反轉分布小信號粒子數(shù)密度反轉分布121220)(RRRn0n它是當分母中的第二項為零時的粒子數(shù)密度反轉分布值。而分母中的第二項一定是個正值，因此它又是粒子數(shù)密度反轉分布值能夠到達的最大值。顯然只需在諧振腔中傳播的單色光能密度能夠趨近于零( 0即I 0)，換句話說，參數(shù) 對應著諧振腔的單色光能密度為零或者近似為零時的粒子數(shù)密度反轉分布的大小。 0n參數(shù) 對應著激光諧振腔尚未發(fā)出激光時的形狀(入射光不含 )，通常把這個形狀叫作小信號任務

20、形狀，而參數(shù) 就被稱作是小信號任務時的粒子數(shù)密度反轉分布。 0n0nhEE12n0稱作小信號反轉集居數(shù)密度,它正比于受激輻射上能級壽命2及激發(fā)幾率R2. 二二. .小信號粒子數(shù)反轉的物理條件小信號粒子數(shù)反轉的物理條件: : 121220)(RRRn1. 1. 激光上能級激光上能級E2E2的壽命要長的壽命要長, ,使該能級上的粒子不能隨使該能級上的粒子不能隨便地經(jīng)過非受激輻射而分開便地經(jīng)過非受激輻射而分開; ;2. 2. 激光下能級激光下能級E1E1的壽命要短的壽命要短, ,使該能級上的粒子很快地使該能級上的粒子很快地衰減衰減; ;3. 3. 選擇適宜的鼓勵能源選擇適宜的鼓勵能源, ,使它對介質(zhì)

21、的使它對介質(zhì)的E2E2能級的抽運速能級的抽運速率率R2R2愈大愈好愈大愈好, ,而而E1E1能級的抽運速率能級的抽運速率R1R1愈小愈好愈小愈好. .即滿足條件即滿足條件1212RR 2.2.5 2.2.5 均勻增寬型介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉分布均勻增寬型介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉分布)(1)(1)(21202121212212fBnfBRRRnnn 由式 可知 激光任務物質(zhì)的光譜線型函數(shù)對激光器的任務有很大的影響.具有均勻加寬譜線和具有非均勻加寬譜線的任務物質(zhì)的反轉密度行為有很大差別,由它們所構成的激光器的任務特性也有很大不同,因此將分別予以討論。一一. .對于均勻增寬的介質(zhì)對于均勻增寬的介質(zhì)ff2)

22、()2()(2)(0220且假設介質(zhì)中傳播的光波頻率為 ，那么有：0Icf2)(0;sII2212BcIs其中IcBfB2)(212212飽和光強假設介質(zhì)中傳播的光波頻率 ，那么有：0 )()(22)(2)()(0ffIcfIcIfcf那么有：)()(2)()()(02120212ffIIcBffIfBs普通情況下的粒子數(shù)密度反轉分布可以表示為：2200220000)2)(1 ()()2()(1)()(1IInIInffIInnsss0 0 2200220000) 2)(1 ()() 2()(1)()(1IInIInffIInnsss00這就是均勻增寬型介質(zhì)E2、E1能級之間粒子數(shù)反轉分布的表

23、達式。它給出能級間粒子數(shù)反轉分布值與腔內(nèi)光強、光波的中心頻率、介質(zhì)的飽和光強、鼓勵能源的抽運速率以及介質(zhì)能級的壽命等參量的關系。(2-10)均勻增寬情形均勻增寬情形: :只需入射光頻率在譜線線寬范圍內(nèi)只需入射光頻率在譜線線寬范圍內(nèi), , 一切粒子一切粒子 都參與受激發(fā)射都參與受激發(fā)射/ /吸收吸收; ;2.2.6 2.2.6 均勻增寬型介質(zhì)粒子數(shù)密度反轉分布的飽和效應均勻增寬型介質(zhì)粒子數(shù)密度反轉分布的飽和效應 本節(jié)研討本節(jié)研討: :反轉粒子數(shù)密度反轉粒子數(shù)密度n n的飽和效應討論的飽和效應討論n n與各種與各種要素的關系，引出要素的關系，引出n n飽和效應飽和效應的概念。的概念。一一. .粒子

24、數(shù)反轉分布粒子數(shù)反轉分布n n 飽和效應飽和效應: :介質(zhì)已實現(xiàn)粒子數(shù)反轉并達介質(zhì)已實現(xiàn)粒子數(shù)反轉并達到閾值。入射光中含頻率到閾值。入射光中含頻率 時時, , 劇烈的受激發(fā)射使激劇烈的受激發(fā)射使激光上能級光上能級 的粒子數(shù)的粒子數(shù) 迅速減少迅速減少, , 隨入射光強隨入射光強I I 增大反而增大反而下降的景象下降的景象. .nhEE122E2n圖(2-5)簡化的四能級圖0n1n2n)(1)(1 )(1)(212021202121212212IfcBnfBnfBRRRnnn 由式 可知： 可見可見: :只需有只需有 的光入射的光入射( )( )，必有飽和，必有飽和n nn0 n0 hEE120

25、I 飽和緣由:入射光引起劇烈的受激發(fā)射使激光上能級粒子 數(shù)減少。 二二. . n n與入射光頻率與入射光頻率v v的關系的關系: : 2200220000)2)(1 ()()2()(1)()(1IInIInffIInnsss0 0 討論 時時: (入射光頻率等于譜線中心頻率入射光頻率等于譜線中心頻率)0可見可見: I: I一定時一定時, , 對不同入射光頻率對不同入射光頻率v, v, n n不同不同. .sIInn10 只需只需 , , 必有必有 有飽和效應有飽和效應; ; 0I0nn 假設假設 , , , , 飽和效應顯著。飽和效應顯著。 sII 2/0nn0IsIv這是由于中心頻率處受激輻射幾率最大，所以入射光呵斥的反轉集居數(shù)下降越嚴重。 時時: (入射光頻率偏離譜線中心頻率時入射光頻率偏離譜線中心頻率時)0 可見可見: : 只需只需 , , 那那么么 , , 仍有飽和效應仍有飽和效應. . 0 I0nn210sII在處sII 時0022220220220432)2/()2/(2)2/