sp-5 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉分析

1、第五章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉分析引言n本章主要討論DTFT，DFT及其快速算FFTn離散化處理對(duì)信號(hào)的的真實(shí)頻譜造成的影響n離散化時(shí)，信號(hào)原有的信息是否受損離散化時(shí)，信號(hào)原有的信息是否受損n如何計(jì)算抽樣信號(hào)的頻譜？如何計(jì)算抽樣信號(hào)的頻譜？n信號(hào)截?cái)鄷r(shí)，信號(hào)的頻譜會(huì)如何改變？信號(hào)截?cái)鄷r(shí)，信號(hào)的頻譜會(huì)如何改變？ n如何利用離散信號(hào)的抽樣值直接計(jì)算離散信號(hào)的譜如何利用離散信號(hào)的抽樣值直接計(jì)算離散信號(hào)的譜值呢？值呢？ n利用有限數(shù)目的離散譜值，如何恢復(fù)抽樣信號(hào)？利用有限數(shù)目的離散譜值，如何恢復(fù)抽樣信號(hào)？n如何解決編程實(shí)現(xiàn)中的大計(jì)算量問題？如何解決編程實(shí)現(xiàn)中的大計(jì)算量問題？抽樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的

2、頻譜的關(guān)系 n用離散信號(hào)的頻譜來分析研究連續(xù)信號(hào)的頻譜（可認(rèn)為是對(duì)連續(xù)信號(hào)頻譜的第一次近似）n設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的頻譜函數(shù)為的頻譜函數(shù)為X(f)，對(duì)信號(hào)按時(shí)間間隔，對(duì)信號(hào)按時(shí)間間隔T抽樣，得如下抽樣信號(hào)：抽樣，得如下抽樣信號(hào)：n利用每二章學(xué)過的知識(shí)，對(duì)上面的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，得利用每二章學(xué)過的知識(shí)，對(duì)上面的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，得n nn即：信號(hào)時(shí)域抽樣（離散化），將使得頻譜周期重復(fù)，抽樣即：信號(hào)時(shí)域抽樣（離散化），將使得頻譜周期重復(fù)，抽樣信號(hào)的頻譜等于原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜倍乘信號(hào)的頻譜等于原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜倍乘fs后周期重復(fù)。后周期重復(fù)。n抽樣定理 fs2fcn在奈奎斯特

3、區(qū)間內(nèi)，模擬信號(hào)的頻譜可以n（1）滿足抽樣定理時(shí)，用抽樣信號(hào)的頻譜來還原；）滿足抽樣定理時(shí)，用抽樣信號(hào)的頻譜來還原；n（2）若不滿足，則用抽樣信號(hào)的頻譜來近似。）若不滿足，則用抽樣信號(hào)的頻譜來近似。抽樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜的關(guān)系 5.1 抽樣信號(hào)頻譜的數(shù)值計(jì)算 離散時(shí)間傅里葉變換DTFTn從抽樣信號(hào)我們獲得了信號(hào)的一些離散值n如何利用抽樣信號(hào)來計(jì)算抽樣信號(hào)的頻譜 n具體的數(shù)值計(jì)算方法 用離散序列值計(jì)算抽樣信號(hào)的頻譜 （傅里葉變換定（傅里葉變換定義式，赫茲域）義式，赫茲域） （將抽樣信號(hào)的（將抽樣信號(hào)的表達(dá)式代入）表達(dá)式代入） （將積分與求和（將積分與求和的次序互換）的次序互換） （沖

4、激函數(shù)的特（沖激函數(shù)的特性）性）n式中，式中， 是理想抽樣后各沖激點(diǎn)沖激信是理想抽樣后各沖激點(diǎn)沖激信號(hào)的沖激強(qiáng)度值序列。因此，只要有了連續(xù)時(shí)間信號(hào)號(hào)的沖激強(qiáng)度值序列。因此，只要有了連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣序列，就能通過上式計(jì)算出抽樣信號(hào)的頻譜來！的抽樣序列，就能通過上式計(jì)算出抽樣信號(hào)的頻譜來！即即n n這就是序列這就是序列x(nT)的的離散時(shí)間傅里葉變換離散時(shí)間傅里葉變換，記為，記為DTFT用離散序列值計(jì)算抽樣信號(hào)的頻譜 關(guān)于DTFT公式的幾點(diǎn)說明：（1） 抽樣信號(hào)的頻譜僅從抽樣值x(nT)即可算出。（2） 是f的周期函數(shù)，周期為fs。即 因此，在進(jìn)行頻譜分析的時(shí)候，可以只關(guān)心奈奎斯特頻率區(qū)間-fs

5、/2，fs/2。 （3） 如何求DTFT的逆變換？ （4） 數(shù)值近似問題。 （5） 工程近似問題。 （a）在時(shí)域，只能保留x(nT)有限數(shù)目的值，如L個(gè)樣本，n=0,1L-1。所以要用截?cái)嗲蠛蛠斫粕鲜剑?（b）在頻域，也只能保留有限的頻譜值，即只在一些離散的頻率處對(duì) 取樣，用有限的離散值來近似原來的周期連續(xù)頻譜(離散傅里葉變換DFT)。（6） Z變換。從上式可以導(dǎo)出Z變換與DTFT的關(guān)系。令 ，則 關(guān)于DTFT公式的幾點(diǎn)說明：頻率歸一的DTFT n用抽樣序列的DTFT所得的頻譜，是一個(gè)以抽樣頻率fs為周期的周期頻譜。為了研究方便，我們對(duì)這個(gè)周期頻譜進(jìn)行頻率歸一化，用歸一頻率 作為新的頻率變量

6、，于是 如果用角頻率來表示就是如果用角頻率來表示就是 用歸一化頻譜求時(shí)域序列的逆變換的公式如下：用歸一化頻譜求時(shí)域序列的逆變換的公式如下： 頻率歸一的DTFTn不必再關(guān)心信號(hào)的抽樣間隔，而只需將得到的信號(hào)抽樣值順次保存起來，再作變換即可，從而大大方便了抽樣信號(hào)在計(jì)算機(jī)等數(shù)字處理設(shè)備上的分析處理。因此，今后，在不致引起混淆的情況下，我們用x(n)來代表x(nT)。n為了與信號(hào)的實(shí)際物理頻率區(qū)別開，我們稱歸一化處理后的“頻率”為數(shù)字頻率（歸一化頻率 ），單位為弧度/樣本（對(duì)應(yīng)數(shù)字角頻率）或赫茲/樣本（對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率）。頻率歸一的DTFTn頻率歸一化的理解：（1） 對(duì)于序列而言，時(shí)間間隔Ts并非必須的

7、，將其視為1也就不會(huì)帶來什么問題。（2） 對(duì)于序列對(duì)應(yīng)的連續(xù)頻譜，都是周期的，這個(gè)周期由信號(hào)的采樣頻率完全決定。而信號(hào)的采樣頻率是可以變化的，也就是可以按照實(shí)際需要給出。換言之，連續(xù)譜的周期并不是一個(gè)特別重要的限制條件。 （3） 對(duì)于周期譜，我們通常只需（也只能如此）關(guān)心和存儲(chǔ)一個(gè)周期的內(nèi)容，因此，周期的具體大小沒什么影響。因此，我們把頻譜的周期統(tǒng)一歸整為是可行的。當(dāng)然，在必要的時(shí)候，要恢復(fù)（求解）數(shù)字頻率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際物理頻率也是非常容易的。DTFT的基本性質(zhì) n(1) 周期性： 在數(shù)字頻率意義下，奈奎斯特區(qū)間為 ，為研究方便，通常使用 作為奈奎斯特區(qū)間。n(2) 線性：n(3) 平移：n時(shí)移

8、特性：時(shí)移特性： n頻移特性：頻移特性： ，ak為常數(shù)為常數(shù) DTFT的基本性質(zhì)n(4) 反褶、共軛：n反褶：反褶： n共軛：共軛： n(5) 時(shí)域擴(kuò)展 序列的時(shí)域擴(kuò)展定義如下： 它的DTFT為n (6) 頻域微分(時(shí)域線性加權(quán)) DTFT的基本性質(zhì)n(7) 卷積定理 設(shè)設(shè)時(shí)域卷積：時(shí)域卷積： 頻域卷積：頻域卷積： n(8) 帕斯瓦爾定理 例題n例4.1 求單位沖激序列的DTFT( ( )( )1j nnDTFTnn en例4.2 求矩形脈沖序列的DTFT10/2/2/2/2/2/2(1)/21( )( )1()()sin(/2)sin(/2)jNNj nj nNNjnnjNjNjNjjjj

9、NeDTFT GnGn eeeeeeeeeNe)()(jjeeX 例題)(jeX24 N0)(2043 43n)()(4nRnx 0123451G例4.3 單邊指數(shù)序列)()(nuanxn 1 a nnjjenxeX)()( 0nnjneajae 11 以上序列的以上序列的z變換為變換為111)( azzXaz RezImzj1a當(dāng)當(dāng)|a|1，單位圓被包含在收斂域中，所以，單位圓被包含在收斂域中，所以jezjaezXeXj 11)()(n)(nx0123450 an)(nx01 23450 ajDTFTnaenua 11)(即即例題例題n例4.4 求有限長序列x(n)=4,3,2,1,2,3,

10、4的DTFTn解：n那么 為多少？0()jX e例例4.5 已知已知X(ej)=DTFTx(n)，試求序列，試求序列x(n)。424231)( ) 1 (jjjjeeeeX) 1( 11)( )2(aaeeXjjccjeX001)( ) 3(解：解：由定義由定義nnjjenxeX)()(32)3()2() 1 ()0(jjjexexexx4)4(, 0)3(, 2)2(, 3) 1 (, 1)0(xxxxx)4(4)2(2) 1(3)()(nnnnnx例題 (2)見例見例4.3cc-21)(denxnjcc-21ndjejnnjccnjejn21)(21njnjcceejnnncsin1nnc

11、ccsinnncccsin)(nSacc)(jeXcc)(nxn0 123 4c DTFT 由定義由定義-)(21)(deeXnxnjj)(jeXcc加窗序列的DTFT n到目前為止，在數(shù)字信號(hào)處理中，我們所得到的 是X(f)的最好近似。然而，在工程上也仍是不可計(jì)算的，還需要無窮多的抽樣點(diǎn)x(n)， 。n為此，必須對(duì)X(f)作進(jìn)一步的近似，即用有限數(shù)目抽樣樣本的頻譜來近似無窮多樣本點(diǎn)序列的頻譜！n這種近似過程，實(shí)際上是對(duì)抽樣信號(hào)在時(shí)域加窗的操作。加窗序列的DTFTn加窗后可以認(rèn)為信號(hào)在窗口外為零，在窗口內(nèi)等于原信號(hào)的值，即寬為L的矩形窗可定義為： 則加窗后的信號(hào)可定義為： 加窗序列的DTFT這

12、樣加窗前后信號(hào)的頻譜為這樣加窗前后信號(hào)的頻譜為 加窗序列的DTFTn加窗對(duì)序列頻譜的影響 設(shè)矩形窗設(shè)矩形窗W(n)的的DTFT頻譜函數(shù)為頻譜函數(shù)為 利用利用DTFT的卷積定理性質(zhì)，序列加窗后的的卷積定理性質(zhì)，序列加窗后的DTFT頻譜密度函數(shù)為頻譜密度函數(shù)為 因此，加窗序列的頻譜將是原序列的頻譜與窗序列頻譜的卷積，因此，加窗序列的頻譜將是原序列的頻譜與窗序列頻譜的卷積，下面我們來看看這種頻譜卷積對(duì)于原頻譜的影響。下面我們來看看這種頻譜卷積對(duì)于原頻譜的影響。根據(jù)矩形窗的定義，將根據(jù)矩形窗的定義，將w(n)=1代入，可得代入，可得 n加窗對(duì)序列頻譜的影響 其幅度譜為其幅度譜為 頻譜示意圖如下：頻譜示

13、意圖如下： 加窗序列的DTFT定義主瓣的寬度為定義主瓣的寬度為 加窗序列的DTFTn加窗對(duì)序列頻譜的影響 即主瓣寬度即主瓣寬度(頻率分布范圍頻率分布范圍) 由窗信號(hào)的持續(xù)時(shí)間由窗信號(hào)的持續(xù)時(shí)間(時(shí)間長度時(shí)間長度)唯一決定。唯一決定。若頻譜分析所要求的頻率分辨率為若頻譜分析所要求的頻率分辨率為 ，則所需信號(hào)樣本的最小數(shù)目為：，則所需信號(hào)樣本的最小數(shù)目為： 這也是窗函數(shù)序列的實(shí)際長度。這也是窗函數(shù)序列的實(shí)際長度。加窗序列的DTFTn一般來講，加窗會(huì)對(duì)序列的頻譜產(chǎn)生兩種主要的影響：（1） 信號(hào)的頻譜分辨率將降低?？煞直娴淖钚☆l率間隔受限于數(shù)信號(hào)的頻譜分辨率將降低?？煞直娴淖钚☆l率間隔受限于數(shù)據(jù)記錄的

14、長度（實(shí)際上是窗函數(shù)的時(shí)間長度據(jù)記錄的長度（實(shí)際上是窗函數(shù)的時(shí)間長度 ）。）。（2） 將高頻噪音引入了信號(hào)的頻譜。這些高頻分量是信號(hào)將高頻噪音引入了信號(hào)的頻譜。這些高頻分量是信號(hào)x(n)在在矩形窗的左右兩個(gè)邊緣因被截?cái)喽l(fā)生突變?cè)斐傻摹＞匦未暗淖笥覂蓚€(gè)邊緣因被截?cái)喽l(fā)生突變?cè)斐傻?。總之，窗函?shù)頻譜的主瓣寬度決定了總之，窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度決定了DTFT總的能達(dá)到的頻率分總的能達(dá)到的頻率分辨率，而窗函數(shù)的旁瓣則決定了辨率，而窗函數(shù)的旁瓣則決定了DTFT總的頻率泄漏。頻率泄漏是加總的頻率泄漏。頻率泄漏是加窗操作引入的副作用，它可能與信號(hào)中那些較小的諧波分量處的主瓣窗操作引入的副作用，它可能與信號(hào)中

15、那些較小的諧波分量處的主瓣相混淆，因此應(yīng)該盡可能的減少或減輕頻率泄漏。相混淆，因此應(yīng)該盡可能的減少或減輕頻率泄漏。5.2 離散傅里葉變換離散傅里葉變換DFT連續(xù)時(shí)間傅里葉變換連續(xù)時(shí)間傅里葉變換CTFT不適宜于在數(shù)字不適宜于在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。其主要原因?yàn)椋浩渲饕驗(yàn)椋盒盘?hào)覆蓋了整個(gè)時(shí)間軸（時(shí)間受限信號(hào)除外）信號(hào)是時(shí)間連續(xù)的（定義域是連續(xù)的）信號(hào)的頻譜覆蓋了整個(gè)頻譜軸（頻帶受限信號(hào)除外）信號(hào)的頻譜是連續(xù)的時(shí)域要離散、有限！ 頻譜要離散、有限！時(shí)域周期延拓時(shí)域截?cái)鄷r(shí)域抽樣解決信號(hào)的離散化問題解決信號(hào)的離散化問題工程上無法處理時(shí)間無限信號(hào)工程上無法處理時(shí)間無限信號(hào)要使頻率離散

16、，就要使時(shí)域變成周期信號(hào)要使頻率離散，就要使時(shí)域變成周期信號(hào)時(shí)域乘以矩形脈沖信號(hào)，頻域相當(dāng)于和抽樣函數(shù)卷積通過窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行逐段截取連續(xù)信號(hào)離散化使得信號(hào)的頻譜被周期延拓周期延拓中的搬移通過與 的卷積來實(shí)現(xiàn)周期延拓后的周期函數(shù)具有離散譜)(snTt 通過與抽樣信號(hào)相乘得到經(jīng)過抽樣、截?cái)嗪脱油睾螅盘?hào)時(shí)域和頻域都是離散、周期的。DFT的推導(dǎo)有 卷 積 波 紋NN原 函 數(shù)用 于 抽 樣抽 樣 后用 于 截 斷截 斷 后用 于 延 拓延 拓 后定 義 D FT疊 加 干 涉0 t0 t0 t0 t0 t0 t0 t0 t 或 nTs0 f 或 kf00 f0 f0 f0 f0 f0 f0 fDF

17、T的定義n設(shè)信號(hào)的數(shù)據(jù)長度為L，其N點(diǎn)DFT定義為信號(hào)的DTFT在奈奎斯特區(qū)間 上N個(gè)等間距的頻率點(diǎn)處的頻譜密度值，即信號(hào)的N點(diǎn)DFT結(jié)果是N個(gè)頻譜密度值。在奈奎斯特區(qū)間上均勻分布的N個(gè)DFT頻率為 根據(jù)根據(jù)DFT的定義，將這些頻率值代入的定義，將這些頻率值代入DTFT的頻譜公式中，得的頻譜公式中，得 DFT的定義nDFT是是DTFT的一種特殊均勻抽樣方式：（的一種特殊均勻抽樣方式：（為什么說它為什么說它特殊呢？特殊呢？）它的頻段范圍是整個(gè)奈奎斯特區(qū)間，因此，）它的頻段范圍是整個(gè)奈奎斯特區(qū)間，因此，要考察的頻率點(diǎn)的位置僅與要考察的頻率點(diǎn)的位置僅與DFT要求的點(diǎn)數(shù)要求的點(diǎn)數(shù)N有關(guān)有關(guān)（因?yàn)槌槿》?/p>

18、圍是固定的因?yàn)槌槿》秶枪潭ǖ模?duì)所有的）。對(duì)所有的N點(diǎn)點(diǎn)DFT來講，來講，它們所涉及的頻率點(diǎn)位置都是一樣的，即它們所涉及的頻率點(diǎn)位置都是一樣的，即 因此，通常我們可以將因此，通常我們可以將N點(diǎn)點(diǎn)DFT直接寫作直接寫作 DFT的定義若令若令 ，則上式可以簡記為，則上式可以簡記為 其中，其中， 與與DFT的點(diǎn)數(shù)的點(diǎn)數(shù)N有關(guān)，稱為有關(guān)，稱為DFT的旋轉(zhuǎn)因子。的旋轉(zhuǎn)因子。這可以看作是這可以看作是DFT的另一種更直接的定義式。的另一種更直接的定義式。DFT的定義 從數(shù)學(xué)上看，序列的N點(diǎn)DFT可以看作是一個(gè)線性矩陣變換，即將L維的時(shí)域向量變成N維的頻域向量的一種線性變換。即： 其中，其中，L 是數(shù)據(jù)記

19、錄中時(shí)域樣本的數(shù)目，它可能是無限的；是數(shù)據(jù)記錄中時(shí)域樣本的數(shù)目，它可能是無限的；N 則是對(duì)則是對(duì)DTFT進(jìn)行抽樣的頻率的數(shù)目。進(jìn)行抽樣的頻率的數(shù)目。 通常在討論通常在討論DFT時(shí)，一般都假定時(shí)，一般都假定LN。 DFT的定義DFT的定義補(bǔ)零與回繞補(bǔ)零與回繞N點(diǎn)等間隔采樣點(diǎn)等間隔采樣補(bǔ)零與回繞n當(dāng)然，如果取變換區(qū)間N32，即在有限長離散時(shí)間序列尾部補(bǔ)零更多位，則32點(diǎn)的DFT譜線更密。這是因?yàn)樵鲩L觀察時(shí)間，可提高頻率分辨率。但DFT頻譜的包絡(luò)，始終與非周期序列 的離散時(shí)間傅立葉變換DTFT的連續(xù)頻譜曲線一致。這又表明DFT是DTFT連續(xù)頻譜的離散化。n補(bǔ)零的結(jié)果是對(duì)已經(jīng)截?cái)嗟玫降男盘?hào)的頻譜分辨率

20、的提高，而不是對(duì)原來未截?cái)嗟男盘?hào)的分辨率的提高。 補(bǔ)零與回繞n回繞n任意兩個(gè)序列，只要它們的回繞序列是相等的，那么它們的DFT結(jié)果也就是相等的。因此，多個(gè)完全不同的序列，可以對(duì)應(yīng)完全相同的DFT結(jié)果！換句話說，也就是一個(gè)DFT結(jié)果實(shí)際上對(duì)應(yīng)著多個(gè)序列！ 補(bǔ)零與回繞n如果序列的長度L小于DFT點(diǎn)數(shù)N，可以通過補(bǔ)零使它們相等，并且這不會(huì)影響DFT結(jié)果；而當(dāng)序列長度L大于DFT點(diǎn)數(shù)N時(shí)，單個(gè)DFT結(jié)果會(huì)對(duì)應(yīng)多個(gè)時(shí)域信號(hào)。這就是說：序列短了（LN）會(huì)發(fā)生多個(gè)序列對(duì)應(yīng)同一個(gè)DFT結(jié)果，運(yùn)算就不是可逆的了。 離散傅里葉逆變換IDFT 或NjNeW/2變換核定義變換核定義IDFT的第二種實(shí)現(xiàn)方法n說明IDF

21、T可以與DFT共享同一個(gè)算法實(shí)現(xiàn)。 離散傅里葉逆變換IDFT“同一同一DFT結(jié)果對(duì)應(yīng)著多個(gè)信號(hào)結(jié)果對(duì)應(yīng)著多個(gè)信號(hào)”，這里所求出的只是原，這里所求出的只是原始信號(hào)的回繞信號(hào)。它們之間的關(guān)系如下圖所示：始信號(hào)的回繞信號(hào)。它們之間的關(guān)系如下圖所示： 只有在只有在 時(shí)，才不會(huì)有回繞發(fā)生時(shí)，才不會(huì)有回繞發(fā)生 DFT的頻譜特點(diǎn)n通過DFT所得的頻譜n（1）是離散的這是顯然的，因?yàn)椋┦请x散的這是顯然的，因?yàn)镈FT對(duì)對(duì)DTFT連續(xù)譜的抽樣；連續(xù)譜的抽樣；n（2）也是周期的（關(guān)于下標(biāo)）也是周期的（關(guān)于下標(biāo)k，周期是，周期是N）這）這是是DTFT頻譜的周期性的體現(xiàn)（頻譜的周期性的體現(xiàn)（DTFT是抽樣信號(hào)的是抽樣信

22、號(hào)的傅里葉變換，時(shí)域抽樣所以頻域周期）。傅里葉變換，時(shí)域抽樣所以頻域周期）。 DFT的頻譜特點(diǎn)DFT的頻譜特點(diǎn)DFT的頻譜特點(diǎn)n周期性序列的序列的N點(diǎn)的點(diǎn)的DFT離散譜關(guān)于下標(biāo)離散譜關(guān)于下標(biāo)k是周期的，周期為是周期的，周期為N，即，即 n實(shí)序列頻譜的共軛對(duì)稱性若若 是實(shí)序列，其是實(shí)序列，其N點(diǎn)點(diǎn)DFT關(guān)于原點(diǎn)和關(guān)于原點(diǎn)和N/2都都具有共軛對(duì)稱性，即具有共軛對(duì)稱性，即 關(guān)于原點(diǎn)共軛對(duì)稱：關(guān)于原點(diǎn)共軛對(duì)稱： 或或 關(guān)于關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對(duì)稱點(diǎn)共軛對(duì)稱(N為偶數(shù)為偶數(shù))： 或或 推論：推論：實(shí)序列的實(shí)序列的DFT頻譜關(guān)于原點(diǎn)和頻譜關(guān)于原點(diǎn)和N/2點(diǎn)是幅度對(duì)稱的。點(diǎn)是幅度對(duì)稱的。DFT的性質(zhì)n線性 n若

23、若 則則DFT的性質(zhì)n時(shí)移特性（圓周移位）顯然，上式中顯然，上式中 ，因此序列的時(shí)移不會(huì)影響，因此序列的時(shí)移不會(huì)影響DFT頻譜的幅度。頻譜的幅度。 另外，還可以根據(jù)回繞序列的另外，還可以根據(jù)回繞序列的DFT與原序列的與原序列的DFT的關(guān)系，來的關(guān)系，來證明上面的特性。證明上面的特性。 最后，還可以通過引入圓周移位（也稱循環(huán)移位）的概念，最后，還可以通過引入圓周移位（也稱循環(huán)移位）的概念，對(duì)對(duì)DFT的時(shí)移特性作出解釋。的時(shí)移特性作出解釋。 即不是直接在直線上對(duì)序列進(jìn)行普通的移位，而是將序列看成即不是直接在直線上對(duì)序列進(jìn)行普通的移位，而是將序列看成是排列在一個(gè)是排列在一個(gè)N等分的圓周上，等分的圓周

24、上，N個(gè)樣本點(diǎn)首尾相接，平移個(gè)樣本點(diǎn)首尾相接，平移m個(gè)單位是在圓周上進(jìn)行的，即讓序列沿著圓周按一定的方向要個(gè)單位是在圓周上進(jìn)行的，即讓序列沿著圓周按一定的方向要求求“轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)”m個(gè)單位！當(dāng)然，序列沿圓周移位后，序列的起點(diǎn)個(gè)單位！當(dāng)然，序列沿圓周移位后，序列的起點(diǎn)位置還是原先的位置，只不過不是對(duì)應(yīng)原先的元素了。位置還是原先的位置，只不過不是對(duì)應(yīng)原先的元素了。DFT的性質(zhì)n時(shí)移特性（圓周移位） 將將 x(n) 周期延拓周期延拓( (周期周期 N ) )，得，得 x(n)N 將將 x(n)N 左移或右移左移或右移 m點(diǎn)點(diǎn)，得，得 x(nm)N 截取截取 x(nm)N 的主值序列即得。的主值序列即得。

25、( )()( )NNy nx nmRnDFT的性質(zhì)n時(shí)移特性（圓周移位） 周期序列移位時(shí)，在周期序列移位時(shí)，在 0, N-1區(qū)間，從該區(qū)間一端移出的序區(qū)間，從該區(qū)間一端移出的序列值，與從另一端移入的序列列值，與從另一端移入的序列值相同，所以值相同，所以x(n)的圓周移位的圓周移位相當(dāng)于其序列值在圓上的旋轉(zhuǎn)。相當(dāng)于其序列值在圓上的旋轉(zhuǎn)。如：如：N=8x(6)x(4)x(0)x(1)x(2)x(3)x(5)x(N-1)0有限長序列的圓周移位有限長序列的圓周移位左移左移順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)右移右移逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)DFT的性質(zhì)n時(shí)移特性（圓周移位）對(duì)于序列的反褶運(yùn)算、奇偶對(duì)稱性的判斷等，也可以在圓

26、周上進(jìn)行。對(duì)于序列的反褶運(yùn)算、奇偶對(duì)稱性的判斷等，也可以在圓周上進(jìn)行。 例：例：已知已知 5點(diǎn)有限長序列點(diǎn)有限長序列 x(n)=5,4,3,2,1155( )(2)( )2,1,5,4,3y nx nR n266( )(2)( )1,0,5,4,3,2ynx nR n355( )(2)( )3,2,1,5,4y nx nR n線性移位序列：線性移位序列：(2)x n(2)x n線性右移線性右移線性左移線性左移圓周移位序列：圓周移位序列： ( (N=5) )( (N=6) )圓周圓周右移右移( (N=5) )圓周左圓周左移移466( )(2)( )3,2,1,0,5,4ynx nR n( (N=

27、6) )0, 0 ,5, 4, 3, 2,15, 4, 3, 2,1DFT的性質(zhì)DFT的性質(zhì)n頻移特性如果序列的如果序列的DFT頻譜在頻域發(fā)生平移，與結(jié)果將導(dǎo)致序列在時(shí)頻譜在頻域發(fā)生平移，與結(jié)果將導(dǎo)致序列在時(shí)域發(fā)生一定的改變。域發(fā)生一定的改變。 這個(gè)定理表明，如果序列在時(shí)域乘以指數(shù)項(xiàng)這個(gè)定理表明，如果序列在時(shí)域乘以指數(shù)項(xiàng)W-nl，則離散傅里葉，則離散傅里葉變換就向右圓移變換就向右圓移l單位。這可以看作是調(diào)制信號(hào)的頻譜搬移，也稱單位。這可以看作是調(diào)制信號(hào)的頻譜搬移，也稱調(diào)制定理。調(diào)制定理。 DFT的性質(zhì)n對(duì)稱性DFT的對(duì)稱性與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的對(duì)稱性非常類似的對(duì)稱性與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的對(duì)稱性

28、非常類似 即如果將某序列的即如果將某序列的DFT變換結(jié)果，當(dāng)作一個(gè)新的時(shí)域序列進(jìn)變換結(jié)果，當(dāng)作一個(gè)新的時(shí)域序列進(jìn)行行DFT，所得的頻譜與原序列有如下的關(guān)系存在，所得的頻譜與原序列有如下的關(guān)系存在 上面的公式表明，當(dāng)對(duì)離散譜再次進(jìn)行上面的公式表明，當(dāng)對(duì)離散譜再次進(jìn)行DFT運(yùn)算時(shí)，得到的運(yùn)算時(shí)，得到的結(jié)果是原時(shí)域序列反褶的結(jié)果是原時(shí)域序列反褶的N倍。顯然，如果原序列具有偶對(duì)倍。顯然，如果原序列具有偶對(duì)稱性，則其稱性，則其DFT結(jié)果就是原時(shí)域序列的結(jié)果就是原時(shí)域序列的N倍了。倍了。 DFT的性質(zhì)n反褶與共軛特性序列反褶，對(duì)應(yīng)頻域也反褶：序列反褶，對(duì)應(yīng)頻域也反褶： 序列共軛，頻域共軛加反褶：序列共軛，

29、頻域共軛加反褶： 序列反褶加共軛，頻域共軛：序列反褶加共軛，頻域共軛： 時(shí)域時(shí)域頻域頻域反褶反褶反褶反褶共軛共軛共軛共軛反反褶褶共軛共軛反褶反褶共軛共軛DFT的性質(zhì)n奇偶虛實(shí)特性（a）對(duì)奇對(duì)稱和偶對(duì)稱的序列）對(duì)奇對(duì)稱和偶對(duì)稱的序列 奇函數(shù)的奇函數(shù)的DFT是奇函數(shù)；是奇函數(shù)； 偶函數(shù)的偶函數(shù)的DFT是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。（b）對(duì)實(shí)序列：）對(duì)實(shí)序列：實(shí)偶函數(shù)的實(shí)偶函數(shù)的DFT是實(shí)偶函數(shù)；實(shí)奇函數(shù)的是實(shí)偶函數(shù)；實(shí)奇函數(shù)的DFT是虛奇函數(shù)。是虛奇函數(shù)。實(shí)函數(shù)的實(shí)函數(shù)的DFT，其實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；其模是偶，其實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；其模是偶函數(shù)，而相位是奇函數(shù)。函數(shù)，而相位是奇函數(shù)。（c）對(duì)

30、虛序列：）對(duì)虛序列：虛偶函數(shù)的虛偶函數(shù)的DFT是虛偶函數(shù)；虛奇函數(shù)的是虛偶函數(shù)；虛奇函數(shù)的DFT是實(shí)奇函數(shù)。是實(shí)奇函數(shù)。虛函數(shù)的虛函數(shù)的DFT，其實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)；其模是偶，其實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)；其模是偶函數(shù)，而相位是奇函數(shù)。函數(shù)，而相位是奇函數(shù)。DFT的性質(zhì)n奇偶虛實(shí)特性舉例DFT的性質(zhì)n奇偶虛實(shí)特性舉例利用上面的式子可以計(jì)算出一個(gè)利用上面的式子可以計(jì)算出一個(gè)N點(diǎn)復(fù)序列的點(diǎn)復(fù)序列的DFT的同時(shí)，的同時(shí)，計(jì)算出兩個(gè)計(jì)算出兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列的點(diǎn)實(shí)序列的DFT。DFT的性質(zhì)n時(shí)域卷積定理 時(shí)域卷積是一個(gè)很常見的運(yùn)算，這一方面是因?yàn)闀r(shí)域卷積是一個(gè)很常見的運(yùn)算，這一方面是因?yàn)榫€性時(shí)線性時(shí)

31、不變的特性不變的特性 ，另一方面是因?yàn)閷?duì)頻譜進(jìn)行濾波處理時(shí)，要在，另一方面是因?yàn)閷?duì)頻譜進(jìn)行濾波處理時(shí)，要在頻域進(jìn)行乘法頻域進(jìn)行乘法，從而導(dǎo)致信號(hào)（序列）在時(shí)域發(fā)生卷積。，從而導(dǎo)致信號(hào)（序列）在時(shí)域發(fā)生卷積。 DFT的性質(zhì)n時(shí)域卷積定理時(shí)域圓周卷積DFT中的卷積定理是另外一種解釋中的卷積定理是另外一種解釋 如果將本性質(zhì)換一種形式表達(dá)，改寫成逆變換的形式，則有如果將本性質(zhì)換一種形式表達(dá)，改寫成逆變換的形式，則有 即序列即序列DFT乘積對(duì)應(yīng)的序列是原序列卷積的回繞。乘積對(duì)應(yīng)的序列是原序列卷積的回繞?？勺C得可證得 DFT的性質(zhì)n時(shí)域卷積定理時(shí)域圓周卷積記做記做這樣，如果我們把傳統(tǒng)卷積過程中所包含的這樣

32、，如果我們把傳統(tǒng)卷積過程中所包含的“平移平移”操作改為操作改為“圓圓移移”，即相當(dāng)于同時(shí)完成，即相當(dāng)于同時(shí)完成“平移平移”和和“回繞回繞”操作，則上面的這種對(duì)操作，則上面的這種對(duì)序列序列x(m)和和y(m)而言是特殊的而言是特殊的“卷積卷積”運(yùn)算，仍舊與傳統(tǒng)的卷積運(yùn)運(yùn)算，仍舊與傳統(tǒng)的卷積運(yùn)算一樣，包含了算一樣，包含了“反褶反褶”、“移位移位”、“乘積乘積”與與“求和求和”等步驟。等步驟。（只不過這時(shí)的（只不過這時(shí)的“移位移位”實(shí)際上是圓周上的移位）。實(shí)際上是圓周上的移位）。 DFT的性質(zhì)既是為了突出這兩種卷積之間的不同之處，也是為了突出它既是為了突出這兩種卷積之間的不同之處，也是為了突出它們之

33、間的相同處，我們可以稱過去定義的卷積為們之間的相同處，我們可以稱過去定義的卷積為“線卷積線卷積”，而定義這里新引入的特殊形式的卷積為而定義這里新引入的特殊形式的卷積為“圓卷積圓卷積”，同時(shí)引，同時(shí)引入一個(gè)新的卷積符號(hào)來表示這種運(yùn)算入一個(gè)新的卷積符號(hào)來表示這種運(yùn)算 n時(shí)域卷積定理時(shí)域圓周卷積圓卷積編程實(shí)現(xiàn)容易圓卷積編程實(shí)現(xiàn)容易DFT的性質(zhì)n帕斯瓦爾定理n頻域卷積DFT的快速算法FFTn在數(shù)字信號(hào)處理（如濾波器設(shè)計(jì)）、信號(hào)的頻譜分析（如在通信、圖像傳輸、雷達(dá)、聲納等中的頻譜分析）、系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)等方面，都會(huì)大量用到DFT計(jì)算。 n直接按定義計(jì)算DFT的計(jì)算量太大 DFT的快速算法FFTnDF

34、T的算法復(fù)雜度n由由IDFT與與DFT定義可知二者的運(yùn)算量完全相同的定義可知二者的運(yùn)算量完全相同的n通常，通常，x(n)和和 都是復(fù)數(shù)，算得的都是復(fù)數(shù)，算得的X(k)也是復(fù)數(shù)，也是復(fù)數(shù)，因此每計(jì)算一個(gè)因此每計(jì)算一個(gè)X(k)值，都需要值，都需要N次復(fù)數(shù)乘法次復(fù)數(shù)乘法（x(n)與與 相乘）以及（相乘）以及（N-1）次復(fù)數(shù)加法。而）次復(fù)數(shù)加法。而序列序列X(k)一共有一共有N個(gè)點(diǎn)（個(gè)點(diǎn)（k從從0取到取到N-1），所以要），所以要完成整個(gè)完成整個(gè)DFT運(yùn)算總共需要運(yùn)算總共需要N2次復(fù)數(shù)乘法及次復(fù)數(shù)乘法及N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。次復(fù)數(shù)加法。DFT的快速算法FFTnDFT直接計(jì)算的問題DFT的快速算法FF

35、Tn假設(shè)序列為假設(shè)序列為2，3，3，210233200000NNNNWWWWXjWWWWXNNNN12332 1 32100233226420NNNNWWWWXjWWWWXNNNN1233239630復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法 N(N-1)復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法 N 2DFT的快速算法FFTnDFT直接計(jì)算的問題DFT的快速算法FFTnDFT計(jì)算的改進(jìn)思路基于W的兩個(gè)性質(zhì)n周期性周期性n對(duì)稱性對(duì)稱性DFT的快速算法FFTnDFT計(jì)算的改進(jìn)思路將上面的性質(zhì)應(yīng)用到前面的矩陣中，可以簡化為DFT的快速算法FFTDFT的快速算法FFTnFFT算法分類n按時(shí)間抽?。ò磿r(shí)間抽取（DIT）的）的FFT算法算法n按頻率抽?。?/p>

36、按頻率抽?。―IF）的）的FFT算法算法n基基-2FFT算法：算法： N為為2的整數(shù)冪的的整數(shù)冪的FFT算法算法DFT的快速算法FFTnDIT-FFT12/.210) 12()()2()(21Nrrxrxrxrx，將序列將序列x(n)按按n的奇偶分成兩組：的奇偶分成兩組：10)()()(NnknNWnxnxDFTkXkrNnNrrkNnNrWrxWrx)12(12/0212/0) 12()2( 為奇為偶 )(12/02/2)(2/12/0121)()(kXNrrkNkNkXrkNNrWrxWWrx)()()(21kXWkXkXkN記：記： （1 1）rkNrkNWW2/2（這一步利用：（這一步

37、利用： ）,0,1,./2 1r kN將將N點(diǎn)點(diǎn)DFT定義式分解為兩個(gè)長度為定義式分解為兩個(gè)長度為N/2的的DFTDIT-FFTDITFFT再利用周期性求再利用周期性求X(k)的后半部分的后半部分/22NkNkkNNNNWWWW 又)(2)()()(222112/02/112/0)2/(2/11kXkNXkXWrxWrxkNXNrrkNNrkNrNrkNkNrNWW2/)2/(2/)2()2()2()2(12/,.2 , 1 , 0)()()(2)2/(121kNXWkNXkNXNkkXWkXkXkNNkN，12/,.2 , 1 , 0)()(21NkkXWkXkN，N=2xk=x0, x1 1 0002xWxX 1 0 1 12xWxX0 x 1 x0X-102W 1 X 1 002xWx基2時(shí)間抽取FFT的算法流程x0 x2x1x3X10X11X20X212點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT111104W14W02W02WX 0X 1X 2X 31 , 0,241mmXWmXmXm1 , 0,2241mmXWmXmXm4點(diǎn)基2時(shí)間抽取FFT算法流程4點(diǎn)基2時(shí)間抽取FFT算法流程4點(diǎn)DFT4點(diǎn)DFTx0 x2x4x6x1x3x5x7X10X11X12X13X20X21X22X23X 0X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7 111111108W