八年級數(shù)學下冊 1.4 角平分線的性質 勾股定理中的數(shù)學思想素材 新版湘教版

1、s4s3s2s1圖 1l321勾股定理中的數(shù)學思想勾股定理中的數(shù)學思想 勾股定理是平面幾何有關度量的最基本定理,它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征.同學們在學習時,不僅要靈活運用該定理及逆定理,而且還要注意在解題中蘊涵著豐富的數(shù)學思想.比如數(shù)形結合思想、轉化思想、方程思想等.現(xiàn)舉出幾例進行分析,供同學們參考. 一、一、數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想例例 1.1. 在直線 l 上依次擺放著七個正方形(如圖 1 所示),已知斜放置的三個正方形的面積分別是 1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是 s1、s2、s3、s4,則s1+s2+s3+s4= .分析分析:經過觀察圖形,可以看出正放著正方形面

2、積與斜放置的正方形之間關系為: s1+s2=1;s2+s3=2; s3+s4=3;這樣數(shù)形結合可把問題解決.解解: s1代表的面積為 s1的正方形邊長的平方, s2代表的面積為 s2的正方形邊長的平方,所以 s1+s2=斜放置的正方形面積為 1;同理 s3+s4=斜放置的正方形面積為 3,故s1+s2+s3+s4=1+3=4.二、轉化思想二、轉化思想例 2. 如圖 2,長方體的長為 15cm,寬為 10cm,高為 20cm,點 b 離點 c 的距離是 5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點 a 爬到點 c,需要爬行的最短路徑是多少?分析:螞蟻實際上是在長方體的側面上爬行,如果將長方體的側面

3、展開(如圖 2-1),根據(jù)“兩點之間線段最短.” 所以求得的路徑就是側面展開圖中線段 ac 之長,但展開方式有 3 種,這樣通過側面展開圖把立體圖形轉化為平面圖形,構造成直角三角形,利用勾股定理便可求解.解:如圖所示,把長方體展開后得到如圖 2-1、圖 2-2、圖 2-3 三種情形,螞蟻爬行的路徑為展開圖中的 ac 長,根據(jù)勾股定理可知:在圖 2-1 中,ac2=ab22bc=30225=925圖 2-2 中, ac2=ad22cd=202215=625圖 2-3 中, ac2= ad22cd=252210=725 于是,根據(jù)上面三種展開情形中的 ac 長比較,最短的路徑是在圖 2-2 中,故

4、螞蟻從 a 點爬行到點 c,最短距離為 25cm. 三、三、方程思想方程思想例 3. 如圖 3,鐵路上 a、b 兩點相距 25km,c、d 兩點為村莊，daab 于 a，cbab 于 b，已知 da=15km，cb=10km?，F(xiàn)在要在鐵路 ab 上建一個農貿市場 e，使得 c、d 兩村到農貿市場e 的距離相等，則農貿市場 e 應建在距 a 站多少 km 處？圖 3edcba分析：這是一個實際生活中的問題，從圖中可以看出，如果單獨解直角三角形，這時條件不夠，根據(jù)題意，不妨把兩個直角三角形同時考慮進去，設未知數(shù)，如果設 ae=x，結合勾股定理，抓住等量關系“de=ce”列出方程就可以解決問題了。解

5、：設 ae=x km，由勾股定理得，15)25(102222xx解此方程得 x=10故農貿市場 e 應建在鐵路上離 a 站 10km 處。四、四、分類討論思想分類討論思想例 4. 已知直角三角形的兩邊長分別為 5 和 12,求第三邊長.分析:已知直角三角形的兩邊的長度,并沒有指明哪一條邊是斜邊,因此要分類討論.解:(1)當 5 和 12 均是直角邊時,則由勾股定理可得斜邊的長度為22125 =13;(2)當 5 是直角邊,12 是斜邊時,則由勾股定理可得另一直角邊長為11951222. 綜合(1)、（2）得第三邊的長為 13 或119。 kjhgfedcbadcba試一試試一試( (供同學們練

6、習）供同學們練習）1.（荊州市）如圖所示的長方體是某種飲料的紙質包裝盒，規(guī)格為 5610(單位：cm)，在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為 13cm， 小孔到圖中邊 ab 距離為 1cm，到上蓋中與ab 相鄰的兩邊距離相等，設插入吸管后露在盒外面的管長為 hcm，則 h 的最小值大約為_cm.（精確到個位） （參考數(shù)據(jù)：21.4, 31.7, 52.2）2. 如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是 4/,高為 3,若一只小蟲從 a 點出發(fā)沿著圓柱的側面爬行到點 c,則小蟲爬行的最短路程是 . 答案:53. 如圖,設四邊形 abcd 是邊長為 1 的正方形,以正方形 abcd 的對角線 ac 為邊作第二個正方形 acef,再以第二個正方形的對角線 ae 為邊作第三個正方形 aegh,如此下去 (1)記正方形 abcd 的邊長為, 11a依上述方法所作的正方形的邊長依次為,.,432naaaa