應(yīng)用題專題應(yīng)用

1、引言：引言： 素質(zhì)教育呼喚應(yīng)用意識(shí)，近幾年來的高考試題增強(qiáng)了對(duì)密切素質(zhì)教育呼喚應(yīng)用意識(shí)，近幾年來的高考試題增強(qiáng)了對(duì)密切聯(lián)系生產(chǎn)和生活實(shí)際的應(yīng)用性問題的考查力度，突出對(duì)能力的考聯(lián)系生產(chǎn)和生活實(shí)際的應(yīng)用性問題的考查力度，突出對(duì)能力的考查查重視應(yīng)用，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)分析問題的解決問重視應(yīng)用，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)分析問題的解決問題的能力。題的能力。 分析近幾年高考應(yīng)用性問題不難得出，試題從實(shí)際出發(fā)提供分析近幾年高考應(yīng)用性問題不難得出，試題從實(shí)際出發(fā)提供公平背景，設(shè)問新穎、靈活，而解決這些問題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、公平背景，設(shè)問新穎、靈活，而解決這些問題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中

2、數(shù)學(xué)大綱所要求掌握的概念、公式、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中數(shù)學(xué)大綱所要求掌握的概念、公式、定理和法則等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法。定理和法則等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法。 解決應(yīng)用性問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：解決應(yīng)用性問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：實(shí)際問題實(shí)際問題 分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化建立數(shù)學(xué)模型（列數(shù)學(xué)關(guān)系式）建立數(shù)學(xué)模型（列數(shù)學(xué)關(guān)系式）數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果實(shí)際結(jié)果實(shí)際結(jié)果回答問題回答問題解決應(yīng)用性問題的關(guān)鍵是讀題解決應(yīng)用性問題的關(guān)鍵是讀題懂題懂題建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。 例例1、如圖，有一塊半徑為、如圖，有一塊半徑為r的半圓形鋼板，計(jì)的

3、半圓形鋼板，計(jì)劃剪成等腰梯形劃剪成等腰梯形abcd的形狀，它的下底的形狀，它的下底ab是是 o的直徑，上底的直徑，上底cd的端點(diǎn)在圓周上的端點(diǎn)在圓周上.寫出這個(gè)梯形周寫出這個(gè)梯形周長(zhǎng)長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)和腰長(zhǎng)x的函數(shù)式，并求出它的定義域的函數(shù)式，并求出它的定義域.分析分析：周長(zhǎng)（：周長(zhǎng)（y）=2ad+cd =2x+cd關(guān)鍵是如何把關(guān)鍵是如何把cd用用x來表示。來表示。而而cd=ef=ab-2ae=2r-2aeabcdoef要求要求ae，則在三角形，則在三角形aed中考查。中考查。 adb是直角三角形，是直角三角形，de是斜邊是的是斜邊是的高高rxaeraead2222從而有從而有y=2x+（2r- ）

4、即即y= - 2x+2r （0 xr）rx2rx2 例例2、某種商品進(jìn)貨單價(jià)為、某種商品進(jìn)貨單價(jià)為40元，按單價(jià)每個(gè)元，按單價(jià)每個(gè)50元售出，能元售出，能賣出賣出50個(gè)個(gè).如果零售價(jià)在如果零售價(jià)在50元的基礎(chǔ)上每上漲元的基礎(chǔ)上每上漲1元，其銷售量就元，其銷售量就減少一個(gè)，問零售價(jià)上漲到多少元時(shí)，這批貨物能取得最高利減少一個(gè)，問零售價(jià)上漲到多少元時(shí)，這批貨物能取得最高利潤(rùn)潤(rùn).分析分析：利潤(rùn)利潤(rùn)= =（零售價(jià)（零售價(jià)進(jìn)貨單價(jià)）銷售量進(jìn)貨單價(jià)）銷售量零售價(jià)零售價(jià)5051 5253 . 50+x銷售量銷售量5049 4847 . 50-x故有：設(shè)利潤(rùn)為故有：設(shè)利潤(rùn)為 y元，零售價(jià)上漲元，零售價(jià)上漲x元

5、元 y=（50+x-40）（）（50-x） （其中（其中 0 x50）y=-x2+40 x+500900202xy時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)20900 x即零售價(jià)上漲到零售價(jià)上漲到70元時(shí)，這批貨物能取得最高利潤(rùn)元時(shí)，這批貨物能取得最高利潤(rùn).最高利潤(rùn)為最高利潤(rùn)為900元元. 例例 3、某鄉(xiāng)為提高當(dāng)?shù)厝罕姷纳钏?，由政府投資興建了甲、某鄉(xiāng)為提高當(dāng)?shù)厝罕姷纳钏?，由政府投資興建了甲、乙兩個(gè)企業(yè)，乙兩個(gè)企業(yè)，1997年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤(rùn)年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤(rùn)320萬元，從乙企業(yè)獲萬元，從乙企業(yè)獲得利潤(rùn)得利潤(rùn)720萬元。以后每年上交的利潤(rùn)是：甲企業(yè)以萬元。以后每年上交的利潤(rùn)是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞倍

6、的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤(rùn)的增，而乙企業(yè)則為上一年利潤(rùn)的 。根據(jù)測(cè)算，該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)獲。根據(jù)測(cè)算，該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)獲得的利潤(rùn)達(dá)到得的利潤(rùn)達(dá)到2000萬元可以解決溫飽問題，達(dá)到萬元可以解決溫飽問題，達(dá)到8100萬元可以達(dá)到萬元可以達(dá)到小康水平小康水平.（1）若以）若以1997年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)最少年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)最少的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？（2）試估算）試估算2005年底該鄉(xiāng)能否達(dá)到小康水平？為什么？年底該鄉(xiāng)能否達(dá)到小康水平？為什么？32分析分析：本題是考慮

7、該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)中獲得利潤(rùn)問題。本題是考慮該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)中獲得利潤(rùn)問題。該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)中獲得的總利潤(rùn)該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)中獲得的總利潤(rùn)=甲上繳利潤(rùn)甲上繳利潤(rùn)+乙上繳利潤(rùn)乙上繳利潤(rùn)年份年份 97（n=1） 98（n=2） 99（n=3） 2000（n=4）（第（第n年）年）甲企業(yè)甲企業(yè) 乙企業(yè)乙企業(yè) 320720720320 5 .. 132023272035 . 132033272015 . 1320n132720n略解略解：（1）設(shè)第設(shè)第n年該鄉(xiāng)從兩企業(yè)獲得總利潤(rùn)為年該鄉(xiāng)從兩企業(yè)獲得總利潤(rùn)為y萬元。萬元。 y= +15 . 1320n132720n9603272023320

8、211nn當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，即時(shí)，即98年總利潤(rùn)最少為年總利潤(rùn)最少為y=960萬元。萬元。故還需籌集故還需籌集2000-960=1040萬元才能解決溫飽問題。萬元才能解決溫飽問題。（2）2005年時(shí)，年時(shí)，n=9此時(shí)此時(shí)y= =8201.25+28.985 . 13208327208200即即2005年底該鄉(xiāng)能達(dá)到小康水平。年底該鄉(xiāng)能達(dá)到小康水平。 例例4、 某縣一中計(jì)劃把一塊邊長(zhǎng)為某縣一中計(jì)劃把一塊邊長(zhǎng)為20米的等邊三角形米的等邊三角形abc的的邊角地辟為植物新品種實(shí)驗(yàn)基地，圖中邊角地辟為植物新品種實(shí)驗(yàn)基地，圖中de需把基地分成面積相需把基地分成面積相等的兩部分，等的兩部分，d在在a

9、b上，上，e在在ac上。上。 （1） 設(shè)設(shè)ad=x(x10)，ed=y，試用，試用x表示表示y的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式； （2） 如果如果de是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，則希望它是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，則希望它最短，最短，de的位置應(yīng)該在哪里？如果的位置應(yīng)該在哪里？如果de是參觀線路，則希望它是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，最長(zhǎng)，de的位置又應(yīng)該在哪里？說明現(xiàn)由。的位置又應(yīng)該在哪里？說明現(xiàn)由。分析分析要求y與x的函數(shù)關(guān)系式，就是找出de與ad的等量關(guān)系。（1）三角形）三角形ade中角中角a為為600 故由余弦定理可得故由余弦定理可得y、x、ae三者關(guān)系。三者關(guān)系。abcadess21（

10、2）（ii）若）若de做為輸水管道，則需求做為輸水管道，則需求y的最小值。的最小值。 等號(hào)成立；等號(hào)成立；,210104,210200400200104242242時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)xxxxxy,)20(432160sin21,212aexssabcade;,200由余弦定理得中在adexae2010200104242xxxy解：（解：（i）abc的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為20米，米，d在在ab上，則上，則10 x20。則則200104,400,10042ttytx,400100,104)(214tttttf任取若若de做為參觀線路，須求做為參觀線路，須求y的最大值。的最大值。令令設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)100t1t2200

11、時(shí)，時(shí)，104t1t24104,t1t2-41040，又，又t1-t20,f(t1)f(t2)，則則f(t)在在100，200上是減函數(shù)。上是減函數(shù)。214212124214121104)()104()104()()(t tt ttttttttftf210 x故若故若de是輸水管道的位置，則需使是輸水管道的位置，則需使若若de是參觀線路，則需使是參觀線路，則需使x=10或或20310300 naxy210 x210300miny當(dāng)當(dāng)t=200，即，即當(dāng)當(dāng)t=100或或t=400即即x=10或或20時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)200t1t2400時(shí)，時(shí)，4104t1t20，又，又t1-t20,f(t1)ac即甲

12、航空線較短。即甲航空線較短。具體解答過程同具體解答過程同學(xué)們課后整理。學(xué)們課后整理。例例6、荊州市某電腦公司在市區(qū)和洪湖各有一分公司，市區(qū)分公、荊州市某電腦公司在市區(qū)和洪湖各有一分公司，市區(qū)分公司現(xiàn)有電腦司現(xiàn)有電腦6臺(tái)，洪湖分公司有同一型號(hào)電腦臺(tái)，洪湖分公司有同一型號(hào)電腦12臺(tái)，宜昌某單位臺(tái)，宜昌某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)電腦向該公司購(gòu)買該型號(hào)電腦10臺(tái)，荊門某單位向該公司購(gòu)買該型臺(tái)，荊門某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)電腦號(hào)電腦8臺(tái)，已知市區(qū)運(yùn)往宜昌和荊門每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是臺(tái)，已知市區(qū)運(yùn)往宜昌和荊門每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是40元和元和30元，洪湖運(yùn)往宜昌和荊門每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是元，洪湖運(yùn)往宜昌和荊門每

13、臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是80元和元和50元元（1）設(shè)從洪湖調(diào)運(yùn)）設(shè)從洪湖調(diào)運(yùn)x臺(tái)至宜昌，該公司運(yùn)往宜昌和荊門的總運(yùn)臺(tái)至宜昌，該公司運(yùn)往宜昌和荊門的總運(yùn)費(fèi)為費(fèi)為y元，求元，求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；（2）若總運(yùn)費(fèi)不超過）若總運(yùn)費(fèi)不超過1000元，問能有幾種調(diào)運(yùn)方案？元，問能有幾種調(diào)運(yùn)方案？（3） 求總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案及最低運(yùn)費(fèi)求總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案及最低運(yùn)費(fèi)荊州洪湖宜昌荊門有6臺(tái)有12臺(tái)（要10臺(tái)）（要8臺(tái)）40元元/臺(tái)臺(tái)30元元/臺(tái)臺(tái)80元元/臺(tái)臺(tái)50元元/臺(tái)臺(tái)公司購(gòu)買單位數(shù)量 運(yùn)費(fèi)荊州洪湖宜昌宜昌荊門荊門xx-410-x12-x80 x30（x-4）40（10-x）50（12-x

14、）注：注：x取值取值范圍范圍是什是什 么？么？nxx104略解：（略解：（1）設(shè)從洪湖調(diào)運(yùn)）設(shè)從洪湖調(diào)運(yùn)x臺(tái)至宜昌，則由題意可得：臺(tái)至宜昌，則由題意可得： y= 40（10-x）+ 30（x-4）+80 x+ 50（12-x）得：得：y=20 x+880104 xnx（2） 即即 得：得： 而而 故故x=4、5、6 所以有三種調(diào)配方案總運(yùn)費(fèi)不超過所以有三種調(diào)配方案總運(yùn)費(fèi)不超過1000元。元。1000y100088020 x6x104 x（3）顯然）顯然x取最小時(shí)，取最小時(shí)，y值最小。值最小。 即即x=4時(shí)，時(shí)，y最小為最小為960元。元。 例例7、gdp（gross domestic prod

15、uct）稱為國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）稱為國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值. 我我國(guó)這四年國(guó)這四年gdp值如下表：值如下表：年年 1997 1998 1999 2000gdp（萬億元）（萬億元）7.4 7.8 8.2 8.9（1）在右邊坐標(biāo)系畫出表示這四年我國(guó)）在右邊坐標(biāo)系畫出表示這四年我國(guó)gdp的增長(zhǎng)曲線，并根的增長(zhǎng)曲線，并根據(jù)我國(guó)近四年據(jù)我國(guó)近四年gdp增長(zhǎng)規(guī)律，由所繪曲線估計(jì)增長(zhǎng)規(guī)律，由所繪曲線估計(jì)2001年我國(guó)年我國(guó)gdp值值可能在什么范圍內(nèi)；可能在什么范圍內(nèi)；（2）2000年我國(guó)人均年我國(guó)人均gdp約為約為900美元，如果按美元，如果按7.5的年平均增的年平均增長(zhǎng)率計(jì)，經(jīng)過長(zhǎng)率計(jì)，經(jīng)過10年，在年，在2010年時(shí)，

16、可否翻一翻達(dá)到人均年時(shí)，可否翻一翻達(dá)到人均1800美元美元水平？試計(jì)算你的結(jié)果水平？試計(jì)算你的結(jié)果. （要求使用二項(xiàng)式定理進(jìn)行估值計(jì)算要求使用二項(xiàng)式定理進(jìn)行估值計(jì)算）979899000178910年年gdp解：解：（1）由圖，若按）由圖，若按19971999年的規(guī)律增長(zhǎng)，年的規(guī)律增長(zhǎng)，2001年將達(dá)年將達(dá)9.3萬億元；萬億元； 答：答：10年后可以達(dá)到翻一翻的目標(biāo)年后可以達(dá)到翻一翻的目標(biāo).900(1+0.75+0.25)1800. 900（17.5%）10 900(10.750.253)(2)按按7.5的年均增長(zhǎng)率，經(jīng)的年均增長(zhǎng)率，經(jīng)10年后，年后， 人均人均gdp值為值為 2001年我國(guó)年我

17、國(guó)gdp值值y的范圍大致為：的范圍大致為： 9.3至至9.6（萬億元）（萬億元） 若按若按19992000年規(guī)律增長(zhǎng)，年規(guī)律增長(zhǎng)，2001年將達(dá)年將達(dá)9.6萬億元萬億元. 例例8、三臺(tái)機(jī)器人位于一直線上（如圖所示），它們所生產(chǎn)的、三臺(tái)機(jī)器人位于一直線上（如圖所示），它們所生產(chǎn)的零件逐一送到一個(gè)檢驗(yàn)臺(tái)，經(jīng)檢驗(yàn)合格后才能送到下一道工序零件逐一送到一個(gè)檢驗(yàn)臺(tái)，經(jīng)檢驗(yàn)合格后才能送到下一道工序繼續(xù)加工繼續(xù)加工.已知機(jī)器人已知機(jī)器人m1的工作效率為機(jī)器人的工作效率為機(jī)器人m2工作效率的工作效率的2倍，倍，機(jī)器人機(jī)器人m3的工作效率為機(jī)器人的工作效率為機(jī)器人m2工作效率的工作效率的3倍，問檢驗(yàn)臺(tái)應(yīng)倍，問檢驗(yàn)

18、臺(tái)應(yīng)放在何處最好，即各機(jī)器人到檢驗(yàn)臺(tái)所走距離之和最??？放在何處最好，即各機(jī)器人到檢驗(yàn)臺(tái)所走距離之和最?。?分析分析：各機(jī)器人到檢驗(yàn)臺(tái)所走距離之和各機(jī)器人到檢驗(yàn)臺(tái)所走距離之和= m1所走路程所走路程+m2所走路程所走路程+m3所走路程所走路程如何求三者所走路程？如何求三者所走路程？ 設(shè)單位時(shí)間內(nèi)設(shè)單位時(shí)間內(nèi)m m2 2完成完成n n個(gè)零件；則個(gè)零件；則m m1 1、m m3 3分別完成分別完成2n2n、3n3n個(gè)。再設(shè)檢驗(yàn)臺(tái)在數(shù)軸上坐標(biāo)為個(gè)。再設(shè)檢驗(yàn)臺(tái)在數(shù)軸上坐標(biāo)為x x 。332212xxxny同學(xué)們課后去完成該題解答同學(xué)們課后去完成該題解答 例例9、漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量為、漁場(chǎng)中魚群的最大

19、養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚群由足夠的生噸，為保證魚群由足夠的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)空閑量長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)空閑量.已知魚群的年增長(zhǎng)量已知魚群的年增長(zhǎng)量y噸和實(shí)際養(yǎng)魚量噸和實(shí)際養(yǎng)魚量x噸與空閑率的乘積成正比，噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為比例系數(shù)為k, (k0)（1） 寫出關(guān)于的函數(shù)寫出關(guān)于的函數(shù)y關(guān)于關(guān)于x關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2） 求魚群年增長(zhǎng)量的最大值；求魚群年增長(zhǎng)量的最大值；（3） 當(dāng)魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，求當(dāng)魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，求k的取值范圍的取值范圍.分析：（分析：

20、（1）由題意可得）由題意可得y=kx（空閑率）（空閑率）如何求空閑率？如何求空閑率？mx1得得y=kxmx1如何求定義域？如何求定義域？mx 0（2）y=kxmx1kxxmk2422kmmxmk故故 時(shí)，時(shí)，y最大值為最大值為2mx 4km （3） 當(dāng)魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，漁場(chǎng)中魚群當(dāng)魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，漁場(chǎng)中魚群的養(yǎng)殖總量一定小于漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量的養(yǎng)殖總量一定小于漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量m噸。噸。即：即：myx00420kmkmm且得20k 例例10、海島、海島o上有一座海拔上有一座海拔1km的小山，山頂沒有一觀察站的小山，山頂沒有一觀察站a，上午上午11時(shí)測(cè)得一輪船在島的

21、北偏東時(shí)測(cè)得一輪船在島的北偏東600的的c處，俯角為處，俯角為300，11時(shí)時(shí)10分，又測(cè)得該船在島的北偏西分，又測(cè)得該船在島的北偏西600的的b處，俯角為處，俯角為600。 （1）求該船的速度；）求該船的速度； （2）若此船以不變的速度繼續(xù)前進(jìn)，則它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？）若此船以不變的速度繼續(xù)前進(jìn)，則它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？ 此時(shí)輪船所在點(diǎn)此時(shí)輪船所在點(diǎn)e離海島離海島o的距離是多少千米？的距離是多少千米？分析分析（1）時(shí)間為）時(shí)間為10分，關(guān)鍵是求分，關(guān)鍵是求cb距離。距離。如何求如何求cb？在三角形在三角形bco中考察。中考察。角角boc=1200如何求如何求ob、oc？ 在在 aob、 aoc中考察。中考察。求得：求得：3,33ocobhkm /392速度為339bc故由余弦定理故由余弦定理abcnoeocbe分析（分析（2）考察三角形）考察三角形boe。如何求如何求be 、oe