應用題專題應用

1、引言：引言： 素質(zhì)教育呼喚應用意識，近幾年來的高考試題增強了對密切素質(zhì)教育呼喚應用意識，近幾年來的高考試題增強了對密切聯(lián)系生產(chǎn)和生活實際的應用性問題的考查力度，突出對能力的考聯(lián)系生產(chǎn)和生活實際的應用性問題的考查力度，突出對能力的考查查重視應用，培養(yǎng)應用數(shù)學的意識，培養(yǎng)分析問題的解決問重視應用，培養(yǎng)應用數(shù)學的意識，培養(yǎng)分析問題的解決問題的能力。題的能力。 分析近幾年高考應用性問題不難得出，試題從實際出發(fā)提供分析近幾年高考應用性問題不難得出，試題從實際出發(fā)提供公平背景，設(shè)問新穎、靈活，而解決這些問題所涉及的數(shù)學知識、公平背景，設(shè)問新穎、靈活，而解決這些問題所涉及的數(shù)學知識、數(shù)學思想和方法又都是高中

2、數(shù)學大綱所要求掌握的概念、公式、數(shù)學思想和方法又都是高中數(shù)學大綱所要求掌握的概念、公式、定理和法則等基礎(chǔ)知識和基本方法。定理和法則等基礎(chǔ)知識和基本方法。 解決應用性問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：解決應用性問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：實際問題實際問題 分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化建立數(shù)學模型（列數(shù)學關(guān)系式）建立數(shù)學模型（列數(shù)學關(guān)系式）數(shù)學方法數(shù)學方法數(shù)學結(jié)果數(shù)學結(jié)果實際結(jié)果實際結(jié)果回答問題回答問題解決應用性問題的關(guān)鍵是讀題解決應用性問題的關(guān)鍵是讀題懂題懂題建立數(shù)學關(guān)系式。建立數(shù)學關(guān)系式。 例例1、如圖，有一塊半徑為、如圖，有一塊半徑為r的半圓形鋼板，計的

3、半圓形鋼板，計劃剪成等腰梯形劃剪成等腰梯形abcd的形狀，它的下底的形狀，它的下底ab是是 o的直徑，上底的直徑，上底cd的端點在圓周上的端點在圓周上.寫出這個梯形周寫出這個梯形周長長y和腰長和腰長x的函數(shù)式，并求出它的定義域的函數(shù)式，并求出它的定義域.分析分析：周長（：周長（y）=2ad+cd =2x+cd關(guān)鍵是如何把關(guān)鍵是如何把cd用用x來表示。來表示。而而cd=ef=ab-2ae=2r-2aeabcdoef要求要求ae，則在三角形，則在三角形aed中考查。中考查。 adb是直角三角形，是直角三角形，de是斜邊是的是斜邊是的高高rxaeraead2222從而有從而有y=2x+（2r- ）

4、即即y= - 2x+2r （0 xr）rx2rx2 例例2、某種商品進貨單價為、某種商品進貨單價為40元，按單價每個元，按單價每個50元售出，能元售出，能賣出賣出50個個.如果零售價在如果零售價在50元的基礎(chǔ)上每上漲元的基礎(chǔ)上每上漲1元，其銷售量就元，其銷售量就減少一個，問零售價上漲到多少元時，這批貨物能取得最高利減少一個，問零售價上漲到多少元時，這批貨物能取得最高利潤潤.分析分析：利潤利潤= =（零售價（零售價進貨單價）銷售量進貨單價）銷售量零售價零售價5051 5253 . 50+x銷售量銷售量5049 4847 . 50-x故有：設(shè)利潤為故有：設(shè)利潤為 y元，零售價上漲元，零售價上漲x元

5、元 y=（50+x-40）（）（50-x） （其中（其中 0 x50）y=-x2+40 x+500900202xy時等號成立當且僅當20900 x即零售價上漲到零售價上漲到70元時，這批貨物能取得最高利潤元時，這批貨物能取得最高利潤.最高利潤為最高利潤為900元元. 例例 3、某鄉(xiāng)為提高當?shù)厝罕姷纳钏剑烧顿Y興建了甲、某鄉(xiāng)為提高當?shù)厝罕姷纳钏剑烧顿Y興建了甲、乙兩個企業(yè)，乙兩個企業(yè)，1997年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤320萬元，從乙企業(yè)獲萬元，從乙企業(yè)獲得利潤得利潤720萬元。以后每年上交的利潤是：甲企業(yè)以萬元。以后每年上交的利潤是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞倍

6、的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤的增，而乙企業(yè)則為上一年利潤的 。根據(jù)測算，該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)獲。根據(jù)測算，該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)獲得的利潤達到得的利潤達到2000萬元可以解決溫飽問題，達到萬元可以解決溫飽問題，達到8100萬元可以達到萬元可以達到小康水平小康水平.（1）若以）若以1997年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個企業(yè)獲得利潤最少年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個企業(yè)獲得利潤最少的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？（2）試估算）試估算2005年底該鄉(xiāng)能否達到小康水平？為什么？年底該鄉(xiāng)能否達到小康水平？為什么？32分析分析：本題是考慮

7、該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)中獲得利潤問題。本題是考慮該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)中獲得利潤問題。該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)中獲得的總利潤該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)中獲得的總利潤=甲上繳利潤甲上繳利潤+乙上繳利潤乙上繳利潤年份年份 97（n=1） 98（n=2） 99（n=3） 2000（n=4）（第（第n年）年）甲企業(yè)甲企業(yè) 乙企業(yè)乙企業(yè) 320720720320 5 .. 132023272035 . 132033272015 . 1320n132720n略解略解：（1）設(shè)第設(shè)第n年該鄉(xiāng)從兩企業(yè)獲得總利潤為年該鄉(xiāng)從兩企業(yè)獲得總利潤為y萬元。萬元。 y= +15 . 1320n132720n9603272023320

8、211nn當且僅當當且僅當n=2時，即時，即98年總利潤最少為年總利潤最少為y=960萬元。萬元。故還需籌集故還需籌集2000-960=1040萬元才能解決溫飽問題。萬元才能解決溫飽問題。（2）2005年時，年時，n=9此時此時y= =8201.25+28.985 . 13208327208200即即2005年底該鄉(xiāng)能達到小康水平。年底該鄉(xiāng)能達到小康水平。 例例4、 某縣一中計劃把一塊邊長為某縣一中計劃把一塊邊長為20米的等邊三角形米的等邊三角形abc的的邊角地辟為植物新品種實驗基地，圖中邊角地辟為植物新品種實驗基地，圖中de需把基地分成面積相需把基地分成面積相等的兩部分，等的兩部分，d在在a

9、b上，上，e在在ac上。上。 （1） 設(shè)設(shè)ad=x(x10)，ed=y，試用，試用x表示表示y的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式； （2） 如果如果de是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，則希望它是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，則希望它最短，最短，de的位置應該在哪里？如果的位置應該在哪里？如果de是參觀線路，則希望它是參觀線路，則希望它最長，最長，de的位置又應該在哪里？說明現(xiàn)由。的位置又應該在哪里？說明現(xiàn)由。分析分析要求y與x的函數(shù)關(guān)系式，就是找出de與ad的等量關(guān)系。（1）三角形）三角形ade中角中角a為為600 故由余弦定理可得故由余弦定理可得y、x、ae三者關(guān)系。三者關(guān)系。abcadess21（

10、2）（ii）若）若de做為輸水管道，則需求做為輸水管道，則需求y的最小值。的最小值。 等號成立；等號成立；,210104,210200400200104242242時即當且僅當xxxxxy,)20(432160sin21,212aexssabcade;,200由余弦定理得中在adexae2010200104242xxxy解：（解：（i）abc的邊長為的邊長為20米，米，d在在ab上，則上，則10 x20。則則200104,400,10042ttytx,400100,104)(214tttttf任取若若de做為參觀線路，須求做為參觀線路，須求y的最大值。的最大值。令令設(shè)設(shè)當當100t1t2200

11、時，時，104t1t24104,t1t2-41040，又，又t1-t20,f(t1)f(t2)，則則f(t)在在100，200上是減函數(shù)。上是減函數(shù)。214212124214121104)()104()104()()(t tt ttttttttftf210 x故若故若de是輸水管道的位置，則需使是輸水管道的位置，則需使若若de是參觀線路，則需使是參觀線路，則需使x=10或或20310300 naxy210 x210300miny當當t=200，即，即當當t=100或或t=400即即x=10或或20時，時，當當200t1t2400時，時，4104t1t20，又，又t1-t20,f(t1)ac即甲

12、航空線較短。即甲航空線較短。具體解答過程同具體解答過程同學們課后整理。學們課后整理。例例6、荊州市某電腦公司在市區(qū)和洪湖各有一分公司，市區(qū)分公、荊州市某電腦公司在市區(qū)和洪湖各有一分公司，市區(qū)分公司現(xiàn)有電腦司現(xiàn)有電腦6臺，洪湖分公司有同一型號電腦臺，洪湖分公司有同一型號電腦12臺，宜昌某單位臺，宜昌某單位向該公司購買該型號電腦向該公司購買該型號電腦10臺，荊門某單位向該公司購買該型臺，荊門某單位向該公司購買該型號電腦號電腦8臺，已知市區(qū)運往宜昌和荊門每臺電腦的運費分別是臺，已知市區(qū)運往宜昌和荊門每臺電腦的運費分別是40元和元和30元，洪湖運往宜昌和荊門每臺電腦的運費分別是元，洪湖運往宜昌和荊門每

13、臺電腦的運費分別是80元和元和50元元（1）設(shè)從洪湖調(diào)運）設(shè)從洪湖調(diào)運x臺至宜昌，該公司運往宜昌和荊門的總運臺至宜昌，該公司運往宜昌和荊門的總運費為費為y元，求元，求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；（2）若總運費不超過）若總運費不超過1000元，問能有幾種調(diào)運方案？元，問能有幾種調(diào)運方案？（3） 求總運費最低的調(diào)運方案及最低運費求總運費最低的調(diào)運方案及最低運費荊州洪湖宜昌荊門有6臺有12臺（要10臺）（要8臺）40元元/臺臺30元元/臺臺80元元/臺臺50元元/臺臺公司購買單位數(shù)量 運費荊州洪湖宜昌宜昌荊門荊門xx-410-x12-x80 x30（x-4）40（10-x）50（12-x

14、）注：注：x取值取值范圍范圍是什是什 么？么？nxx104略解：（略解：（1）設(shè)從洪湖調(diào)運）設(shè)從洪湖調(diào)運x臺至宜昌，則由題意可得：臺至宜昌，則由題意可得： y= 40（10-x）+ 30（x-4）+80 x+ 50（12-x）得：得：y=20 x+880104 xnx（2） 即即 得：得： 而而 故故x=4、5、6 所以有三種調(diào)配方案總運費不超過所以有三種調(diào)配方案總運費不超過1000元。元。1000y100088020 x6x104 x（3）顯然）顯然x取最小時，取最小時，y值最小。值最小。 即即x=4時，時，y最小為最小為960元。元。 例例7、gdp（gross domestic prod

15、uct）稱為國內(nèi)生產(chǎn)總值）稱為國內(nèi)生產(chǎn)總值. 我我國這四年國這四年gdp值如下表：值如下表：年年 1997 1998 1999 2000gdp（萬億元）（萬億元）7.4 7.8 8.2 8.9（1）在右邊坐標系畫出表示這四年我國）在右邊坐標系畫出表示這四年我國gdp的增長曲線，并根的增長曲線，并根據(jù)我國近四年據(jù)我國近四年gdp增長規(guī)律，由所繪曲線估計增長規(guī)律，由所繪曲線估計2001年我國年我國gdp值值可能在什么范圍內(nèi)；可能在什么范圍內(nèi)；（2）2000年我國人均年我國人均gdp約為約為900美元，如果按美元，如果按7.5的年平均增的年平均增長率計，經(jīng)過長率計，經(jīng)過10年，在年，在2010年時，

16、可否翻一翻達到人均年時，可否翻一翻達到人均1800美元美元水平？試計算你的結(jié)果水平？試計算你的結(jié)果. （要求使用二項式定理進行估值計算要求使用二項式定理進行估值計算）979899000178910年年gdp解：解：（1）由圖，若按）由圖，若按19971999年的規(guī)律增長，年的規(guī)律增長，2001年將達年將達9.3萬億元；萬億元； 答：答：10年后可以達到翻一翻的目標年后可以達到翻一翻的目標.900(1+0.75+0.25)1800. 900（17.5%）10 900(10.750.253)(2)按按7.5的年均增長率，經(jīng)的年均增長率，經(jīng)10年后，年后， 人均人均gdp值為值為 2001年我國年我

17、國gdp值值y的范圍大致為：的范圍大致為： 9.3至至9.6（萬億元）（萬億元） 若按若按19992000年規(guī)律增長，年規(guī)律增長，2001年將達年將達9.6萬億元萬億元. 例例8、三臺機器人位于一直線上（如圖所示），它們所生產(chǎn)的、三臺機器人位于一直線上（如圖所示），它們所生產(chǎn)的零件逐一送到一個檢驗臺，經(jīng)檢驗合格后才能送到下一道工序零件逐一送到一個檢驗臺，經(jīng)檢驗合格后才能送到下一道工序繼續(xù)加工繼續(xù)加工.已知機器人已知機器人m1的工作效率為機器人的工作效率為機器人m2工作效率的工作效率的2倍，倍，機器人機器人m3的工作效率為機器人的工作效率為機器人m2工作效率的工作效率的3倍，問檢驗臺應倍，問檢驗

18、臺應放在何處最好，即各機器人到檢驗臺所走距離之和最小？放在何處最好，即各機器人到檢驗臺所走距離之和最??？ 分析分析：各機器人到檢驗臺所走距離之和各機器人到檢驗臺所走距離之和= m1所走路程所走路程+m2所走路程所走路程+m3所走路程所走路程如何求三者所走路程？如何求三者所走路程？ 設(shè)單位時間內(nèi)設(shè)單位時間內(nèi)m m2 2完成完成n n個零件；則個零件；則m m1 1、m m3 3分別完成分別完成2n2n、3n3n個。再設(shè)檢驗臺在數(shù)軸上坐標為個。再設(shè)檢驗臺在數(shù)軸上坐標為x x 。332212xxxny同學們課后去完成該題解答同學們課后去完成該題解答 例例9、漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為、漁場中魚群的最大

19、養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚群由足夠的生噸，為保證魚群由足夠的生長空間，實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當空閑量長空間，實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當空閑量.已知魚群的年增長量已知魚群的年增長量y噸和實際養(yǎng)魚量噸和實際養(yǎng)魚量x噸與空閑率的乘積成正比，噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為比例系數(shù)為k, (k0)（1） 寫出關(guān)于的函數(shù)寫出關(guān)于的函數(shù)y關(guān)于關(guān)于x關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；（2） 求魚群年增長量的最大值；求魚群年增長量的最大值；（3） 當魚群的年增長量達到最大值時，求當魚群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍的取值范圍.分析：（分析：

20、（1）由題意可得）由題意可得y=kx（空閑率）（空閑率）如何求空閑率？如何求空閑率？mx1得得y=kxmx1如何求定義域？如何求定義域？mx 0（2）y=kxmx1kxxmk2422kmmxmk故故 時，時，y最大值為最大值為2mx 4km （3） 當魚群的年增長量達到最大值時，漁場中魚群當魚群的年增長量達到最大值時，漁場中魚群的養(yǎng)殖總量一定小于漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量的養(yǎng)殖總量一定小于漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量m噸。噸。即：即：myx00420kmkmm且得20k 例例10、海島、海島o上有一座海拔上有一座海拔1km的小山，山頂沒有一觀察站的小山，山頂沒有一觀察站a，上午上午11時測得一輪船在島的

21、北偏東時測得一輪船在島的北偏東600的的c處，俯角為處，俯角為300，11時時10分，又測得該船在島的北偏西分，又測得該船在島的北偏西600的的b處，俯角為處，俯角為600。 （1）求該船的速度；）求該船的速度； （2）若此船以不變的速度繼續(xù)前進，則它何時到達島的正西方向？）若此船以不變的速度繼續(xù)前進，則它何時到達島的正西方向？ 此時輪船所在點此時輪船所在點e離海島離海島o的距離是多少千米？的距離是多少千米？分析分析（1）時間為）時間為10分，關(guān)鍵是求分，關(guān)鍵是求cb距離。距離。如何求如何求cb？在三角形在三角形bco中考察。中考察。角角boc=1200如何求如何求ob、oc？ 在在 aob、 aoc中考察。中考察。求得：求得：3,33ocobhkm /392速度為339bc故由余弦定理故由余弦定理abcnoeocbe分析（分析（2）考察三角形）考察三角形boe。如何求如何求be 、oe