初二數(shù)學(xué)-直角三角形練習(xí)題(共36頁)

1、一選擇題（共5小題）1已知下列語句：（1）有兩個銳角相等的直角三角形全等； （2）一條斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（3）三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等； （4）兩個直角三角形全等其中正確語句的個數(shù)為（）A0B1C2D32對于條件：兩條直角邊對應(yīng)相等；斜邊和一銳角對應(yīng)相等；斜邊和一直角邊對應(yīng)相等；直角邊和一銳角對應(yīng)相等；以上能斷定兩直角三角形全等的有（）A1個B2個C3個D4個3如圖，ACB=90°，AC=BC，AECE于E，BDCE于D，AE=5cm，BD=2cm，則DE的長是（）A8B5C3D24如圖，ABC中，AB=AC=10，AD平分BAC交BC于點D，點E為AC的中點，

2、連接DE，則DE的長為（）A10B6C8D55如圖，在ABC中，CDAB于點D，BEAC于點E，F(xiàn)為BC的中點，DE=5，BC=8，則DEF的周長是（）A21B18C13D15二填空題（共10小題）6如圖，點A和動點P在直線l上，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作RtABQ，使BAQ=90°，AQ：AB=3：4直線l上有一點C在點P右側(cè)，PC=4cm，過點C作射線CDl，點F為射線CD上的一個動點，連結(jié)AF當(dāng)AFC與ABQ全等時，AQ=cm7如圖，CAAB，垂足為點A，AB=8，AC=4，射線BMAB，垂足為點B，一動點E從A點出發(fā)以2/秒的速度沿射線AN運動，點D為射線BM上一

3、動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED=CB，當(dāng)點E運動秒時，DEB與BCA全等8如圖，ACB=90°，AC=BC，BECE于E，ADCE于D，下面四個結(jié)論：ABE=BAD；CEBADC；AB=CE；ADBE=DE正確的是（將你認(rèn)為正確的答案序號都寫上）9如圖，在ABC中，C=90°，B=30°，AB的垂直平分線ED交AB于點E，交BC于點D，若CD=3，則BD的長為10如圖，在ABC中，ACB=90°，B=30°，BC=6，CD為AB邊上的高，點P為射線CD上一動點，當(dāng)點P運動到使ABP為等腰三角形時，BP的長度為11如圖，在直角ABC中，

4、已知ACB=90°，AB邊的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，且ADC=30°，BD=18cm，則AC的長是cm12如圖，在ABC中，AD為CAB平分線，BEAD于E，EFAB于F，DBE=C=15°，AF=2，則BF=13如圖，四邊形ABCD中，A=C=90°，ABC=60°，AD=4，CD=10，則BD的長等于14如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD定點A、B在y軸、x軸上，當(dāng)B在x軸上運動時，A隨之在y軸運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為15如圖，在ABC中，AB=AC=

5、7，BC=5，AFBC于F，BEAC于E，D是AB的中點，則DEF的周長是三解答題（共11小題）16如圖，在ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BDDE于D，CEDE于點E；（1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD=CE求證：ABAC；（2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由17如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C點的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個動點，當(dāng)P點向y軸負(fù)半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰RtAPD，過D作DEx軸于E點，求OPDE的值1

6、8如圖，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F（1）如圖過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF=BE+CF；（2）如圖過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE=10，CF=3，求：FE長19如圖，ABC中，A=30°，C=90°，BE平分ABC，AC=9cm，求CE的長20如圖所示，AB=AC，A=120°，點E在AB邊上，EF垂直平分AB，交BC于F，EGBC，垂足為G，若GF=4，求CF的長21已知MAN，AC平分MAN（1）在圖1中，若MAN=120°，ABC=ADC=90&

7、#176;，求證：AB+AD=AC；（2）在圖2中，若MAN=120°，ABC+ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由22如圖，在ABC中，B=90°，BC=12厘米，AB的值是等式x31=215中的x的值點P從點A開始沿AB邊向B點以1.5厘米秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向C點以2厘米秒的速度移動求AB的長度厘米如果P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，問幾秒鐘后，PBQ是等腰三角形并求出此時這個三角形的面積23已知：如圖，BAC=BDC=90°，點E在BC上，點F在AD上，BE=EC，AF=FD求證

8、：EFAD24如圖，ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點（1）求證：MNDE；（2）連結(jié)DM，ME，猜想A與DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程；（3）若將銳角ABC變?yōu)殁g角ABC，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由25如圖，ABC中，CFAB，垂足為F，M為BC的中點，E為AC上一點，且ME=MF（1）求證：BEAC；（2）若A=50°，求FME的度數(shù)26如圖，在RtABC中，ABC=90°，點D是AC的中點，作ADB的角平分線DE交AB于點E，（1）求證：DEBC；（2）

9、若AE=3，AD=5，點P為線段BC上的一動點，當(dāng)BP為何值時，DEP為等腰三角形請求出所有BP的值2017年02月16日精銳教育4的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共5小題）1（2016秋東寶區(qū)校級期中）已知下列語句：（1）有兩個銳角相等的直角三角形全等； （2）一條斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（3）三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等； （4）兩個直角三角形全等其中正確語句的個數(shù)為（）A0B1C2D3【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理HL、SAS、AAS、ASA分別進(jìn)行分析即可【解答】解：（1）有兩個銳角相等的直角三角形全等，說法錯誤； （2）一條斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，說

10、法錯誤；（3）三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，說法錯誤； （4）兩個直角三角形全等，說法錯誤故選：A【點評】此題主要考查了直角三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定定理2（2015秋武漢校級期中）對于條件：兩條直角邊對應(yīng)相等；斜邊和一銳角對應(yīng)相等；斜邊和一直角邊對應(yīng)相等；直角邊和一銳角對應(yīng)相等；以上能斷定兩直角三角形全等的有（）A1個B2個C3個D4個【分析】根據(jù)直角三角形的判定定理進(jìn)行選擇即可【解答】解：兩條直角邊對應(yīng)相等，根據(jù)“SAS”，正確；斜邊和一銳角對應(yīng)相等，根據(jù)“AAS”，正確；斜邊和一直角邊對應(yīng)相等，根據(jù)“HL”，正確；直角邊和一銳角對應(yīng)相等，根據(jù)“ASA”或“AAS”，正確；

11、故選D【點評】本題考查了直角三角形的判定定理，除HL外，一般三角形的全等有四種方法，做題時要結(jié)合已知條件與全等的判定方法逐一驗證3（2014春棲霞市期末）如圖，ACB=90°，AC=BC，AECE于E，BDCE于D，AE=5cm，BD=2cm，則DE的長是（）A8B5C3D2【分析】根據(jù)已知條件，觀察圖形得CAE+ACD=ACD+BCD，CAE=BCD，然后證AECCDB后求解【解答】解：ACB=90°，AC=BC，AECE于E，BDCE于D，CAE+ACD=ACD+BCD，CAE=BCD，又AEC=CDB=90°，AC=BC，AECCDBCE=BD=2，CD=A

12、E=5，ED=CDCE=52=3（cm）故選C【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解，發(fā)現(xiàn)并利用CAE+ACD=ACD+BCD，CAE=BCD，是解題的關(guān)鍵4（2016春羅湖區(qū)期末）如圖，ABC中，AB=AC=10，AD平分BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則DE的長為（）A10B6C8D5【分析】由等腰三角形的性質(zhì)證得BD=DC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求得結(jié)論【解答】解：AB=AC=10，AD平分BAC，BD=DC，E為AC的中點，DE=AB=×10=5，故選D【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線

13、，熟練掌握三角形的中位線是解決問題的關(guān)鍵5（2016秋蘇州期中）如圖，在ABC中，CDAB于點D，BEAC于點E，F(xiàn)為BC的中點，DE=5，BC=8，則DEF的周長是（）A21B18C13D15【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出DF、EF，再根據(jù)三角形的周長的定義解答【解答】解：CDAB，F(xiàn)為BC的中點，DF=BC=×8=4，BEAC，F(xiàn)為BC的中點，EF=BC=×8=4，DEF的周長=DE+EF+DF=5+4+4=13故選C【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵二填空題（共10小題）6（20

14、16秋瑞安市校級期中）如圖，點A和動點P在直線l上，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作RtABQ，使BAQ=90°，AQ：AB=3：4直線l上有一點C在點P右側(cè)，PC=4cm，過點C作射線CDl，點F為射線CD上的一個動點，連結(jié)AF當(dāng)AFC與ABQ全等時，AQ=cm【分析】根據(jù)直角三角形的全等的判定解答即可【解答】解：要使AFC與ABQ全等，則應(yīng)滿足，AQ：AB=3：4，AQ=AP，PC=4cm，AQ=故答案為：【點評】此題考查直角三角形的全等問題，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明三角形的全等7（2015秋沛縣校級月考）如圖，CAAB，垂足為點A，AB=8，AC=4，射線BMAB，垂足為點B

15、，一動點E從A點出發(fā)以2/秒的速度沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED=CB，當(dāng)點E運動0，2，6，8秒時，DEB與BCA全等【分析】此題要分兩種情況：當(dāng)E在線段AB上時，當(dāng)E在BN上，再分別分成兩種情況AC=BE，AC=BE進(jìn)行計算即可【解答】解：當(dāng)E在線段AB上，AC=BE時，ACBBED，AC=4，BE=4，AE=84=4，點E的運動時間為4÷2=2（秒）；當(dāng)E在BN上，AC=BE時，AC=4，BE=4，AE=8+4=12，點E的運動時間為12÷2=6（秒）；當(dāng)E在線段AB上，AB=EB時，ACBBDE，這時E在A點未動，因此時間

16、為0秒；當(dāng)E在BN上，AB=EB時，ACBBDE，AE=8+8=16，點E的運動時間為16÷2=8（秒），故答案為：0，2，6，8【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角8（2009秋大港區(qū)期末）如圖，ACB=90°，AC=BC，BECE于E，ADCE于D，下面四個結(jié)論：ABE=BAD；CEBADC；AB=CE；ADBE=DE正確的是（將你認(rèn)為正確的答案序號都寫上）【分析】首先由AEF與

17、ADF中分別有兩個直角及對頂角得到是正確的，利用等腰三角形的性質(zhì)及其它條件，證明CEBADC，則其他結(jié)論易求，而無法證明是正確的【解答】解：BEF=ADF=90°，BFE=AFDABE=BAD 正確1+2=90°2+CAD=90°1=CAD又E=ADC=90°，AC=BCCEBADC 正確CE=AD，BE=CDADBE=DE 正確而不能證明，故答案為、故填、【點評】本題考查了直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定與性質(zhì)；要充分利用全等三角形的性質(zhì)來找到結(jié)論，利用相等線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵；9（2016黔南州）如圖，在ABC中，C=90

18、6;，B=30°，AB的垂直平分線ED交AB于點E，交BC于點D，若CD=3，則BD的長為6【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等可得AD=BD，可得DAE=30°，易得ADC=60°，CAD=30°，則AD為BAC的角平分線，由角平分線的性質(zhì)得DE=CD=3，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BD=2DE，得結(jié)果【解答】解：DE是AB的垂直平分線，AD=BD，DAE=B=30°，ADC=60°，CAD=30°，AD為BAC的角平分線，C=90°，DEAB，DE=CD=3，

19、B=30°，BD=2DE=6，故答案為：6【點評】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10（2016貴陽模擬）如圖，在ABC中，ACB=90°，B=30°，BC=6，CD為AB邊上的高，點P為射線CD上一動點，當(dāng)點P運動到使ABP為等腰三角形時，BP的長度為4或6【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ACD=ABC=30°，根據(jù)含30°的角的直角三角形的性質(zhì)得到AD=AC=，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：ACB=90&

20、#176;，CDAB，ADAB，ACD=ABC=30°，AC=BC=2，AD=AC=，當(dāng)AP=AB=4時，PD=3，BD=BC=3，PB=6，當(dāng)PB=AB=4，綜上所述：PB=4或6故答案為：4或6【點評】本題考查了含30°的角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30°的角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵11（2016秋羅莊區(qū)期末）如圖，在直角ABC中，已知ACB=90°，AB邊的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，且ADC=30°，BD=18cm，則AC的長是9cm【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，根據(jù)含30度角

21、的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC的長【解答】解：AB邊的垂直平分線交AB于點E，BD=18cm，AD=BD=18cm，在直角ABC中，已知ACB=90°，ADC=30°，AC=AD=9cm故答案為：9【點評】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)，綜合運用各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵12（2016秋江陰市期中）如圖，在ABC中，AD為CAB平分線，BEAD于E，EFAB于F，DBE=C=15°，AF=2，則BF=6【分析】先由垂直的定義及三角形內(nèi)角和定理得出BDA=75°，

22、根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出DAC=60°，再由角平分線定義求得BAD=60°，則FEA=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到EF=2，再求出FBE=30°，進(jìn)而得出BF=EF=6【解答】解：DBE=15°，BED=90°，BDA=75°，BDA=DAC+C，而C=15°，DAC=60°，AD為CAB平分線，BAD=DAC=60°，EFAB于F，F(xiàn)EA=30°，AF=2，EF=2，F(xiàn)EB=60°，F(xiàn)BE=30°，BF=EF=6故

23、答案為6【點評】本題考查了垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線定義，直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中13（2016春紹興校級期中）如圖，四邊形ABCD中，A=C=90°，ABC=60°，AD=4，CD=10，則BD的長等于4【分析】延長BA、CD交于E，求出E，求出DE、CE長，在RtCBE中，求出BC，在RtCBD中，根據(jù)勾股定理求出BD即可【解答】解：延長BA、CD交于E，C=90°，ABC=60°，E=180°90°60°=30°，DE=2AD=8，CE=10+8=18，tanABC

24、=，tan60°=，BC=6，在RtBCD中，由勾股定理得：BD=4故答案為：4【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行計算的能力，題目具有一定的代表性，難度適中14（2016鄭州校級模擬）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD定點A、B在y軸、x軸上，當(dāng)B在x軸上運動時，A隨之在y軸運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為+1【分析】取AB的中點E，連接OD、OE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)三角形

25、任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點E時最大【解答】解：如圖，取AB的中點E，連接OD、OE、DE，MON=90°，AB=2，OE=AE=AB=1，BC=1，四邊形ABCD是矩形，AD=BC=1，DE=，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，ODOE+DE，當(dāng)OD過點E是最大，最大值為+1故答案為：+1【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出OD過AB的中點時值最大是解題的關(guān)鍵15（2016秋江陰市期中）如圖，在ABC中，AB=AC=7，BC=5，AFBC于F，BEAC于E，D是AB的中點，則DEF的周長是【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上

26、的中線等于斜邊的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入數(shù)據(jù)計算即可得解【解答】解：AB=AC=7，BC=5，AFBC于F，BEAC于E，D是AB的中點，BCE是直角三角形，EF是RtBCE的中線，EF=BF=FC=BC=，又點D是AB的中點，DF是RtAFB的中線，也是RtAEB的中線，DE=DF=AC=，三角形DEF的周長=DE+DF+EF=+=，故答案為【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵三解答題（共11小題）16（2016秋臨沂期末）如圖，在ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BDDE于D，CEDE于

27、點E；（1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD=CE求證：ABAC；（2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由【分析】（1）由已知條件，證明ABDACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證BAD+CAE=90°，即可證明ABAC；（2）同（1），先證ABDACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證BAD+CAE=90°，即可證明ABAC【解答】（1）證明：BDDE，CEDE，ADB=AEC=90°，在RtABD和RtACE中，RtABDRtCAEDAB=ECA，DBA=ACEDAB+DBA=90°，E

28、AC+ACE=90°，BAD+CAE=90°BAC=180°（BAD+CAE）=90°ABAC（2）ABAC理由如下：同（1）一樣可證得RtABDRtACEDAB=ECA，DBA=EAC，CAE+ECA=90°，CAE+BAD=90°，即BAC=90°，ABAC【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應(yīng)用17（2009秋澄海區(qū)校級期中）如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C點

29、的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個動點，當(dāng)P點向y軸負(fù)半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰RtAPD，過D作DEx軸于E點，求OPDE的值【分析】如圖1，過C作CMx軸于M點，則可以求出MACOBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故點C的坐標(biāo)為（6，2）如圖2，過D作DQOP于Q點，則DE=OQ利用三角形全等的判定定理可得AOPPQD（AAS）進(jìn)一步可得PQ=OA=2，即OPDE=2【解答】解：（1）如圖1，過C作CMx軸于M點，MAC+OAB=90°，OAB+OBA=90°，則MAC=OBA，在MAC和OBA中MACOBA（AAS），CM=OA=2，M

30、A=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6，點C的坐標(biāo)為（6，2）（2）如圖2，過D作DQOP于Q點，則DE=OQOPDE=OPOQ=PQ，APO+QPD=90°，APO+OAP=90°，QPD=OAP，在AOP和PQD中，AOPPQD（AAS）PQ=OA=2即OPDE=2【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，關(guān)鍵還要巧妙作出輔助線，再結(jié)合坐標(biāo)軸才能解出，本題難度較大18（2008秋上饒期末）如圖，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂

31、線，垂足分別為E、F（1）如圖過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF=BE+CF；（2）如圖過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE=10，CF=3，求：FE長【分析】（1）此題根據(jù)已知條件容易證明BEAAFC，然后利用對應(yīng)邊相等就可以證明題目的結(jié)論；（2）根據(jù)（1）知道BEAAFC仍然成立，再根據(jù)對應(yīng)邊相等就可以求出EF了【解答】（1）證明：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90°，EAB+CAF=90°，EBA+EAB=90°，CAF=EBA，在ABE和AFC中，BEA=AFC=90°，EBA=CAF，AB=AC，BEAAFCEA

32、=FC，BE=AFEF=EB+CF（2）解：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90°，EAB+CAF=90°，ABE+EAB=90°，CAF=ABE，在ABE和AFC中，BEA=AFC=90°，EBA=CAF，AB=AC，BEAAFCEA=FC=3，BE=AF=10EF=AFCF=103=7【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用它們解決問題，經(jīng)常用全等來證線段和的問題19（2012秋巫山縣期末）如圖，ABC中，A=30°，C=90°，BE平分ABC，AC=9cm，求CE的長【分析】在三角形ABC中，由A和C的度數(shù)

33、，利用三角形的內(nèi)角和定理求出ABC的度數(shù)，再由BE平分ABC，可得出EBA=A=CBE=30°，利用等角對等邊得到BE=AE，設(shè)CE=x，由ACCE及AC的長表示出AE，可表示出BE，在三角形BCE中，由=CBE=30°，利用直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得出CE為BE的一半，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為CE的長【解答】解：ABC中，A=30°，C=90°，ABC=60°，又BE平分ABC，CBE=ABE=ABC=30°，ABE=A=30°，EB=EA，又AC=9cm，設(shè)EC

34、=xcm，則AE=BE=ACCE=（9x）cm，在RtBCE中，CBE=30°，CE=BE，即x=（9x），解得：x=3，則CE=3【點評】此題考查了含30°角直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及角平分線的性質(zhì)，利用了方程的思想，熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵20（2010秋本溪期中）如圖所示，AB=AC，A=120°，點E在AB邊上，EF垂直平分AB，交BC于F，EGBC，垂足為G，若GF=4，求CF的長【分析】連接AF，由AB=AC，且BAC=120°，利用等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理求出B與C的度數(shù)為30°，再由EF垂直于AB，E

35、G垂直于BC，得到兩對角互余，利用同角的余角相等得到GEF的度數(shù)為30°，在直角三角形EFG中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由GF的長求出EF的長，在直角三角形EFB中，再利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由EF的長求出BF的長，即為AF的長，由BACBAF求出FAC為直角，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由AF的長即可求出FC的長【解答】解：連接AFAB=AC，BAC=120°，B=C=30°，EFAB，EGBF，BEG+GEF=90°，又B+BEG=90°，GEF=B=30°，GF

36、=4，在RtGEF中，EF=2GF=8，在RtBEF中，BF=2EF=16，EF垂直平分AB，AF=BF=16，BAF=B=30°，F(xiàn)AC=120°30°=90°，又C=30°，F(xiàn)C=2AF=32【點評】此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵21（2009秋崇明縣期末）已知MAN，AC平分MAN（1）在圖1中，若MAN=120°，ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；（2）在圖2中，若MAN=120°，ABC+ADC=180

37、°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由【分析】（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明；（2）作CEAM、CFAN于E、F根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得CE=CF，根據(jù)等角的補角相等，得CDE=ABC，再根據(jù)AAS得到CDECBF，則DE=BF再由MAN=120°，AC平分MAN，得到ECA=FCA=30°，從而根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代換后即可證明AD+AB=AC仍成立【解答】（1）證明：MAN=120°，AC平分MAN，CAD=CAB=60°

38、又ABC=ADC=90°，AD=AC，AB=AC，AB+AD=AC（2）解：結(jié)論仍成立理由如下：作CEAM、CFAN于E、F則CED=CFB=90°，AC平分MAN，CE=CFABC+ADC=180°，ADC+CDE=180°CDE=ABC，在CDE和CBF中，CDECBF（AAS），DE=BFMAN=120°，AC平分MAN，MAC=NAC=60°，ECA=FCA=30°，在RtACE與RtACF中，則有AE=AC，AF=AC，則AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=ACAD+AB=AC【

39、點評】此題綜合考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定及含30°角的直角三角形的知識；作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵注意：在探索（2）的結(jié)論的時候，能夠運用（1）的結(jié)論22（2009秋荊州區(qū)校級期中）如圖，在ABC中，B=90°，BC=12厘米，AB的值是等式x31=215中的x的值點P從點A開始沿AB邊向B點以1.5厘米秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向C點以2厘米秒的速度移動求AB的長度厘米如果P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，問幾秒鐘后，PBQ是等腰三角形并求出此時這個三角形的面積【分析】先計算x31=215，易求x=6，即 AB=6，再設(shè)經(jīng)過x秒后，PBQ是等

40、腰三角形，那么有61.5x=2x，易得x=，再根據(jù)三角形面積公式易求其面積【解答】解：（1）x31=215，x3=216，x=6，故AB=6cm；（2）設(shè)經(jīng)過x秒后，PBQ是等腰三角形，那么BP=BQ，即61.5x=2x，解得x=，SPBQ=BP2=×（）2=答：經(jīng)過秒鐘后，PBQ是等腰三角形，此時這個三角形的面積是【點評】本題考查了立方根的計算、三角形的面積計算、等腰三角形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是先畫圖，并求出AB23（2016秋青龍縣期末）已知：如圖，BAC=BDC=90°，點E在BC上，點F在AD上，BE=EC，AF=FD求證：EFAD【分析】連接AE，DE，由直角三角形斜

41、邊的中線是斜邊的一半易得AE=DE=，由全等三角形的判定定理可得AEFDEF，由全等三角形的性質(zhì)定理可得AFE=DFE=90°，即得出結(jié)論【解答】解：連接AE，DE，BAC=BDC=90°，BE=EC，AE=，DE=，AE=DE，在AEF與DEF中，AEFDEF（SSS），AFE=DFE=90°，即EFAD【點評】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和全等三角形的判定及性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵24（2016春廣饒縣期末）如圖，ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點（1）求證：MNDE；（2）連結(jié)DM，ME，猜想

42、A與DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程；（3）若將銳角ABC變?yōu)殁g角ABC，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由【分析】（1）連接DM、ME，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=BC，ME=BC，從而得到DM=ME，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得ABC+ACB=180°A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出BMD+CME，然后根據(jù)平角等于180°表示出DME，整理即可得解；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得ABC+ACB=180°A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出BME+CME，然后根據(jù)平角等于180°表示出DME，整理即可得解【解答】解：（1）如圖，連接DM，ME，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，DM=BC，ME=BC，DM=ME又N為DE中點，MNDE；（2）在ABC中，ABC+ACB=180°A，DM=ME=BM=MC，BMD+CME=（180°2ABC）+（180°2ACB），=360°