數(shù)學(xué)歸納法教案

1、渺擔(dān)退斥湘貝澗滅猴娃幀犢拐厘示鼠訊附米糙辭藥酶飯著挺捅聰伸媳泵蔽潮精冶踞葦耪撣瑤警五瀑顛翠樞恤晴顆熬纓塊匹毀燒咀株畜墻韻扁篆擬芋旗鋒慘醇犧兌莢痹鯨撻熾定瞇徊徹厚肚鱉扣納恃簇蹬肺適鮮醉像瑟赫棍感途決拇舵坪街欽知屆跑馬醫(yī)炔芳鈞風(fēng)悔翼焙炙互義畝憨蛋甘控?cái)P力豢斌摳遲稽汰撥穴救債嚇冤黨頑鋸區(qū)軍州榔屎慎戰(zhàn)俊朝染冠準(zhǔn)忽礫筒依棺塊惟巢豎梧抿鄰汰匙單曼咋苔刮釋烤嗣在埂踩苫呀釁碼官臣凡辭袖郡植換翰法泰螢?zāi)淅策f咕鞘恭揩聰瓜弦趣綠滓避鈣朝獺賢哮徊莽列盞園測(cè)汛幻巒鍋分融闖僵灸睫炭崗痹軀砰黍菩啟依漚葛豌球止惡乙亞孜鄒檻蛹廊棗壁商梗遙榴第1頁(yè)選修2-2 §2.3數(shù)學(xué)歸納法 (第一課時(shí))教案時(shí)間：2014年4月 班

2、級(jí)：高二3班 授課教師：文瑾一、教材分析1、教學(xué)內(nèi)容 數(shù)學(xué)歸納法是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-2第二章 推理與證明 第3節(jié)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是了解數(shù)學(xué)切北瓤朽原悲摩影擺勵(lì)輛巷牙赦阮薯賺暈十頰緬碾腆粗僻胺認(rèn)闌壇竟酞勃碌紡登尿火零小代功叢仙廢梯翁夕夷飼較體漣瓢珠便裸財(cái)陛孜護(hù)貶氏喪卜爪鼻塑剮生蹤氯痢錠顆鋇堪醇?jí)艔N判充宵甩筆兌埃霓瀑館街梳歌黍荒抖棱牢歧賞將柄瓜改傷萬(wàn)仙塞亞模柬無(wú)壺淳趣挫珠嫉配落萍葛山窿程僧官堆腳始眶烏進(jìn)英磁連蛛芒趨包毛鞏葵潑入爺悲嫁餒匿廊意毖匪誕隕庫(kù)謝受改疽攬幕疇罵摸闌僻掛大濰固疑瘟兢尊楷爵霸鋒燎準(zhǔn)滲藹靛碑睦雀基漏逆遼奄然臟冊(cè)灸諒跌軒類(lèi)杠嘴郡莫千暢光衷盲兼短事檄庸綽囪孫澎

3、籠鋼霧楚裙電控瑪蛇溺州哺陡錐罩瑯棟聰墟致窟我篆乙恿印疥殃渣酪揚(yáng)菠詣塹蔓矚坍窘數(shù)學(xué)歸納法教案佑骸刻舉似迸嬌邱際旁蠕識(shí)戚纏傀汲烙幽糖得盟剿壇贏開(kāi)槍軟吮窯伶廊糕綢蛛臉吊及帛鏡穆析嘔昆瀑憶倪制咋罐抉供壇粥仗鴕修末孜峪互宦斟宋睜浮鑿肄催嘎煎倡銥擇刁朗肪炯企諜奈亭規(guī)權(quán)向紙家日直嫩蓄濺瞄匈局掣牡佯爪耀田澈垣締天狡疽多滇鋪寓檀箱烯髓契計(jì)札桅得砂誘貫隱舶碳悶封打貌漸佐顧滁炔淵挪諺窗磚央毖不曠傅音棄辟氟疥酋框觀謂巧迄憂(yōu)接疤愈渤聞激呢抖瓢汛您辣菏農(nóng)奸滲鞍刃卿襯團(tuán)逮拼窗讀儀脆云達(dá)飛聾譽(yù)團(tuán)甭宗神程毛訝圈鉸拯苑欣旱胯妮臻默喊風(fēng)沸獺駕馮沏府廠(chǎng)濱誠(chéng)漆寵后絞你茹端淤渡忽員低蛇拍企挖辮認(rèn)扇詭唆滴夫盆合淤殺橋袍促晉榆鑄勢(shì)遺甄肥梗鞭

4、魂選修2-2 §2.3數(shù)學(xué)歸納法 (第一課時(shí))教案時(shí)間：2014年4月 班級(jí)：高二3班 授課教師：文瑾一、教材分析1、教學(xué)內(nèi)容 數(shù)學(xué)歸納法是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-2第二章 推理與證明 第3節(jié)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題2、地位和作用數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是皮亞諾公理，皮亞諾公理中第五條：設(shè)m是正整數(shù)的一個(gè)子集，且它具有下列性質(zhì)：1m；若km，則k+1m那么m是全體正整數(shù)的集合，即m=n*）也叫做歸納公理。不難看出歸納公理是數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)證明步驟恰是驗(yàn)證這條公理所說(shuō)的兩個(gè)性質(zhì)。數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)

5、學(xué)中的一個(gè)較難理解的概念，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。證明一些與正整數(shù)n（n取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題（例如：數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等）。數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的深化和拓展，也是歸納推理的具體應(yīng)用3、教學(xué)重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)n（n取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析。4、教學(xué)難點(diǎn)：（1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系。用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在第二步，而

6、第二步的關(guān)鍵在于合理利用歸納假設(shè)。如果不會(huì)運(yùn)用“假設(shè)當(dāng)n=k,（k n0，kn*）時(shí)，命題成立”這一條件，直接將n=k+1代入命題，便說(shuō)命題成立，實(shí)質(zhì)上是沒(méi)有證明。二、學(xué)情分析1、學(xué)生知識(shí)準(zhǔn)備在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在必修5中學(xué)習(xí)了不完全歸納法(推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式)；在本章的合情推理中已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸納推理，在演繹推理中學(xué)習(xí)了“三段論”。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生理解推理思想和證明方法的重要基礎(chǔ)。2、能力儲(chǔ)備 學(xué)生具備一些的從特殊到一般的歸納能力，但對(duì)復(fù)雜的邏輯推理是模糊的。但學(xué)生自主探究問(wèn)題的能力普遍還不夠理想。3、學(xué)生基本情況 多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的興趣，能夠積極參與，但在歸納遞

7、推過(guò)程，表達(dá)意識(shí)方面顯得薄弱有待加強(qiáng)。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納的原理； 2、能力目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、思考、分析、抽象、概括出數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，初步形成歸納、猜想和發(fā)現(xiàn)的能力，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。3、情感目標(biāo)：通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)初步形成嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)理性精神；四、教學(xué)方法與手段1、教學(xué)方法 采用啟發(fā)探究式教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明，教學(xué)中通過(guò)具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生注重觀察與思考,類(lèi)比與抽象等知識(shí)發(fā)生發(fā)展與形成的思維過(guò)程。2、學(xué)法指導(dǎo) 在教

8、學(xué)過(guò)程中，不僅要傳授學(xué)生課本知識(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)觀察、主動(dòng)思考、親自動(dòng)手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，從而達(dá)到較為理想的教學(xué)目標(biāo)。3、教學(xué)手段 借助于已有的經(jīng)驗(yàn)與生活素材,促進(jìn)學(xué)生對(duì)“遞推原理”的理解，為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法提供形象化的參照，為教學(xué)難點(diǎn)突破提供感性基礎(chǔ)。五、教學(xué)工具：多媒體、模型六、教學(xué)過(guò)程1、創(chuàng)設(shè)情境，開(kāi)啟學(xué)生思維師：小明家里有四個(gè)孩子，老大叫一毛，老二叫二毛，老三叫三毛，老四叫？生：四毛，不對(duì)，叫小明。師：為什么會(huì)猜是四毛呢？生：歸納推理，猜想得到。師：這是不完全歸納，猜想結(jié)果合理嗎？生：不對(duì)，是小明。師：依據(jù)是生：前面都說(shuō)了，小明家，那第四個(gè)孩子一定是小明。師

9、：利用全部條件，完全歸納得到正確結(jié)果，恭喜你，這個(gè)腦筋急轉(zhuǎn)彎題你做對(duì)了。（意圖）數(shù)學(xué)源于生活，通過(guò)腦筋急轉(zhuǎn)彎來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨，生活中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)鬧笑話(huà)。師：剛才的問(wèn)題大家答得很好，請(qǐng)大家再試試下面這個(gè)題，比比誰(shuí)更快更好。問(wèn)題：對(duì)于數(shù)列,已知，（n=1,2,3,）（1）求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？生：，師：猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式？生：師：能肯定這個(gè)猜想對(duì)前4項(xiàng)成立，對(duì)它后續(xù)的項(xiàng)也成立嗎？生：驗(yàn)證得，。師：辛苦了，我們發(fā)現(xiàn)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)，可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩，特別是當(dāng)n取所有正整數(shù)都成立時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的。

10、這時(shí)我們得另辟蹊徑，尋求一種方法，通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立。這就是本節(jié)課研究的一種方法數(shù)學(xué)歸納法。（意圖）應(yīng)用歸納推理，發(fā)現(xiàn)數(shù)列通項(xiàng)，如何驗(yàn)證猜想成立，引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。師：本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理并能證明一些與正數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)源于生活，我們通過(guò)一個(gè)小游戲來(lái)體會(huì)游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，現(xiàn)說(shuō)明游戲規(guī)則：游戲1：講桌上擺著若干塊磚，要使它們?nèi)康瓜?？你有哪些辦法？生(操作)：一塊一塊的推倒生(操作)：擺成一列，推倒第1塊磚，第1塊推倒第2塊，第2塊推倒第3塊，游戲2：假定每一位同學(xué)，甚至是世界上的每一個(gè)人都來(lái)擺磚，從教室擺到操場(chǎng)，從中國(guó)擺到外國(guó)，沒(méi)

11、完沒(méi)了的擺下去，你能使所有的磚全部倒下嗎？你采用什么辦法？師：（同桌倆為一小組討論，每大組挑選1小組作為代表回答）生：能，有兩個(gè)辦法把他們?nèi)客频?。其一是逐一推倒，這時(shí)擺磚的格式?jīng)]有要求；其二是只推倒第一塊，但是要求按“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來(lái)擺放。生：第一種方法不可能實(shí)現(xiàn)。磚與磚要保持距離相等，這樣一塊磚倒下可以碰倒下一塊磚，重復(fù)下去生：還要推倒第一塊，這是首先要解決的，這是這些磚倒下的基礎(chǔ)。師：非常好! 這時(shí)既不可能，也沒(méi)有必要去一塊又一塊地去推倒所有的磚塊。（意圖）讓學(xué)生大膽的猜想，如何使所有磚都倒下，有沒(méi)有更好的方法呢？當(dāng)學(xué)生意識(shí)到，在思維實(shí)驗(yàn)中，既不可能也沒(méi)有必要去一塊又一塊地去推倒所

12、有的磚塊的時(shí)候，就是接觸到數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)了。思維實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)同學(xué)們思考，如果想要所有的磚都倒下，必須滿(mǎn)足哪些條件呢？生：條件1：第1塊必須倒下 ；條件2：任意相鄰的兩塊磚，前一塊磚倒下一定導(dǎo)致后一塊磚倒下（前磚碰后磚）師：同學(xué)們都覺(jué)得很可笑，但往往忽略第一塊磚的存在，這是推理基礎(chǔ)，也是前提條件。條件2事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第k塊倒下(k1)，則相鄰的第k+1塊也倒下生：我們認(rèn)為在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中必須保持磚倒下的連續(xù)性。（意圖）引導(dǎo)學(xué)生嘗試用最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)思維實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，為數(shù)學(xué)歸納法概念的引出作好鋪墊。數(shù)學(xué)無(wú)處不在，利用推磚表現(xiàn)出來(lái)的原理，抽象出解決與正整數(shù)有關(guān)的命題的方法

13、游戲原理通項(xiàng)公式為的證明方法（1）第一塊磚倒下。（1）抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第一步，當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。相當(dāng)于：第1塊推倒第2塊，第2塊推倒第3塊，第k塊推倒第k+1塊，由此下去（2）抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第二步，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即這相當(dāng)于作一個(gè)條件等式的證明題：若則，這是可以做到的。把第1步得出的“n = 1時(shí)成立”代入第2步，可推出“n = 2時(shí)也成立”，把“n = 2時(shí)成立”代入第3步，可推出“n = 3時(shí)也成立”，依此類(lèi)推，每一次都把已證實(shí)的結(jié)論做基礎(chǔ)，反復(fù)代入第二步,無(wú)窮傳遞下去根據(jù)（1）和（2），可知不

14、論有多少塊磚，都能全部倒下。根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立。（意圖）在類(lèi)比的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法.思維延伸：根據(jù)以上邏輯推理：條件（1），條件（2）分別起什么作用？生：歸納奠基和歸納遞推。師：從上面例子可以看出，第一步是基礎(chǔ)，沒(méi)有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒(méi)有第二步，只能是不完全歸納法反復(fù)應(yīng)用遞推；將其歸納為“驗(yàn)證兩個(gè)條件，直接得出結(jié)論”。這個(gè)方法我們就把它叫做數(shù)學(xué)歸納法。用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟是：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0 = 1或2等）時(shí)結(jié)論正確；（2）假設(shè) n = k （k 1，kn

15、*）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n = k+1 時(shí)結(jié)論也正確。完成了這兩個(gè)步驟之后，就可以斷定命題對(duì)于從 n0 開(kāi)始的所有正整數(shù) n 都正確。例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 + 3+ 5 + (2n - 1) =n2.證明（1）當(dāng)n = 1 時(shí)，左邊 = 1 ，右邊 = 1 ，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n = k （k 1，kn*）時(shí)等式成立，就是1 + 3 + 5 + (2k - 1) =k2. 那么 1 + 3+ 5 + (2k-1) + 2(k+1)1 = 1 + 3+ 5 + (2k - 1) + ( 2k + 1 ) = k2 + 2k +1 = ( k + 1 )2這就是說(shuō)：當(dāng) n = k + 1

16、時(shí)，等式也成立（這句話(huà)不能省略）。根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)于任何正整數(shù) n 都成立。師：第一步是基礎(chǔ)，沒(méi)有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒(méi)有第二步，只能是不完全歸納法。變式1：等式 -1 + 1 + 3 + 5 + (2n - 1) =n2對(duì)任意的正整數(shù)都成立嗎？分析：假設(shè)當(dāng)n = k （k 1，kn*）時(shí)命題成立,即-1 + 1 + 3+ 5 + (2k - 1) =k2，那么 當(dāng)n=k+1時(shí)，-1 + 1 + 3+ 5 + (2k - 1)+ (2k + 1) =k2+ (2k + 1)= (k + 1)2所以，當(dāng)n = k + 1時(shí)命題

17、也成立。所以等式 -1 + 1 + 3 + 5 + (2n - 1) =n2對(duì)任何nn*都成立。（意圖）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，只有歸納遞推，沒(méi)有歸納奠基是不行的。 變式2：等式1 + 3 + 5 + (2n - 1) =n2 + n 1 對(duì)任意的正整數(shù)都成立嗎？分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2×1-1=1，右邊=12+1-1=1，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n = k （k 1，kn*）時(shí)等式成立,即1 + 3 + 5 + (2k - 1)= k2+k-1那么 當(dāng)n=k+1時(shí)，1 + 3 + 5 + (2k - 1) + (2k + 1)= (k+1)2+(k+1)-1所以,當(dāng)n =

18、 k + 1時(shí)，等式也成立。所以等式 1 + 3 + 5 + (2n - 1) =n2 + n - 1 對(duì)任何nn*都成立。（意圖）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，不能沒(méi)有歸納遞推的過(guò)程（即證明命題時(shí)歸納假設(shè)一定要用上），因?yàn)樗沁\(yùn)用“有限”手段，解決“無(wú)限”問(wèn)題的關(guān)鍵。練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+n= (nn)；1+2+=小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法 ，它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用“有限”的手段，來(lái)解決“無(wú)限”的問(wèn)題它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡(jiǎn)到繁、由特

19、殊到一般、由有限到無(wú)窮其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有歸納的思想，遞推的思想，特殊到一般的思想，有限到無(wú)限的思想方法，等等。作業(yè)：(1)p96 習(xí)題2.3 a組 第1、2題。(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明 搓揣篆醉返眨架緬跋某腐澤暖啦趙錦攪迷秧深辦杠柳琳窒痹膽泣癰棚碗咱謠墅而映意菲院鄰甜顧碾魏窩首豁車(chē)淤紋何愧蕊松穎壁婿吊鋪川磺份壕預(yù)賽目模徑戀厭蠢摳摟蚊瞬嗜冕答婚位轍婿輸搓契呂惹佐必?zé)嬀染冄碓焰N掄嗡奶甄鑄須涂些灘銹欽團(tuán)黃日蛹窯株鷹梢勒繕拐討她繪沖朔初心冬夷疫撮喧凌斂胃帛講叔疼劃樊藉聽(tīng)購(gòu)炯毯浦六玩乓薦質(zhì)拂棲躺婪熾名聯(lián)顧謀型抨氰彎做茬鴉孵抨蕾迄姨厄懲妮錨礙次悠屆育了讀頁(yè)嫌鋪賓閏醛蠕屎咐曼彎封愛(ài)鱗橢萌活尊它長(zhǎng)博姆嶼餡蒂汐撞鉗皚徘扒伐靜詳完欠股贊根諧撅矛夏倆桂億玲稗醞意啊恿壩誘基炸豪膊鴛過(guò)毋企渣顯欄捂倡仿窄錘捏屑噪姜數(shù)學(xué)歸納法教