高中數學 第二章 數列 2.4 等比數列 第1課時 等比數列學案 新人教A版必修5

1、第1課時等比數列學習目標：1.理解等比數列的定義(重點).2.掌握等比數列的通項公式及其應用(重點、難點).3.熟練掌握等比數列的判定方法(易錯點)自 主 預 習·探 新 知1等比數列的概念(1)文字語言：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q0)(2)符號語言：q(q為常數，q0，nn*)思考：能將定義中的“每一項與前一項的比”理解為“每相鄰兩項的比”嗎？提示不能2等比中項(1)前提：三個數a，g，b成等比數列(2)結論：g叫做a，b的等比中項(3)滿足的關系式：g2ab.思考：當

2、g2ab時，g一定是a，b的等比中項嗎？提示不一定，如數列0,0,5就不是等比數列3等比數列的通項公式一般地，對于等比數列an的第n項an，有公式ana1·qn1.這就是等比數列an的通項公式，其中a1為首項，q為公比4等比數列與指數函數的關系等比數列的通項公式可整理為an·qn，而y·qx(q1)是一個不為0的常數與指數函數qx的乘積，從圖象上看，表示數列·qn中的各項的點是函數y·qx的圖象上的孤立點思考：除了課本上采用的不完全歸納法，還能用什么方法求數列的通項公式提示還可以用累乘法當n>2時，q，q，q，ana1·

3、3;·a1·qn1.基礎自測1思考辨析(1)若一個數列從第二項起每一項與前一項的比為常數，則該數列為等比數列()(2)等比數列的首項不能為零，但公比可以為零()(3)常數列一定為等比數列()(4)任何兩個數都有等比中項()答案(1)×(2)×(3)×(4)×提示：(1)錯誤，根據等比數列的定義，只有比值為同一個常數時，該數列才是等比數列(2)錯誤，當公比為零時，根據等比數列的定義，數列中的項也為零(3)錯誤，當常數列不為零數列時，該數列才是等比數列(4)錯誤當兩數同號時才有等比中項，異號時不存在等比中項2下列數列為等比數列的序號是_2

4、,22,3×22；，(a0)；s1，(s1)2，(s1)3，(s1)4，(s1)5；0,0,0,0,0.，所以不是等比數列；是首項為，公比為的等比數列；中，當s1時，數列為0,0,0,0,0，所以不是等比數列；顯然不是等比數列3等比數列an中，a22，a5，則公比q_.【導學號：91432189】由定義知q，則a2a1q2，a5a4qa3q2a2q3a1q4，所以÷得q3，所以q.4在等比數列an中，a427，q3，則a7_.729由等比數列定義知q.所以a5a4q27×(3)81，a6a5q81×(3)243，a7a6q243×(3)729.

5、合 作 探 究·攻 重 難等比數列的通項公式及應用在等比數列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.【導學號：91432190】解(1)由等比數列的通項公式得，a63×(2)6196.(2)設等比數列的公比為q，那么解得所以ana1qn15×2n1.規(guī)律方法1等比數列的通項公式涉及4個量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，a1和q是等比數列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解2關于a1和q的求法通常有以下兩種方法：(1)根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an

6、，這是常規(guī)方法(2)充分利用各項之間的關系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算跟蹤訓練1在等比數列an中，(1)若它的前三項分別為5，15,45，求a5；(2)若a42，a78，求an.解(1)a5a1q4，而a15，q3，a5405.(2)因為所以由得q34，從而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.等比中項(1)等比數列an中，a1，q2，則a4與a8的等比中項是()a±4b4c±d.(2)已知b是a，c的等比中項，求證：abbc是a2b2與b2c2的等比中項. 【導學號：91432191】思路探究：(1)用定義求等比中

7、項(2)證明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可(1)a由an·2n12n4知，a41，a824，所以a4與a8的等比中項為±4.(2)證明：b是a，c的等比中項，則b2ac，且a，b，c均不為零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)·(b2c2)，即abbc是a2b2與b2c2的等比中項規(guī)律方法等比中項應用的三點注意：(1)由等比中項的定義可知g2abg±，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異

8、號時，沒有等比中項.(2)在一個等比數列中，從第二項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項.(3)a，g，b成等比數列等價于g2ab(ab>0). 跟蹤訓練2若1，a,3成等差數列，1，b,4成等比數列，則的值為()a± b. c1 d±1d由題知2a13，a2.由b24得b±2±1.3設等差數列an的公差d不為0，a19d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于()【導學號：91432192】a2 b4 c6 d8ban(n8)d，又aa1·a2k，(k8)d29d·(2k8)d，解得k2(舍去)，

9、k4.等比數列的判斷與證明探究問題1若數列an是等比數列，易知有q(q為常數，且q0)或aan·an2(an0，nn*)成立反之，能說明數列an是等比數列嗎？提示：能若數列an滿足q(q為常數，q0)或aan·an2(an0，nn*)都能說明an是等比數列2若數列an是公比為q的等比數列，則它的通項公式為ana1·qn1(a，q為非零常數，nn*)反之，能說明數列an是等比數列嗎？提示：能根據等比數列的定義可知已知數列的前n項和為sn2na，試判斷an是否是等比數列思路探究：如何由求和公式得通項公式？a1是否適合ansnsn1(n2)？需要檢驗嗎？解ansnsn1

10、2na2n1a2n1(n2)當n2時2；當n1時，.故當a1時，數列an成等比數列，其首項為1，公比為2；當a1時，數列an不是等比數列母題探究：1.(變條件)將例題中的條件“sn2na”變?yōu)椤皊n2an”求證數列an是等比數列證明sn2an，sn12an1，an1sn1sn(2an1)(2an)anan1，an1an.又s12a1，a110.又由an1an知an0，an是等比數列2(變條件變結論)將例題中的條件“sn2na”變?yōu)椤癮11，an12an1”證明數列an1是等比數列，并求出數列an的通項公式解因為an12an1，所以an112(an1)由a11，知a110，從而an10.所以2(

11、nn)，所以數列an1是等比數列所以an1是以a112為首項，2為公比的等比數列，所以an12·2n12n，即an2n1.規(guī)律方法判斷一個數列an是等比數列的方法：(1)定義法：若數列an滿足q(q為常數且不為零)或q(n2，q為常數且不為零)，則數列an是等比數列.(2)等比中項法：對于數列an，若an·an2且an0，則數列an是等比數列.(3)通項公式法：若數列an的通項公式為ana1qn1(a10，q0)，則數列an是等比數列. 當 堂 達 標·固 雙 基1下列數列是等比數列的是()【導學號：91432193】a2,2，2，2,2,2，2，2，b1,1，1

12、,1，1，c0,2,4,6,8,10，da1，a2，a3，a4，ba.從第2項起，每一項與前一項的比不是同一常數，故不選a.b由等比數列定義知該數列為等比數列c等比數列各項均不為0，故該數列不是等比數列d當a0時，該數列不是等比數列；當a0時，該數列為等比數列2若2a，b,2c成等比數列，則函數yax2bxc的圖象與x軸的交點個數是()a0b1c2 d0或2b由題意，得b24ac，故函數yax2bxc的圖象與x軸相切3在等比數列an中，若a24，a532，則公比q應為()【導學號：91432194】a± b±2c. d2d因為q38，故q2.4在等比數列an中，若公比q4，且前三項之和等于21，則該數列的通項公式an_.4n1由題意知a14a116a121，解得a11，所以通項公式an4n1.5已知數列an是首項為2，公差為1的等差數列，令bnan，求證數列bn是等比數列，并求其通項公式.