復變函數與積分變換第三章

1、第三章第三章 復變函數的積分復變函數的積分1 復變函數積分的概念2 柯西古薩基本定理3 基本定理的推廣復合閉路定理4 原函數與不定積分5 柯西積分公式6 解析函數的高階導數7 解析函數與調和函數的關系1 復變函數積分的概念復變函數積分的概念1.積分的定義2.積分存在的條件及其計算法3.積分的性質1. 積分的定義積分的定義如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向)，則將 C理解為帶有方向的曲線，稱為有向曲線有向曲線。設曲線 C的兩個端點為 A與 B，如果將 A到 B的方向作為C的正方向，則從 B到 A的方向就是C的負方向，。 常將兩個端點中一個作為起點起點，另一個作為終點終點，則正方向

2、正方向規(guī)定為起點至終點的方向。設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線。C 并記作而簡單閉曲線的正方向正方向是指當曲線上的點 P 順此方向沿該曲線前進時，鄰近P點的曲線內部始終位于P點的左方左方。相反的方向相反的方向就是曲線的負方向。定義定義終點為B的一條光滑有向設w=f (z)定義在區(qū)域 D內，C是 D內起點為 A011,kknAzzzzzBAz1z1z2z2z3z3.zk1zkzkDzkBxyO曲線。C任意分成n個弧段，設分點為Az1z1z2z2z3z3.zk1zkzkDzkBxyO在每個弧段zk-1zk (k=1,2,.,n)上任意取一點zk，并作和式和式111()()()nnnkk

3、kkkkkSfzzfzzzD的長度 ，1maxkk ns D, , 記1kkksz zD1kkkzzzD當n無限增加且趨于零，如ns有唯一極限，則稱其為1( )lim()nkknkCf z dzfzz z f (z)沿曲線沿曲線 C的積分的積分，記作容易看出, 當C是x軸上的區(qū)間axb, 而f (z)=u (x)時, 1( )lim()nkknkCf z dzfzz z 這個積分定義就是一元實函數定積分的定義。如果C為閉曲線，則沿此閉曲線的積分記作記作( ).Cf z dz2. 積分存在的條件及計算法積分存在的條件及計算法給出給出, 正方向為參數增加的方向正方向為參數增加的方向, 參數參數 a

4、及及b對應于起點對應于起點 如果 f (z) = u (x, y) + iv (x, y)在D內處處連續(xù)，則u (x, y) 及 v (x, y)均為D內的連續(xù)函數連續(xù)函數。設 zk= xk+ ihk，設光滑曲線設光滑曲線C由參數方程由參數方程( )( )( ),zz tx tiy tt A及終點及終點B, 并且并且 。( )0,z tt 111()kkkkkkkzzzxiyxiyD11()()kkkkkkxxi yyxi y D D由于111()kkkkkkkzzzxiyxiyD11()()kkkkkkxxi yyxi y D D所以，有下面的式子：11() (,)(,)()nnkkkkkk

5、kkkkfzuivxiyz 1 (,)(,)nkkkkkkkuxvy 1 (,)(,)nkkkkkkkivxuy 由于u, v都是連續(xù)函數, 根據線積分的存在定理, 當n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, 不論對( ).CCCf z dzudxvdyivdxudy不論對C的分法如何， 點( xk, hk )的取法如何，上式右端的兩個和式的極限都是存在的。因此有上式在形式上可以看作是與( )d()()CCf zzuiv dxidy.CCudxvdyivdxudy所以是比較容易記住的。( )f zuivdzdxidy相乘后求積分得到：Cudxivdxiudyvdy而且上式說明了兩個問題：而且上式

6、說明了兩個問題：i ) 當 f (z) 是連續(xù)函數而 C 是光滑曲線時，積分是一定存在的?？梢酝ㄟ^兩個二元實變函數的線積分( )Cf z dzii)( )Cf z dz來計算。( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )Cf z dzu x ty t x tv x ty ty tdt根據線積分的計算方法，有 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )div x ty t x tu x ty ty tt上式右端可以寫成 ( ), ( ) ( ), ( ) ( )( )u x ty tiv x ty tx tiy tdt所以( ) ( ) ( )d .Cf z dzf z t

7、 z tt ( ) ( )d .f z t z tt今后討論積分，如無特別說明，總假定被積函數是連續(xù)的，曲線C是按段光滑的。如果C是由C1, C2, . , Cn等光滑曲線首尾連接而成,12( )( )( )( ).nCCCCf z dzf z dzf z dzf z dz則定義定義解解直線的方程可寫作Czdz, 其中C為原點到點3+4i的直線段。例例1 計算3 ,4 , 01,xtytt 或在C上, 34 , 01.zti tt (34 ) ,(34 )zi t dzi dt。于是112200(34 )(34 )Czdzi tdtitdt21(34 ) .2i()()CCzdzxiy dxi

8、dy.CCxdxydyiydxxdy又因()()CCzdzxiy dxidy.CCxdxydyiydxxdy容易驗證，右邊兩個線積分都與路線C無關，所以Czdz的值，不論C是怎樣的連接原點到3+4i的曲線，21(34 ) .2i都等于解解直線的方程可寫作2yx計算積分例例 分別沿y = x與, 01,xtytt 在C上, (1)dzi dt。于是120()(1)titi dt1(1 5 ).6 i120()ixiy dz120()ixiy dz拋物線的方程可寫作2, 01,xtytt 在C上, (12 )dzti dt。于是1220()(12 )titti dt1(1 5 ).6 i120()

9、ixiy dz120(1)()itit dt1230(1)(2)itt i dtz0rqzz0=reiqzOxy的正向圓周, n為整數。10()nCdzzz例例2 計算, 其中C為以z0為中心, r為半徑當n = 0時，結果為0, 02 ,iizzredzire dqqqq211(1)00e()inni nCdzirdzzreqqq202,idiq當時，結果為0n 20(cossin)0.ninindrqqq所以解解 C的方程可寫作2200dedeinninniirrqqqq這個結果以后經常要用到, 它的特點是與積分路線圓周的中心和半徑無關，應當記住。所以0102000|,(),. nz zr

10、indzzzn2200220011cossin(sin2sin0)0.11sincos(cos2cos0)0. n dnnnnn dnnnnq qqq qq這是因為z1z0=1+iOxy2131) 沿原點到點Czdz例例3 計算的值，其中C為11001)()(1)21Czdztiti dttdt所接成的折線。解解01zi 的直線段1:(1) ,01;Czi tt 2) 沿從原點到點11z 的直線段2:,01Cztt 段3:1,01Czitt 2311002)(1)CCCzdzzdzzdztdtit idt11()122ii ，與從1z到 的直線0z3. 積分的性質積分的性質則ii)( )( )

11、;CCkfz dzkfz dz( k為常數)i)( )( );CCfz dzfz dz iii)( )( )( )( )CCCfzg zdzfz dzg z dz( )|( ) |CCfz dzfzdsML設曲線C長度為L，f (z)在C上滿足iv)|( ) |fzM,復函數的積分也有下列一些簡單性質，與實變函數中定積分的性質類似的：線因此便得不等式的第一部分，又因111()()(),nnnkkkkkkkkkfzfzfszzzDDD兩端取極限，得兩點之間的弧段的長度，所以事實上，是kzDkz1kz與兩點之間的距離，ksD為這( )|( )|CCf z dzf zds這里( )Cfzds表示連續(xù)

12、函數(非負的)( )fz沿C的曲11(),nnkkkkkfsMsMLzDD( ),CfzdsML11(),nnkkkkkfsMsMLzDD所以這是不等式的第二部分。絕對值的一個上界。例例4 設C為從頂點到點3+4i的直線段，試求積分解解(34 ) , 01zi tt 1CdzziC的方程為。由估值不等式得11CCdzdszizi21115,3(41)34925()2525zittit153CCdzdszi5Cds 1253Cdzzi從而有而，所以在C上，2 柯西柯西-古薩古薩(Cauchy-Goursat)基本定理基本定理或沿封閉曲線的積分值為零的條件，可能與被積函數的解析性及區(qū)域的單連通性有

13、關。究竟關系如何，不妨先在加強條件下做些初步探討。假設 f (z) = u + iv在單連通域B內處處解析，且連續(xù)的，且滿足柯西-黎曼方程從上節(jié)的幾個例題中思考，積分的值與路線無關積分的值與路線無關,在B內連續(xù)。由于( )fz( )xxyyfzuivviu所以 u 和 v 以及它們的偏導數,xyxyu uvv在 B 內都是,xyxyuvvu則有,xyxyuvvu( )CCCf z dzudxvdyivdxudy其中C為B內任何一條簡單閉曲線，從格林公式格林公式與柯西-黎曼方程(路線 C 取正向)得()0 xyDCudxvdyvud()0 xyDCvdxudyuv d其中D是C所圍的區(qū)域, 所以

14、上式的左端為零。閉曲線的積分為零。實際上，是不必要的。因此有下面一條在解析函數理論中最基本的定理。因此在上面的假設下，函數 f (z)沿B內任何一條( )fz在 B 內連續(xù)的假設柯西柯西-古薩基本定理古薩基本定理CB內處處解析, 則在B內任何一條封閉曲線C的積分為零:如果函數 f (z)在單連通域 B( )d0Cf zz 定理中曲線C 可以不是簡單曲線。這個定理又稱柯西積分定理柯西積分定理。CB柯西柯西-古薩基本定理古薩基本定理成立的條件之一是曲線曲線 C 要要屬于區(qū)域屬于區(qū)域B。如果曲線C是B的邊界, 函數 f (z) 在B內與解析，甚至 f (z)在 B內解析, 在閉區(qū)域B+C上連續(xù), 則

15、 f (z)在邊界上( )d0Cf zz C上解析，即在閉區(qū)域 B + C 上的積分仍然有解解 由積分運算的性質可知的正向例例 計算積分其中1sin2zCedzz11(|sin)|sin22zzCCCzedzz dzedzzz利用柯西古薩基本定理1(|sin)02zCzedzz|Cz dz 11(|sin),:|22zCzedz Czz因此有 12Cdz003 基本定理的推廣基本定理的推廣復合閉路定理在上一節(jié)中，討論了柯西-古薩定理是在單連通域里，現(xiàn)將柯西-古薩基本定理推廣到多連通域的情況。設函數 f (z)在多連通域D內解析，C為D內的任意一條簡單閉曲線，當C的內部不完全含于D時，沿C的積分

16、設C及C1為D內任方向)簡單閉曲線, C1就不一定為零。意兩條(正向為逆時針在C內部, 且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全含于D。DCC1AABBD1FEEF其中A, B在C上, ABD內的簡單閉曲線。如右圖，AA F B BFA AEBB E A A 及在C1上構成兩條全在作兩條不相交的弧線, 分析，得知( )d0AEBB E A Af zz ( )d0AA F B BFAf zz 將上面兩等式相加, 得DCC1AABBD1FEEFDCC1AABBD1FEEF將上面兩式相加, 得1( )d( )dCCf zzf zz( )d( )d( )d( )d0AAA ABBB Bf zzf zzf zzf

17、 zz即或1( )d( )d0CCf zzf zz1( )d( )dCCf zzf zz上式說明在區(qū)域內的一個解析函數沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值, 只要在變形過程中不經過函數閉路變形原理。閉路變形原理。1C看成一條復合閉路G, 其正向為:上式說明如果將 C 及順時針, 則1C沿C逆時針, 沿D變形過程中不能夠經過 f (z)不解析的點( )d0f zz一重要事實，稱為 f (z)不解析的點。這閉曲線, C1,C2,.,Cn是在C內部的簡單閉曲線, 它們互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果 f (z)在D內解析,

18、則設C為多連通域D內的一條簡單定理定理(復合閉路定理復合閉路定理)1i)( )( )knkCCf z dzf z dzii)( )0f z dz均取正方向；kC，其中C與為由C及Ck(k=1,2,.,n)DCC1C2C3所組成的復合閉路(C按順時針, Ck按逆時針)。02,Cdzizz例如 從本章1的例2知: 當C為以z0為中心的正向所以，根據閉路變形原理，對于包含z0的任何一條正向02dzizz簡單曲線都有：圓周時, 解解 函數的任何正向簡單閉曲線。是處處解析的。線, 因此, 它也包含這兩個奇點。在G 內作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2，C1只例例 計算221zdzzz221zz

19、z的值, 為包含圓周|z|=1在內在復平面內除z=0和z=1兩個奇點外由于是包含著圓周|z|=1在內的任何正向簡單閉曲xyO1C1C2包含奇點 z = 0，C2只包含奇點 z=1。12222212121CCzzzdzdzdzzzzzzz02204iii11111CCdzdzzz則根據復合閉路定理可得22111CCdzdzzz從這個例子可以看到：借助于復合閉路定理，有些比較復雜的函數的積分可以化為比較簡單的函數的積分來計算它的值。這是計算積分常用的一種方法。xyO1C1C2解解 函數的正向。外是處處解析的。C 內作三個互不包含也互不相交的正向圓周C1，C2，C3，C1只包含例例 計算21.:|3

20、(1)Cdz Czz z21(1)z z 在復平面內除z=0, i, -i三個奇點由于C是圓周|z-3|=1, 它包含這三個奇點。因此在奇點 z = 0，C2只包含奇點 z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點 z=-i。21(1)Cdzz z 03111111()22iiCdzzzizi則根據復合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i1122222iii解解 函數的正向。外是處處解析的。C 內作三個互不包含也互不相交的正向圓周C1，C2，C3，C1只包含例例 計算223.:|3(1)Czdz Czz z223(1)zz z在復平面內除z=0, i, -i三個奇點由于C是圓周|z-3|

21、=1, 它包含這三個奇點。因此在奇點 z = 0，C2只包含奇點 z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點 z=-i。32212323(1)(1)iiCCzzdzdzz zz z313 24002iii 33221132(1)1iiiiCCdzdzz zz則根據復合閉路定理可得31111iiCdzizizixyOiCC1C2C3-i331133112iiiiCCdzdzzzizi4 原函數與不定積分原函數與不定積分z1z2BC1C2z1z2C1C2B定理一定理一如果函數 f (z)在單連通域B內處處解析, ( )Cf z dz則積分與連接起點及終點的路線C無關。由定理一可知, 解析函數

22、在單連通域內的積分只與1012( )( )( )zzCCf z dzf z dzf z dz起點z0和終點z1有關, 如圖所示, 有z1z2BC1C2z1z2C1C2B1012( )( )( )zzCCf z dzf z dzf z dz固定z0，讓z1在B內變動，令z1=z，則積分0( )zzfdzz0( )( )zzF zfdzz在B內確定了一個單值函數對這個函數我們有下面的定理。證證 從導數的定義出發(fā)來證。設z為B內任意一點, 以z為中心作一含于B內的小圓K, 取( )( )F zf z定理二定理二如果 f (z)在單連通域B內處處解析, 則函數F(z)必為B內的一個解析函數, 并且|

23、zD在K內。于是可得充分小使zzD00( )d( )dzzzzzffzzzz( )( )F zzF z( )d .zzzfzzz+DzzKzz0z+DzzKzz0( )( )( )zzzzzzf z df zdf zzzzDDD( )( )1( )( )d( )zzzF zzF zf zff zzzzz1( )( ) d .zzzff zzzz( )( ),ff zzz0zz0, 存在, 當即時, 總有又任給又因從而有因此根據積分的估值性質有這就是說即1| zz D D( )( )F zf z0()( )lim( )0,zF zzF zf zzDD1( )( )zzzff z dszzDD()

24、( )1( )( )( )zzzF zzF zf zff z dzzzzDDDD這個定理跟微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似在此基礎上，也可以得出類似于微積分學中的基本定理和牛頓-萊布尼茲公式。先引入原函數的概念。容易證明，f (z)的任何兩個原函數相差一個常數。設G (z)和H (z)是 f (z)的何任兩個原函數, 則定義定義如果函數( ) z在區(qū)域D內的導數等于 f (z), ( )( )G zH zc ( )( )( )( )( )( )0G zH zG zH zf zf z, 則稱( )( )zf z( ) z為 f (z)在區(qū)域B內的原函數原函數。定理二表明是 f (z)的

25、一個原函數。0( )( )dzzF zfzz所以c為任意常數。因此, 如果函數 f (z)在區(qū)域B內有一個原函數 F (z), 即則，它就有無窮多個原函數, 而且具有一般表達式 F(z) +c，c為任意常數?？赏频酶ｎD-萊布尼茲公式類似的解析函數積分計czFzzf)(d)(跟在微積分學中一樣，定義定義：f (z)的原函數的一般形式F (z) + c (其中c 為任意常數)為 f (z)的不定積分不定積分,利用任意兩個原函數之差為一常數這一性質，記作算公式。zzzzf0d)(00( )d( )()zzf zzG zG z證證 因為也是 f (z)的原函數, 所以.)(d)(0czGzzfzz1

26、010( )d( )()zzf zzG zG z或當z=z0時, 根據柯西-古薩基本定理, 0()cG z ，因此有f (z)的的一個原函數, 則如果 f (z)在單連通域B內處處解析, G(z)為 這里z0, z1為域B內的兩點。定理三定理三),()(d)(0110zGzGzzfzz解解原函數為zsin z + cos z。所以00cos dsincosiizzzzzz例例1 求積分0cosizzdz的值函數 zcos z在全平面內解析, 容易求得它有一個sincos1iii11122eeeeii有了原函數、不定積分和積分計算公式，復變函數的積分就可用跟微積分學中類似的方法去計算。11.e在

27、所設區(qū)域內解析。它的一個原函例例2 試沿區(qū)域1) 1ln(zz數為，所以21ln (1)2z 211ln(1)1dln (1)12|iizzzzIm( )0, Re( )0zz內的圓弧|z|=1, 計算1ln(1)d1izzz的值。積分 解解 函數221ln (1)ln (2)2i223ln2ln 23288i 2211ln2ln 2224i解解2044diizzz例例 求下列積分的值:21(1)(2)iizdz231142 4233ii iii11.33i211tan(2)cosizdzz2(3)siniizdz21(1)(2)iizdz2311423izizz21(2)iizdz21(2)

28、(2)iiizdiz 31(2)3iiiz 或或解解1(1tan ) taniz dz例例1 求下列積分的值:21(1)(2)iizdz2211tantan tan1tan 122ii21(tan1tan 1)2 211tan(2)cosizdzz2(3)siniizdz211tan(2)cosizdzz211tantan2izz22222111() .121eeiee解解1 cos2()2iizdz例例1 求下列積分的值:21(1)(2)iizdz1111sin2 sin( 2)2424iiii 211tan(2)cosizdzz2(3)siniizdz2(3)siniizdz11sin2

29、24iizz1sin22ii221()4ieei5 柯西積分公式柯西積分公式都是相同的。現(xiàn)在來求這個積分的值。設B為一單連通域， 為B中一點。若 f (z)在B內解0z形原理，這積分的值沿任何一條圍繞的簡單閉曲線0z析，則函數在 不解析。所以在B內圍繞 的一條0( )f zzz0z0z閉曲線C的積分0( )Cf zdzzz一般不為零。又根據閉路變則取以z0為中心，半徑為的很小的圓周既然沿圍繞z0的任何簡單閉曲線積分值都相同。(取其正向)作為積分曲線C。0|zz由于 f (z)的連續(xù)性，在C上的函數 f (z)的值將隨著0000( )1()2().CCf zdzf zdzif zzzzz的值也將

30、隨著d的縮小而接近于0( )Cf zdzzz其實兩者是相等的, 即因此有下面的定理。00( )d2().Cf zzif zzz的縮小而逐漸接近于它在圓心 z0 處的值, 從而可以猜想析，C為D內的任何一條正向簡單閉曲線, 它的內部完全含于D，z0為C內的任一點，則如果 f (z)在區(qū)域D內處處解定理定理(柯西積分公式柯西積分公式) 001( )()d .2Cf zf zzizzDCKzz0R周K:|z-z0|=R全部在C的內部, 時, 0zz0( )()f zf z0( )0 , 存在, 當證證 由于 f (z)在z0連續(xù), 任給設以z0為中心, R為半徑的圓R且。那么有000000()( )

31、()( )( )ddddCKKKf zf zf zf zf zzzzzzzzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz0000( )()|( )()|2|KKKf zf zf zf zdzdsdszzzzR對上式右邊第二個式子整理可得這表明不等式右端積分的?？梢匀我庑? 只要R足夠小就行了, 根據閉路變形原理, 該積分的值與R無關, 所以只有在對所有的 R 積分值為零才有可能, 因此, 上式即為要證的式子。 上式稱為柯西積分公式柯西積分公式。如果 f (z)在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內及C上解析，那么公式仍然成立。即001( )()2Cf zf zdzizz即, 解析函數在

32、圓心處的值等于它在圓周上的平均值解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。20001()(e ).2if zf zRdqq如果C是圓周0eizzRq, 則定理可變?yōu)榻饨?由公式有| | 4122)13zdzzz| | 41sin1)2zzdziz| | 41sin1);2zzdziz| | 4122).13zdzzz例例 求下列積分(沿圓周方向)的值：2122ii 0sin|zz0;| | 4| | 41213zzdzdzzz6. i解解 由公式有2| | 421)1zziedzz3|1| 112).1 zdzz2| | 421);1zziedzz例例 求下列積分(沿圓周方向)的值：| |

33、4()zzzeedzzizi2()iii ee4 sin1 解解 3|1| 112)1 zdzz3|1| 112).1 zdzz2| | 421);1zziedzz例例 求下列積分(沿圓周方向)的值：2|1| 111(1) (1) zdzzzz2|1| 11(1)(1) zdzzzz2|1| 11(1).(1) zzzdzz21122(1)3ziizz解解 被積函數2sin41Czdzz11) |1|;2z 2sin4,1Czdzz例例 計算積分1sin411Czdzzz1sin421zzizC分別為：12) |1|;2z 3) | 2;z 2sin41zz有兩個奇點：1.z 224i22i(

34、1)在1|1|2z 內有奇點1z ，故解解 被積函數2sin41Czdzz11) |1|;2z 2sin4,1Czdzz例例 計算積分2sin411Czdzzz1sin421zzizC分別為：12) |1|;2z 3) | 2;z 2sin41zz有兩個奇點：1.z 224i22i(2)在1|1|2z 內有奇點1z ，故解解 被積函數2sin41Czdzz11) |1|;2z 2sin4,1Czdzz例例 計算積分1sin411CzdzzzC分別為：12) |1|;2z 3) | 2;z 2sin41zz有兩個奇點：1.z 22i(3)由復合閉路定理，有2sin411Czdzzz22i2 i6

35、 解析函數的高階導數解析函數的高階導數一個解析函數不僅有一階導數，而且有各高階導數，它的值也可用函數在邊界上的值用積分來表示。這一點和實變函數完全不同。一個實變函數在某一區(qū)間上可導，它的導數在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定，更不要說它有高階導數存在了。( )010!( )()(1,2,).2()nnCnf zfzdz nizz其中C為在函數 f (z)的解析區(qū)域 D內圍繞 z0的任何一條證證 設z0為D內任意一點, 先證 n =1的情形, 即正向簡單曲線, 而且它的內部全含于D。關于解析函數的高階導數有下面的定理。定理定理 解析函數 f (z)的導數仍為解析函數, 它的 n 階導數為：0201( )

36、(),2()Cf zfzdzizz先按定義有0000()()()lim,zf zzf zfzzD DD0201( )(),2()Cf zfzdzizz因此就是要證0020()()1( )2()Cf zzf zf zdzizzzDD0zD 在時也趨向于零。001( )(),2Cf zf zzdzizzzDD001( )(),2Cf zf zdzizz001( )(),2Cf zf zzdzizzzDD0000()()1( )2()()Cf zzf zf zdzzizzzzzDDD001( )(),2Cf zf zdzizz從而有令0020()()1( )2()Cf zzf zf zIdzizzz

37、DD2200001( )1|( )|.2() ()2| |DDDDCCzf z dzzf zdsIzzzzzzzzzz則0zD 時I0, 而現(xiàn)要證當2001( )2() ()Czf zIdzizzzzzDD0020()()1( )2()Cf zzf zf zIdzizzzDD20001( )1( )2()2()()CCf zf zdzdzizzizzzzzD又因為f (z)在C上連續(xù), 則有界, 設界為M, 則在C上| f (z)| M。d為z0到C上各點23001| ( )| |2| |Cz f z dsMLIzz zz zzdD DD，則,2zdD小使其滿足0011,zzdzzd所以00|

38、,2D D dzzzzzz012,zzzdDDz0dCzD適當地的最短距離, 則取再利用同樣的方法去求極限：便可得000()()limzfzzfzzD DD0302!( )()2()Cf zfzdzizzL是C的長度。0zD 時, I0, 也就證這就證得了當0201( )()2()Cf zfzdzizz這也就證明了一個解析函數的導數仍然是解析函數。得了( )010!( )()2()nnCnf zfzdzizz依此類推, 用數學歸納法可以證明：此公式可以這樣記憶： 把柯西積分公式的兩邊對z0 求 n 階導數，右邊求導在積分號下進行，求導時把被積函數看作是z0的函數, 而把 z 看作常數。在于通過

39、求導來求積分在于通過求導來求積分。高階導數公式的作用，不在于通過積分來求導高階導數公式的作用，不在于通過積分來求導, 而而5cos1);(1)Czdzz51cos()zz 5cos(1)Czdzz解解 1) 函數在C內的z=1處不解析, 但在C內卻是處處解析的。有cosz222)(1)zCedzz 例例1 求下列積分的值, 其中C為正向圓周:| z |=r1。(4)12(cos)(5 1)!|ziz5.12i 4124cos()(5 1)!2|ziz5cos1);(1)Czdzz解解OC1C2Ciixy2) 函數在C內的C內以i和閉路定理,22(1)zez zi i為中心作兩個正向圓周。則此函

40、數12,CC在由C，和1C2C所圍成的區(qū)域內是解析的。根據復合222)(1)zCedzz 處不解析。在12222222(1)(1)(1)zzCCzCeedzdzzzedzz由定理有同樣可得(1).2ii e122(1)zCedzz222(1)zCedzz222()()zCezidzzi22(2 1)! ()zz iiezi(1)(1).22iii eii e12222()()(2 1)! ()zzCzieiezidzzizi因此(1).2ii e122(1)zCedzz222(1).(1)2ziCeii edzz22d(1)()2sin(1)(1)24ziiCezi eieiz51);zCed

41、zz5zez5zCedzz解解 1) 函數在C內的z=0處不解析, 但在C內卻是處處解析的。有ze212);zCedzz例例 求下列積分的值, 其中C為正向圓周：| z |=1。(4)02()(5 1)!|zzie.12i21cos3)nCzdzz21zez 21zCedzz解解 2) 函數在C內的z=0處不解析, 但在C內卻是處處解析的。有1ze例例 求下列積分的值, 其中C為正向圓周：| z |=1。02(1)1!|zzie2.i02|zzie51);zCedzz212);zCedzz21cos3)nCzdzz21cosnzz21cosnCzdzz解解 3) 函數在C內的z=0處不解析,

42、但在C內卻是處處解析的。有cosz例例 求下列積分的值, 其中C為正向圓周：| z |=1。(2 )02(cos )(2 )!|nzizn2cos(2 )!inn022cos()(2 )!2zinzn2( 1)(2 )! nin51);zCedzz212);zCedzz21cos3)nCzdzz解解 被積函數22cos(1)Czdzzz11) |;2z 22cos,(1)Czdzzz例例 計算積分122cos1(1)Czdzzz02cos2(1)zzizC分別為：12) |1|;2z 3) | 2;z 22cos(1)zzz有兩個奇點：0, 1.z 22i4 i(1)在1|2z 內有奇點0z

43、，故023sin2cos2(1)(1)zzzizz解解 被積函數22cos(1)Czdzzz11) |;2z 22cos,(1)Czdzzz例例 計算積分222cos1(1)Czdzzz12cos2zzizC分別為：12) |1|;2z 3) | 2;z 22cos(1)zzz有兩個奇點：0, 1.z 22i4 i(2)在1|1|2z 內有奇點1z ，故123sin2cos2zzzizz解解 被積函數22cos(1)Czdzzz11) |;2z 22cos,(1)Czdzzz例例 計算積分122222cos1cos1(1)(1)CCzzdzdzzzzzC分別為：12) |1|;2z 3) |

44、2;z 22cos(1)zzz有兩個奇點：0, 1.z 44ii(3)在| 2z 內有奇點0, 1z ，故8 i例例2 設函數 f (z)在單連通域B內連續(xù)，且對于B內任( )0Cf z dz 證證 在B內取定一點 ，z為B內任意一點，根據已知0z然后還可以用證明定理二相同的方法，證明函數的導數仍為解析函數，故 f (z)為解析函數。所以F (z)是B內的一個解析函數，再根據上面定理知解析( )( )F zf z何一條簡單閉曲線C都有, 證明 f (z)在B內0( )zzfdzz條件，知積分的值與連接0z與z的路線無關，它定義了一個z的單值函數：0( )( )zzF zfdzz解析(Morer

45、a)。7 解析函數與調和函數的關系解析函數與調和函數的關系問題：問題：則則 和和 的二階偏導有的二階偏導有uvivu 在區(qū)域在區(qū)域D內解析內解析,若若什么性質？什么性質？即在內滿足即在內滿足拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程方程：D uvxy uvyx222 uvxx y222 uvyy x22220uuxy22220vvxy故有故有同理同理設設 在區(qū)域內解析，得在區(qū)域內解析，得ivuzf)(D：則則 和和 的二階偏導的二階偏導uvivu 在區(qū)域在區(qū)域D內解析內解析,若若有什么性質？有什么性質？ 2222Dxy這里這里是一種運算記號，稱為是一種運算記號，稱為拉普拉斯算子拉普拉斯算子。 00

46、,DDuv則稱則稱 為區(qū)域為區(qū)域 內的內的調和函數調和函數。 D( , ) x y連續(xù)偏導數，且滿足拉普拉斯連續(xù)偏導數，且滿足拉普拉斯(Laplace)方程方程即即0 D 22220. xyD定義定義 如果二元實函數如果二元實函數),(yx在區(qū)域在區(qū)域 內有二階內有二階定理定理 若若 在區(qū)域在區(qū)域 內解析，內解析，( )( , )( , )f zu x yiv x yD必為必為(共軛共軛)調和函數。調和函數。 ( , ), ( , )u x y v x y證證 設設為為D的一個解析函數，那么的一個解析函數，那么( ) wf zuiv從而從而則則 uvxy uvyx222 uvxx y222 u

47、vyy x根據解析函數高階導數定理，根據解析函數高階導數定理，u與與v具有任意階的具有任意階的連續(xù)偏導數，所以連續(xù)偏導數，所以22 vvy xx y 因此因此u與與v都是調和函數。都是調和函數。同理同理22220.uuxy從而從而22220.vvxy根據解析函數高階導數定理，根據解析函數高階導數定理，u與與v具有任意階的連具有任意階的連續(xù)偏導數，所以續(xù)偏導數，所以22vvy xx y 設設u(x, y)為區(qū)域為區(qū)域D內給定的調和函數，把使內給定的調和函數，把使u+iv在在D內構成解析函數的調和函數內構成解析函數的調和函數v(x,y)稱為稱為u(x, y)的共軛調和的共軛調和函數。換句話話，在函

48、數。換句話話，在D內滿足柯西內滿足柯西-黎曼方程黎曼方程利用柯西利用柯西-黎曼方程求得它的共軛調和函數黎曼方程求得它的共軛調和函數v，從而構成，從而構成應當指出，如果已知一個調和函數應當指出，如果已知一個調和函數 u，那么就可以，那么就可以于解析函數的理論解決函數的問題。在第六章將舉例說于解析函數的理論解決函數的問題。在第六章將舉例說解析函數和調和函數的上述關系，使我們可以借助解析函數和調和函數的上述關系，使我們可以借助一個解析函數一個解析函數 u+iv。下面舉例說明求法。這種方法可以。下面舉例說明求法。這種方法可以稱為稱為偏積分法偏積分法。明解析函數在這個方面的應用。明解析函數在這個方面的應

49、用。的兩個調和函數中，的兩個調和函數中，v稱為稱為u的共軛調和函數的共軛調和函數。因此，上。因此，上面的定理說明：區(qū)域面的定理說明：區(qū)域D內的解析函數的內的解析函數的虛部為實部的共虛部為實部的共軛調和函數軛調和函數。,uvxyvuxy 這就證明了這就證明了u(x, y)為調和函數。為調和函數。所以所以例例1證明證明32( , )3u x yyx y2) 由由為調和函數，并求其共為調和函數，并求其共，得，得解解 1) 因為因為263( ),vxydyxyg x 軛調和函數軛調和函數v(x, y)和由它們構成的解析函數。和由它們構成的解析函數。226,6 .uuxyyxx 23( ),vyg xx

50、 6vuxyyx 222233,6 .uuyxyyy22220.uuxy從而得到一個解析函數從而得到一個解析函數這個函數可以化為這個函數可以化為此例說明，已知解析函數的實部，就可以確定它的此例說明，已知解析函數的實部，就可以確定它的32323(3).wyx yi xxyc虛部，至多相差一個任意常數。下面的例子則說明類似虛部，至多相差一個任意常數。下面的例子則說明類似3( )().wf zi zc地由解析函數的虛部地由解析函數的虛部(可能相差一個常數可能相差一個常數)它的實部。它的實部。23( )3,g xx dxxc32( , )3v x yxxyc故故 因此因此2223( )33,yg xy

51、x vuxy ，得，得由由例例2 已知一調和函數已知一調和函數( cossinsin )1,xveyyxyyx，使，使 f (0)=0。( )f zuiv一解析函數一解析函數解解由由( cossin )xve yyxyxy 因為因為(cossincos )1,xveyyyxyy(cossincos )1,xuveyyyxyxy得得(cossincos )1xueyyyxydx( cossin )( ).xexyyyxg y，求，求故故xvyu由由，得，得( cossinsin )1xeyyxyy( ).g yyc 因此因此( cossin ),xuexyyyxyc( sincossin )(

52、)xexyyyyg y它可以寫成它可以寫成而而( )(1).zf zzei zc(1)(1),xiyxiyxe eiye exiiyic( )( cossin )( cossin )xxf zexyyyxyci eyyxyxy由由 f (0)=0，得，得 c=0，所以所求的解析函數為，所以所求的解析函數為( )(1) .zf zzei z已知解析函數已知解析函數 f (z)= u+iv的導數的導數( )fz( )xxxyyxfzuivuiuviv析函數析函數 f (z) = u+iv的方法。的方法。下面再介紹一種已知調和函數下面再介紹一種已知調和函數 u (x, y)或或v (x, y)求解求解且有且有仍為解析函數仍為解析函數,把把xyuiuyxviv與與還原成還原成z的函數的函數(即用即用z來表示來表示)，得，得將它們積分，即得將它們積分，即得與與( )( )(3.7.2)( )( )(3.7.3)f zU z dzcf zV z dzc已知實部已知實部 u 求求 f (z)可用可