山東省棗莊市高三數學第二次模擬考試試題 理

1、山東省棗莊市2018屆高三數學第二次模擬考試試題 理第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a b c d2.已知復數（是虛數單位），則（ ）a b c d3.已知，則，的大小關系是（ ）a b c d4.下圖給出的是計算值的程序框圖，其中判斷框內可填入的條件是（ ）a b c d5.若的展開式中的系數為，則（ ）a b c d6.七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊

2、形組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率是（ ）a b c d7.已知，則（ ）a b c d8.函數的大致圖象為（ ） a b c d9.已知，則滿足成立的取值范圍是（ ）a bc d10.某多面體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰三角形.該多面體的各個面中有若干個是等腰三角形，這些等腰三角形的面積之和為（ ）a b c d11.設、是橢圓：的兩個焦點，若上存在點滿足，則的取值范圍是（ ）a bc d12.已知函數的圖象關于點對稱，則在上的值域為（ ）a b c d第卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知實

3、數，滿足，則的最大值為 14.在平行四邊形中，若，則 15.已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的標準方程為 16.已知，若函數圖象的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是 （結果用區(qū)間表示）三、解答題：本大題共6小題，共70分. 17.為數列的前項和.已知，.（）求的通項公式；（）設，求數列的前項和.18.在四棱錐中，平面平面，平面平面.（）證明：平面；（）若底面為矩形，為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.19.隨著高校自主招生活動的持續(xù)開展，我市高中生掀起了參與數學興趣小組的熱潮.為調查我市高中生對數學學習的喜好程度，從甲、乙兩所高中各隨機抽取了名學生，記錄他們在

4、一周內平均每天學習數學的時間，并將其分成了個區(qū)間：、，整理得到如下頻率分布直方圖：根據一周內平均每天學習數學的時間，將學生對于數學的喜好程度分為三個等級：學習時間（分鐘/天）喜好等級一般愛好癡迷（）試估計甲高中學生一周內平均每天學習數學的時間的中位數（精確到）；（）判斷從甲、乙兩所高中各自隨機抽取的名學生一周內平均每天學習數學的時間的平均值與及方差與的大小關系（只需寫出結論），并計算其中的、（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（）記事件：“甲高中學生對數學的喜好等級高于乙高中學生對數學的喜好等級”.根據所給數據，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求的概率.20.已知拋物線：，不過

5、坐標原點的直線交于，兩點.（）若，證明：直線過定點；（）設過且與相切的直線為，過且與相切的直線為.當與交于點時，求的方程.21.已知.（）若曲線與軸有唯一公共點，求的取值范圍；（）若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時請寫清題號.22.選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.（）若，求直線被曲線截得的線段的長度；（）若，在曲線上求一點，使得點到直線的距離最小，并求出最小距離.23.選修4-5：不等式選講已知函數.（）當時，求不等式的解集；（）設函數.當時，恒成立

6、，求實數的取值范圍.參考答案一、選擇題1-5: acbdd 6-10: cbabb 11、12：ad二、填空題13. 14. 15. 16. 三、解答題17.（）當時，有，即.因為，所以.從而，即.由，知.兩式相減，得.即，即，即.因為，所以，即.所以，數列是首項為，公差為的等差數列.所以.（）由（）知.數列的前項和為.18.（）證法1：在平面內過點作兩條直線，使得，.因為，所以，為兩條相交直線.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以.同理可證.又因為平面，平面，所以平面.證法2：在平面內過點作，在平面內過點作.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.同理可證平面.而過點作平面的垂線有且

7、僅有一條，所以與重合.所以平面.所以，直線為平面與平面的交線.所以，直線與直線重合.所以平面.（）如圖，分別以、所在方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系.設，則，.由為的中點，得；由，得.所以，.設平面的一個法向量為，則，即.取，則，.所以.所以.所以，直線與平面所成角的正弦值為.19.解：（）；（）；.（）由題意，甲高中學生對數學的喜好程度為“一般”、“愛好”、“癡迷”的概率分別為、.20.設，.（）解：顯然直線的斜率存在，設為，直線的方程為.由題意，.由，得.由題意，該方程的判別式，即.則，.因為，所以，所以，即，即.所以.所以.解得（舍去），或.當時，滿足式.所以直線的方程為.直

8、線過定點.（）解法一：過點且與：相切的直線的斜率必存在，設其斜率為，則其方程為，即.由消去并整理得.由判別式，解得.不妨設的斜率，則的斜率.由韋達定理，得，即.所以.同理可得.直線的方程為，即直線的方程為.解法二：，所以過且與相切的直線的斜率為.同理，的斜率為.：，即：.同理：.因為與的交點的坐標為方程組的解，所以，且.所以方程，即的兩個實根是，.由，解得，.又點，在：上，可得，.直線的方程為，即直線的方程為.解法三：，所以過且與相切的直線的斜率為.同理，的斜率為.所以，切線：，即.又是拋物線上的點，所以，即.故切線的方程為.同理切線的方程為.又切線與切線均過點，故，.所以切點、的坐標適合方程

9、.所以的方程為.21.（）解：函數的定義域為.由題意，函數有唯一零點.（1）若，則.顯然恒成立，所以在上是增函數.又，所以符合題意.（2）若，.；.所以在上是減函數，在上是增函數.所以.由題意，必有（若，則恒成立，無零點，不符合題意）.若，則.令，則.；.所以函數在上是增函數，在上是減函數.所以.所以，當且僅當時取等號.所以，且.取正數，則；取正數，顯然.而，令，則.當時，顯然.所以在上是減函數.所以，當時，所以.因為，所以.又在上是減函數，在上是增函數.則由零點存在性定理，在、上各有一個零點.可見，或不符合題意.注：時，若利用，說明在、上各有一個零點.若，顯然，即.符合題意.綜上，實數的取值

10、范圍為.（）.令，則對任意的恒成立.（1）當時，.當時，所以在上是減函數.所以，當時，.可見，符合題意.（2）若，顯然在上是減函數.取實數，顯然.則（利用）.又，在上是減函數，由零點存在定點，存在唯一的使得.于是，當時，函數在上是增函數.所以，當時，.可見，不符合題意.當時，分如下三種解法：解法一：（3）若，. 令，顯然在上是減函數，所以，當時，當且僅當時取等號.所以，當時，在上是減函數.所以，當時，.所以，在上是減函數.所以，當時，.可見，符合題意.（4）若，.令，顯然在上是減函數，且，所以，存在唯一的，使得，即.于是，當時，；當時，.所以，當時，；當時，.所以，在上是增函數，在上是減函數.

11、所以，在上的最大值.將式代入上式，得.所以，當時，所以在上是減函數.所以，當時，.可見，符合題意.綜上，所求的取值范圍是.解法二：（3）若，對任意的恒成立對任意的恒成立.令，.，當時，所以在上是增函數.所以.顯然在上是減函數，.所以，當時，即對任意的恒成立.所以符合題意.綜上，所求的取值范圍是.解法三：（3）若，對任意的恒成立.令，.，當時，所以在上是減函數.所以.所以，當時，.當，時，.所以，當，時，恒成立.所以符合題意.綜上，所求的取值范圍是.解法四：.令，則對任意的恒成立.令，當時，所以在上是增函數.（1）若，則時，所以在上是增函數.所以，當時，.可見，符合題意.（2）若，.（這里利用了

12、時，）又在上是增函數，由零點存在性定理，知存在唯一的，使得.于是，當時，所以，在上是減函數.所以，當時，.可見，不符合題意.綜上，所求的取值范圍是.注：利用，說明在上有零點.解法五：.令，則對任意的恒成立.（1）先尋求使結論成立的充分條件.由，要使對任意的恒成立.只需要在上是減函數，即對任意的恒成立.而，所以，只需要對任意的恒成立.令，.顯然在上是減函數，所以，當時，.所以在上是減函數.所以在上的最大值.則只需要.可見，當時，對任意的恒成立.（2）當時，（時，）.又時，在上是減函數，由零點存在定理，存在唯一的，使得.于是，當時，所以在上是增函數.所以，當時，.可見，不符合題意.綜上，所求的取值

13、范圍是.注：時，用，說明在上有零點.22.選修4-4：坐標系與參數方程解：（）曲線的普通方程為.當時，直線的普通方程為.由.解得或，直線被曲線截得的線段的長度為.（）解法一：時，直線的普通方程為.由點到直線的距離公式，橢圓上的點到直線：的距離為，其中滿足，.由三角函數性質知，當時，取最小值.此時，.因此，當點位于時，點到的距離取最小值.解法二：當時，直線的普通方程為.設與平行，且與橢圓相切的直線的方程為.由消去并整理得.由判別式，解得.所以，直線的方程為，或.要使兩平行直線與間的距離最小，則直線的方程為.這時，與間的距離.此時點的坐標為方程組的解.因此，當點位于時，點到直線的距離取最小值.23.選修4-5：不等式選講解：（）當時，.由，解得.所以，不等式的解集為.（）（當且僅當時取等號）（當且僅當時取等號）.綜上，當時，有最小值.故由題意得，