第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 單元質(zhì)量評(píng)估(人教A版必修2)

1、第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 單元質(zhì)量評(píng)估(120分鐘 150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若a,b是異面直線,直線ca,則c與b的位置關(guān)系是()A.相交B.異面C.平行D.異面或相交2.下列命題正確的是()A.一直線與一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則此直線與平面垂直B.兩條異面直線不能同時(shí)垂直于一個(gè)平面C.直線與平面所成的角的取值范圍是:0°<180°D.兩異面直線所成的角的取值范圍是:0°<<90°3.棱柱的一條側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面

2、所在的平面的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不相交4.設(shè)a,b是空間兩條垂直的直線,且b平面,則在“a”“a”“a”這三種情況中,能夠出現(xiàn)的情況有()A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5.(2013·長白山高一檢測)已知一平面平行于兩條異面直線,一直線與兩異面直線都垂直,那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.斜交D.不能確定6.(2013·新課標(biāo)全國卷)已知m,n為異面直線,m平面,n平面.直線l滿足lm,ln,l,l,則()A.且lB.且lC.與相交,且交線垂直于lD.與相交,且交線平行于l7.BC是RtABC的斜邊,PA平面A

3、BC,PDBC于D點(diǎn),則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)是()A.8個(gè) B.7個(gè) C.6個(gè) D.5個(gè)8.以下說法中,正確的個(gè)數(shù)為()已知直線a,b和平面.若ab,a,則b;已知直線a,b,c和平面.a是斜線,與平面相交,b是射影所在直線,c,且cb,則ca;三個(gè)平面兩兩相交,且它們的交線各不相同,則這三條交線互相平行;已知平面,若=a,ba,則b或b.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)9.已知點(diǎn)O為正方體ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列結(jié)論正確的是()A.直線OA1平面AB1C1B.直線OA1平面CB1D1C.直線OA1直線ADD.直線OA1直線BD110.(2013

4、83;廣東高考)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,則該四棱臺(tái)的體積是()A.4 B. C. D.611.已知直二面角-l-,點(diǎn)A,ACl,C為垂足,B,BDl,D為垂足,若AB=2,AC=BD=1,則CD=()A.2 B. C. D.112.(2013·濟(jì)寧高一檢測)如圖所示,在正四棱錐S-ABCD(頂點(diǎn)S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中點(diǎn),P點(diǎn)在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總是保持PEAC.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與SCD組成的相關(guān)圖形最有可能是圖中的()二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)13.(2013·長沙

5、高一檢測)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱長AA1=,則異面直線A1B1與BD1所成的角大小等于.14.如圖,AB是O的直徑,C是圓周上不同于A,B的點(diǎn),PA垂直于O所在的平面,AEPB于E,AFPC于F,因此,平面PBC.(填圖中的一條直線)15.四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形,AC與BD相交于點(diǎn)O,且SO平面ABCD,若四棱錐S-ABCD的體積為12,底面對(duì)角線的長為2,則側(cè)面與底面所成的二面角等于.16.(2013·安徽高考)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的

6、平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號(hào)).當(dāng)0<CQ<時(shí),S為四邊形;當(dāng)CQ=時(shí),S為等腰梯形;當(dāng)CQ=時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=;當(dāng)<CQ<1時(shí),S為六邊形;當(dāng)CQ=1時(shí),S的面積為.三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn),求證:CE,D1F,DA三線交于一點(diǎn).18.(12分)(2013·周口店高一檢測)如圖,圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,ABCD=O,且ABCD,SO=

7、OB=2,P為SB的中點(diǎn).(1)求證:SA平面PCD.(2)求異面直線SA與PD所成角的正切值.19.(12分)(2013·遼寧高考)如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓上的點(diǎn).(1)求證:平面PAC平面PBC.(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn),G為AOC的重心,求證:QG平面PBC.20.(12分)(2013·無錫高一檢測)如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1,DB的中點(diǎn).(1)求證:EF平面ABC1D1.(2)求證:EFB1C.(3)求三棱錐B1-EFC的體積.21.(12分)(能力挑戰(zhàn)題)在正三棱柱ABC-A1B1C1

8、(底面三角形ABC是正三角形的直棱柱)中,點(diǎn)D,E分別是BC,B1C1的中點(diǎn),BC1B1D=F,BC1B1D.求證:(1)平面A1EC平面AB1D.(2)平面A1BC1平面AB1D.22.(12分)(能力挑戰(zhàn)題)如圖,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,BAC=ACD=90°,EAC=60°,AB=AC=AE.(1)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使得DP平面EAB?請(qǐng)證明你的結(jié)論.(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.答案解析1.【解析】選D.根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系和公理4可知c與b異面或相交,但不可能平行.2.【解析】選B.A.錯(cuò)誤.一直線與

9、一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,并不意味著和平面內(nèi)的任意直線垂直,所以此直線與平面不一定垂直.B.正確.由線面垂直的性質(zhì)定理可知,兩條異面直線不能同時(shí)垂直于一個(gè)平面.C.錯(cuò)誤.直線與平面所成的角的取值范圍是:0°90°.D.錯(cuò)誤.兩異面直線所成的角的取值范圍是:0°<90°.3.【解析】選A.因?yàn)槔庵膫?cè)棱是互相平行的,所以由直線與平面平行的判定定理可知,側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在的平面平行.4.【解析】選D.如圖正方體中,b平面,直線a是在直線b的垂面內(nèi)的任意直線(與b異面).由圖可知,“a”“a”“a”三種情況都有可能.5.【解析】選B

10、.根據(jù)線面平行的性質(zhì),在已知平面內(nèi)可以作出兩條相交直線與已知兩條異面直線分別平行.因此,一直線與兩異面直線都垂直,一定與這個(gè)平面垂直.6.【解析】選D.因?yàn)閙,n為異面直線,所以過空間內(nèi)一點(diǎn)P,作mm,nn,則lm,ln,即l垂直于m與n確定的平面,又m平面,n平面,所以m平面,n平面,所以平面既垂直于平面,又垂直于平面,所以與相交,且交線垂直于平面,故交線平行于l,故選D.7.【解析】選A.因?yàn)镻A平面ABC,所以PABC,因?yàn)镻DBC,PAPD=P,所以BC平面PAD,所以ADBC,圖中直角三角形有PAC,PAD,PAB,ABC,PDC,PDB,ADC,ADB,共8個(gè).8.【解析】選A.錯(cuò)

11、誤.直線b的位置不確定,直線b可以在內(nèi),也可以平行于.正確.c同時(shí)垂直于斜線和射影.錯(cuò)誤.例如,長方體同一頂點(diǎn)的三個(gè)面.錯(cuò)誤.沒有說明b是否在平面或內(nèi),則b可以在這兩個(gè)平面外.9.【解析】選B.可證平面A1BD平面CB1D1.10.【解析】選B.四棱臺(tái)的上下底面均為正方形,兩底面邊長和高分別為1,2,2,V棱臺(tái)=(S上+S下+)h=(1+4+)×2=.11.【解析】選C.根據(jù)題意,直二面角-l-,點(diǎn)A,ACl,可得AC平面,則ACCB,ACB為直角三角形,且AB=2,AC=1,由勾股定理可得,BC=;在RtBCD中,BC=,BD=1,由勾股定理可得,CD=.12.【解析】選A.如圖所

12、示,連接BD與AC相交于點(diǎn)O,連接SO,取SC的中點(diǎn)F,取CD的中點(diǎn)G,連接EF,EG,FG,因?yàn)镋,F分別是BC,SC的中點(diǎn),所以EFSB,EF平面SBD,SB平面SBD,所以EF平面SBD,同理可證EG平面SBD,又EFEG=E,所以平面EFG平面SBD,由題意得SO平面ABCD,ACSO,因?yàn)锳CBD,又SOBD=O,所以AC平面SBD,所以AC平面EFG,所以ACGF,所以點(diǎn)P在直線GF上.【變式備選】如圖,點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng),則下列四個(gè)結(jié)論:三棱錐A-D1PC的體積不變;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正確的結(jié)論

13、的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選C.正確.易證BC1平面ACD1,所以點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P到平面ACD1的距離不變.又因?yàn)樗匀忮FA-D1PC的體積不變.正確.易證平面A1BC1平面ACD1,所以A1P平面ACD1;錯(cuò)誤.因?yàn)镈B=DC1,所以當(dāng)點(diǎn)P是BC1的中點(diǎn)時(shí),DPBC1;正確.因?yàn)锽1D平面ACD1,所以平面PDB1平面ACD1.13.【解析】因?yàn)锳1B1AB,所以ABD1是異面直線A1B1與BD1所成的角,在RtABD1中,BAD1=90°,AB=1,AD1=,所以tanABD1=,所以ABD1=

14、60°.答案:60°14.【解析】因?yàn)锳B是O的直徑,C是圓周上不同于A,B的點(diǎn),所以BCAC,因?yàn)镻A垂直于O所在的平面,所以BCPA,又PAAC=A,所以BC平面PAC,又AF平面PAC,所以AFBC,又AFPC,BCPC=C,所以AF平面PBC.答案:AF15.【解析】取BC的中點(diǎn)E,連接OE,SE,因?yàn)镺B=OC,所以O(shè)EBC,因?yàn)镾O平面ABCD,所以SOBC,所以BC平面SOE,所以SEO是側(cè)面SBC與底面ABCD所成的二面角,因?yàn)檎叫蜛BCD的對(duì)角線長為2,所以正方形ABCD的邊長為2,OE=,由題意得×(2)2×SO=12,所以SO=3

15、,所以tanSEO=,所以SEO=60°.答案:60°16.【解析】(1)當(dāng)0<CQ<時(shí),截面如圖1所示,截面是四邊形APQM,故正確.(2)當(dāng)CQ=時(shí),截面如圖2所示,易知PQAD1且PQ=AD1,S是等腰梯形,故正確.(3)當(dāng)CQ=時(shí),截面如圖3所示,易得C1R=,截面是五邊形,故正確.(4)當(dāng)<CQ<1時(shí),如圖4是五邊形,故不正確.(5)當(dāng)CQ=1時(shí),截面是邊長相等的菱形如圖5所示,由勾股定理易求得AC1=,MP=,故其面積為S=×AC1×MP=,故正確.答案:17.【解題指南】可證D1F與CE的交點(diǎn)P在直線AD上.【證明】

16、連接EF,D1C,A1B,因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn),所以EFA1B,EF=A1B,又因?yàn)锳1BD1C,所以EFD1C,所以E,F,D1,C四點(diǎn)共面,且EF=D1C,設(shè)D1F與CE相交于點(diǎn)P.又D1F平面A1D1DA,CE平面ABCD,所以P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn),又平面A1D1DA平面ABCD=DA,根據(jù)公理3可得PDA,即CE,D1F,DA三線交于一點(diǎn).18.【解析】(1)連接PO,因?yàn)镻,O分別為SB,AB的中點(diǎn),所以POSA,因?yàn)镻O平面PCD,SA平面PCD,所以SA平面PCD.(2)因?yàn)镻OSA,所以DPO為異面直線SA與PD所成的角,因?yàn)锳BCD,SO

17、CD,ABSO=O,所以CD平面SOB.因?yàn)镻O平面SOB,所以O(shè)DPO,在RtDOP中,OD=2,OP=SA=SB=,所以tanDPO=,所以異面直線SA與PD所成角的正切值為.19.【證明】(1)由AB是圓的直徑,得ACBC;由PA垂直于圓所在的平面,得PA平面ABC.又BC平面ABC,得PABC.又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.又BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC.(2)連接OG并延長交AC于M,連接QM,QO.由G為AOC的重心,知M為AC的中點(diǎn), 由Q為PA的中點(diǎn),得QMPC,又因?yàn)镼M平面PBC,PC平面PBC,所以QM平面PBC.又由O為

18、AB的中點(diǎn),得OMBC.同理可證,OM平面PBC.因?yàn)镼MOM=M,QM平面QMO,OM平面QMO,所以,據(jù)面面平行的判定定理得,平面QMO平面PBC.又QG平面QMO,故QG平面PBC.20.【解析】(1)連接BD1,在DD1B中,E,F分別為D1D,DB的中點(diǎn),則EFD1B,因?yàn)镋FD1B,D1B平面ABC1D1,EF平面ABC1D1,所以EF平面ABC1D1.(2)因?yàn)锽1CAB,B1CBC1,AB,BC1平面ABC1D1, ABBC1=B,所以B1C平面ABC1D1,又BD1平面ABC1D1,所以B1CBD1,又因?yàn)镋FBD1,所以EFB1C.(3)因?yàn)镃F平面BDD1B1,所以CF平

19、面EFB1且CF=BF=,因?yàn)镋F=BD1=,B1F=,B1E=3,所以EF2+B1F2=B1E2,即EFB1=90°,所以=×·EF·B1F·CF=××××=1.21.【證明】(1)因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別是BC,B1C1的中點(diǎn),所以A1EAD,ECB1D,故A1E平面AB1D,EC平面AB1D,又A1EEC=E,所以平面A1EC平面AB1D.(2)因?yàn)锳BC是正三角形,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所以ADBC,又因?yàn)槠矫鍭BC平面BCC1B1,所以AD平面BCC1B1,所以ADBC1,又BC1B1D,ADB1D=D,從而BC1平面AB1D.又BC1平面A1BC1,所以平面A1BC1平面AB1D.22.【解題指南】(1)通過線面平行的判定定理,利用平行四邊形的性質(zhì)作輔助線來證明.(2)先作出平面EBD與平面ABC的交線,然后利用面面垂直的性質(zhì)定理證明CD平面ABGC,進(jìn)而證明BG平面CDG,得到二面角的平面角,最后解直角三角形得到結(jié)論.【解析】(1)線段BC的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P.證明如下:取AB的中點(diǎn)F,連接DP,PF,EF,則FPAC,FP=AC,取AC的中點(diǎn)M,連接EM,EC,因?yàn)锳